SKKN hướng dẫn giải dạng toán chia hết trong chương trình toán lớp 6

Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều, theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”.

Trang 1

SKKN Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán lớp 6”

PHẦN THỨ NHẤT :

NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI

1 TÊN ĐỀ TÀI

Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS

2 TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản ViệtNam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn

Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện

và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động,độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở nhà trường phổ thông Áp dụngnhững phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duysáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thông phải pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểmcủa từng lớp học, môn học

RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI Những trển vọng củaChâu Á – Thái Bình Dương” đã khảng định

Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức vàsáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyếtvấn đề và tính sáng tạo Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyếtvấn đề

Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư duylôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ

Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận,…

Ơû bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cầnthiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên

Trang 2

điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới hơn 50% họcsinh đạt điểm dưới trung bình Còn các lớp trên cũng được liệt kê rất nhiều họcsinh yếu toán Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo học sinh yếu toán

mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán thật là một thiệt thòilớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song với nhau Nhận thức vấn

đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng toán để cung cấp cho các emnhững kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,… Một trong dạng toán đó là “Dạngtoán chia hết”

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương trìnhtoán bậc trung học cơ sở

PHẦN THỨ II:

NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Phương pháp giải toán:

Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất định và vậndụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán

Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết một

khâu hay cả bài toán

Trang 3

Giải bài toán:

Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán Muốn tìm ra ấn sốphải là một quá trình suy luận Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá trìnhhoạt động trí tuệ của học sinh

Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền thụcho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suyluận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất thuật toán Đặcbiết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương pháp có tính chất tìmtìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán của “Polya” Học sinh cầnđược rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quáthoá, tương tự, quy lạ về quen Trong chương trình toán (THCS), có rất nhiều dạngtoán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có dạng “Toán chia hết” là một trong

số các dạng toán quan trọng trong chương trình toán THCS Nó có mặt nhiều trongcác lần kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớpchất lượng cao, và một số đề thi cấp Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ởchỗ lượng bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú.Dạng toán chia hết được đề cập ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cảchương trình toán THCS và ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khácnhau, mức độ yêu cầu cũng khác nhau Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cáinày là cơ sở của cái kia, chúng bổ trợ cho nhau Chính điều này yêu cầu người họcphải nắm chắc được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắttrong từng chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt cácphương pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này Có thể nói rằng dạng “toánchia hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợkhi học dạng toán này

Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và khôngchút ngần ngại khi gặp dạng toán này Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy suyluận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt Hệ thống các bài tập tôi đưa ra đều

từ dễ đến khó, bên cạnh đó còn có các bài tập nâng cao cho học sinh giỏi Lượngbài tập áp dụng tương tự cũng tương đối nhiều, nên các em có thể tự học, tự chiếmlĩnh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này điều đó giúp các em hứng thúhọc tập hơn rất nhiều

Trang 4

thời gian cho tiết dạy Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các yếu tố chia hết trongbiểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh hoạt, có những bài toánrất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài dòng và phức tạp, thực chấtnếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng toán chia hết thì chứng minh rấtđơn giản Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo viên không hay để ý tới dạng toánnày, vì dạng toán này thường được đặt dưới bài toán cụ thể trong sách giáo khoanên không nghĩ đó là trọng tâm của bài Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêucầu học sinh làm thêm trong sách bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa đểrèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh Mặt khác tài liệu tham khảo viết

về dạng toán này hầu như không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọncũng chưa được giáo viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại

có dạng toán “ Chia hết” trong chương trình Từ những suy nghĩ đó và thực tếgiảng dạy tôi đã mạnh dạn viết đề tài này

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A Cơ sở lý thuyết

Để học sinh học tốt, làm tốt được dạng “Toán chia hết ” này tôi trang bị cho các

em nội dung kiến thức sau, đó là nền tảng, là cơ sở để áp dụng giải các bài tập dạngnày

1.Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.



m b

m a



m b

m a



m b

m a



- Nếu a m anm (n là số tự nhiên)

2.Dấu hiệu chia hết cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.

* Dấu hiệu chia hết cho 2 là: Một số chia hết cho 2 khi và chỉ chi số ấy có chữ

số tận cùng là chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8)

*Dấu hiệu chia hết cho 5 là:Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số ấy có chữchữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Trang 5

*Dấu hiệu chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số

5.Phương pháp chứng minh quy nạp:

Trang 6

Muốn chứng minh một khẳng định An đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng minhnhư sau:

Bước 1: Giả sử ngược lại P sai

Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý

Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng định P đúng

B Các dạng toán

Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người họctham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó Một bài có thểvận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh hoạt trongquá trình giải toán

1 Dạng1: Tìm các chữ số chưa biết của một số

Bài toán 1: Tìm các chữ số a và b sao cho 19ab chia hết cho 5 và chia hết cho8

Để tìm được a và b học phải thấy được 2 dấu hiệu cơ bản đó là số đó chia hếtcho 5 và cho 8

Vì 19ab chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng b = 0 hoặc b = 5

Vì 19ab chia hết cho 8 nên suy ra b = 0

Mặt khác 19a0 chia hết cho 8 suy ra 19a0chia hết cho 4

0

19a chia hết cho 4  a0 chia hết cho 4 suy ra a  0, 2, 4, 6, 8}

Ta có 19a0 chia hết cho 8  9a0 chia hết cho 8 nên a = 2 hoặc a = 6

Trang 7

Trang 8

Trừ (*) với (**) ta có 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q + a8q 2

Vì p nguyên nên a8q 2 nguyên hay a + q – 2 8

+Nếu q = 2 thì a = 0 hoặc a = 8

Từ (**) ta có b = 9q – a – 10 do đó b = 8 hoặc b = 0

+ Nếu q = 3 thì a = 7 suy ra b = 10 ( vô lí vì b  9)

KL: Vậy có số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408

*Cách 2

ab

1234 = 123400 + ab = 72.1713 + 64 + ab

Vì 1234ab chia hết cho 8 và cho 9 nên 1234ab chia hết cho 72

Vậy 64 + ab chia hết cho 72 Vì 64 < 64 + ab 163 nên 64 + ab bằng 72hoặc 144

+ Nếu 64 + ab = 72 thì ab = 08

+ Nếu 64 + ab = 144 thì ab = 80

KL: Vậy các số thoả mãn đề bài là: 123480, 123408

Bài toán 5: Tìm các số a,b sao cho:

1) a – b = 4 và 7a5b1 chia hết cho 32) a – b = 6 và 4a7 + 1b5 chia hết cho 9

Trang 9

Trang 10

Nếu viết k lần số 1994 liên tiếp nhau thì tổng các chữ số của số nhận được cócùng số dư với 2k khi chia cho3.Để số nhận được chia hết cho 3 thì 2k phải chiahết cho 3, nên số nhỏ nhất là 3, tức là ít nhất phải viết 3 lần số 1994 liên tiếp nhau.

Bài 4 : Tìm 3 chữ số tận cùng của tích 4 số tự nhiên liên tiếp khác không, bết

rằng tích này chia hết cho 125 Tích này nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

HD: Tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8 thì tích 4 số tự nhiên liên tiếpcũng chia hết cho 125 nên 3 chữ số tận cùng là 000

Trong tích của 4 số tự nhiên tiếp không thể có 2 số chia hết cho 5 nên phải cómột số chia hết cho 125

Tích nhỏ nhất là: 125.126.127.128

Dạng 2: Chứng minh chia hết đối với biểu thức số.

Bài toán 1:Chứng minh rằng: 21 39 + 39 21 chia hết cho 45.

Như vậy: 2139 + 3921 = 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5

Mặt khác 2139 + 3921 = (7.3)39 + (13.3)21 = 739.339+ 1321+ 321

Trang 11

= 321 739 318+ 1321 321

= 321 (739 318+ 1321) = (33)7 (739 318+ 1321) chia hết cho 9

*Cách 3 Ta có: 21 1 (mod 20)

39 -1 (mod 20)Vậy 2139 + 3921

 139+ (-1)21

0 (mod 20)Như vậy 2139 + 3921 chia hết cho 20; do đó 2139 + 3921 chia hết cho 5 (*)Tương tự ta chứng minh 2139 + 3921 chia hết cho 9

KL: Vậy 2139 + 3921 chia hết cho 45

Bài toán 2: Chứng minh rằng: 43 43 - 17 17 chia hết cho 5

Suy ra: 1716.17 có chữ số tận cùng là 7

Hai số 4343 và 1717có chữ số tận cùng giống nhau nên 4343 - 1717 có chữ sốtận cùng là chữ số 0

KL: Vậy 4343 - 1717 chia hết cho 5

Bài toán 3: Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 60

Chứng minh rằng: A chia hết cho 3,7 và 15.

Ta có: A =2 + 22 + 23+…+ 260

A = 2(1+2)+ 23 (1+2)+…+ 259 (1+2) = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259)

A = 3 (2 + 22 + 23+…+ 259) chia hết cho 3

Ta có A = 2 + 22 + 23+…+ 260

Trang 12

Chứng minh rằng C chia hết cho 5.

Bài 3 Chứng minh rằng A chia hết cho B với

A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 + 1003

B = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100

Dạng 3: Chứng minh chia hết đối với biểu thức chứa chữ

Bài toán 1 Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho 6 với n nguyên

*Cách 1: Vì (2,3) = 1 nên chỉ cần chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chiahết cho 3

Ta có n3 – n = n(n2 – 1) = n(n + 1)(n - 1)

Mà n, n + 1, n – 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n + 1)(n - 1)2

Mặt khác: n có thể biểu diễn thành một trong các dạng sau 3k, 3k + 1, 3k +2 (k

Trang 13

*Cách 2: Nếu n là số nguyên thì chỉ có thể biểu diễn thành một trong các dạng

sau 6p, 6p + 1, 6p + 2, 6p + 3, 6p + 4, 6p + 5 ( do phép chia một số cho 6)

Cách 3: Ta chứng minh n3 – n chia hết cho 2 và chia hết cho 3

Nếu n  0 (mod 2) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 2)

Nếu n  1 (mod 2) thì n3 – n  13 – 1  0 (mod 2)

Như vậy với n nguyên, n3 – n  0 (mod 2) nghĩa là n3 – n chia hết cho 2

Mặt khác:

+ Nếu n  0 (mod 3) thì n3 – n  03 – 0  0 (mod 3)

Với n nguyên n3 – n  0 (mod 3) nghĩa là n3 – n chia hết cho 3

KL: Vậy n3 – n chia hết cho 6 với n nguyên

Bài toán 2: Chứng minh rằng 2n + 

nchuso

1

11 - n chia hết cho 9

Ta có: 2n + 

nchuso

1

11 = 3n + (

nchuso

1

11 - n) chia hết cho 3

Bài toán 3: Chứng minh rằng A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27

Trang 14

11 - n) + 27n

Mà 27n chia hết cho 27 nên (

nchuso

1

11 - n) chia hết cho 9 suy ra 9(

nchuso

1

Vậy 10n + 18n – 1 chia hết cho 27

Cách 2: (Phương pháp quy nạp toán học)

+ Nếu n = 1 thì A = 10 + 18 – 1 = 27 chia hết cho 27

Vậy 10n + 18 n-1 chia hết cho 27

Bài toán 4: Với mọi n nguyên dương chứng minh:

Trang 15

Bk+1 = 7 ( 7k + 3k -1) – 6 3k – 9

Bk+1 = 7( 7k + 3k -1) – 9.2k -9

Bk+1  9Vậy 7n + 3n -1  9 mọi n nguyên dương

Bài 1: Chứng minh raống :

a)-10n + 72n -1 chia hết cho 91

b)- 22n +15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n tự nhiên thì:

Trang 17

Bài toán được chứng minh

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì.

4 32n+2 + 32n – 36  64

Cách 1: Vì 4 32n+2 +32n -36 = 4 (32n+2 -8n -9) nên bài toán đưa về việc chứngminh : 32n+2 + 8n – 9  16

Trang 18

Kết luận: Vậy với mọi số tự nhiên n; 4(32n+2+8n -9)  64

Trang 19

62n + 3n+2 + 3n  11

Bài toán 6: Chứng minh tổng k số nguyên liên tiếp (k lẻ) thì chia hết cho k.

Gọi k số nguyên liên tiếp là n, n+1, n+2, … N+k-1

= kn + kp =k(n+p)Điều này chứng tỏ rằng khi k lẻ, tổng k số nguyên liên tiếp  k

+Chú ý: Đây là bài toán tổng quát, từ bài toán này ta có thể yêu cầu học sinh

chứng minh các trường hợp riêng của bài toán tổng của ba, năm, bảy,… Sốnguyên liên tiếp thì  cho 3,5,7,…

Bài toán 7: Chứng minh rằng tích của k số nguyên liên tiếp thì  k

Cách 1: Gọi k số nguyên lẻ liên tiếp là : a, a+1, a+2, … , a+ k -1.

Tích của chúng là : a (a+1) (a+2)… ( a+k -1)

Ta cần chứng minh : a (a+1) (a+2) ….(a+1 -1)  k

+Nếu a  k thì bài toán đã giải xong

+Nếu a không chia hết cho k thì a=qk +r ( 0<r<k)

Thừa số (a+k+r) có mặt trong tích đang xét và a+k-r=qk+r+k-r

=k(q+1)  k Điều đó chứng tỏ rằng trong tích đang xét luôn luôn tồn tại một

Trang 20

Khi đó (a+h) – (a+l) k hay k-l k Vô lý vì 0 < h  l < k

+Chú ý: Từ bài toán này có thể đưa ra các trường hợp riêng của bài toán đãquen thuộc đối với học sinh đó là: Chứng minh tích hai, ba, bốn, năm… số nguyênliên tiếp  2,3,4,5……

Bài toán 8: Cho a và b là các số nguyên, hãy chứng minh rằng:

Nếu 2a +3b  17 thì 9a + 5b  17 và đảo lại

Giải:

Chứng minh: Nếu (2a +3b)  17 thì 9a +5b  17

Nếu (2a+3b)  17 thì 8(2a+3b) 17

Theo giả thiết ( 9a + 5b)  17 => 2 ( 9a + 5b) 17

Hay (34 a + 34b) – 2( 9a+5b) = 34a + 34b -18a -10b

=16a + 24b = 8(2a + 3b) 17 vì (8,17) =1

Nên (2a + 3b)  17

Bài toán 9: Chứng minh rằng

Nếu a,b là các số tự nhiên so cho 5a +3b và 13a +8b 1995 thì a và b chiahết cho 1995

+Theo giả thiết 5a + 3b  1999 => 8( 5a + 3b) 1995

13a + 8b 1995 =>3(13a +8b) 1995Hay 8(5a +3b) - 3(13a +8b) = 40a + 24b - 39a + 24b = a 1995

+Theo giả thiết 5a + 3b  1995 => 13(5a +3b) 1995

13a + 8b 1995 => 5(13a +8b) 1995Hay 5(13a +8b) -13(5a+3b)=65a + 40b - 65a - 39b = b  1995

Định dạng
Số trang	24
Dung lượng	456 KB