Chương 2:Ma Trận

Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 1 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 3 NỘI DUNG : NỘI DUNG : I/ LÝ THUYẾT : 1. Một số định nghĩa. 2. Các phép toán trên ma trận. II/ BÀI TẬP : III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN : Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 4 I/ LÝ THUYẾT I/ LÝ THUYẾT Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 5 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1. Một số định nghĩa : a/ Một ma trận A cỡ trên trường K (K là thực hay phức) là một bảng chữ nhật gồm m hàng, n cột có dạng sau: xm n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m x n m m m n a a a a a a A a a a    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   Người ta thường ký hiệu ( ) m x n i j A a= Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 6 b/ Tập hợp các ma trận A cỡ trên trường K được ký hiệu là Ở đây : Các số là các phần tử nằm ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A. c/ Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA ( ) 1, 2, , ; 1, 2 , , i j a i m j n= … = … xm n ( ) xm n M K Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 7 Ký hiệu : là tập hợp các ma trận vuông cỡ , gọi chung là tập hợp các ma trận vuông cấp n. d/ được gọi là ma trận cột. e/ được gọi là ma trận hàng. f/ Nếu thì A được gọi là ma trận vuông. 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 1 2 1n x n x x A x    ÷  ÷ =  ÷  ÷   M ( ) 1 1 2x n n A x x x= … m n= ( ) n M K x n n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 8 g/ Ma trận 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 11 22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n x n n n a a A a …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   ( ) = ∀ ≠ = … 0 , 1, 2, , i j a i j i j n được gọi là ma trận chéo. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 9 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA h/ Ma trận 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n x n I …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   = ∀ = = ∀ ≠    ÷ = …   1 , 0 , 1, 2, , i j i j a i j a i j i j n được gọi là ma trận đơn vị cấp n. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 10 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA 11 12 1 22 2 0 0 0 n n n x n n n a a a a a A a …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   i/ Ma trận được gọi là ma trận tam giác trên. [...]... trên ma trận : a/ Ma trận bằng nhau : Cho hai ma trận cùng cỡ m x n là A m x n = ( ai j ) và B m x n = ( bi j ) Ta nói : A = B ⇔ ai j = bi j ∀i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 13 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN b/ Ma trận chuyển vị : Cho ma trận A m x n = ( ai j ) Ta gọi ma trận A T là ma trận chuyển vị T ( ) của ma trận A nếu như A = a j i A T có cấp n x m Như vậy ma trận Toán... ĐỊNH NGHĨA Ma trận A n x n  a11 0 … 0  a a22 … 0 ÷  21 ÷ = … ÷ a an 2 … an n ÷  n1  được gọi là ma trận tam giác dưới Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 11 1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA j/ Ma trận − A = ( − ai j ) được gọi là ma trận đối của A ( ) k/ Ma trận A = ai j được gọi là ma trận liên hợp của A Nếu A ∈ M m x n ( R ) thì A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 12 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 2 Các phép... được gọi là ma trận đối xứng ∗ AT = − A, tức là ai j = − a j i Nếu ( i, j = 1, 2,  , n) thì A được gọi là ma trận phản đối xứng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 16 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN c/ Nhân ma trận với một số : ( ) Cho ma trận A m x n = ai j Ta có : α Am x n = Bm x n với bi j = α ai j ∀i = 1, 2,… , m j = 1, 2,… , n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 17 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Dễ dàng nhận... và I là hai ma trận vuông cấp n thì A.I = I.A = A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 26 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Phép nhân ma trận có tính chất sau : ∗ ( A.B ) C = A.( B.C ) = A.B.C ∗ A.( B + C ) = A.B + A.C ∗ ( B + C ) A = B A + C A ( A.B ) = BT AT ∗ T Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 27 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Từ phép nhân ma trận ta có thể định nghĩa lũy thừa của một ma trận vuông như... = 0 , ∀ ma trận A ∗ α 0 = 0 , ∀α ∈ K ∗ α ( β A ) = ( αβ ) A , Toán 2 ∀α , β ∈ K CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 18 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Cộng hai ma trận : Cho 2 ma trận cùng cỡ m x n là A m x n = ( ai j ) và B m x n = ( bi j ) Ta có : A m x n + B m x n = C m x n với c i j = a i j + b i j , ∀i = 1, 2, … , m j = 1, 2, … , n Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 19 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Dễ thấy...  a/ A.B và B.A có phải là ma trận đối xứng b/ Có nhận xét gì về A.B và B.A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 34 II/ BÀI TẬP MA TRẬN BÀI 5 : Giải các phương trình ma trận  3 −2   −1 2  a/ X  ÷ =  −5 6 ÷  5 −4     3 −1  b/  ÷ X  5 −2  Toán 2  5 6  14 16   7 8 ÷ =  9 10 ÷     CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 35 III/ ĐÁP SỐ & HƯỚNG DẪN Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 36 ...     8 11 15  =  12 20 15 ÷   Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 22 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN d/ Nhân hai ma trận : Cho 2 ma trận A m x n = ( ai j ) , B n x p = ( bi j ) A m x n B n x p = Cm x p Ở đây : Cm x p = ( Ci j ) n với Ci j = ∑ a i k b k j , k =1 Toán 2 i = 1, 2, …, m   j = 1, 2, …, p CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 23 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 2 : Cho A 2 x 2 1 2  2 3 = ÷... = 13 18 ÷   CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 24 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 3 : Cho A 2 x 2 1 2 1 2 3  = ÷ , B 2 x 3 = 1 4 6 ÷ 3 4   Tính A.B và B.A Ta có : A.B = C 2 x 3  3 10 15  = 7 22 33 ÷   B.A không tồn tại Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 25 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ Nhận xét : ∗ Phép nhân ma trận không có tính giao hoán ∗ Nếu A.B = B.A ta nói tích hai ma trận có tính giao... có cấp n x m Như vậy ma trận Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 14 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN … …  a11 a =  21 … a  m1 Nếu A m x n thì AT x m n a12 a22 a1n  a2 n ÷ ÷ ÷ ÷ … am n  am 2  a11 a =  12 … a  1n a21 … am1  a22 … am 2 ÷ ÷ ÷ a2 n … am n ÷  Ta dễ dàng nhận thấy ( A Toán 2 ) T T CHƯƠNG 2 : MA TRẬN =A Slide 15 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN Cho ma trận A ∈ M n ( K ) Khi đó : ∗ Nếu... laàn (A Toán 2 ) p q , p, q ∈ N = A p q CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 28 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 4 : Cho ma trận A 2 x 2 a 1 = 0 a÷   Tính An với n = 2, 3, … Ta có :  a2 A2 = A A =  0 2a   a 3 3a 2  , A3 = A2 A =  ÷ 2 ÷ 0 a3  a    an An =  Dễ dàng quy nạp được 0 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN n.a n−1  n ÷ a  Slide 29 2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ∗ VD 5 : Cho A 2 x 2  2 −1  = 3 . m T A Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 15 2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m x n m m m n a a a a a a A a a a …    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   11 21 1 12 22 2 1 2 m m T n. dạng sau: xm n 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m x n m m m n a a a a a a A a a a    ÷ …  ÷ = …  ÷  ÷ …   Người ta thường ký hiệu ( ) m x n i j A a= Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 6 b/. Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 1 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA TRẬN Slide 2 Toán 2 CHƯƠNG 2 : MA