Ứng dụng của đạo hàm

WWW.ToanCapBa.Net ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An. Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng. Vì vậy việc sử dụng đạo hàm thuần thục để giải toán là điều cần thiết đối với HS lớp 12 trung học phổ thông. Bài viết này nhằm giới thiệu một số dạng toán cơ bản về ứng dụng của đạo hàm. A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ 1. Các kiến thức cơ bản Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 0 0 f (x) M, x D x D,f(x ) M ≤ ∀ ∈   ∃ ∈ =  Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu : 0 0 f (x) m, x D x D,f(x ) m ≥ ∀ ∈   ∃ ∈ =  2. Các kĩ năng cơ bản Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) - Tính đạo hàm f’(x). - Tìm các nghiệm 1 x , 2 x , …, n x của f’(x) trên (a;b). - Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b). Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b) Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] - Tính đạo hàm f’(x). - Tìm các nghiệm 1 x , 2 x , …, n x của f’(x) trên [a;b]. - Tính f (a) , f (b) , 1 f (x ) , …, n f (x ) . Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên ⇒ x [a;b] M maxf (x) ∈ = . Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên ⇒ x [a;b] m min f (x) ∈ = . 3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN, WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net GTNN của hàm số. Dạng 1. Khảo sát trực tiếp Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số. Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau: - Tính f’(x) chính xác. - Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0. - Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số. Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 y x 4 x= + − Lời giải TXĐ D=[-2,2] 2 x y' 1 4 x = − − ; y’=0 ⇔ 2 4 x x− = ⇔ 2 2 x 0 4 x x ≥   − =  ⇔ x= 2 y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y( 2 )=2 2 Vậy x D max f (x) 2 2 ∈ = ; x D min f (x) 2 ∈ =− Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = 2 x+1 x +1 trên đoạn [ ] 2;1− . Lời giải Ta có : ( ) , 3 2 -x+1 y = x +1 ⇒ , y = 0 ⇔ x=1. Do y(-1) = 0, y(1) = 2 , y(2) = 5 3 nên [ ] 1;2 max y − = y(1) = 2 , [ ] y 2;1 min − = y(-1) = 0. Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 2 x 8x 7 y x 1 − + = + (x R)∈ Lời giải 2 2 2 8x 12x 8 y' (x 1) − − = + ; y' 0= ⇔ x 2= ; 1 x 2 = − Bảng biến thiên t - ∞ 1 2 − 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net y 9 1 1 -1 Vậy x R min y 1 ∈ = − khi x 2= ; x R max y 9 ∈ = khi 1 x 2 = − Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y 5cos x cos5x= − với x [- ; ] 4 4 π π ∈ Lời giải y' 5sin x 5sin5x= − + k x 5x x k2 2 y' 0 sin5x sin x k 5x x k2 x 6 3 π  =  = + π  = ⇔ = ⇔ ⇔   π π = π − + π   = +   *) k x 2 π = Do x 4 4 π π − ≤ ≤ ⇒ k 4 2 4 π π π − ≤ ≤ ⇒ 1 1 k 2 2 − ≤ ≤ ⇒ k=0 ⇒ x=0. *) k x 6 3 π π = + Do x 4 4 π π − ≤ ≤ ⇒ k k 5 k 4 6 3 4 4 6 3 4 6 12 3 12 π π π π π π π π π π π π − ≤ + ≤ ⇒ − − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤ x k 1 5 1 6 k k 0 4 4 x 6 π  = −  = −  ⇒ − ≤ ≤ ⇒ ⇒   = π   =   y(0) 4= ; y( ) y( ) 3 3 6 6 π π − = = ; y( ) y( ) 3 2 4 4 π π − = = Vậy Miny=4 ; Maxy = 3 3 Bài 5. Tìm GTNN của 2 y x 2x 1= + + (x R)∈ Lời giải 2 2x y' 1 2x 1 = + + ; 2 2 2 x 0 1 y' 0 2x 1 2x x 2x 1 4x 2 ≤  = ⇔ + = − ⇔ ⇔ = −  + =  Bảng biến thiên x - ∞ 1 2 − + ∞ y’ - 0 + + ∞ + ∞ WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net y 1 2 Vậy 1 Miny 2 = khi 1 x 2 = − Dạng 2. Khảo sát gián tiếp Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau: - Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t). - Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) - Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số. Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau: - Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể qui hết về biến t. - Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp… Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của 8 4 S 2sin x cos 2x= + , x ∈ R Lời giải Do 2 1 cos2x sin x 2 − = nên ta qui S về cos2x S= 4 4 1 cos2x 2( ) cos 2x 2 − + = 4 4 1 (1 cos2x) cos 2x 8 − + Đặt t= cos2x , 1 t 1− ≤ ≤ Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 4 4 1 S g(t) (1 t) t 8 = = − + với 1 t 1− ≤ ≤ Ta có 3 3 1 g'(t) (1 t) 4t 2 = − − + ; g’(t) = 0 ⇔ 3 3 (1 t) 8t− = ⇔ 1-t =2t ⇔ 1 t 3 = g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g( 1 3 )= 1 27 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Vậy MinS= 1 27 ; MaxS= 3 Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y= 1 sin x 1 cos x+ + + (x R)∈ Lời giải Hàm số xác định với x∀ và y>0 với x∀ , do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với 2 y đạt GTNN, GTLN. Ta có: y 2 = 2 + sinx+ cosx+ 2 1+ sinx+ cosx+sinxcosx Đặt t= sinx+ cosx = 2 sin x+ 4 π    ÷   = t ( ) - 2 t 2≤ ≤ Thì y 2 = f(t) = 2 t -1 2 + t+ 2 1+ t+ 2 = 2 t + 2t+1 2 + t+ 2 2 = 2 + t+ 2 t+1 Vậy 2 2 t 2(t 1) y f (t) 2 t 2(t 1)  + − + = =  + + +   với - 2 t -1 -1 t 2 ≤ ≤ ≤ ≤ 1 2 , ( 2 t 1) f '(t) 1 2 , ( 1 t 2 )  − − ≤ ≤ − ⇒ =  + − < ≤   Bảng biến thiên: t −∞ 2− 1 2 +∞ f’(t) - 0 + f(t) 4 2 2− 4 2 2+ 1 Từ bảng biến thiên ta có [ 2; 2 ] max f (t) − = 4+2 2 ; [ 2; 2 ] min f (t) − = 1 ⇒ x R max y 4 2 2 ∈ = + ; x R min y 1 ∈ = Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức 20 20 S sin (x) cos (x)= + Lời giải Nhận xét : Ta quy S về hết 2 sin x Ta có 2 10 2 10 S (sin x) (1 sin x)= + − WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đặt 2 t sin x= (0 t 1)≤ ≤ . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 10 10 S f (t) t (1 t)= = + − với t [0;1]∈ 9 9 f '(t) 10t 10(1 t)= − − 9 9 f '(t) 0 t (1 t)= ⇔ = − ⇔ 1 t 2 = 1 1 f (0) 1; f ( ) ; f (1) 1 2 512 = = = . Vậy 1 MinS 512 = ; MaxS 1 = Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau: 2012 2012 S sin (x) cos (x)= + Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S x 4 4 x 4 (x 4)(4 x) 5= + + − − + − + Lời giải Điều kiện 4 x 4− ≤ ≤ Đặt t x 4 4 x= + + − 2 t x 4 4 x 2 (x 4)(4 x)⇒ = + + − + + − 2 t 8 (x 4)(4 x) 2 − ⇒ + − = Ta có 2 2 t 8 S t 4( ) 5 2t t 21 2 − = − + = − + + Tìm điều của t: Xét hàm số g(x) x 4 4 x= + + − với x [ 4;4]∈ − 1 1 g'(x) 2 x 4 2 4 x = − + − ; g'(x) 0= ⇔ x=0 g( 4) 2 2; g(0) 4; g(4) 2 2− = = = ⇒ x [ 4;4] ming(x) 2 2 ∈ − = ; x [ 4;4] max g(x) 4 ∈ − = ⇒ t [2 2;4]∈ S' 4t 1 0 t [2 2;4]= − + < ∀ ∈ ⇒ S là hàm nghịch biến trên [2 2;4] MinS S(4) 7 ; MaxS S(2 2) 5 2 2= = − = = + Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau: S x 1 8 x 4 (x 1)(8 x) 5= + + − − + − + với x [ 1;8]∈ − Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của 2010 2011 S sin (x).cos (x)= với x [0; ] 2 π ∈ WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Lời giải Nhận xét: i, S 0≥ với mọi x [0; ] 2 π ∈ ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của 2 S (vì khi đó 2 S có thể quy hết về 2 sin x hoặc 2 cos x ). Ta có 2 4020 4022 S sin (x).cos (x)= = 2 2010 2 2011 (sin x) .(1 sin x)− Đặt 2 t sin x= (0 ≤ t ≤ 1). Khi đó 2 2010 2011 S f (t) t .(1 t)= = − 2009 2011 2010 2010 f '(t) 2010t (1 t) 2011.t (1 t)= − − − 2009 2010 f '(t) t (1 t) [2010 4021t]= − − t 0 f '(t) 0 t 1 2010 t 4021   =  = ⇔ =   =   f (0) 0 ;f (1) 0= = ; 2010 2011 4021 2010 (2010) .(2011) f ( ) 4021 (4021) = Vậy Min S =0 ; 2010 2011 4021 (2010) .(2011) MaxS (4021) = Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức 15 20 S sin x.cos x= với x [0; ] 2 π ∈ Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 6 6 y sin x cos x 2cos4x sin 2x 5= + + + − , với x ∈ R Lời giải Nhận xét : 6 6 2 3 sin x cos x 1 sin 2x 4 + = − 2 cos4x 1 2sin 2x= − Do đó ta đưa y về hết sin2x Do đó y = 2 3 1 sin 2x 4 − +2( 2 1 2sin 2x− )+sin2x-5 WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net 2 19 y sin 2x sin 2x 2 4 =− + − Đặt t sin 2x= ( 1 t 1)− ≤ ≤ . Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 19 y t t 2 4 =− + − với 1 t 1 − ≤ ≤ 19 2 y' t 1 ;y' 0 t 2 19 = − + = ⇔ = Ta có 31 23 2 37 y( 1) ;y(1) ;y( ) 4 4 19 19 − = − = − = − Do đó x R 31 min y 4 ∈ = − ; x R 37 max y 19 ∈ = − Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số : 6 6 4 4 y sin x cos x 4(sin x cos x) 2cos2x 2= + − + − + , với x ∈ R Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số 1 y 2(1 sin 2x.cos 4x) (cos4x cos8x) 2 = + − − Lời giải Ta có y 2 2sin 2x.cos4x sin 6x.sin 2x= + − 2 3 2 sin 2x.(1 2sin 2x) (3sin 2x 4sin 2x).sin 2x= + − − − 4 3 2 4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 2sin 2x 2= − − + + Đặt t sin 2x= ( 1 t 1)− ≤ ≤ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số 4 3 2 y 4t 4t 3t 2t 2= − − + + với t [ 1;1]∈ − 3 2 y' 16t 12t 6t 2= − − + ; 1 1 y' 0 t 1;t ;t 2 4 = ⇔ = = − = y( 1) 5− = ; 1 y( ) 1 2 − = ; 1 145 y( ) 4 64 = ; y(1) 1= Vậy min y 1= ; max y 5 = Bài 13. Tìm GTNN của hàm số y x(x 2)(x 4)(x 6) 5= + + + + với x 4≥ − . Lời giải Ta có 2 2 y (x 6x)(x 6x 8) 5= + + + + WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đặt 2 t x 6x= + Khi đó 2 y t 8t 5= + + Xét hàm số 2 g(x) x 6x= + với x 4≥ − g'(x) 2x 6;g'(x) 0 x 3= + = ⇔ = − x - ∞ -4 -3 + ∞ g’(x) - 0 + g(x) -8 + ∞ -9 Suy ra t [ 9; )∈ − +∞ Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số 2 y t 8t 5= + + với t [ 9; )∈ − +∞ . Ta có y' 2t 8 ; y' 0 t 4= + = ⇔ = − Bảng biến thiên t - ∞ -9 -4 + ∞ y’ - 0 + y 14 + ∞ -11 Vậy Miny=-11. Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới. Sau đây là các bài toán minh họa Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của 2 2 2 2 2 2 x xy y S (x y 0) 2x y + + = + > + Lời giải Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và y ≠ 0 để chia tử số và mẫu số của S cho 2 y , sau đó chuyển về biến số x t y = . TH1: y= 0 ⇒ 2 2 x 1 S 2x 2 = = TH2: y 0≠ . Chia cả tử số và mẫu số của S cho 2 y ta được : 2 2 2 2 x x 1 y y S x 2 1 y + + = + WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Đặt x t y = . Khi đó 2 2 t t 1 S 2t 1 + + = + 2 2 2 2t 2t 1 S' (2t 1) − − + = + ; 2 1 3 S' 0 2t 2t 1 0 t 2 − ± = ⇔ + − = ⇔ = Bảng biến thiên t - ∞ 1 3 2 − − 1 3 2 − + + ∞ S’ - 0 + 0 - S 1 2 3 2 3 2− 3 2 3 2+ 1 2 Kết hợp TH1 và TH2 ta có : 3 2 3 2+ ≤ S ≤ 3 2 3 2− Vậy MinS = 3 2 3 2+ khi x 1 3 y 2 − − = ; Max S = 3 2 3 2− khi x 1 3 y 2 − + = Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau: a, 2 2 2 2 2 2 x xy y M (x y 0) 3x y + − = + > + b, 2 2 2 2 2 2 x xy 2y N (x y 0) 4x y − − = + > + Bài 15. Cho a.b 0≠ . Tìm GTNN của 4 4 2 2 4 4 2 2 a b a b a b y ( ) b a b a b a = + − + + + Lời giải Đặt a b t b a = + . Ta có a b a b | t | | | | | | | 2 b a b a = + = + ≥ ( Theo Cô Si ) ⇒ 2 2 2 2 2 a b t 2 b a + = − ⇒ 4 4 4 2 4 4 a b t 4t 2 b a + = − + ⇒ 4 2 2 y t 4t 2 (t 2) t= − + − − + = 4 2 t 5t t 4− + + 3 y'(t) 4t 10t 1= − + 2 y''(t) 12t 10 0= − > với mọi t ≥ 2 Bảng biến thiên của y’(t) t - ∞ -2 2 + ∞ y’’(t) + + WWW.ToanCapBa.Net [...]... 6)(x + 8) + 5 ( x ∈ [ − 4;2] ) Bài 5 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = sin 6 x + cos 6 x + 2cos 4x + sin 2x + 5 Bài 6 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y = 9 x + 3y với x, y ≥ 0 và x+y=1 Bài 7 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: π π y = 4cos x − cos 4x với x ∈ [ − ; ] 2 2 Bài 8 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: 3cos 4 x + 4sin 2 x y= 3sin 4 x + 2cos 2 x Bài 9 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: S = 9 x + 4(3x − 1 1 ) + x + 5 với x ∈ [... Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau: a, M = x 2 + y 2 + z 2 b, N = x 3 + y3 + z3 c, P = x 3 y + xy3 + x 3z + xz 3 + y3z + yz 3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Tìm GTNN của hàm số: y = x + 2 + 2 − x − 4 (x + 2)(2 − x) + 5 ( x ∈ [ − 2;2] ) Bài 2 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: y= x2 − x − 3 2x 2 + 1 Bài 3 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: x 2 − xy + y 2 y= ( x 2 + y2 > 0 ) 2x 2 + y 2 Bài 4 Tìm GTNN, GTLN của hàm số: WWW.ToanCapBa.Net... chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều biến phụ thuộc lẫn nhau Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là... của f(t) t y’(t) -∞ -2 +∞ + 2 - -∞ -2 y +∞ 2 Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 Nhận xét i, Đặt t = a b + giúp ta chuyển y về hết biến t b a ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của y’ trên các khoảng (−∞; −2] và [2; +∞) Bài 16 Cho x, y, z > 0 và x +y+z ≤ 1 Tìm GTNN của biểu thức S = x 2 + y2 + z2 + 3 3 3 + 3+ 3 x3 y z Lời giải Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ” Áp dụng. .. Minf(x,y)=-2 ⇔  Bài 21 Cho hàm số f (x, y, z) = xy + yz + zx − 2xyz trên miền D = { (x, y, z) |0 ≤ x, y, z và x + y + z = 1 } Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z) WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Lời giải *) Tìm GTNN của f(x,y,z) 1 3 Giả sử z = min{x, y, z} ⇒ z ∈ [0; ] f (x, y, z) = xy + (x + y)z − 2xyz = xy(1 − 2z) + z(1 − z) ≤ (1 − z) 2 1 (1 − 2z) + z(1 − z) = − (2z 3 − z 2 − 1) 4 4 1 4 1 3 Xét hàm số F(z) = − (2z... S2 = xy + yz + zx S = xyz = 2  3 Ta biểu diễn S theo f (S2 ) Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của S2 Sau đó ta khảo sát f (S2 ) để tìm GTNN, GTLN của S *) Ta biểu diễn S2 theo z S2 = xy + yz + zx = 2 2 + z(4 − z) = 4z − z 2 + z z WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net *) Ta tìm miền biến thiên của z x + y = 4 − z  Do  2  xy = z  ⇒ (4 − z) 2 ≥ -∞ z 8 ⇒ (z − 2)(z 2 − 6z + 4) ≥ 0 z 3− 5 z-2... 3 Bài 17 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của biểu thức P = sin A B C A B C + sin + sin + cot 2 + cot 2 + cot 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải Ta có P = sin A B C 1 1 1 + sin + sin + + + −3 2 2 2 sin 2 A sin 2 B sin 2 C 2 2 2 Trong tam giác ABC ta có sin A B C 3 + sin + sin ≤ 2 2 2 2 Ta đánh giá các biểu thức theo t = sin A B C 3 + sin + sin với t ∈ (0; ] 2 2 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:... f(x,y,z)=0 ⇔  Bài luyện tập 1: Cho x, y, z ≥ 0 và x+y+z=1 Tìm GTLN của biểu thức: 1 1 1 1 1 1 S = xyz[x( + ) + y( + ) + z( + )] y z x z y x Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn 0 ≤ x, y, z ≤ 1 Tìm GTLN của biểu thức P = 2(x 3 + y3 + z3 ) − (x 2 y + y 2 z + z 2 x) x + y + z = 4  xyz = 2 Bài 22 Cho x, y, z >0 thỏa mãn  Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x 4 + y 4 + z 4 ( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 )... số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số… Bài 20 Cho miền D = { (x, y) |0 ≤ x ≤ 1;0 ≤ y ≤ 2} Tìm GTNN của hàm số f (x, y) = (1 − x)(2 − y)(4x − 2y) Lời giải f (x, y) = (1 − x)(2 − y)[2(2-y)-4(1-x)] Đặt u=1-x ; v=1-y ⇒ u ∈ [0;1] ; v ∈ [0;2] ⇒ f (x, y) = g(u, v) = uv(2v − 4u) = 2uv 2 − 4u 2 v Coi u là ẩn ,... 19: Cho x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức P= x y + y+1 x+1 Lời giải x y ( x+ y ) - 2 xy+1 = 2 - 2 xy + Ta có: P = = y+1 x+1 2 + xy 2 x+ xy 2  xy ≥ 0  Đặt xy = t , vì x+ y =1, x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒  1 ≥ 2 xy  Khi đó P = f(t) = Do f '(t) = -6 ( 2 + t) 2 ⇔ 0 ≤ xy ≤ 1 1 ⇔ 0≤t≤ 4 4 2- 2t 1 với 0 ≤ t ≤ 2+t 4 < 0 với ∀ t ∈  0; 1  nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn  4   . về ứng dụng của đạo hàm. A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ 1. Các kiến thức cơ bản Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D Số M gọi là GTLN của hàm. WWW.ToanCapBa.Net ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An. Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm có vai trò rất. ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t). - Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) - Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số. Để giải