biểu diễn thành một đám mây dữ liệu, nằm gọn trong không gian hai chiều dùng đồ thị phẳng, với hai trục, thì việc tăng số biến giải thích lên hơn 2 biến sẽ không làm giảm 2 R.. Nhưng nếu
Trang 1ÔN TẬP KINH TẾ LƯỢNG
1 Phương pháp ước lượng bình phương cực tiểu LS, là chọn các tham số ước lượng k,k 1,2, ,K
^
sao cho làm cực đại độ phù hợp 2
R Hơn nữa, điều đó đòi hỏi điều kiện rằng :
2
) (y y
n là bất biến với mọi sự lựa chọn tham số ước lượng
Giải thích:
TSS
ESS
R2 1 , phương pháp LS là chọn k,k 1,2, ,K
^
sao cho cực tiểu ESS Và TSS không đổi với mọi lựa chọn Nên Cực tiểu ESS đồng nghĩa với cực đại 2
R
2 Nhắc lại là hồi quy LS có thể được viết dưới dạng sau: ˆk k c nk n,k 1,2, ,K Việc
chứng minh ước lượng này là không chệch: Eˆk k,k 1,2 ,K , đòi hỏi giả thuyết rằng
n có phân bố chuẩn
Giải thích:
) (
ˆ
n nk k
E Vì vậy, chỉ cần điều kiện: E n 0,với mọi n là đủ
3 Nhắc lại rằng,
kk k S Var
2
^
) ( Trong đó, S là phương sai mẫu của biến kk X Điều này hàm ý k
rằng, việc lấy mẫu từ tổng thể càng đa dạng, thì hiệu quả ước lượng càng tăng Hay cũng vậy, việc lấy mẫu càng tương tự nhau, thì độ chính xác của ước lượng càng giảm
Giải thích:
Vì
kk k
S Var
2
^
)
( , nên khi S kk tăng thì sai số ước lượng giảm, hay hiệu quả ước lượng tăng
4 Nhắc lại, ˆ ~ ( , 2)
kk k k
S
N Kết luận này chỉ đòi hỏi sử dụng giả thuyết n ~ N(0, 2), mà không cần thêm bất cứ một giả thuyết nào khác về sai số ngẫu nhiên
Giải thích:
Chứng minh điều này yêu cầu rằng, ~N(0, 2)
iid
n , hay các sai số ngẫu nhiên phải độc lập
5 Ước lượng không chệch của 2 là 2 1 e n2
K N
s Nó được sử dụng để biến đổi phân bố chuẩn z thành phân bố t-student với (N-K) bậc tự do: k t k ~t(N K)
Giải thích:
Trang 2Vì rằng ~ ( 2)
) (
ˆ
^
^
se S
s
t
XX
6 Hãy xét việc kiểm định giả thuyết sau: H0: k 0 vs H1: k 0 Nếu p-value nhỏ hơn 5%, thì ta nói kcó ý nghĩa 5%
a biểu diễn thành một đám mây dữ liệu, nằm gọn trong không gian hai chiều (dùng đồ thị phẳng, với hai trục), thì việc tăng số biến giải thích lên hơn 2 biến sẽ không làm giảm 2
R
Nhưng nếu chuỗi các quan sát {y n,x n'}cần phải biểu diễn trong không gian 3 chiều (đồ thị 3 trục), thì việc tăng số biến giải thích lên hơn 2 biến sẽ thực sự làm tăng 2
R
Giải thích:
Đây là nguyên tắc của LS
7 Nhắc lại là
) 1 /(
) /(
1
2
N TSS
K N ESS
R Khi đưa thêm biến vào mà sự cải thiện về độ phù hợp ít hơn
so với sự mất mát độ tự do, thì 2 1 2
n e K N
2
R cũng tăng
Giải thích:
Từ công thức, ta thấy 2 1 2
n e K N
s phải giảm, và do vậy nên
2
R mới tăng
Hai câu tiếp sau là về sự lựa chọn về mô hình:
(U): Y 1X1 2X2 3X3
(R):
~ 1
1X
Y
Sai lầm loại I là mô hình (U) đúng, nhưng lại ước lượng bằng mô hình (R)
Sai lầm loại II là ngược lại, mô hình (R) đúng, nhưng lại hồi quy mô hình (U)
Mô hình (R) Chẳng qua chính là mô hình (U) với ràng buộc: H0: 2 3 0
Nếu ta không thể bác bỏ giả thuyết này (DNRH ), mà vẫn hồi quy mô hình (U), thì sự cải thiện về độ 0
phù hợp so với (R) sẽ rất ít, trong khi độ mất mát về bậc tự do sẽ cao Hay 2
s sẽ có xu hướng tăng Dựa
vào nhận định đó, hãy trả lời câu hỏi sau:
8 Sử dụng hai tính chất thống kê của ước lượng LS: (1) ( ) ( )
^
n nk k
sai số ước lượng là
kk k S
s Var
2
^
) ( Khi đó, ta có thể đi đến nhận định rằng đưa thêm biến giải thích không cần thiết vào mô hình sẽ vẫn cho ra ước lượng không chệch Nhưng độ chính xác của ước lượng giảm đi
Giải thích:
Trang 3) (
)
(
^
n nk k
E = k, do giả thuyết về sai số ngẫu nhiên không bị vi phạm Tuy nhiên, vì
2
n e K
N
kk k S
s Var
2
^
) ( cũng tăng, hay độ chính xác giảm
9 Giả sử mô hình (U) là đúng, nhưng chúng ta lại hồi quy theo mô hình (R) Khi đó, các biến có ý
nghĩa, nhưng bị bỏ quên không đưa vào mô hình sẽ bị cộng dồn lại ở sai số ngẫu nhiên Tức là:
3 3 2 2
~
X X
Dựa trên nhận xét đó, ta có thể nhận định rằng, việc bỏ quên các biến có ý nghĩa sẽ làm cho ước lượng
bị chệch, và mọi kiểm định thống kê trở nên vô nghĩa
Giải thích:
~
X
X , nên ước lượng bị chệch Do đó không thể lập t-test
10 Giả thiết E( n |x'n) 0, tương đương với việc nói rằng, ' '
)
| (y n x n x n
Trả lời: Câu này đúng, vì rằng:
, )
|
'
n n n n
n
11 Giả thiết các véc tơ quan sát thứ n:x'n không phải ngẫu nhiên bao hàmrankX K
Trả lời: Câu này sai, vì đây là hai giả thiết khác nhau
12 Giả thiết ~N(0, 2I) bao hàm rằng, cov( n, m) 0, với n m
Trả lời: câu này đúng, vì Var 2I , tức là cov( n, m) 0, với n m
13 Giả thiết rankX K là bảo đảm cho tồn tại ước lượng
Trả lời: Câu này đúng Đòi hỏi rankX K bảo đảm sự tồn tại của ma trận (X'X) 1, mà đó là điều kiện
để tính được (X'X) 1X'Y
^
Xuất phát từ công thức
14 Giả thiết E( ') 2I , bao hàm rằng, cov( n, m) 0, với n m
Trả lời: Câu này đúng
Chứng minh hoặc lý giải các mệnh đề sau:
Dưới dạng tổng quát, ước lượng được viết như sau:
Y X
X
X' ) '
^
Mô hình hồi quy có dạng:
X
y , X không phải là biến ngẫu nhiên; và ~ N(0, 2I)
Trang 415 Chỉ ra rằng, trong kiểm định với F-test, nếu giả thiết H0 là đúng, thì F-stat nhận giá trị nhỏ hơn khi H0 là sai
Trả lời:
) /(
/ ) (
K N ESS
J ESS ESS
F
U
U
R Nếu H là đúng, thì việc thêm biến giải thích không làm cải thiện 0
nhiều độ phù hợp của mô hình Tức là ESS R ESS U nhận giá trị nhỏ; vì vậy F-value nhận giá trị nhỏ
16 Chỉ ra rằng, với cả t-test và F-test, nếu H bị bác bỏ thì p –value sẽ nhỏ hơn mức có ý nghĩa 0 %
Trả lời: p-value nhỏ chứng tỏ thống kê F (hoặc thống kê t) nằm bên phải của F hoặc t /2 Do vậy, cần phải bác bỏ H 0
17 Chỉ ra rằng, F- stat bao giờ cũng nhận giá trị dương
Trả lời: ESS bao giờ cũng lớn hơn R ESS U
18 Thống kê ~ (0,1)
/
2
^
N S
z
kk
k k
^
kk k
Trả lời: Câu này đúng
19 Thống kê
kk
k k k
S
z
/
2
^
là một dạng viết khác của t -stat k
Trả lời: Câu này sai Vì
kk
k k k
S s
t
/
2
^
20 Mô hình kinh tế lượng có thể viết dưới dạng:
X X
X X
Trả lời: Câu này đúng
21 Giải thích xem việc đưa p –value vào bảng kết suất có gì khác với báo cáo về giá trị của t-stat hoặc
F-stat
Trả lời: P-value cho biết giá trị cuả F-stat (hoặc t-stat) nằm bên phải hay trái của điểm tới hạn F (hoặc
2
/
t ) Do vậy, cần phải bác bỏ hay chấp nhậnH 0
22 Chỉ ra là t-stat có thể nhận giá trị âm hoặc dương
Trả lời:
kk
k k k
S s
t
2
^
; và ước lượng ^k có thể nằm bên trái hoặc bên phải giá trị thực của tổng thể k
23 t-stat dùng để kiểm định tính có ý nghĩa của phương trình hồi quy (overall significance test)
Trả lời: Câu này sai F-test mới có thể được dùng để kiểm định ý nghĩa của phương trình hồi quy
24 Khi đưa thêm biến không cần thiết vào mô hình, standard error (se) của các tham số có xu hướng
nhỏ đi
Trang 525 E ' 2I bao hàm rằng, cov( n, m) 0, với n m
Trả lời: câu này đúng, vì lệch khỏi đường chéo của ma trận varian-covarian chính là cov( n, m) 0
26 Khi kiểm định giả thiết đơn:H0: k 0
Liệu t-test và F-test có thể đưa ra các kết luận khác nhau không? Chỉ ra tại sao
Trả lời: Khi kiểm định giả thiết đơn: H0: k 0, F-test và t-test là hoàn toàn như nhau về ý nghĩa và kết luận, mặc dù là sử dụng 2 thống kê khác nhau
27 Giải thích xem việc đưa p –value vào bảng kết suất có gì khác với báo cáo về giá trị của t-stat hoặc
F-stat
Trả lời: P-value cho biết giá trị cuả F-stat (hoặc t-stat) nằm bên phải hay trái của điểm tới hạn F (hoặc
2
/
t ) Do vậy, cần phải bác bỏ hay chấp nhậnH 0
28 F-test là tổng quát hơn so với t-test
Trả lời: câu này đúng, vì F-test có thể kiểm định giả thiết kép, trong khi t-test chỉ có thể kiểm định giả
thiết đơn
29 Hồi quy đa biến có thể viết dưới nhiều dạng Hãy xét đến 3 biểu diễn sau:
(i) y n x n' n n 1,2, ,N
(ii) y n x n n 1,2, ,N
^ '
^
(iii) e n y n yˆ n
Cả (i), (ii), (iii) là đúng
30 Hồi quy đa biến bao hàm việc giải bài toán sau: ( ) ( )2 min ^
^ ' 2
^
n e n y n x n S
Hãy xét mệnh đề sau:
(i) Hệ số k,k 1,2, ,K
^
được xác định bằng cách lấy đạo hàm riêng phần, và đặt: ( ˆ) 0
^
k
S
(ii) Chỉ cần tìm S k K
k
, , 2 , 1 , ) ˆ (
^ , và đặt chúng bằng nhau để xác định k,k 1,2, ,K
^
Chỉ có (i) là đúng
31 Giả sử phương trình hồi quy có chứa biến constant: X1 1 Xét các mệnh đề sau:
(i) Việc giải: ( ˆ) 0
1
^
S
dẫn đến cái điều là e n 0
(ii) Điều kiện e n 0 bao hàm cái điều là
^ '
x
y , hay đường hồi quy đi quan điểm trung bình: )
,
(y x'
Cả hai mệnh đề (i) và (ii) đều đúng
32 Hãy xét các mệnh đề sau:
Trang 6(i) y n y n e n
^
(ii) y n y y n y e n
^
)
Hai mệnh đề này là tương đương nhau
33 Giả sử đường hồi quy đi qua điểm trung bình:
^ '
x
y Hãy xét các mệnh đề sau:
(i) y n y y n y e n
^
)
(
(ii) y n y x n x e n
^ ' '
) (
)
(
Mệnh đề (ii) là được suy ra từ mệnh đề (i), sử dụng điều kiện là đường hồi quy đi qua điểm trung bình
^ 2
) ( )
n n
n n
(i) Quan hệ này có nghĩa là: TSS = RSS + ESS
(ii) Quan hệ này được sử dụng để xác định hệ số 2
R
Cả hai mệnh đề đều đúng
35 Phương pháp LS cho ta ước lượng: ˆk k c nk n, k 1,2, ,K
Hãy xét các mệnh đề sau:
(i) Ước lượng ^k là một đại lượng ngẫu nhiên
(ii) Nếu không có tác động ngẫu nhiên, thì việc hồi quy trở thành tầm thường, vì ta luôn có: ˆk k
Cả hai mệnh đề (i) và (ii) đều đúng
36 Hãy xét tính không chệch của ước lượng LS: ˆ ( )
n nk k
Điều này đúng khi E n 0,n 1,2, ,N
37 Hãy xét quan hệ sau: ˆ (^ )
k k
k Var Var
Điều này đúng, khi E ˆ k k
38 Trong chứng minh tính chất sau: ˆ (^ )
k k
k Var
S kk , 1,2, ,
2
Ta cần điều kiện n,n 1,2, ,N là các biến ngẫu nhiên độc lập, và Var n 2
39 Để đi đến kết luận là ˆ ~ ( , 2)
kk k k
S
N , ta có thể phải cần những yêu cầu sau:
(i) E ˆ k k
(ii)
kk k
S Var
2
^
)
(
(iii) Các biến ngẫu nhiên n,n 1,2, ,N là theo phân bố chuẩn
Cần cả (i), (ii), và (iii)
Trang 740 Kiểm định t-stat có dạng sau: ~ ( )
) (
ˆ
^
^
se S
s t
k
k k kk
k k
có thể cần các điều kiện sau:
(i) ˆ ~ ( , 2)
kk k k
S N
K N
s2 1 2 là ước lượng không chệch của 2
(iii) Các biến {X1,X2, ,X k, ,X K}là độc lập tuyến tính
Chúng ta cần điều kiện (i) và (ii)
41 Giả sử ta đưa thêm biến giải thích vào mô hình
Tổng bình phương các sai số ước lượng (ESS) luôn giảm xuống
42 Hãy nhìn vào công thức xác định
) 1 /(
) /(
1
2
N TSS
K N ESS
Hệ số
2
R và s2 luôn biến động nghịch chiều nhau Nếu từng hệ số riêng biệt không có ý nghĩa, nhưng một cách đồng thời 3, 4 có ý nghĩa, thì ta nên giữ X3, X4 trong mô hình
43 Xét hai mô hình:
(U): Y 1 2X2 3X3 K X K
(R): Y 1 2X2 3X3 K J X K J
Được hiểu là: Mô hình (R) là mô hình (U), cộng với ràng buộc
0
H
44 Xét H0: K J 1 K J 2 K 0 Xây dựng thống kê
) /(
) (
K N ESS
J ESS ESS
F
U
U R
Khi giá trị thống kê F c lớn hơn F -tra bảng, thì ta nói một cách đồng thời, các biến
K J
K J
45 Khi kiểm định tính có ý nghĩa đồng thời của tất cả các biến giải thích (overall significance test), ta
sử dụng:
) /(
) 1 (
) 1 (
2
2
K N K F K N R
K R
F c
46 Xét hai nhận định:
(i) Việc không loại bỏ biến không có ý nghĩa ra khỏi mô hình sẽ vẫn cho ước lượng không chệch theo
LS, nhưng với độ chính xác tồi đi
(ii) Việc bỏ quên, không đưa biến có ý nghĩa vào mô hình sẽ làm ước lượng bị chệch
Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề đúng?
Cả (i) và (ii) đều đúng
47 Giả sử mô hình hồi quy có dạng y t 1 2x t2 3x t3 t,t 1,2, ,T (1) Giả sử rằng trong mô hình (1), ta biết rõ rằng 2 1 Việc ước lượng tốt nhất (LS), không chệch của các tham số 1, 3
sẽ được thực hiện như sau:
Trang 8Lập mô hình: y t x t2 1 3x t3 t và ước lượng bằng eviews
48 Xét chuỗi các quan sát (đám mây dữ liệu) sau:
y t
x x x x x x x…….x x x x x…… xxxxxxxxxxxx
x t
Việc ước lượng mô hình: y t x t t,t 1,2, ,T (2) sẽ cho thấy:
49 Xét 2 chuỗi các quan sát (2 đám mây dữ liệu) sau:
y xx t z xxxxx t
x x x
t
Việc ước lượng mô hình: y t x t t(2.1) và mô hình z t w t t(2.2) sẽ cho thấy:
Ta nhận thấy rằng: Var( t) Var( t)
50 Giả sử mô hình hồi quy có dạng y t 1 2x t2 K x tK t,t 1,2, ,T (3)
Giả sử rằng trong mô hình (3), ta biết rõ rằng 1 0 Việc ước lượng tốt nhất (LS), sẽ cho thấy rằng:
2
R có thể nằm ngoài khoảng [0,1] do gặp phải trường hợp đa cộng tuyến
51 Giả sử mô hình hồi quy có dạng y t 1 2x t2 K x tK t,t 1,2, ,T (3) Giả sử rằng trong mô hình (3), ta biết rõ rằng 1 0 Việc ước lượng tốt nhất (LS), sẽ cho thấy rằng:
Điểm trung bình: (y ,x')nằm trên đường hồi quy
52 Ước lượng LS cho ra kết luận rằng, ˆ ~ ( , 2 )
kk k k
S
kk
S tăng thì độ chính xác của ước lượng tăng
tăng thì độ chính xác của ước lượng giảm
Trang 953 Giả sử mô hình hồi quy có dạng y t 1 2x t2 3x t3 t,t 1,2, ,T (5) Giả sử ta biết rõ rằng,
không có hệ đẳng thức x t2 a1 a3x t3,t 1,2, ,T Khi đó:
Mô hình (5) cho ra ước lượng LS, không chệch, nếu ~N(0, 2)
iid
Do biết chắc chắn không xảy ra trường hợp đa cộng tuyến
54 Xét hồi quy bội với K biến giải thích Ước lượng LS cho ra kết luận rằng, ˆ ~ ( , 2)
kk k k
S
vậy:
Điều này hàm ý LS là ước lượng không chệch
55 Giả sử mô hình hồi quy có dạng y t 1 2x t2 3x t3 t,t 1,2, ,T (5) Giả sử rằng trong mô
hình (5), ta biết rõ rằng x t2 a1 a3x t3,t 1,2, ,T Khi đó:
Mô hình này không thể ước lượng được do biết chắc chắn xảy ra trường hợp đa cộng tuyến
56 Ước lượng không chệch của 2 là 2 1 e n2
K N
Nó được dùng để xác định
2
R hiệu chỉnh
^
57 Giả sử ta biết rõ tất cả các quan sát {y n,x n'}có thể được biểu diễn thành một đám mây dữ liệu, nằm gọn trong không gian ba chiều
Hồi quy bội (K=3) cho ước lượng không chệch vì chỉ phụ thuộc vào đúng 3 biến
58 Giả sử ta biết rõ tất cả các quan sát {y n,x n'}có thể được biểu diễn thành một đám mây dữ liệu, nằm gọn trong không gian hai chiều
Việc dùng hồi quy đơn cho ra sai số của ước lượng là nhỏ nhất ứng với hai biến
59 Xét hai mô hình sau:
(U): Y 1X1 2X2 3X3
(R):
~ 1
1X
Y
Ta chấp nhận (R) nếu việc thêm X2, X3 không cải thiện độ phù hợp của mô hình
Nếu (U) đúng, mà dùng (R) thì ước lượng bị chệch
60 INV là cầu đầu tư, có thể phụ thuộc vào lãi suất (INT), lạm phát (INF), hoặc chỉ phụ thuộc vào lãi
suất thực (INT-INF) Ngoài ra nó còn phụ thuộc vào xu thế (T) và GDP (G) Xét hai mô hình khác nhau:
(8.1): INV 1 2T 3G 4INT 5INF
(8.2): INV 1 2T 3G 4(INT INF)
Ta chấp nhận (8.1) nếu F-test bác bỏ H0: 4 5
61 Xét 3 dạng hàm: (10.1): Y 1 2X (10.2): lnY 1 2ln X
Với (10.2) đơn vị đo lường của Y và X không đóng vai trò gì vì cùng phụ thuộc vào %
Cả ba mô hình trên đều là mô hình hồi quy tuyến tính
Trang 10Sài gòn rất nhiều quán bia Và không ít sinh viên tìm cách dự đoán nhu cầu uống bia của dân Sài gòn Điều này cũng từng xẩy ra ở các trường của Mỹ
Từ lý thuyết về tiêu dùng trong Kinh tế Vi mô, chúng ta biết rằng, nhu cầu uống bia ( Q , đo bằng
lít) phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó P B, vào giá các hàng có thể thay thế (P L), cụ thể là rượu (liquor); và giá trung bình của các hàng hoá dịch vụ giải trí khác (P R); và vào thu nhập bằng tiền mặt (m) (Giá và thu nhập đo bằng $; và ở đây ta không nói đến một thương hiệu nào cụ thể, nên yếu tố quảng cáo, brand name, vân vân, được bỏ qua)
Sử dụng số liệu điều tra ngẫu nhiên trong suốt 30 năm, từ một gia đình người Mỹ, chúng ta muốn nghiên cứu quan hệ nói trên, nhằm đánh giá lại lý thuyết tiêu dùng trong vi mô
Dạng hàm hồi quy của mô hình được lựa chọn như sau:
Mô hình (U): ln(Q) 1 2ln(P B) 3ln(P L) 4ln(P R) 5ln(m)
62 Độ co dãn của nhu cầu về bia theo giá cả và thu nhập Ví dụ, với giá bia: 2 dln(Q)/dln(P B);
và với thu nhập: 5 dln(Q)/dln(m)
không đổi
Tổng ( 5 2) thể hiện nhu cầu tiêu thụ bia tăng bao nhiêu % khi giá bia giảm 1%, và thu nhập tăng 1%, trong khi các yếu tố còn lại không thay đổi
Các câu tiếp theo sử dụng kết quả ước lượng của mô hình (U) là như sau:
Dependent Variable: LOG(Q)
Method: Least Squares
Date: 08/02/01 Time: 01:01
Sample: 1 30
Included observations: 30
Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob
LOG(PB) -1.020419 0.239042 -4.268787 0.0002
LOG(PL) -0.582934 0.560150 -1.040674 0.3080
R-squared 0.825389 Mean dependent var 4.018531
Adjusted R-squared 0.797451 S.D dependent var 0.133258
S.E of regression 0.059973 Akaike info criterion -2.638823
Sum squared resid 0.089920 Schwarz criterion -2.405290
Log likelihood 44.58235 F-statistic 29.54377
Durbin-Watson stat 2.630645 Prob(F-statistic) 0.000000
63 Thu nhập là yếu tố quan trọng ảnh ưởng tới tiêu dùng Tuy nhiên, mọi người có thể đặt câu hỏi về
hệ số ước lượng đi kèm với yếu tố thu nhập là khá lớn về mức độ Cụ thể là 5 0.92
^