BÀI tập NHIỆT học hay và khó

Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống.. Hiệu ỏp lực hai phần khớ lờn pittụng bằng trọng lượng Mg

Trang 1

BÀI TẬP NHIỆT HỌC

Bài 1: Một áp kế đo chênh thủy ngân, nối với một bình đựng nước.

Bài 2. Một áp kế vi sai gồm một ống chữ U đường kính d = 5mm nối hai bình có đường kính D =

50mm với nhau Máy đựng đầy hai chất lỏng không trộn lẫn với nhau, có trọng lượng riêng gần bằng

Trang 2

NGUYỄN VĂN TRUNG : 0915192169

với vị trí O

Theo tính chất mặt đẳng áp ta có :

Ta thấy thể tích bình 1 giảm một lượng :

Thể tích trong ống dâng lên một lượng :

Ta được :

Ta có :

Bài 3. Một bình hở có đường kính d = 500 mm, đựng nước

quay quanh một trục thẳng đứng với số vòng quay không

nước trên trục bình cách đáy Z0 = 500mm

Phương trình vi phân mặt đẳng áp :

Thay vào phương trình vi phân ta được :

Trang 3

Tích phân :

Vậy phương trình mặt đẳng áp là :

Đối với mặt tự do cách đáy Z 0 = 500mm

Tại mặt tự do của chất lỏng thì : x = y = 0 và z = z0 thay vào (*)

b)Xác định áp suất tại điểm trên thành bình cách đáy 1 khoảng a = 100mm :

Phương trình phân bố áp suất :

Điểm trên thành bình cách đáy 100mm có :

Áp suất tại điểm này sẽ là :

Bài 4: Một mol khí lí tưởng thực hiện quá trình giãn nở từ trạng

thái 1 (P0, V0) đến trạng thái 2 (P0/2, 2V0) có đồ thị trên hệ toạ độ

P-V như hình vẽ Biểu diễn quá trình ấy trên hệ toạ độ P-T và xác

định nhiệt độ cực đại của khối khí trong quá trình đó

Trang 4

2T0 P0

Hỡnh 1

- Mặt khỏc, phương trỡnh trạng thỏi của 1 mol khớ : (***)

cho nờn khi thỡ nhiệt độ chất khớ là T = Tmax =

- Đồ thị biểu diễn quỏ trỡnh đú trờn hệ toạ độ T-P là một trong hai đồ thị dưới đõy :

Bài 5. Một mol khớ lớ tưởng thực hiện chu trỡnh 1-2-3-1 Trong đú, quỏ trỡnh 1 - 2 được biểu diễn bởi

phương trỡnh T = T1(2- bV)bV (với b là một hằng số dương và thể tích V2>V1) Qỳa trỡnh 2 - 3 có ápsuất không đổi Qỳa trỡnh 3 - 1 biểu diễn bởi phương trỡnh : T= T1b2V2 Biết nhiệt độ ở trạng thỏi 1 và 2là: T1 và 0,75T1 Hóy tớnh cụng mà khối khớ thực hiện trong chu trỡnh đú theo T1

Giải:

+ Để tớnh cụng mà khối khớ thực hiện , ta vẽ đồ thị biểu diễn chu trỡnh biến

đổi trạng thỏi của chất khớ trong hệ tọa độ hệ tọa độ (PV)

+ Quỏ trỡnh biến đổi từ 1-2: Từ T=PV/R và T = T1(2- bV)bV

+Thay T2= 0,75T1 vào phương trỡnh

T = T1(2- bV)bV => V2= 3/2b=1,5V1 và V2=0,5V1(vỡ V2 > V1 nờn loại nghiệm V2 = 0,5V1)

+ Thay V2 = 1,5/b vào P= -Rb2T1V + 2RbT1

T

P

P / 20 3 P / 40 P0 3 P / 200

1 2

9 V P / 8 R

V P / R

0 0

Trang 5

Hình 2

+Ta có công A = 0,5(P1 - P2 ).(V2-V3) = 0,25RT1

Bài 6: Một bình có thể tích V chứa một mol khí lí tưởng và có một

cái van bảo hiểm là một xilanh (có kích thước rất nhỏ so với bình)

trong đó có một pít tông diện tích S, giữ bằng lò xo có độ cứng k

(hình 2) Khi nhiệt độ của khí là T1 thì píttông ở cách lỗ thoát khí

một đoạn là L Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T2 thì khí thoát ra

ngoài Tính T2?

Giải

Kí hiệu P1 và P2 là các áp suất ứng với nhiệt độ T1và T2; ∆llà độ co ban đầu của lò xo, áp dụng điều

kiện cân bằng của piston ta luôn có:

S

p

l

k.∆ = 1 ; k.(∆l+L)= p2S => k.L=(p2−p1)S; (1) ;

Vì thể tích của xilanh không đáng kể so với thể tích V của bình nên có thể

coi thể tích của khối khí không đổi và bằng V

áp dụng phương trình trạng thái ta luôn có:

; => ;

=> ;

=> 2 1 V (T2 T1)

R P

T T V

R P P

)(

1 2

1 2 1

2

kLV T

T2 = 1 +

Bài 7: Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện một chu trình 1 – 2 – 3 – 4 – 1được biểu diễn trên giản đồ P-T như hình 1 Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.

trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị bằng số và chiều biến đổi của chu trình)

3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình

1

RT m V

P

=µ

Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta được:

Trang 6

300 600 150

3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:

Trang 7

c) Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích: V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3.

Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:

a Xác định các thông số (P, V, T) chưa biết của từng trạng thái

b Vẽ đồ thị mô tả quá trình biến đổi của khối khí trên trong hệ OPV

+ Tìm : Từ TT1 sang TT2 biến đổi đẳng nhiệt, ta sử dụng định luật Bôi -lơ – Ma-ri-ốt

+ Tìm : Từ TT2 sang TT3 biến đổi đẳng áp, ta áp dụng định luật Gay-luy-xắc

+ Vẽ đồ thị trong hệ OPV

- Nối điểm (1) và (2) bằng đường hyperbol

- Nối điểm (2) và (3) là đường thẳng vuông góc với OP

Trang 8

Bài 9 Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau bằng một

ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp một van K Lúc

đầu K đóng Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M, chứa một

ượng khí lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T0

Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí Phần

trên của pit-tông trong hai xi lanh là chân không Sau đó van K được mở

để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2 Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi

đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí;

ma sát giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ

Giải

chưa mở H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng Áp dụngnguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có:

Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2:

Vậy:

Hay:

Trang 9

Bài 10 Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần nhờ một pit-tông mỏng dẫn nhiệt.

Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một lò xo nhẹ Ở hai bên của pit-tông đều có ν molkhí lí tưởng đơn nguyên tử Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của lò xo lúc chưa dãn là ℓ/2 Ở trạngthái ban đầu lò xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt độ của khí trong hai phần của xi lanh là T Sau đó,người ta đục một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh

ΔT sau khi khí trong xi lanh đã cân bằng Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, lò xo và masát giữa pit-tông và xi lanh

Giải:

Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của lò so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây ra bởi độ chênh lệch

về áp suất ở hai bên của pit-tông

Bài 11. Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có nhốt 1 mol

khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai pittông cách nhiệt có

khối lượng bằng nhau và bằng M có thể chuyển động không ma sát trong

xilanh (Hình 4) Lúc đầu hai pittông đứng yên, nhiệt độ của khí trong

xilanh là To Truyền cho hai pittông các vận tốc v1, v2 cùng chiều (v1=3vo,

v2=vo) Tìm nhiệt độ cực đại mà khí trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không

Giải:

- Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang là lực đẩy F1 ngược chiều v1 nênpittông (1) chuyển động chậm dần đều

- Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F2 cùng chiều v2 nên pittông (2) chuyển động nhanh dần đều

- Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí nhốt trong xi lanh

chuyển động theo

- Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc của pittông (1) đối

với pittông (2) là:

dừng lại lúc to, sau đó t>to thì pittông (1) chuyển động xa dần với pittông (2) và khí lại giãn nở

- Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc t<to: khí bị nén, G chuyển động về phía pittông (2)

Trang 10

2T0 P0

Hình 1

- Lúc t>to: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2) Vậy ở nhiệt độ to thì vG=0 → cả hai pittôngcùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v

- Định luật bảo toàn động lượng ta có:

Bài 12. Có 1 g khí Heli (coi là khí lý tưởng đơn nguyên tử) thực hiện

Cho P0 = 105Pa; T0 = 300K

1) Tìm thể tích của khí ở trạng thái 4.

trình này trên giản đồ P-V và trên giản đồ V-T (cần ghi rõ giá trị

bằng số và chiều biến đổi của chu trình)

3) Tính công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn của chu trình

Giải:

a) Quá trình 1 – 4 có P tỷ lệ thuận với T nên là quá trình đẳng

tích, vậy thể tích ở trạng thái 1 và 4 là bằng nhau: V1 = V4 Sử dụng phương trình C-M ở trạng thái 1 ta có:

Thay số: m = 1g; µ = 4g/mol; R = 8,31 J/(mol.K); T1 = 300K và P1 = 2.105 Pa ta được:

b) Từ hình vẽ ta xác định được chu trình này gồm các đẳng quá trình sau:

1 – 2 là đẳng áp; 2 – 3 là đẳng nhiệt;

3 – 4 là đẳng áp; 4 – 1 là đẳng tích

Vì thế có thể vẽ lại chu trình này trên giản đồ P-V (hình a) và trên giản đồ V-T (hình b) như sau:

Trang 11

300 600 150

c) Để tính công, trước hết sử dụng phương trình trạng thái ta tính được các thể tích:

V2 = 2V1 = 6,24.10 – 3 m3; V3 = 2V2 = 12,48.10 – 3 m3

Công mà khí thực hiện trong từng giai đoạn:

vì đây là quá trình đẳng áp

Bài 13. Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một pittông nặng cách

nhiệt Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng Ban đầu khi nhiệt độ khí của hai phầnnhư nhau thì thể tích phần khí ở trên pittông gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần dưới pittông Hỏi nếunhiệt độ của khí ở phần trên pittông được giữ không đổi thì cần phải tăng nhiệt độ khí ở phần dưới

Trang 12

V1’, P1’

V2’, P2’

V1, P1

V2, P2

pittụng lờn bao nhiờu lần để thể tớch khớ ở phần dưới pittụng sẽ gấp n = 2 lần thể tớch khớ ở phần trờnpittụng ? Bỏ qua ma sỏt giữa pittụng và xylanh

Giải:

Lượng khớ ở 2 phần xylanh là như nhau nờn:

2

' 2

' 2 1

' 1

' 1 1

2 2 1

1

T

VPT

ta dựa vào cỏc nhận xột sau:

1. Hiệu ỏp lực hai phần khớ lờn pittụng bằng trọng lượng Mg của pittụng:

' 1

V

V.P

Thay vào (3) ta được:

Bài 14: Một lợng khí lý tởng ở 270C đợc biến đổi qua 2 giai đoạn: Nén đẳng nhiệt đến áp suất gấp đôi,sau đó cho giãn nở đẳng áp về thể tích ban đầu

1 Biểu diễn quá trình trong hệ toạ độ p-V và V-T

2 Tìm nhiệt độ cuối cùng của khí

Giải:

1)Theo bài ra ta vẽ đợc đồ thị nh 2 hình dới đây

2)Từ (1) đến (2) là quá trình đẳng nhiệt nên ta có:

p1V1=p2V2 Với p1=p2

Trang 14

Bài 15: Bơm pittông ở mỗi lần bơm chiếm một thể tích khí xác định Khi hút khí ra khỏi bình nó thực

bơm khí từ khí quyển vào bình và cũng thực hiện 4 lần bơm Khi đó, áp suất trong bình lớn gấp đôi áp

suất khí quyển Tìm hệ thức giữa thể tích làm việc của bơm và thể tích bình

Giải:

Khi hút khí trong bình sau lần bơm đầu tiên áp suất trong bình trở thành P1

Với V là thể tích của bình, V0 là thể tích làm việc của bơm pittông

Vậy sau 4 lần bơm áp suất trong bình là:

Khi bơm khí vào trong bình sau 4 lần bơm trong bình thiết lập một áp suất bằng P

Trang 15

Ta cú phương trỡnh:

Dựng đồ thị của cỏc hàm: y = 2 - 4x và y = như hỡnh vẽ

Từ giao điểm của hai đồ thị ta tỡm được x ≈ 0,44 nghĩa là:

Baứi 16 Trên giản đồ pV đối với một khối lợng khí lý tởng nào đó, gồm hai quá trình đẳng nhiệt cắt haiquá trình đẳng áp tại các điểm 1, 2, 3, 4 (xem hình vẽ) Hãy xác định tỷ số

nhiệt độ T3/T1 của chất khí tại các trạng thái 3 và 1, nếu biết tỷ số thể tích

V3/V1 = α Cho thể tích khí tại các trạng thái 2 và 4 bằng nhau.

Giải:

Xét hai đoạn đẳng áp với phơng trình có dạng T/V = const Nghĩa là ta có:

Nhng do T2 = T3; T1 = T4 (do quá trình 2-3 và 4-1 là đẳng nhiệt) và V2 =V4

(theo giả thiết), ta có:

(2)

Nhân hai phơng trình trên với nhau, ta đợc:

Từ đó suy ra:

Baứi 17: Trên hình vẽ cho chu trình thực hiện bởi n mol khí lý tởng, gồm

một quá trình đẳng áp và hai quá trình có áp suất p phụ thuộc tuyến tính

vào thể tích V Trong quá trình đẳng áp 1-2, khí thực hiện một công A và

nhiệt độ của nó tăng 4 lần Nhiệt độ tại 1 và 3 bằng nhau Các điểm 2 và 3

nằm trên đờng thẳng đi qua gốc toạ độ Hãy xác định nhiệt độ khí tại

điểm 1 và công mà khối khí thực hiện trong chu trình trên

Trang 16

Baứi 15: Một mol khí hêli thực hiện một chu trình nh hình vẽ gồm các quá

trình: đoạn nhiệt 1-2, đẳng áp 2-3 và đẳng tích 3-1 Trong quá trình đoạn

nhiệt hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí là ∆T Biết rằng trong quá

trình đẳng áp, khí toả ra một nhiệt lợng bằng Q Hãy xác định công A do

khối khí thực hiện trong chu trình trên

Giải:

Trong quá trình đoạn nhiệt 1-2, T1 là nhiệt độ cực đại, T2 là nhiệt độ cực

tiểu, bởi vậy có thể viết:

Trong quá trình đẳng áp 2-3, áp dụng nguyên lý I nhiệt động lực học, ta

có:

(1)với CV = 3R/2 Từ (1) và các phơng trình trạng thái của các trạng thái 2 và 3, ta có:

Trên đoạn đẳng tích 3-1, khí không thực hiện công, còn độ tăng nội năng của khí là do nhiệt lợng mà khí nhận đợc:

Baứi 18: Một khối khí hêli ở trong một xilanh có pittông di chuyển đợc Ngời ta đốt nóng khối khí nàytrong điều kiện áp suất không đổi, đa khí từ trạng thái 1 tới trạng thái 2 Công mà khí thực hiện trongquá trình này là A1-2 Sau đó, khí bị nén theo quá trình 2-3, trong đó áp

suất p tỷ lệ thuận với thể tích V Đồng thời khối khí nhận một công là A2-3

(A2-3 > 0) Cuối cùng khi đợc nén đoạn nhiệt về trạng thái ban đầu Hãy

xác định công A31 mà khí thực hiện trong quá trình này

Trang 17

Thay biểu thức trên vào (3), ta đợc:

Baứi 19: Cho một máy nhiệt hoạt động theo chu trình gồm các quá trình:

đẳng nhiệt 1-2, đẳng tích 2-3 và đoạn nhiệt 3-1 (xem hình vẽ) Hiệu suất

của máy nhiệt này là η và hiệu nhiệt độ cực đại và cực tiểu của khí trong

chu trình bằng ∆T Biết rằng chất công tác trong máy nhiệt này là n mol

khí lý tởng đơn nguyên tử Hãy xác định công mà khối khí đó thực hiện

trong quá trình đẳng nhiệt

Giải:

Trong đề bài đã cho hiệu suất của chu trình, nên trớc hết ta phải tìm hiểu

xem quá trình nào là nhận nhiệt và quá trình nào toả nhiệt Trong quá

trình đẳng nhiệt 1-2, khí thực hiện công A (thể tích tăng), và vì nội năng không đổi, nên quá trình nàytoả nhiệt lợng mà ta ký hiệu là Q1 (Q1=A) Trong quá trình đẳng tích 2-3, khi thể tích không đổi, áp suấtgiảm Điều này xảy ra là do nhiệt độ khí giảm và trong trờng hợp đó khí toả một nhiệt lợng là Q2 Trongquá trình đoạn nhiệt 3-1, khí không nhận cũng không toả nhiệt và do thể tích giảm nên khí nhận công

và nhiệt độ của nó tăng Do đó, tại 3 khí có nhiệt độ nhỏ nhất là Tmim, còn nhiệt độ lớn nhất Tmax củakhối khí đạt đợc ở quá trình đẳng nhiệt 1-2 Do đó:

Theo định nghĩa, hiệu suất của chu trình bằng:

Mà nh trên đã nói Q1 = A Mặt khác, trong quá trình 2-3, nhiệt lợng toả ra đúng bằng độ tăng nội năng:

Thay Q1 và Q2 vào công thức tính hiệu suất, ta đợc:

Suy ra:

Baứi 20: Cho hiệu suất của chu trình 1-2-4-1 bằng η1 và của chu trình 2-3-4-2 bằng η2 (xem hình vẽ) Hãy xác định hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1, biết rằng các quá trình 4-

1, 2-3 là đẳng tích, quá trình 3-4 là đẳng áp, còn trong các quá trình 1-2;

2-4 áp suất p phụ thuộc tuyến tính vào thể tích V Các qúa trình nói trên

đều đợc thực hiện theo chiều kim đồng hồ Biết rằng chất công tác ở đây

là khí lý tởng

Giải:

Xét chu trình 1-2-4-1 Trong quá trình 1-2, khí nhận một nhiệt lợng mà ta

ký hiệu là Q1 Trong quá trinh 2-4, khí toả một nhiệt lợng là Q2 Trong quá

Trang 18

trình đẳng tích 4-1, khí nhận một nhiệt lợng là Q3 Công do khí thực hiện trong cả chu trình là A1 Theo

định nghĩa hiệu suất:

Xét chu trình 2-3-4-2, trong các quá trình 2-3 và 3-4, khí đều toả nhiệt Khí chỉ nhận nhiệt trong quá

trong đó A2 là công do khí thực hiện trong chu trình này Dùng biểu thức của Q2 nhận đợc ở trên ta có thể viết:

Hiệu suất của chu trình 1-2-3-4-1 bằng:

Bài 21 . Cho một ống tiết diện S nằm ngang được ngăn với bờn

ngoài bằng 2 pittụng Pittụng thứ nhất được nối với lũ xo như hỡnh

vẽ Ban đầu lũ xo khụng biến dạng, ỏp suất khớ giữa 2 pittụng bằng

ỏp suất bờn ngoài p0 Khoảng cỏch giữa hai pittụng là H và bằng

chiều dài hỡnh trụ Tỏc dụng lờn pittụng thứ 2 một lực F để nú

chuyển động từ từ sang bờn phải Tớnh F khi pittụn thứ 2 dừng lại ở biờn phải của ống trụ

Giải:

Điều kiện cõn bằng : Piston trỏi : p0S – pS – kx = 0 (1)

x độ dịch chuyển của piston trỏi, p ỏp suất khớ giữa hai piston.

Bài 22. Một lượng khớ biến đổi theo chu trỡnh được biểu

diễn trờn đồ thị hỡnh bờn Biết :

Định dạng
Số trang	28
Dung lượng	877,62 KB