Chương 1:Số Phức

Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 1 TOÁN 2 TOÁN 2 Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 2 CHƯƠNG 1: CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 3 i : được gọi là đơn vị ảo với b : được gọi là phần ảo của số phức z , ký hiệu là Ở đây : a : được gọi là phần thực của số phức z , ký hiệu là 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. Dạng đại số của số phức: a/ Định nghĩa: • Dạng đại số của số phức là: i baz += ( ) zRe ( ) zIm 1 2 −=i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 4 Ở đây : Trục Ox : được gọi là trục thực Trục Oy : được gọi là trục ảo Khoảng cách từ gốc toạ độ O tới z được gọi là môđun của số phức z và ký hiệu là hoặc 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: • Tập hợp số phức ta ký hiệu là C C hay còn gọi là mặt phẳng phức. z ( ) zmod x y a b O z Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 5 • được gọi là số phức liên hợp của z 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC:    += += 222 111 i baz i baz 21 zz = i baz −= ( ) ( ) 212121 bbi aazz +++=+ ( ) ( ) 221121 i ba i bazz x x ++= ( ) ( ) 12212121 ba bai bb aa ++−=    = = ⇔ 21 21 bb aa b/ Các phép toán: Cho hai số phức ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 6 Ở đây : Ta nhân tương tự như trong trường hợp số phức với chú ý Dễ nhận thấy thì và 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1 2 −= i i baz += 22 . bazz += ( ) ( ) biabia bia biaz 1 1 −+ − = + =       + −+ + = 2222 ba b i ba a Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 7 ( ĐK: ) 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 0 2 ≠z ∗       + + +       + + = 2 2 2 2 2112 2 2 2 2 2121 ba ba ba i ba bb aa ( ) ( ) ( ) ( ) 2211 2211 22 11 2 1 i ba i ba i ba i ba i ba i ba z z −+ −+ = + + = Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ định nghĩa của các phép toán, ta dễ dàng chứng minh các công thức sau: ( ) ( ) ( ) z a i ba i bazz Re22 ==−++=+ ( ) ( ) ( ) z i i b i ba i bazz Im22 ==−−+=− 2121 zz zz +=+ 2121 zz zz −=− 2121 zz . zz . = 2 1 2 1 z z z z =       ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: i i z + + = 1 31 Nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp ta được i − 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii ii z += + = −+ −+ = 1 2 24 1 1 1 31 VD1: Biểu diễn số phức sau dưới dạng đại số Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 10 là 1 nghiệm của phương trình nên ta phân tích được Giải: a/ Dễ dàng tính được VD2: VD2: Cho a/ Tính b/ Giải phương trình 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: ( ) if ( ) ( ) ( ) iiizzf 2z 2z 2 23 −+++−= ( ) 0=zf ( ) 0=if iz = ( ) ( ) ( ) 022z 2 =+−−= zizzf b/ [...]... 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 27 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 5: 5 2 + 3 i Tính z1998 Cho số phức z = 3− 2 i BÀI 6: 6 Cho số phức z = e i π 3 Tìm dạng lượng giác của số phức z + 1 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 28 PHẦN HƯỚNG DẪN VÀ KẾT QUẢ BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 29 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: 1 a/ −2+i 11 2 z= =− − i 4−3 i 25 25 HD: Nhân tử và mẫu cho số phức. .. i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 24 PHẦN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 25 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 1: Viết số phức sau dưới dạng đại số 1 5 −2+i 1 + i  z= a/ b/ z =   4−3 i 1 − i  BÀI 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác 2 a/ z = −1 b/ z = −2 + 2 i c/ Toán 2 z=− 3−i Chương 1: SỐ PHỨC Slide 26 BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: Tính căn bậc 2 của số phức sau :... Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 12 x 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: • Biểu thức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z Ở đây : chính r = z = a 2 + b 2 là mođun của số phức ϕ z được gọi là acgumen của số phức Ta có : b tgϕ = a , ký hiệu b ⇒ ϕ = arctg a Chú ý : chọn ϕ sao cho b và sin ϕ Toán 2 z arg ( z ) Chương 1: SỐ PHỨC cùng dấu Slide 13 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: VD... tử và mẫu với số phức liên hợp ( 1 + i ) Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 30 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 2: 2 a/ z = − 1 = 1 ( cos π + i sin π ) HD: a = −1 , b = 0 Ta có r = 1 , tg ϕ = 0 Chọn ϕ =π  cos 3 π + i sin 3 π  b/ z = −2 + 2 i = 2 2   4 4   HD: a = −2 , b = 2 3π Ta có r = 2 2 , tgϕ = −1 Chọn ϕ = 4 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 31 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC c/ HD: z=− ... b = −1 Ta có r = 2 , tgϕ = 1 3 7π Chọn ϕ = 6 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 32 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 3: 3  ε0 = 3 − i 8 + 16 i  có 3 giá trị là ε1 = 2 i i−2 ε = − 3 − i  2 HD: z = 3 8 + 16 i = 3 − 8 i = 2 i−2 ⇒ z=2 Toán 2 3 3 −i  − π  + i sin  − π  cos      2  2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 33 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC BÀI 4: 4 a/ z 2 = z z = 0 , z = 1  Phương trình... ± 2 i  HD: Đặt z = a + i b a = a2 − b2 z2 = z ⇒  − b = 2ab Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 34 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC ( 1 + i ) z2 + ( 3 − i ) z − 4 + 6 i = 0 b/ z = 1 − i   z = −2 + 3 i Phương trình này có 2 nghiệm là HD: Δ = 48 − 14 i = ( 7 − i ) Toán 2 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 35 ĐÁP ÁN BÀI TẬP CHƯƠNG 1: SỐ PHỨC c/ 4 z − 24 z + 57 z + 18 z − 45 = 0 4 3 2 z = 3 ± i 6  Phương trình... z2 r2 Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 15 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Từ các phép toán này ta có thể chứng minh được các công thức sau: [ r ( cosϕ + ) ] k = r k ( cos kϕ + i sin kϕ ) ( 1 ) i sin ϕ k ∈Z ∗ Công thức (1) được gọi là công thức Moivre eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ ( 2 ) ∗ Công thức (2) được gọi là công thức Euler Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 16 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: Vậy số phức z = r... =  n Chương 1: SỐ PHỨC Slide 18 3 KHAI CĂN CỦA SỐ PHỨC: Vậy nghiệm của phương trình z = α n là   ϕ + k 2π  + i sin  ϕ + k 2π  (∗) zk = r cos      n   n   ở đây k = 0 , 1 , , n − 1 là ta có đủ nghiệm của phương trình n Vậy phương trình z n = α có đúng n nghiệm cho bởi công thức (*) với k = 0 , 1 , , n − 1 và chúng được gọi là các căn bậc n của số phức α Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide...1 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Nhận xét : Phương trình z 2 − 2 z + 2 = 0 có 2 nghiệm là 1 ± i 2 ở đây ∆' = − 1 = i Kết luận : Phương trình f ( z ) = 0 có 3 nghiệm là z = i , z = 1± i Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 11 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: 2 Dạng lượng giác của số phức: a/ Định nghĩa: Cho số phức z = a + i b , z ≠ 0 Gọi r là khoảng cách từ gốc toạ độ O tới... Chương 1: SỐ PHỨC cùng dấu Slide 13 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: VD : Số phức z = −1 − i Ta có: z = r = ( − 1) + ( − 1) = 2 2 2 −1 tgϕ = =1 ⇒ ϕ = π −1 4 5π Ta chọn ϕ = 4 Vậy Toán 2 5π hoặc ϕ = 4  cos 5π + i sin 5π  z = −1 − i = 2   4 4   Chương 1: SỐ PHỨC Slide 14 2 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: b/ Các phép toán: Cho hai số phức z1 = r1 ( cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) z2 = r2 ( cos ϕ2 + i sin ϕ 2 ) r1 = . ∈    += = ⇔= 2 21 21 21 ϕϕ ( ) ( ) [ ] 212 1 212 1 sincos ϕϕϕϕ +++= i rrz z . x ( ) ( ) [ ] 212 1 2 1 2 1 sincos ϕϕϕϕ −+−= i r r z z 0 2 ≠z b/ Các phép toán: Cho hai số phức ∗ ∗ ∗ , Toán 2 Chương 1: SỐ. bazz Im22 ==−−+=− 212 1 zz zz +=+ 212 1 zz zz −=− 212 1 zz . zz . = 2 1 2 1 z z z z =       ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 9 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA. ba bb aa ( ) ( ) ( ) ( ) 2 211 2 211 22 11 2 1 i ba i ba i ba i ba i ba i ba z z −+ −+ = + + = Toán 2 Chương 1: SỐ PHỨC Slide 8 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 1. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: Từ