Ôn Tập Kinh Tế Lượng

Chương 0 Ôn Tập Kinh tế lượng (Econometric) : Lượng hóa các vấn đề về kinh tế 1. Đạo hàm (tỷ lệ sự thay đổi) Xét hàm số   Y f X  (Y : Lãi suất; X : Lạm phát) Y : là biến phụ thuộc (biến được giải thích) X : Biến độc lập (biến giải thích) Ví dụ : Thu nhập (X) - Chi tiêu (Y) Lạm phát (X) - Lãi suất (Y) Sự thay đổi của biến Y được giải thích về sự thay đổi của X 2. Đạo hàm tại điểm x a          f a h f a f x f a y h x a x         cho x a  y  : Sự thay đổi của y x  : Sự thay đổi của x Tỷ lệ sự thay đổi của y theo x :   / / y y f a x     : tỷ lệ sự thay đổi của y theo x xung quanh điểm a Ví dụ :   Y f X  (X: lạm phát, Y: lãi suất) Giả sử   / x 5%; y 7%; f 5 1.2    3. Đạo hàm riêng Xét   z f x, y  z : là biến phụ thuộc (biến được giải thích) x, y : Biến độc lập (biến giải thích) 3.1. Đạo hàm riêng theo biến x       h 0 f x h, y f x, y f x, y lim x h                 x, y 0    3.2. Đạo hàm riêng theo biến y       k 0 f x, y k f x, y f x, y lim y k                 x 0, y    Ví dụ :       f f f 3, 2 7; 3, 2 0.4; 3, 2 0.1 x y        Ví dụ : 3 2 3 f(x, y) x 3xy 3y 2x 3y 1       2 2 2 f f (x, y) 3x 3y 2 x f f(x,y) 6xy 9y 3 y           Xét một mẫu sau       1 1 2 2 n n x , y , x , y , , x , y 4. Điều kiện cần của cực trị Xét :   z f x, y  Hàm   z f x, y  đạt cực trị tại     0 0 0 0 x , y f x , y 0            0 0 0 0 0 0 0 0 f x , y 0 f f x x , y , x , y 0 f x y x , y 0 y                           0 0 x , y : gọi là điểm dừng 5. Điều kiện đủ của cực trị Xét   0 0 x , y Đặt       2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 f f f A x , y ; C x , y ; B x , y ; AC B x y x y              i) Trường hợp 1: 0   và A 0  hay C 0  thì   0 0 x , y là cực tiểu ii) Trường hợp 2: 0   và A 0  hay C 0  thì   0 0 x , y là cực đại iii) Trường hợp 3: 0   :   0 0 x , y là điểm yên ngựa iv) Trường hợp 4: 0   : chưa có cơ sở kết luận. Ví dụ : xét mẫu       1 1 2 2 n n X , Y ; X , Y ; ; X , Y Phương pháp bình phương cực tiểu (OLS : ordinary least squares) Tổng bình phương các sai lệch (RSS : Residual sum of squares)     n n 2 2 2 2 2 1 2 1 2 n i i i i 1 i 1 RSS e e e e Y X               Bài toán : Tìm     1 2 ,   sao cho min RSS          n 1 2 1 2 i i i 1 1 RSS , 2 Y X ( 1) 0                       n 1 2 1 2 i i i i 1 2 RSS , 2 Y X ( X ) 0              Suy ra     n n 1 2 i i i 1 i 1 n n n 2 1 2 i i i i i 1 i 1 i 1 n X Y X X X Y                          Hệ Cramer n i n n 2i 1 i i n n i 1 i 1 2 i i i 1 i 1 n X n X X 0 X X                        n n 1 2 i i i 1 i 1 1 1 1 X Y n n                    1 2 1 2 X Y Y X            n i i 1 n n n n n i i i i i i i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 2 n n n 2 i i i i 1 i 1 i 1 n n 2 i i i 1 i 1 n Y n X Y X Y X X Y n X n X X X X                                              (1) (2) Ví dụ: X 1 2 3 4 5 Y 2 5 7 8 9 6. Phân phối xác suất 6.1. Phân phối nhị thức (Độc lập, có hoàn lại)   X B n; p , X 0,1, 2, , n      n k k k n P X k C p 1 p     6.2. Phân phối siêu bội (Không độc lập, không hoàn lại)   X H N, K, n    k n k n N K n N C C P X k C     Siêu bội n N  Nhị thức,   K H N, K, n B n; N        6.3. Phân phối chuẩn   2 X N ,        2 2 2 x tb b 2 2 a a 1 1 P a X b e dx e dt 2 2                  Đặt x t     Nếu   2 X N ,    , đặt X Y     thì   Y N 0,1    a X b a b P a X b P P Y                                    Bài toán cho   Y N 0,1  ,    Tìm   2 t 2 1 P Y e dt 2              2 2 t t 0 2 2 0 1 1 e dt e dt 2 2                Trong đó   2 t x 2 0 1 x e dt 2      Laplace Lấy x 0.00, 0.01, , 3.99  suy ra bảng phân phối Gauss Ví dụ :   1.26 0.3962   Với   2 t 0 2 x 1 x 0, x e dt 2          Nếu     x 0, x x      Ví dụ: 6.4. Phân phối Student St(n) a) Một số kết quả i) Nếu   X N 0,1  thì   2 2 X 1  ii) Nếu X, Y độc lập,     2 2 X n ; Y m    thì   2 X Y n m    iii) Cho   2 1 2 n X , X , , X N ,    và độc lập n X i i 1 1 X X n        n 2 2 X i X i 1 1 S X n 1       (Phương sai có hiệu chỉnh)   n 2 2 X i X i 1 1 S X n      (Phương sai không hiệu chỉnh) b) Định nghĩa phân phối Student Nếu     2 X N 0,1 ; Y n   và X, Y độc lập thì X T St(n) Y n   c) Định lý Lindeberg – levy Cho   2 1 2 n X , X , , X N ,    i) 2 X N , n            ii)   2 2 X 2 (n 1)S n 1      Trong đó 2 X X, S lần lượt trung bình và phương sai mẫu có hiệu chỉnh Chú ý :     2 X n X N , Y N 0,1 n                    2 2 X 2 (n 1)S Z n 1         X X n Y T St(n 1) S Z n 1        6.5. Phân phối Fisher Nếu   2 2 X n , Y (m)    và X, Y độc lập thì   X n F F n, m Y m   7. Tìm khoảng tin cậy Gọi a, b     là khoảng tin cậy (KTC) với độ tin cậy  Định nghĩa:   P a X b 0.9, 0.95, 0.99      Nguy cơ sai lầm 1     7.1. X N(0,1)  Chọn KTC cho X là C, C      sao cho     P C X C C 2          Ký hiệu: 2 C Z   7.2. 2 X N( , )    . Đặt X Y     thì Y N(0,1)  Chọn KTC cho Y là C, C      sao cho   P C Y C      Khoảng tin cậy cho X: X C ; C            7.3. T St(n)  Chọn KTC là cho T là C, C      sao cho   P C T C      Với n C t   Chú ý : khi n 30  thì St(n) N(0,1)  7.4. F F(n, m)  Chọn KTC cho F là 0, C     sao cho   P 0 F C     Với C f (n,m)   7.5. 2 X (n)   Chọn KTC cho X - Dạng a, b     sao cho   P a X b     Với 2 2 1 2 2 a (n); b (n)        - Dạng 0, C     sao cho   P 0 X C     Với 2 C (n)    . tại     0 0 0 0 x , y f x , y 0            0 0 0 0 0 0 0 0 f x , y 0 f f x x , y , x , y 0 f x y x , y 0 y                           0 0 x , y :.   0 0 x , y Đặt       2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 f f f A x , y ; C x , y ; B x , y ; AC B x y x y              i) Trường hợp 1: 0   và A 0  hay C 0  thì   0 0 x. tiểu ii) Trường hợp 2: 0   và A 0  hay C 0  thì   0 0 x , y là cực đại iii) Trường hợp 3: 0   :   0 0 x , y là điểm yên ngựa iv) Trường hợp 4: 0   : chưa có cơ sở kết