Chuyên đề số phức ôn thi quốc gia PTTH

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm Ma; b được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại..  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành

A ĐỊNH NGHĨA & CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC

I LÝ THUYẾT:

1 Khái niệm số phức :

 Là biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là những số thực và số i thoả i2= –1

Kí hiệu là z = a + bi với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo

 Tập hợp các số phức kí hiệu là C= {a + bi/ a, bÎ R và i2= –1} Ta có RÌ C

 Số phức có phần ảo bằng 0 là một số thực: z = a + 0.i = aÎ Ì 

 Số phức có phần thực bằng 0 là một số ảo: z = 0.a + bi = bi Đặc biệt i = 0 + 1.i

 Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực vừa là số ảo

2 Số phức bằng nhau :

 Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i Ta có z = z¢ Û '

'

a a

b b











 VD: Tìm các số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1)i = (2y + 1) + (3x – 7)i(1)

3 Biểu diễn hình học của số phức:

 Mỗi số phức z = a + bi được xác định bởi cặp số thực (a; b)

 Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a; b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại

 Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo

 VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn các số phức là:

A

z = 1 + 4 i, z = –3 + 0 B i, z = 0 –2 C i, z = 4 – D i

4 Môđun của số phức:

 Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt

phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM được gọi là môđun của số

phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

 VD: z = 3 – 4i có z  3 4i  32 ( 4)2 = 5

 Chú ý : z2 a2 b22abi  (a2 b2 2) 4a b2 2 a2b2 z2

5 Số phức liên hợp:

 Cho số phức z = a + bi , số phức liên hợp của z là z  a bi

z = a + biÛ z = a - bi ; z z , z = z

* Chú ý (z ) (z) ;in  n    i; i i

 z là số thực Û z z

 z là số ảo Û zz

* Môđun số phức z = a + b.i (a; b Î R) z OM  a2b2  z.z Chú ý: z z z Î C

 Hai điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục Ox trên mặt phẳng Oxy

6 Cộng, trừ số phức:

 Số đối của số phức z = a + bi là –z = –a – bi

 Cho z a bi  và 'z  a b i' ' Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i

 Phép cộng số phức có các tính chất như phép cộng số thực

7 Phép nhân số phức:

 Cho hai số phức z a bi  và 'z  a b i' ' Nhân hai số phức như nhân hai đa thức rồi thay i2= –1 và rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i

 k.z = k(a + bi) = ka + kbi Đặc biệt 0.z = 0 zÎ 

 z.z = (a + bi)(a – bi) hay z.z = a + b = z 2 2 2

 VD: Phân tích z2+ 4 thành nhân tử z2+ 4 = z2– (2 )i = (z – 22 i)(z + 2i)

 Phép nhân số phức có các tính chất như phép nhân số thực

8 Phép chia số phức:

 Số nghịch đảo của số phức z a bi  ¹ 0 là -1 2

1 z

z = =

1 a - bi

=

a + bi a + b

 Cho hai số phức z a bi  ¹ 0 và 'z  a b i' ' thì 2

' '

a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)

=

a + bi a + b

 VD: Tìm z thoả (1 + 2i)z = 3z – i

Ta có (3 – 1 – 2i)z = i Û z =

2 2

i i



9 Lũy thừa của đơn vị ảo: Cho k Î N

 i = 1; i 4k 4k+1 = i; i 4k+ 2 = -1; i 4k+ 3 = -i

 VD: Tìm phần thực và ảo của số phức: z = 13

(2 2 ) i

6

(2 2 ) (2 2 ) (8 ) (2 2 ) 8 2 8 2 2 2

z  i   i  i  i   i  i

Phần thực a = 219, phần ảo b = 219

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) Tìm các số thực x, y biết:

a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i;

b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i;

 ĐS : a) x = 3

2, y =

4

3 b) x = 0, y = 1 c) x =

2

 , y = 1 3

3



2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

a) Phần thực của z bằng –2;

b) Phần ảo của z bằng 3;

c) Phần thực của z thuộc khoảng (–1; 2);

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3];

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2]

 Hướng dẫn :

a) Là đường thẳng x = –2;

b) Là đường thẳng y = 3;

c) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song x = –1 và x = 2 không tính biên;

d) Là miền trong giới hạn bởi hai đường thẳng song song y = 1 và y = 3 tính cả biên;

e) Là miền trong giới hạn bởi bốn đường thẳng đôi một song song x = –2, x = 2 và y = –2, y = 2 tính cả biên

3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa:

a) |z| = 1; b) |z| £ 1 c) 1 < |z| £ 2 d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1

 Hướng dẫn:

a) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a2b2 1, là đường tròn tâm O, bán kính R = 1;

b) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa a2b2 £1, là hình tròn tâm O, bán kính R = 1 tính cả biên;

c) Tập hợp các điểm M(a; b) thỏa 1a2b2 £2, là hình vành khăn tâm O, bán kính r = 1 không tính biên, bán kính lớn R = 2 tính biên;

4) Thực hiện các phép tính sau:

a) 2i(3 + i)(2 + 4i)b)

2 3 (1 ) (2 ) 2

i



 

5) Giải phương trình sau:

b) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c) (2 3 ) 5 2

4 3

z



 Hướng dẫn : a) z = 1 b) z = 8 9

5 5 i c) z = 15 – 5i.

6) Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt

phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

 Hướng dẫn :Gọi A là điểm biểu diễn số phức i thì D biểu diễn số –i cos ;sin

  nên F biểu diễn

số 3 1

2 2i C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số

3 1

2 2i

  E đối xứng F qua Ox nên E biểu

diễn số 3 1

2  2i B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số

3 1

2 2i

z  i Hãy tính: 1 2 3 2

; ;z z ;( ) ;1z z z

 Hướng dẫn : Ta có z  nên1

2 1 3

z   i; z3 z z 2 1; 1 z z2 0

8) Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng 1 

2 z z , phần ảo của số phức z bằng 1  

2i z z

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z .

c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z .

d) Với mọi số phức z, z¢, ta có z z ' z z', zz'z z ' và nếu z ¹ 0 thì z' z'

 

 

 

 Hướng dẫn : z a bi z  ,  a bi (1)

a) Lấy vế cộng vế Þ Phần thực của số phức z bằng 1 

2 z z Lấy vế trừ vế Þ phần ảo của số phức z bằng 1  

2i z z .

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi phần thực bằng 0 Û z z  Û0 z z

c) Số phức z là số thực khi và chỉ khi phần ảo bằng 0 Û z z  Û0 z z

; ' ' ' ;

z a bi  z  a b i z z a b là số thực

z z  a a  b b i a a  b b i a bi  a b i  z z

' ( ' ') ( ' ' ) ( ' ') ( ' ' ) ( )( ' ' ) '

zz  aa bb  ab a b i  aa bb  ab a b i  a bi a b i  z z

9) Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có 4 4 1 4 2 4 3

 Hướng dẫn : Ta có i4 i i2 2 1

10) Chứng minh rằng:

e) Nếu u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì | | | |u z và từ đó nếu hai điểm A A theo thứ 1, 2

tự biểu diễn số phức z z thì 1, 2 A A1 2 z2 z1

f) Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z ¹ 0 thì z' z'

g) Với mọi số phức z, z¢, ta có z z ' £z  z'

 Hướng dẫn :

a) z a bi  thì z  a2b2 , u biểu diễn số phức z thì u= (a; b) Þ u  a2b2 do đó | | | |u z

1, 2

A A theo thứ tự biểu diễn số phức z z thì 1, 2 A A1 2 OA 2 OA1z2  z1Þ A A1 2 z2 z1

b) z a bi  , 'z  a b i' ' , z z 'aa bb' '  ab a b i' '  , z  a2b2, 'z  a'2b'2

Ta có z2 'z 2 a2b2 a'2b'2

Ta có 2  2  2  2  2  2  2  2 2  2 2

z z  aa bb  ab a b  aa  bb  ab  a b  a b a b

Vậy |z.z¢| = |z|.|z¢|

' '

c) u biểu diễn z, 'u

biểu diễn z¢ thì u u  '

biểu diễn z + z¢ và z z '  u u  ' Khi u u ¹ , ' 0  

u u   u u      u u     u u £ u u      u u  u u

                         

Þ u u  ' £u  u'

 

do đó z z ' £z  z'

11) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

h) z i 1 b) z i 1

z i





 Hướng dẫn : Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức

a) Với z x yi  Þ z i  Û1 x(y1)i  Û1 x2(y1)2  Û1 x2y12 1

Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I(0; 1) bán kính R = 1

b) Với z x yi  Þ z i 1 x (y 1)i x (y 1)i x2 y 12 x2 y 12 y 0

z i



 Tập hợp các điểm M là trục thực Ox

c) Với z x yi  Þ z  z 3 4 i Û x yi (x 3) (4  y i) Û x2y2 (x 3)2(4 y)2

6x 8y 25 0

Û    Tập hợp các điểm M là đường thẳng 6x8y 25 0

12) Tìm số phức thỏa mãn đk ở bài 11 mà có mô đun nhỏ nhất.

13) Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có

10

1

z

z





 Hướng dẫn :

Với z ¹ 1, 1 z z2 z9 z1 z z2 z9z10 1 z z2 z9 z101

Chia hai vế cho z – 1 hằng đẳng thức được chứng minh.(Cấp số nhân)

14) Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)?

a) 2 2

( )

z z



2 ( )2 1

zz





 Hướng dẫn : Ta có z a bi z  ,  a bi, z2 (a2 b2) 2 abi z, 2 (a2 b2) 2 abi,

Và z3 (a3 3ab2) (3 a b b i z2  3) , 3 (a3 3ab2) (3 a b b i2  3)

Vậyz2( )z 2 2(a2 b2) là số thực; 3 ( )3 3 3 2

i





2 2

2 2

i





   là số ảo

15) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau:

i) z2 là số thực âm; b) z2 là số ảo ; c) 2 2

( )

z i là số ảo

 Hướng dẫn : M(x; y) biểu diễn z thì z x yi  Þ z2 x2 y22xyi z; 2 x2 y2 2xyi

a) 2

z là số thực âm khi xy = 0 và x2 y2 0 Û x = 0 và y ¹ 0 Tập hợp các điểm M là trục Oy trừ O b) 2

z là số ảo khi x2 y2 0 Û y = ± x Tập hợp các điểm M là 2 đường phân giác của gốc tọa độ c) z2 ( )z 2 khi xy = 0 Û x = 0 hoặc y = 0 Tập hợp các điểm M là 2 trục tọa độ

d) 1

 



    là số ảo khi x = 0, y ¹ 1 Tập hợp M là trục Oy bỏ điểm M(0;

16) Tìm nghiệm phức của phương trình sau:

j) iz  2 i 0 c) 2 i z  4 0 e) z  2 4 0

k) 2 3 i z z  1 d) iz1 z3i z   2 3 i 0

 Hướng dẫn :

a) z 1 2i b) 1 3

10 10

5 5

z  i d) i; 3 ; 2 3 i  i e) z±2i

2) Tìm :

17) a) Cho số phức z x yi  (x, yÎR) Khi z ¹ 1, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức z i

z i





b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z i

z i



 là số thực dương.

 Hướng dẫn :

a) Phần thực là

2 2

1 ( 1)

 

  , phần ảo 2 2

2 ( 1)

x

x  y

b) Là số thực dương khi x  và 0 x2y21 0 Þ Tập hợp là trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J là điểm biểu diễn hai số phức ,i i

18) a) Trong mặt phẳng phức cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức

1, ,2 3

z z z Hỏi trọng tâm DABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét 3 điểm A, B, C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z z z thỏa 1, ,2 3 z1 z2  z3 Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1z2z3 0

 Hướng dẫn :

a) Gọi G là trọng tâm DABC, ta có    1 2 3

vậy G biểu diễn số phức

 1 2 3

1

3

b) Vì OA  OB OC

nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O Tam giác ABC đều khi trọng tâm G trùng

O hay z1z2 z3 0

B CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

I LÝ THUYẾT

1 Căn bậc hai của số phức:

Cho số phức w, mỗi số phức z = a + bi thoả z2= w được gọi là căn bậc hai của w

 w là số thực: w = aÎ 

 a = 0: Căn bậc hai của 0 là 0

 a > 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a và – a

 a < 0: Có hai căn bậc hai đối nhau là a i và – a i

 w là số phức: w = a + bi (a, bÎ , b ¹ 0) và z = x + y.i là 1 căn bậc hai của w khi

2



2 2

(x + yi) = a + bi

2xy = b

 Mỗi số phức đều có hai căn bậc hai đối nhau

 VD: Tính căn bậc hai của w = –3 + 4i

ĐS: có 2 căn bậc hai của w là z = 1 + 21 i, z = –1 – 22 i

2 Phương trình bậc hai:

a) Phương trình bậc hai với hệ số a, b, c là số thực: 2 2

ax bx c  a¹ D b  ac.

 D ³ 0: Phương trình có 2 nghiệm thực 1,2

2

b x

a

 ± D



 D < 0: Phương trình có 2 nghiệm phức 1,2 | |

2

x

a



 VD: Giải phương trình x  3 8 0

ĐS: Phương trình có 3 nghiệm x1 1 3 ,i x2  1 3 ,i x3 2

Ax Bx C  A¹ D B  AC ,D  a bi

 D = 0: Phương trình có nghiệm kép

2

B x A





 D ¹ 0: Phương trình có 2 nghiệm 1,2

2

B x

A



 với  là 1 căn bậc hai của D.

 VD: Giải phương trình: a) 2z2 iz 1 0; b) 2

(3 2 ) 5 5 0

z   i z  i a) 2z2 iz 1 0 có D = –1 – 8 = – 9 = 2

(3 )i

Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3 4

b) 2

(3 2 ) 5 5 0

(3 2 ) i  4(5 5 ) 9 12 i   i4i  20 20 i15 8 i= 2

(1 4 ) i

Phương trình có 2 nghiệm phức 1

3 2 1 4

1 3 2

3 2 1 4

2 2

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) Giải các phương trình sau trên tập phức:

a) 3z22z1 0 b) 7z23z 2 0; c) 5z2  7z11 0

 Hướng dẫn :

a) 1 2

3

i

14

i

10

i

±

2) Giải các phương trình sau trên tập phức:

a) z4z2 6 0 b) z47z210 0

 Hướng dẫn :

a) ± 2;±i 3 b) ±i 2;±i 5

3) Cho a, b, c Î R, a ¹ 0, z z là hai nghiệm phương trình 1, 2 az2bz c 0 Hãy tính z1z2 và z z theo1 2 các hệ số a, b, c

 Hướng dẫn : z1z2 = b

a

 , z z = 1 2 c

a

4) Cho z = a + bi là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm

 Hướng dẫn :

Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x –z ) = 0 Û x2 (z z x zz )  0

Với z + z = 2a, zz = a2b2 Vậy phương trình đó là x2 2ax a 2b2 0

5) Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z  w

 Hướng dẫn : z a bi  là một căn bậc hai của w Þ z2  Ûw z2 w Û z2 w Û z  w

VD: 3 4 i2 i2 tức z 2 i là một căn bậc hai của w 3 4i thì z  w

6) Tìm nghiệm phức của các phương trình sau:

a) z2  z 1 b) z22z 5 0 c) z2(1 3 ) i z 2(1 ) 0i 

 Hướng dẫn :

a)

2

2

b) z22z  Û5 0 z12 4Û z12  2i 2 Û z ± Û1 2i z ±1 2i

c) D  1 3i28 1 i 2i 1 i2 Phương trình có hai nghiệm phức là z12 ;i z2  1 i

7) a) Hỏi công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực có đúng cho phương trình bậc hai với hệ

số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z2Bz C 0 (B, C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B, C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

 Hướng dẫn :

a) Hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức là  2 2 

2

B

A





1 2 B; 1 2 C

b) Hai số cần tìm là nghiệm phương trình z2 4 i z 5 1  i 0

Cĩ D  5 12i2 3 i2 nên hai số cần tìm là z1 3 ;i z2  1 2i

c) Phương trình z2Bz C 0 cĩ hai nghiệm là z a bi z  ;  a bi thì B z z  2a là số thực và Cz z a2b2 là số thực Điều ngược lại khơng đúng

8) a) Giải phương trình sau:  2   2 

b) Tìm số phức B để phương trình z2Bz3i0 cĩ tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

 Hướng dẫn :

a) z2i z i   2 0 cĩ 3 nghiệm là 2 2 ; 2 2 ;

2  2 i  2  2 i i. b) Ta cĩ z1z2 B z z; 1 2 3i nên

9) Tìm nghiệm của phương trình z 1 k

z

  trong các trường hợp sau:

a) k = 1; b) k = 2 ; c) k = 2i

 Hướng dẫn : z 1 k z2 kz 1 0

z

2

k

a) k = 1 thì 1,2 1 3

z  ± i b) k = 2 thì 1,2

10) Giải phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng phức mỗi phương trình sau:

a) z  3 1 0; b) z  4 1 0; c) z  4 4 0; d) 8z48z3  z 1

 Hướng dẫn :

b) z41 0 Û z4  Û1 z2 ± Û1 z±1, z±i

c) z4  Û4 0 z4 4Û z2 ± Û2i z± 1 i z, ± 1 i

11) a) Tìm các số thực b, c để phương trình z2bz c 0 nhận z 1 i làm nghiệm

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3az2bz c 0 nhận z 1 i và z = 2 làm nghiệm

 Hướng dẫn :

a) 1i2b1i  Ûc 0 b c 2b i  Û0 b c 0 và 2  Ûb 0 b2,c2

b) Lần lượt thay z 1 i và z = 2 vào phương trình, ta được





C DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC (Tham khảo)

I LÝ THUYẾT

1 Số phức dưới dạng lượng giác :

a) Acgumen của số phức z ¹ 0 :

 Cho số phức z = a + bi ¹ 0 được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Số đo (rađian) của góc (Ox OM , )

được gọi là một acgumen của z

 Mọi acgumen của z sai khác nhau là k2 tức là có dạng  + k2 (kÎ )

(z và nz sai khác nhau k2 với n là một số thực khác 0)

 VD: Biết z ¹ 0 có một acgumen là  Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau: –z; z; –z; 1

z.

 z biểu diễn bởi OM thì –z biểu diễn bởi – OM nên có acgumen là  + (2k + 1)

 z biểu diễn bởi M¢ đối xứng M qua Ox nên có acgumen là – + k2

 –z biểu diễn bởi –OM '

nên có acgumen là – + (2k + 1)

 1

z =

1 2

| |

z z

z



 , vì 2

1

| |z là một số thực nên z1 có cùng acgumen với z là – + k2.

b) Dạng lượng giác của số phức z = a + bi:

 Dạng lượng giác của số phức z ¹ 0 là z = r(cos + isin ) với  là một acgumen của z

z = a + bi z = r cosφ + isinφ r = a + b ; cosφ = ; sinφ =

 VD :

 Số –1 có môđun là 1 và một acgumen bằng  nên có dạng lượng giác là z = cos +isin

 Số 1 + 3 i có môđun bằng 2 và một acgumen bằng  thoả cos = 1

2 và sin =

3

2 Lấy  = 3



thì 1 + 3 i = 2(cos

3

 + isin

3

 )

 Số 0 có môđun là 0 và một acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác 0 = 0(cos +isin )

 Chú ý :

 Số – cos – isin có dạng lượng giác là cos( + ) + isin( + )

 Số cos – isin có dạng lượng giác là cos(– ) + isin(– )

 Số – cos + isin có dạng lượng giác là cos( –  ) + isin( –  )

2 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác:

Cho z = r(cos + isin ) và z¢ = r¢(cos ’ + isin ’) với r, r¢³ 0

z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] và z = r [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')]

 Ta có 1

'

z và z có cùng acgumen là – ’ + k2 nên

[cos( ') sin( ')]

Do đó [cos( - ') sin( - ')]

z r

i

z r      ( r ’¹ 0)

  Tính z z và 1 2 1

2

z z

Với 2 2 cos sin

và 1

2

z

z =

3 Công thức Moa–vrơ (Moivre) và ứng dụng:

a) Công thức Moa–vrơ : Cho số phức z = r(cos + isin )

 r(cosφ + isinφ) = r (cosnφ + isinnφ)n n (nÎ *

 )

b) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :`

 Mọi số phức z = r(cos + isin ) (r > 0) có 2 căn bậc hai là

r cos + isin

     Þ       

r cos + π + isin + π

 VD: Đổi sang dạng lượng giác rồi tính: 1 i 100 và căn bậc hai của w = 1 + 3.i

 Ta có 1 + i= 2 1 1 2 cos sin

100 50

2 cos sin 2 cos 25 sin 25

 w = 1 + 3.i = 2 cos sin



  có 2 căn bậc hai là 2 cos sin





II BÀI TẬP ÁP DỤNG

1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1 i 19 và công thức Moavrơ để tính

0 2 4 16 18

19  19 19  19  19

 Hướng dẫn : 1 2 cos sin

Ta có  

19

19 0 0 1 1 2 2 18 18 19 19

19 19 19 19 19 0

n

k k n k





 ð ð ð ð  ð ð với phần thực là 0 2 4 16 18

19  19  19  19  19

19 19 19  19  19

2) Tính:

21 2004

5 3 3

;

 Hướng dẫn :

2004

2004 2004

i



