Tài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Tài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trìnhTài liệu bài tập phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Các toán tài liệu Tuấn tổng hợp số diễn đàn, số tài liệu, phần lời giải đa số Tuấn giải lại số câu nhác :3 nên chép i nguyên lời giải Vì nên tài liệu có sai sót mong bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại Tài liệu Tuấn viết tặng bạn ( Đừng hỏi :v ) Bên cạnh hi vọng bạn có tài liệu để tham khảo thêm Chúc bạn học tốt Bài Giải phương trình sau: √ x+3+ √ √ √ 3x + = x + 2x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ √ √ 3x + − 2x + = x − x + √ √ ⇐⇒ 3x + + 2x + − 6x2 + 8x + = 4x + x + − x2 + 3x √ √ ⇐⇒ 6x2 + 8x + = x2 + 3x ⇐⇒ 6x2 + 8x + = (x2 + 3x) ⇐⇒ 2x2 − 4x + = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài Giải phương trình sau: √ √ 3 x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 Lời giải: √ Đặt 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y = 35 Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: x3 + y = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ ⇐⇒ (x + y)3 = 125 xy (x + y) = 30 www.DeThiThuDaiHoc.com (x + y)3 − 3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ x+y =5 xy = ⇐⇒ x=3 x=2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình là: Bài x=3 x=2 Giải phương trình sau: √ 16x4 + = 4x3 + x Lời giải: Ta có V T > nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm V P > ⇐⇒ x > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: √ 4x3 + x = 2.3 (4x3 + x) 1.1 ≤ 4x3 + x + + Mặt khác ta có: 16x4 + ≥ 4x3 + x + + ⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + ≥ ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + ≥ Do đó: V T ≥ V P √ 16x4 + = 4x3 + x ⇐⇒ 4x3 + x = 2x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài ⇐⇒ x = 2 Giải phương trình sau: √ x2 − + 4x = 4x 4x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ x2 − + 4x = 4x 4x − ⇐⇒ 3x2 + 4x − = 4x 4x − √ ⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − + 4x − = ⇐⇒ ⇐⇒ √ x = 4x − √ 3x = 4x − www.DeThiThuDaiHoc.com x− √ 4x − x2 = 4x − 9x2 = 4x − ⇐⇒ 3x − ⇐⇒ √ 4x − = x=3 x=1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài x=3 x=1 Giải hệ phương trình sau: √ √ x + + 3y x + (3y + 1) x + − 51y − 27 = 7y + 36y x2 + y + 3x + 5y + 10 = Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: √ x + = a (a ≥ 0) Thay a2 − = x vào phương trình thứ ta (a + 3y) (a2 − 1) + (3y + 1) a − 51y − 27 = 7y + 36y ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay = 7y + 36y + 54y + 27 ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay + y = 8y + 36y + 54y + 27 √ ⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + ⇐⇒ y = a − ⇒ y = x + − Thế xuống phương trình thứ ta được: x2 + 4x + = Đặt √ √ x+1 x + = y + (y ≥ −2) Khi ta có hệ phương trình: x2 + 4x + = y y + 4y + = x ⇐⇒ x2 − y + (x − y) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ (x − y) (x + y + 5) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ x=y x2 + 3x + = (V N ) Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm Bài Giải phương trình sau: 2x − + √ 3x − = √ 8x2 − 2x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Biến đổi phương trình đầu trở thành: √ 2x − + 3x − = 2(2x − 1)2 + (3x − 2)   2x − = a a≥ Đặt:  √ 3x − = b (b ≥ 0) Khi phương trình cho trở thành: √ a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = ⇐⇒ a = b Từ ta có: 2x − = √  3x − ⇐⇒ 4x2 − 4x + = 3x − ⇐⇒ 4x2 − 7x + = ⇐⇒   Vậy nghiệm phương trình cho là:  Bài x=1 x= x=1 x= Giải hệ phương trình sau:  √ 6x  − = 3x − y + 3y (1) y √  3x + 3x − y = 6x + 3y − (2) Lời giải: Điều kiện: 3x ≥ y = √ 3x + 3x − y ≥ Ta có: √ √ (1) ⇐⇒ (3x − y) = y 3x − y + 3y ⇐⇒ (3x − y) − y 3x − y − 3y = √ √ √ 3x − y = 3y ⇐⇒ 3x − y − 3y 3x − y + y = ⇐⇒ √ 3x − y = −y √ Trường hợp 1: 3x − y = 3y  √  3x − y = 3y ⇐⇒  3x + 3y = 6x + 3y − Trường hợp 2:      √ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ (6x + 3y) = 6x + 3y − ⇐⇒ √ 3x − y = 3y 6x + 3y = √ 3x − y = −y √ 3x − y = −y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − www.DeThiThuDaiHoc.com ⇐⇒ √ 3x − y = −y √ 3x − y = 6x + 3y − Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ 3x − y = −y −2y = 6x + 3y − ⇐⇒ ⇐⇒ √ 3x − y = −y 6x + 5y = Từ bạn tự tìm nghiệm Bài Giải phương trình sau: √ 2x2 + x + + √ 2x2 − x + = x + Lời giải: Xét x = −4 nghiệm phương trình ta biến đổi phương trình sau: √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + 2x + √ ⇐⇒ √ =x+4 2x2 + x + − √ 2x2 − x + √ ⇐⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: √ √ 2x2 + x + − 2x2 − x + = √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + √ ⇒ 2x2 + x + = x + ⇐⇒ (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36 ⇐⇒ 7x2 − 8x = ⇐⇒ x=0 x= Thử lại ta thấy thỏa mãn  Vậy nghiệm phương trình cho  Bài x=0 x= Giải phương trình sau: x+ 5+ √ x−1=6 Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Biến đổi phương trình cho sau: x+ Đặt: 5+ √ x−1=a √ 5+ x−1=b √ x − = ⇐⇒ x − + 5+ √ x−1=5 (a ≥ 0, b ≥ 5) Khi ta có: a2 + b = b2 = a + ⇐⇒ ⇐⇒      a2 + b = a2 − b + a + b = a2 + b = a+b=0 a−b+1=0 ⇐⇒          a +b=5  √   ± 21 a= ⇐⇒ 2√      −1 ± 17   a= a2 + b = (a + b) (a − b + 1) = ⇐⇒ a2 + b = a2 − a − = a2 + a + = √  −1 + 17   a= √ ⇐⇒   b = + 17 √ 11 − 17 Từ ta tính x = √ 11 − 17 Vậy x = nghiệm phương trình cho Bài 10 Giải phương trình sau: √ √ − x − x2 = Lời giải: − x2 ≥ ⇐⇒ ≤ x ≤ x≥0  √  a= x a ≥ 0, b ≤ Đặt: √  b= − x 3 Điều kiện: Khi ta có hệ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam     a+b= a+b= ⇐⇒ 3  √ − a4 = b  a4 + b =   2   a+b= a+b= ⇐⇒ ⇐⇒  (a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 =  (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 =   2   a+b=   a+b= 3 ⇐⇒ ⇐⇒  − 2ab − 2a2 b2 =  2a2 b2 − 16 ab − 65 =   81 9    a+b=  √3  − 194     ab = 18 ⇐⇒       a+b=  √3  + 194   ab = 18 √ − 194 y − y+ =0  √ 18 a, b nghiệm phương trình  + 194 y2 − y + = (V N ) 18 −2 + Từ ta tìm nghiệm phương trình cho là: x =  Bài 11 2 √ 194 − + Giải hệ phương trình sau:   x + = (3y − x) (y + 1) (1) √  3y − − x + = xy − 2y − (2) Lời giải:   y≥2   Điều kiện: x ≥ −5    (3y − x) (y + 1) ≥   y≥2   ⇐⇒ x ≥ −5    3x − y ≥ Ta có: √ √ (1) ⇐⇒ (y + 1) − (3y − x) = 3y − x y + √ √ √ √ √ 2 ⇐⇒ y + − 3y − x y + + y+1 − 3y − x =0 √ √ √ √ √ √ √ ⇐⇒ y + y + − 3y − x + y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ ⇐⇒ y + − 3y − x y + + 3y − x = √ √ √ √ y + − 3y − x = ⇐⇒ ⇐⇒ y + = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − (3) √ √ = y + + 3y − x > (L) www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn 97 Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Thay (3) vào (2) ta √ √ y + = 2y − 3y − 2 (y − 2) √ = (y − 2) (2y + 1) ⇐⇒ √ 3y − + y + 2 √ ⇐⇒ (y − 2) √ − (2y + 1) = 3y − + y +  y=2⇒x=3  ⇐⇒ √ √ − (2y + 1) = (4) 3y − + y + 3y − − Và (2) ⇐⇒ − (2y + 1) √ 3y − + √ y + = (5) Do √ √ 2 ⇒ (2y + 1) 3y − + y + ≥ + 3 √ √ ⇐⇒ − (2y + 1) 3y − + y − ≤ − 3 y≥ Mà − (2y + 1) √ 3y − + √ y−2 ≤2− +2 < nên (5) vô nghiệm So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (3; 2) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: √ x + x2 + = y + x2 + y − xy = y2 − Lời giải: Điều kiện: y≥1 y ≤ −1 Biến đổi phương trình đầu sau: √ √ x + x2 + = y + y − ⇐⇒ x − y = y − − x2 + √ ⇒ x2 − 2xy + y = x2 + y − x2 + y − √ ⇐⇒ xy = x2 + y − ⇒ x2 y = (x2 + 1) (y − 1) ⇐⇒ y − x2 = Khi ta hệ mới: www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam y − x2 = x2 + y − xy = 2x2 − xy = y − x2 = ⇐⇒ x2 + y − xy = y − x2 y − x2 =  x=0   y = ±1  x=0     ±1   ⇐⇒ ⇐⇒   x = √ 2x = y    y − x2 =  ±2  y=√  ⇐⇒ Thử lại hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (0; 1) , √ ;√ 3 Lưu ý: Bài tốn giải hồn chỉnh lại phải thử lại nghiệm Ở biến đổi phương trình thứ khơng đặt điều kiện nên sau giải nghiệm phải thử lại Mặt khác không đặt điều kiện mà bình phương dùng dấu ⇒ Bài 13 Giải phương trình sau: √ x2 + x + = + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1) Lời giải: Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Khi √ (1) ⇐⇒ x2 + x + = − x2 + x + Đặt: a = √ + x2 + x + − x2 + x + (a > 0) Khi phương trình cho trở thành: √ 1+  a= 2√ a2 + a − = ⇐⇒  −1 + 21 a=  a4 − 7a2 + 4a + = ⇐⇒ a2 − a − √ 1+ Với a = √ √ √ √ 1+ 1+ −1 ± + x2 + x + = ⇐⇒ x2 + x − = ⇐⇒ x = 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ Với a = −1 + 21 √ √ √ −9 + 21 −1 ± −1 + 21 2+x+1 = ⇐⇒ x + x + = ⇐⇒ x = x 2  −1 ±  x= Vậy nghiệm phương trình cho là:   −1 ± x= Bài 14 √ 19 − 21 √ 3+2 √ 19 − 21 Giải phương trình sau: 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x2 + 4x − Lời giải: √ −1 + 2  x≥ √ Điều kiện:  −1 − 2 x≤  Ta có: √ 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) 4x2 + 4x − + (5x + 1) 4x2 + 4x − − (5x + 1) (4x − 3) = √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − + 5x − 4x2 + 4x − − (4x − 3) = √ √ 4x2 + 4x − + 5x − = 4x2 + 4x − = − 5x √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) = 4x2 + 4x − = 4x −     1   x≤ x≤    5     2   4x + 4x − = 25x − 10x + 21x − 14x + = x= ⇐⇒   ⇐⇒   ⇐⇒      3   x=1 x≥ x≥   4  4x2 + 4x − = 16x2 − 24x +  12x2 − 28x + 16 =   x= Vậy nghiệm phương trình cho là: x=1 Bài 15 Giải phương trình sau: √ √ 3 12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + = 2x + Lời giải: Đặt: a = √ √ 12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = x3 − 5x + www.DeThiThuDaiHoc.com 10 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Ta biến đổi sau: √ √ √ P T ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + x + √ √ ⇐⇒ 5x2 + 14x + = x2 − x − 20 + 25 (x + 1) + 10 x2 − x − 20 x + √ ⇐⇒ 4x2 − 10x + − 10 (x − 5) (x + 1) x + = √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − (x2 − 4x − 5) x + + (x + 4) = √ √ ⇐⇒ (x2 − 4x − 5) − x + 4 (x2 − 4x − 5) − x + =  √ x=8 (x2 − 4x − 5) = x + 4x − 25x − 56 = √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒  + 61 2 − 4x − 5) = x + 4 (x 4x − 20x − 36 = x=  Vậy nghiệm phương trình cho là:  Bài 32 x=8 √ + 61 x= Giải hệ phương trình sau:  √   x− y+2=  y + (x − 2) √x + = −  Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2; y ≥ −2    u − v = (1) √ √ Đặt: u = x + 2; v = y + với u, v ≥ hệ trở thành  v + (u2 − 4) u = (2)  Thế (1) vào (2) ta được: + 2u3 − 8u = 4 ⇐⇒ u + 2u − 7u − 8u + 12 = ⇐⇒ (u − 1) (u − 2) (u2 + 5u + 6) = ⇐⇒ u = ∨ u = u2 − Vì u2 + 5u + > 0, ∀u ≥ −5 không thỏa mãn   x=2 Với u = ⇒ v = ta tìm  y=−   x=2 Vậy nghiệm hệ phương trình là:  y=− Với u = ⇒ v = www.DeThiThuDaiHoc.com 21 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Bài 33 Giải hệ phương trình sau: x2 y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Lời giải: Ta có: 2   2x + x2 ⇐⇒  2(x − 1)2 + + y = x y − 2x + y = 2x2 − 4x + + y = Vì y2 = 2x ≤ (∀x ∈ R) nên −1 ≤ y ≤ 1 + x2 Khi y ≥ −1 ⇐⇒ + y ≥ ⇐⇒ 2(x − 1)2 + + y ≥ ⇐⇒ x−1=0 + y3 = x=1 y = −1 ⇐⇒ Thử lại vào hệ phương trình cho thỏa mãn Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (1; −1) Bài 34 Giải phương trình sau:   12xy + 12 (x2 + y ) + = 85 (x + y)2  6x (x + y) + = 13 (x + y) Lời giải: Điều kiện x + y = Viết lại hệ phương trình thành:    x+y+  x+y   x+y+  x+y   a=x+y+ (|a| ≥ 2) x+y Đặt  b=x−y www.DeThiThuDaiHoc.com + 3(x − y)2 = 103 + (x − y) = 13 ta có: 22 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam  9a2 + 3b2 = 103 3a + 3b = 13 Khi 2b2 − 13b + 11 = 3a = 13 − 3b ⇐⇒   x + y + = 10 x+y  x−y =1 Bài 35      ⇐⇒     a = −7    b = 11  ⇐⇒ (x; y) = −1 ; 3 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) =   a = 10  b=1 −1 ; 3 (loai) , (2; 1) , (2; 1) Giải phương trình sau: √ x2 − √ √ 15 − x2 + x = 15 − 15x − x3 − x Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Đặt: √ 15 √ a = 15 − x2 √ b= x (a, b ≥ 0) phương trình cho trở thành: a2 − 3ab − 4b + (a + b2 ) = ⇐⇒ a2 + 2b2 − 3ab + (a − 2b) = ⇐⇒ (a − 2b) (a − b) + (a − 2b) = a = 2b a=b−2 ⇐⇒ Với: a = 2b √ √ 15 − x2 = x ⇐⇒ 15 − x2 = 4x ⇐⇒ Với a = b − √ 15 − x2 = Mặt khác: 0≤x≤ √ www.DeThiThuDaiHoc.com √ x = −2 + 19 √ x = −2 − 19 (loai) √ x−2 15 ⇒ √ √ 15 − < x−2≤ 23 √ 16 − = Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 + Bài 36 √ 19 Giải hệ phương trình:   √ √ 7x + y − 2x + y = √ 7√  2x + y − 5x + 10y = 10 Lời giải: Đặt: √ 7x + y = a √ 2x + y = b (a, b ≥ 0) Ta có: 5x + 10y = −3 (7x + y) + 13 (2x + y) √ √ = −3a2 + 13b2 ⇒ 5x + 10y = −3a2 + 13b2 Khi ta có hệ phương trình mới:   a−b=4 √  2b − −3a2 + 13b2 = 10  a=b+4 ⇐⇒ 7√  2b − 10b − 24b − 48 = 10 a=b+4 √ ⇐⇒ 20b − 20 = 10b2 − 24b − 48   a=b+4  ⇐⇒ b≥1   90b − 376b − 2752 = ⇐⇒ a = 12 ⇒ b=8 ⇐⇒ x = 16 y = 32 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: Bài 37 7x + y = 144 2x + y = 64 x = 16 y = 32 Giải phương trình sau: x+2 www.DeThiThuDaiHoc.com 3x − x + =4 20 24 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Lời giải: Điều kiện: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: x+2 3x − 3x − 8x + ≤x+ +1= 5 Mặt khác: x4 + 8x + 2x + x + ≥ ⇐⇒ ≥ 20 20 125 (x4 + 4) ≥ 16x + 32x + 24x + 8x + ⇐⇒ ⇐⇒ 61x4 − 128x3 − 96x2 − 32x + 496 ≥ ⇐⇒ (x − 2)2 (61x2 + 116x + 124) ≥ (∀x ∈ R) 4 Do đó: 4 x4 + ≥x+2 20 3x − Dấu xảy khi: x = Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài 38 Giải bất phương trình sau: x (x + 2) √ ≥1 (x + 1)3 − x Lời giải: Điều kiện: x ≥ Với x ≥ (x + 1)3 − √ x > www.DeThiThuDaiHoc.com 25 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Khi ta có bất phương trình cho tương đương: BP T ⇐⇒ (x + 1)3 − x (x + 2) ≥ √ x ⇐⇒ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + − (x + 1) √ ⇐⇒ (x + 1) x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x + − x2 + x ≤ √ ⇐⇒ x2 + x − ≤ √ √ −1 ± + x = ⇐⇒ x = ⇐⇒ x √ x2 + x −1 + Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình là: x = Bài 39 √ Giải hệ phương trình sau: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + xy + 2y + x − 8y = Lời giải: Hệ phương trình cho tương đương: (x2 + y ) (x + y + 1) = 25 (y + 1) x2 + y + x (y + 1) + (y + 1)2 − 10 (y + 1) = Dễ thấy y = −1 nghiệm hệ phương trình Chia vế phương trình hai cho y + ta hệ mới:   (x + y ) (x + y + 1)   = 25 y+1  x2 + y  + x + y + = 10  y+1 Đặt a = x2 + y , b = x + y + hệ phương trình cho trở thành: y+1 ab = 25 ⇐⇒ a = b = ⇐⇒ + b = 10  x=3    y=1 ⇐⇒     x = −3    y = 11  x2 + y = (y + 1) x + y + = 10 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (3; 1) , www.DeThiThuDaiHoc.com 26 −3 11 ; 2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Bài 40 Giải hệ phương trình sau: √ (x + y) x − y + = x + 3y + √ √ (x − y) x − y + = (x + y + 1) x + y − Lời giải: x − y ≥ −2 x+y ≥2 Điều kiện: Đặt a = x + y (a ≥ 2) √ b = x − y + (b ≥ 0) a=x+y b −2=x−y ⇐⇒ Hệ phương trình cho trở thành ab = 2a − b2 + √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − ⇐⇒ ⇐⇒    b=2 a + b + = (V N )  √  (b − 2) b = (a + 1) a −    b=2    x= ⇐⇒ a=3 ⇒   y=   a=2 a (2 − b) + (2 + b) (2 − b) = √ (b2 − 2) b = (a + 1) a − b=2 √ (a + 1) a − = 2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x; y) = Bài 41 ; 2 Giải hệ phương trình sau: √ x − y + x − = y − (1) √ − (y − 1)2 x − = (y − x) (y − 1) (2) √ Lời giải: Điều kiện: x≥y x≥1 Ta biến đổi phương trình trước Nhẩm nhẩm thấy liên hợp xuất nhân tử nên ta làm sau: Trường hợp 1: Với √ √ x − y = x − ⇐⇒ y = thay xuống phương trình (2) khơng thỏa mãn Trường hợp 2: Với √ √ x − y = x − ⇐⇒ y = ta có: www.DeThiThuDaiHoc.com 27 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam √ √ 1−y √ (1) ⇐⇒ √ = y − ⇐⇒ x − y − x − = −1 x−y− x−1   y≥2 √ √ √ ⇐⇒ x − y + = x − ⇐⇒ y − = x − y ⇐⇒  x= y +4 Thay xuốn phương trình (2) ta được: y2 y2 + = y− (y − 1) 4 (4y − y − 4) (y − 1) y ⇐⇒ − (y − 1) =  y=0  ⇐⇒ y + y − 6y = ⇐⇒  y = y = −3 ⇐⇒ y = ⇒ x = − (y − 1)2 Vậy nghiệm hệ phương trình cho là: (x; y) = (2; 2) Bài 42 Giải bất phương trình sau: √ √ √ 2− x 2+ x √ √ +√ √ = 2+ 2+ x 2− 2− x Lời giải: Điều kiện: < x ≤ Đặt: 2+ Ta có: ab = √ x = a, 2− √ x=b a, b ≥ 0; b = √ √ − x, a2 + b2 = Phương trình cho trở thành: √ a2 b2 +√ = 2+a √ 2−b √ √ √ √ ⇐⇒ a2 − a2 b + b2 + ab2 = 2 − b + a − ab √ ⇐⇒ (a2 + b2 + ab − 2) − ab (a − b) = (a − b) √ ⇐⇒ (ab + 2) = (a − b) (ab + 2) √ ⇐⇒ a − b = ⇐⇒ a2 + b2 − 2ab = √ ⇐⇒ ab = ⇐⇒ − x = ⇐⇒ x = √ www.DeThiThuDaiHoc.com 28 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài 43 Giải hệ phương trình sau: √ x − x2 + y − 4y = √ − x2 + − 4y = − x − 2y Lời giải:  √ √  − 5≤x≤ √ √ Điều kiện:  − ≤y≤ 2 Ta có: HP T ⇐⇒ Đặt: √ x − x2 + y − 4y = √ x + − x2 + 2y + − 4y = √ x + − x2 = a 2y + − 4y = b √ a2 = + 2x − x2 ⇐⇒ b2 = + 4y − 4y   √  x − x2 = a − ⇐⇒   y − 4y = b − Khi ta có hệ mới:   a − b2 − + =3  a+b=6 ⇐⇒ Với:        3a2 − 12a + = a+b=6 x=2 x=1 a=3  ⇒  b=3   y=1     y= www.DeThiThuDaiHoc.com 2a2 + b2 = 27 a+b=6  a=3   b=3 ⇐⇒   a=1  b=5 ⇐⇒ ⇐⇒ (x; y) = (2; 1) , 2; 29 , (1; 1) , 1; Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Với: a=1 hệ phương trình vơ nghiệm b=5 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (2; 1) , 2; Bài 44 , (1; 1) , 1; Giải phương trình sau: √ √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 Lời giải: Điều kiện −2 ≤ x ≤ Biến đổi phương trình đầu thành √ √ 12x − 2x + − 2 − x = √ 9x2 + 16 6x − 12x − √ ⇐⇒ √ =√ 9x2 + 16  2x + + 2 − x x=  ⇐⇒ √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 Mặt khác: √ √ √ 2x + + 2 − x = 9x2 + 16 ⇐⇒ 9x2 + 8x − 32 = 16 (4 − x2 ) ⇐⇒ 9x2 − 32 = 2 (4 − x2 ) − x ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x = (32 − 9x2 ) ⇐⇒ (9x2 − 32) 2 (4 − x2 ) + x + = ⇐⇒ 9x2 = 32 2 (4 − x2 ) + x + = (V N )   Thử lại ta có nghiệm phương trình cho là:  Bài 45 Giải hệ phương trình sau:    (x − 2)    y  www.DeThiThuDaiHoc.com 1+ 1+ √ ±4 ⇐⇒ x = 3√ x= x= 3x = 2x − y y 3x = 2x2 + y − 4x y 30 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam Lời giải:   + 3x ≥ y Điều kiện:  y=0 Trường hợp 1:   + 3x = 3x y 1+ =0⇒  2x − y = y Trường hợp 2: 1+ y = −3x 2x − y = ⇐⇒ ⇐⇒ x = y = (loai) 3x =0 y Chi vế phương trình cho ta x−2 2x − y = 2 y 2x + y − 4x ⇐⇒ 2x3 − 8x2 − xy − 2y + 8x + y = ⇐⇒ (x + y − 2) (2x2 − 2xy + y ) =  x = −y +  ⇐⇒ y2 y2 x2 − xy + + =0  x = −y + ⇐⇒  y y2 x− + = (V N ) 2 ⇐⇒ x = −y + Thay vào ta có: −y 1+ ⇐⇒ y   ⇐⇒       ⇐⇒     (−y + 2) = −3y + y −2y + = 3y − y ≤y≤3 9y − 24y + 16 = −2y + 6y ≤y≤3  ⇐⇒ y = ⇒ x = y=2  y= 11 Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (0; 2) Bài 46 Giải hệ phương trình sau: √ √ √ x + 3y + − y = x + (1) √ √ − x + y − = x2 − 3y + (2) www.DeThiThuDaiHoc.com 31 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Lời giải:   x + 3y + ≥  Điều kiện: y≥1   −2 ≤ x ≤ Ta có: √ √ √ √ √ (1) ⇐⇒ x + 3y + = x + + y ⇐⇒ (x + 3y + 2) = x + + 9y + x + y √ √ √ √ ⇐⇒ (x + 2) − x + y + 3y = ⇐⇒ x + − y = ⇐⇒ x + = y Thay xuống phương trình (2) ta √ √ √ − x + x + = x2 − (x + 2) + ⇐⇒ − x + x + = x2 − 3x + √ √ −x x +2 + + = x2 − 3x ⇐⇒ 4−x− x+1− 3 −x x 4−x− +2 x+1− +1 3 ⇐⇒ +√ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3 −x2 x −x2 x + + 9 +√ ⇐⇒ = x2 − 3x x √ −x x+1+ +1 4−x+ +2 3  x2 − 3x =  −1 −1 x=0 +√ ⇐⇒  = ⇐⇒ x  √ −x x=3 x+1+ +1 4−x+ +2 3 √ Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = (0; 2) , (3; 5) Bài 47 Giải phương trình sau: √ √ √ (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x2 − 15 Lời giải: Điều kiện: Đặt: ≤x≤ 2 √ a = 2x − √ b = − 2x Mặt khác: a2 + b2 = 2; ab = √ www.DeThiThuDaiHoc.com (a, b ≥ 0) ⇒ 2a2 + = 4x − 2b2 + = 13 − 4x 16x − 4x2 − 15 32 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Do phương trình cho trở thành: (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = + 8ab ⇐⇒ (2b2 + 3) a + (2a2 + 3) b = a2 + b2 + 8ab ⇐⇒ 2ab (a + b) + (a + b) = (a + b)2 + 6ab ⇐⇒ (a + b − 3) (2ab − a − = b) √ a+b=3 16x − 4x2 − 15 = (V N ) ⇐⇒ ⇐⇒  √ a + b = 2ab 16x − 4x2 − 15 = ⇐⇒ x = (T M ) Vậy nghiệm phương trình cho là: x = Bài 48 Giải phương trình sau: √ x2 + 5x + = x3 + Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Biến đổi tương đương phương trình đầu ta có: √ x2 + 5x + = x3 + ⇐⇒ x2 + 5x + = (x + 1) (x2 − x + 1) ⇐⇒ (x2 − x + 1) − (x + 1) (x2 − x + 1) + (x + 1) = √ √ x2 − x + = x + x2 − x + = 36 (x + 1) √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ x2 − x + = x + x2 − x + = x + √  37 ± 1509  x= x2 − 37x − 35 = ⇐⇒ ⇐⇒   x=2 x − 2x = x=0 37 ±  √  x= Vậy nghiệm phương trình cho là:   x=2 x=0 Bài 49 1509 Giải hệ phương trình sau: (x + y)(x + 4y + y) + 3y = (x, y ∈ R) x + 2y + − y + y + = Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 33 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Điều kiện: x + 2y + ≥ Phương trình thứ hệ tương đương với: (x + y)2 + 4(x + y)y + 3y = ⇐⇒ (x + y + y )(x + y + 3y ) = TH 1: x = −y − y thay vào phương trình thứ hệ ta y2 − y + − y2 + y + = y − y + = −1 (loai) y − y + = ⇐⇒ ⇐⇒ y − y − = √ ± 13 ⇐⇒ y = Với y = 1− √ √ √ √ + 13 13 x = −4 + 13 với y = x = −4 − 13 2 TH 2: x = −y − 3y thay vào phương trình hệ ta −y − y + − y + y + = ⇐⇒ −y − y + = y − y − y2 − y − ≥ −y − y + = (y − y − 1) ⇐⇒ y2 − y − ≥ y(y + 1)(y − 3y + 3) = ⇐⇒ y = −1 ⇐⇒ Suy x = −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (x; y) = Bài 50 −4 + √ 13; 1− √ 13 , √ 1+ −4 − 13; √ 13 , (−2; − 1) Giải bất phương trình sau: x− + x 1− ≥x x Lời giải: www.DeThiThuDaiHoc.com 34 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam x≥1 −1 ≤ x < Điều kiện: TH 1: Nếu −1 ≤ x < thỏa mãn bất phương trình TH 2: Nếu x ≥ bất phương trình cho tương đương với x− + x 1− √ √ √ ≥ x ⇐⇒ x2 − ≥ x x − x − x Nhận thấy vế khơng âm nên bình phương vế bất phương trình ta có: √ 1+ x=  √2 ≤ ⇐⇒ x2 − x − = ⇐⇒  1− x= (loai)  √ x2 − x − √ 1+ Vậy nghiệm bất phương trình là: −1 ≤ x < x = www.DeThiThuDaiHoc.com 35 Nguyễn Văn Quốc Tuấn ... Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = −2 + Bài 36 √ 19 Giải hệ phương trình:... Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.MATHVN.com - Tốn học Việt Nam Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài x=3 x=1 Giải hệ phương trình sau: √ √ x + + 3y... nghiệm phương trình cho  Bài x=0 x= Giải phương trình sau: x+ 5+ √ x−1=6 Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.DeThiThuDaiHoc.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương