Chương 0 Ôn Tập Kinh tế lượng (Econometric) : Lượng hóa các vấn đề về kinh tế 1. Đạo hàm (tỷ lệ sự thay đổi) Xét hàm số Y f X (Y : Lãi suất; X : Lạm phát) Y : là biến phụ thuộc (biến được giải thích) X : Biến độc lập (biến giải thích) Ví dụ : Thu nhập (X) - Chi tiêu (Y) Lạm phát (X) - Lãi suất (Y) Sự thay đổi của biến Y được giải thích về sự thay đổi của X 2. Đạo hàm tại điểm x a f a h f a f x f a y h x a x cho x a y : Sự thay đổi của y x : Sự thay đổi của x Tỷ lệ sự thay đổi của y theo x : / / y y f a x : tỷ lệ sự thay đổi của y theo x xung quanh điểm a Ví dụ : Y f X (X: lạm phát, Y: lãi suất) Giả sử / x 5%; y 7%; f 5 1.2 3. Đạo hàm riêng Xét z f x, y z : là biến phụ thuộc (biến được giải thích) x, y : Biến độc lập (biến giải thích) 3.1. Đạo hàm riêng theo biến x h 0 f x h, y f x, y f x, y lim x h x, y 0 3.2. Đạo hàm riêng theo biến y k 0 f x, y k f x, y f x, y lim y k x 0, y Ví dụ : f f f 3, 2 7; 3, 2 0.4; 3, 2 0.1 x y Ví dụ : 3 2 3 f(x, y) x 3xy 3y 2x 3y 1 2 2 2 f f (x, y) 3x 3y 2 x f f(x,y) 6xy 9y 3 y Xét một mẫu sau 1 1 2 2 n n x , y , x , y , , x , y 4. Điều kiện cần của cực trị Xét : z f x, y Hàm z f x, y đạt cực trị tại 0 0 0 0 x , y f x , y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x , y 0 f f x x , y , x , y 0 f x y x , y 0 y 0 0 x , y : gọi là điểm dừng 5. Điều kiện đủ của cực trị Xét 0 0 x , y Đặt 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 f f f A x , y ; C x , y ; B x , y ; AC B x y x y i) Trường hợp 1: 0 và A 0 hay C 0 thì 0 0 x , y là cực tiểu ii) Trường hợp 2: 0 và A 0 hay C 0 thì 0 0 x , y là cực đại iii) Trường hợp 3: 0 : 0 0 x , y là điểm yên ngựa iv) Trường hợp 4: 0 : chưa có cơ sở kết luận. Ví dụ : xét mẫu 1 1 2 2 n n X , Y ; X , Y ; ; X , Y Phương pháp bình phương cực tiểu (OLS : ordinary least squares) Tổng bình phương các sai lệch (RSS : Residual sum of squares) n n 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n i i i i 1 i 1 RSS e e e e Y X Bài toán : Tìm 1 2 , sao cho min RSS n 1 2 1 2 i i i 1 1 RSS , 2 Y X ( 1) 0 n 1 2 1 2 i i i i 1 2 RSS , 2 Y X ( X ) 0 Suy ra n n 1 2 i i i 1 i 1 n n n 2 1 2 i i i i i 1 i 1 i 1 n X Y X X X Y Hệ Cramer n i n n 2i 1 i i n n i 1 i 1 2 i i i 1 i 1 n X n X X 0 X X n n 1 2 i i i 1 i 1 1 1 1 X Y n n 1 2 1 2 X Y Y X n i i 1 n n n n n i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 2 n n n 2 i i i i 1 i 1 i 1 n n 2 i i i 1 i 1 n Y n X Y X Y X X Y n X n X X X X (1) (2) Ví dụ: X 1 2 3 4 5 Y 2 5 7 8 9 6. Phân phối xác suất 6.1. Phân phối nhị thức (Độc lập, có hoàn lại) X B n; p , X 0,1, 2, , n n k k k n P X k C p 1 p 6.2. Phân phối siêu bội (Không độc lập, không hoàn lại) X H N, K, n k n k n N K n N C C P X k C Siêu bội n N Nhị thức, K H N, K, n B n; N 6.3. Phân phối chuẩn 2 X N , 2 2 2 x tb b 2 2 a a 1 1 P a X b e dx e dt 2 2 Đặt x t Nếu 2 X N , , đặt X Y thì Y N 0,1 a X b a b P a X b P P Y Bài toán cho Y N 0,1 , Tìm 2 t 2 1 P Y e dt 2 2 2 t t 0 2 2 0 1 1 e dt e dt 2 2 Trong đó 2 t x 2 0 1 x e dt 2 Laplace Lấy x 0.00, 0.01, , 3.99 suy ra bảng phân phối Gauss Ví dụ : 1.26 0.3962 Với 2 t 0 2 x 1 x 0, x e dt 2 Nếu x 0, x x Ví dụ: 6.4. Phân phối Student St(n) a) Một số kết quả i) Nếu X N 0,1 thì 2 2 X 1 ii) Nếu X, Y độc lập, 2 2 X n ; Y m thì 2 X Y n m iii) Cho 2 1 2 n X , X , , X N , và độc lập n X i i 1 1 X X n n 2 2 X i X i 1 1 S X n 1 (Phương sai có hiệu chỉnh) n 2 2 X i X i 1 1 S X n (Phương sai không hiệu chỉnh) b) Định nghĩa phân phối Student Nếu 2 X N 0,1 ; Y n và X, Y độc lập thì X T St(n) Y n c) Định lý Lindeberg – levy Cho 2 1 2 n X , X , , X N , i) 2 X N , n ii) 2 2 X 2 (n 1)S n 1 Trong đó 2 X X, S lần lượt trung bình và phương sai mẫu có hiệu chỉnh Chú ý : 2 X n X N , Y N 0,1 n 2 2 X 2 (n 1)S Z n 1 X X n Y T St(n 1) S Z n 1 6.5. Phân phối Fisher Nếu 2 2 X n , Y (m) và X, Y độc lập thì X n F F n, m Y m 7. Tìm khoảng tin cậy Gọi a, b là khoảng tin cậy (KTC) với độ tin cậy Định nghĩa: P a X b 0.9, 0.95, 0.99 Nguy cơ sai lầm 1 7.1. X N(0,1) Chọn KTC cho X là C, C sao cho P C X C C 2 Ký hiệu: 2 C Z 7.2. 2 X N( , ) . Đặt X Y thì Y N(0,1) Chọn KTC cho Y là C, C sao cho P C Y C Khoảng tin cậy cho X: X C ; C 7.3. T St(n) Chọn KTC là cho T là C, C sao cho P C T C Với n C t Chú ý : khi n 30 thì St(n) N(0,1) 7.4. F F(n, m) Chọn KTC cho F là 0, C sao cho P 0 F C Với C f (n,m) 7.5. 2 X (n) Chọn KTC cho X - Dạng a, b sao cho P a X b Với 2 2 1 2 2 a (n); b (n) - Dạng 0, C sao cho P 0 X C Với 2 C (n) . tại 0 0 0 0 x , y f x , y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x , y 0 f f x x , y , x , y 0 f x y x , y 0 y 0 0 x , y :. 0 0 x , y Đặt 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 f f f A x , y ; C x , y ; B x , y ; AC B x y x y i) Trường hợp 1: 0 và A 0 hay C 0 thì 0 0 x. tiểu ii) Trường hợp 2: 0 và A 0 hay C 0 thì 0 0 x , y là cực đại iii) Trường hợp 3: 0 : 0 0 x , y là điểm yên ngựa iv) Trường hợp 4: 0 : chưa có cơ sở kết