Trong sự phát triển của nền kinh tế đất nớc có sự đóng góp rất lớn của những ngành quan trọng nh ngành khai thác mỏ, ngành giao thông vận tải, ngành xậy dựng công nghiệp… Rất nhiều công
Trang 1Tên báo cáo: “ Nghiên cứu tính toán tấm trên nền đàn hồi Tính toán tấm mặt
đ-ờng BTXM trên nền đất”
Thực hiện: Ths Trần Mạnh Tiến
1 Đặt vấn đề.
Trong sự phát triển của nền kinh tế đất nớc có sự đóng góp rất lớn của những ngành quan trọng nh ngành khai thác mỏ, ngành giao thông vận tải, ngành xậy dựng công nghiệp… Rất nhiều công trình khai thác mỏ, công trình giao thông, công trình công nghiệp đã đợc xậy dụng và mang lại cho nền kinh tế của chúng ta những nguồn lợi lớn Với yêu cầu là khai thác đợc nhiều hơn nữa, vận chuyển hàng hóa nhiều và nhanh hơn nữa thì các phơng tiện vận tải đợc sử dụng phải đạt đợc hiệu quả cao nhất Trong các công trờng khai thác mỏ, nhà máy xi măng, khu công nghiệp… xe chuyên dụng với tải trọng lớn đợc sử dụng để đạt đợc hiệu quả vận tải cao nhất Do đó cờng
độ mặt đờng đợc sử dụng trong các công trình trên phải thật đảm bảo, vừa đảm bảo về cờng độ và khả năng sử dụng Mặt đờng bằng tấm BTXM đợc sử dụng rộng rãi, vừa
đảm bảo về mặt cờng độ vừa có tuổi thọ cao Bản chất làm việc của các tấm BTXM trong mặt đờng BTXM là tấm làm việc trên nền đàn hồi Đây là một bài toán tơng đối phức tạp và việc “ Nghiên cứu tính toán tấm trên nền đàn hồi Tính toán tấm mặt
đ-ờng BTXM trên nền đất” có ý nghĩa trong việc lựa chọn kết cấu mặt đđ-ờng cho những
công trình mỏ, công trình công nghiệp…
2 Lý thuyết tính toán tấm trên nền đàn hôi.
2.1 Mô hình nền và tơng tác giữa kết cấu với đất nền.
Có rất nhiều mô hình nền đã đợc nghiên cứu nh mô hình Filonenko-Borodich, Hentenvy, Pasternak, mô hình đàn - dẻo, mô hình phi tuyến, mô hình đàn nhớt,… Mỗi mô hình đều có u điểm, nhợc điểm và phạm vi áp dụng riêng Cần phải mô hình hóa và đơn giản hóa sự làm việc của nền đất dới tác dụng của tải trọng nhằm giảm khối lợng tính toán và tăng độ bền dự trữ cho công trình Do đó mô hình Winkler đợc
sử dụng phổ biến nhất
Theo mô hình này, độ lún của nền tỷ lệ với tải trọng tác dụng ý tởng này do Viện sỹ ngời Nga Fuksser đề xuất vào năm 1801 và đợc E.Winkler ứng dụng để tính toán dầm trên nền đàn hồi vào năm 1867 Theo mô hình Winkler, nền đất đợc biểu diễn bằng hệ lò xo đàn hồi, có độ cứng (k) Biến dạng của đất nền chỉ giới hạn trong
Trang 2phạm vi tác dụng của tải trọng Sự phụ thuộc “ chuyển vị – phản lực” đợc xác định bằng biểu thức:
Hình 2.1: Biểu diển mô hình nền Winkler
R = kw (2.1) Nhợc điểm của mô hình Winkler là hệ số nền (k) không chỉ phụ thuộc vào tính chất của đất nền mà còn phụ thuộc vào diện tích đặt tải Ngoài ra, không xác định đợc
ảnh hởng lún của công trình bên cạnh tới công trình đang xem xét Tuy vậy, mô hình Winkler vẫn đợc sử dụng rộng rãi bởi vì tính đơn giản của nó Theo mô hình này, coi nền đất nh một hề lò xo cùng độ cứng (k) (đợc gọi là hệ số nền), độ lún của đất nền chỉ xảy ra trong phạm vi đặt tải trọng Độ lún của mặt đất nền cũng là độ lún của tấm
đặt trên nền đó và chỉ có chuyển vị thẳng đứng Đây là u điểm nổi bật của mô hình Winkler
2.2 Các giả thiết cơ bản và lý thuyết tấm G.R.Kirchhoff.
a Các giả thiết cơ bản.
- Mặt trung bình của tấm không bị biến dạng ứng suất pháp trong mặt phẳng thẳng đứng ở bề mặt trung bình có giá trị bằng 0
- Tiết diện trớc biến dạng và sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với mặt trung bình của tấm
- Các lớp riêng biệt của tấm không gây ra áp lực (chèn ép) lên nhau
Giả thiết thứ nhất: Cho phép chỉ cần xét đến chuyển vị thẳng đứng (độ võng của mặt trung bình) w(x,y) của tấm Thông thờng, gối tựa của tấm không di động đợc cho nên mặt trung bình, đặc biệt ở gần gối tựa, cũng bị biến dạng Do vậy, giả thiết này chỉ đúng khi coi tấm là “mỏng”
Giả thiết thứ hai: Độ võng w(x,y) của mặt trung bình chỉ do mô men uốn gây ra,
bỏ qua ảnh hởng của lực cắt đối với độ võng của tấm
Giả thiết thứ ba: Xem các mặt phẳng song song với mặt trung bình của tấm đều
có trạng thái ứng suất phẳng
b Lý thuyết tấm G.R.Kirchhoff.
Xét phân tố tấm, trên mỗi điểm của mặt bên có các thành phần ứng suất, do không xét σz (σz = 0) nên các biến dạng εx và εy xác định theo biểu thức:
Trang 3Hình 2.2: Các thành phần ứng suất tác dụng lên phân tố tấm.
) (
1
y x
x
ε = − ; y 1 ( y x)
ε = − (2.2)
Để xác định εx và εy ta xét một điểm A nằm cách trục trung hòa một khoảng cách
z, gọi u và v lần lợt là chuyển vị ngang của điểm A theo chiều x và chiều y Nhờ giả thiết thứ 2, ta tính đợc u và v theo biểu thức:
x
w z u
∂
∂
−
= ; v z w y
∂
∂
−
=
2
2
x
w z x
u
x
∂
∂
−
=
∂
∂
=
2
y
w z y
v
y
∂
∂
−
=
∂
∂
=
ε (2.3)
y x
w z x
v y
u
xy
∂
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂
γ
Từ đó ta tính đợc σx và σy:
) (
1
) (
1
2
2
x y y
y x x
E
E
àε ε à σ
àε ε à σ
+
−
=
+
−
=
; (2.4)
Hình 2.3: Giả thiết mặt pháp tuyến thẳng
Trang 4Theo Lý thuyết đàn hồi, τxy và τyx đợc xác định theo biểu thức:
xy yx
xy
à τ
τ
) 1 (
=
= (2.5)
Biến đổi các biểu thức ta đợc kết quả cuối cùng các thành phần ứng suất:
y x
w Ez
x
w y
w Ez
y
w x
w Ez
yx xy y x
∂
∂
∂ +
−
=
=
∂
∂ +
∂
∂
−
−
=
∂
∂ +
∂
∂
−
−
=
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
) 1 ( 2
) 1 (
) 1 (
à τ
τ
à à
σ
à à
σ
(2.6)
Các giá trị mô men uốn và mô men xoắn tác dụng lên mặt trung bình của tấm:
dz z M
h
h x
y ∫
−
=
2 /
2 /
σ ; M z dz
h
h y
x ∫
−
=
2 /
2 /
σ ; M z dz
h
h xy
xy ∫
−
=
2 /
2 /
τ (2.7) Thay (2.6) vào (2.7), lấy tích phân ta đợc:
y x
w D
M M
x
w y
w D M
y
w x
w D M
yx xy y x
∂
∂
∂
−
−
=
=
∂
∂ +
∂
∂
−
=
∂
∂ +
∂
∂
−
=
2 2
2
2 2
2
2
2 2
) 1
à
à
(2.8)
Trong đó: D là độ cứng trụ của tấm,
) 1 ( 12 )
1
3 2
/
2 /
2
−
−
Eh dz
z
E D
h
h
(2.9) Lực cắt đợc xác định theo công thức:
dz Q
h
h zx
x =−∫/2
2 /
τ ; Q dz
h
h zy
y =−∫/2
2 /
τ (2.10)
Để tính lực cắt Qx và Qy tác dụng lên mặt trung bình cần phải biết sự phân bố ứng suất tiếp τzx và τzy trên chiều dày tấm
c Các phơng trình cân bằng.
Xét phân tố chữ nhật có các cạnh dx, dy tách ra từ mặt trung bình của tấm Đặt các nội lực mô men và lực cắt lên các cạnh của phân tố:
Trang 5Hình 2.4: Thành phần nội lực tác dụng lên mặt phân tố tấm tại mặt trung hòa
- Tổng các lực theo phơng thẳng đứng:
0
=
−
∂
∂ +
− +
∂
∂ +
y
Q Q
Q dy dx x
Q Q
x
+ = 0
∂
∂ +
∂
∂
q y
Q x
(2.12)
- Tổng mô men đối với cạnh dy:
0
=
∂
∂ +
−
∂
∂ +
− +
∂
∂ +
−
x
Q Q dx dy y
M M
M dy dx x
M M
x
xy xy
xy
x x
Rút gọn, bỏ qua mô men do lực q, bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta thu đợc:
0
=
−
∂
∂ +
∂
∂ dydx Q dxdy
y
M dxdy x
M
x xy
x (2.14)
− = 0
∂
∂ +
∂
∂
x xy
y
M x
M
(2.15)
- Tổng mô men đối với cạnh dx:
0
=
∂
∂ +
−
∂
∂ +
− +
∂
∂ +
y
Q Q
dy dx x
M M
M dx dy y
M M
Rút gọn, bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta thu đợc:
0
=
−
∂
∂ +
∂
∂
dxdy Q dydx x
M dxdy y
M
y yx
y
(2.17)
− = 0
∂
∂ +
∂
∂
y yx y
Q x
M y
M
(2.18) Lấy đạo hàm phơng trình (2.15) theo x và phơng trình (2.18) theo y rồi cộng lại với nhau ta đợc:
y
Q x
Q y
x
M y
M y
x
M x
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
2
2 2
2 2
Vì Mxy = Myx và thay phơng trình (2.12) ta đợc:
Trang 6q y
M y
x
M x
−
=
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
2
2 2
2
2
2 (2.19) Phơng trình (2.19) là phơng trình cân bằng mô men với ngoại lực tác dụng Nếu thay Mx, My, Mxy trong (2.8) vào phơng trình trên thì ta đợc phơng trình cân bằng độ võng và ngoại lực tác dụng (còn gọi là phơng trình Sophie Germain):
q w
D∇∇ = (2.20)
Từ phơng trình vi phân (2.20) kết hợp với các điều kiện biên để giải ra đợc hàm
độ võng w(x,y) Các giá trị mô men đợc xác định theo phơng trình (2.8), các giá trị lực cắt đợc xác định theo phơng trình (2.10)
Theo kết quả của Lý thuyết đàn hồi:
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
−
−
=
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
−
−
=
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
) 1 ( 8
) 4 (
) 1 ( 8
) 4 (
y
w x
w y
z h E
y
w x
w x
z h E
zy
zx
à τ
à
τ
(2.21)
Theo biểu thức (2.21) ta thấy ứng suất tiếp τzx = τxz và τzy = τyz phân bố dạng parabol theo chiều dày tấm, tơng tự nh bài toán dầm chịu uốn Thay (2.21) vào (2.10)
ta đợc:
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
= 22 22
y
w x
w x D
∂ +
∂
∂
∂
∂
−
= 22 22
y
w x
w y D
Q y (2.22)
áp dụng định luật Hooke:
z h
M dx
w d Ez
2 2 2
12 )
1 ( ) 1
−
−
=
−
=
à à
ε
σ (2.23)
Từ đó rút ra đợc các giá trị ứng suất lớn nhất, khi thay z = h/2:
( )max 2 ( )max 2 ( )max 2
6
;
6
;
6
h
M h
M h
xy
y y
x
Và các giá trị ứng suất tiếp lớn nhất:
( )
h
Q x
xz
2
3
max =
τ ; ( ) Q h y
yz
2
3
max =
τ (2.25)
d Các điều kiện biên của tấm.
- Cạnh ngàm: vừa có gối tựa, vừa liên kết ngàm
- Cạnh khớp: vừa có gối tựa, vừa liên kết khớp
- Biên tự do và trên biên không có tải trọng tác dụng
2.3 Tấm trên nền đàn hồi theo lý thuyết tấm G.R.Kirchhoff.
Trang 7Xét phân tố tấm, trên mỗi điểm của mặt bên có các thành phần nội lực là mô men uốn Mx, My, mô men xoắn Mxy, và lực cắt Qx, Qy tác dụng Nội lực trên các mặt đối nhau thì khác nhau bởi một số gia
Hình 2.4: Thành phần nội lực trên phân tố tách ra từ tấm trên nền đàn hồi
Xét sự cân bằng của phân tố:
- Tổng hình chiếu các lực tác dụng lên phân tố theo trục z:
0
=
− +
∂
∂ + +
− +
∂
∂ + +
y
Q Q
Q dy
dx x
Q Q
x
+ ( − ) = 0
∂
∂ +
∂
∂
R q y
Q x
(2.27)
- Tổng mô men các lực đối với trục x:
0 2 2
2 2
2
= +
−
∂
∂ +
− +
+
∂
∂ +
−
∂
∂ +
− +
∂
∂ + +
−
dy Rdxdy
dy qdxdy
dy dx x
Q Q
dy
dy
Q
dxdy dy y
Q Q
dy dx x
M M
M dx dy y
M M
M
x x x
y y
yx yx
yx
y y
y
(2.28)
Rút gọn, bỏ qua vô cùng bé bậc cao ta thu đợc:
− = 0
∂
∂ +
∂
∂
y yx y
Q x
M y
M
(2.29)
- Tổng mô men các lực đối với trục y Tơng tự ta có:
− = 0
∂
∂ +
∂
∂
x xy
y
M x
M
(2.30)
Trang 8Lấy đạo hàm phơng trình (2.29) theo y và phơng trình (2.30) theo x rồi cộng lại với nhau ta đợc:
0 ) (
2 2
2
2
=
− +
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
R q y
M y
x
M x
(2.31) Nếu thay Mx, My, Mxy trong (2.8) vào phơng trình trên thì ta đợc phơng trình cân bằng độ võng và ngoại lực tác dụng cho tấm trên nền đàn hồi (phơng trình Sophie Germain):
q R y
w y
x
w x
w
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
4
4
2 2
4
4
4
2 (2.32) Theo mô hình Winkler, quan hệ giữa phản lực nền và độ võng của tấm (cũng là
độ võng của mặt nền) đợc biểu diễn bằng quan hệ (2.1) Thay vào (2.32) ta đợc:
q kw y
w y
x
w x
w
∂
∂ +
∂
∂
∂ +
∂
∂
4
4
2 2
4
4
4
2 (2.33) Phơng trình (2.33) là phơng trình vi phân biểu diễn quan hệ độ võng và tải trọng tác dụng Sử dụng các điều kiện biên để giải phơng trình vi phân để tìm ra hàm độ võng, sử dụng các quan hệ đã có để xác định nội lực, ứng suất trong tấm chịu lực trên nền đàn hồi
3 Giải bài toán tấm trên nền đàn hồi
Có nhiều phơng pháp giải bài toán dầm trên nền đàn hồi Mỗi phơng pháp đều có
u nhợc điểm và phạm vi áp dụng riêng
- Phơng pháp giải tích tìm hàm độ võng của tấm dới dạng chuỗi lợng giác,
t-ơng đối phức tạp về mặt toán học và không phải lúc nào cũng có lời giải
đúng
- Phơng pháp sai phân hữu hạn là một trong những phơng pháp gần đúng để tìm lời giải cho bài toán đàn hồi, chỉ thích hợp với một số bài toán tính tấm
có liên kết khớp hoặc ngàm
- Nhng nhanh nhất và mạnh nhất là phơng pháp phần tử hữu hạn (FEM) để giải bài toán tấm trên nền đàn hồi
Trong phơng pháp FEM, trờng chuyển vị do Melosh đề nghị có dạng:
3 12
3 11
3 10
2 9
2 8
3 7
2 6 5
2 4 3 2
w= α + α + α + α + α + α + α + α + α + α + α + α (3.1)
Đó là phần tử chữ nhật 12 bậc tự do, đợc dùng phổ biến Hạn chế của phần tử 12 nút là sự liên tục giữa hai phần tử liền kề không đợc đảm bảo Do đó, Bogner – Fox – Schmit đa ra phần tử chữ nhật 4 nút 16 bậc tự do, trờng chuyển vị này có dạng:
Trang 93 3 16 3 2 15 2 3 14 2
2
13
3 12
3 11
3 10
2 9
2 8
3 7
2 6 5
2 4 3 2
1
y x y
x y
x y
x
xy y
x y
xy y
x x
y xy x
y x
w
α α
α
α
α α
α α
α α
α α
α α α
α
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
(3.2)
Đây là một đa thức bậc 3 đầy đủ và các điều kiện tơng thích đợc đảm bảo
Hoặc chúng ta có thể dùng đa thức Hermite có dạng:
( )2
2
) 1 ( )
n
n x n
dx
d e x
H = − − (3.3) Vài số hạng đầu của đa thức Hermite:
x x
x H
x x H
x x H
x H
12 8
) (
2 4 ) (
2 ) (
1 ) (
3 3
2 2
1 0
−
=
−
=
=
=
Hàm Hermite có 2 tính chất quan trọng là:
- Tính chất trực giao:
=
∫
∞
∞
−
− dx e x H x
n m
2
) ( ) (
n n
n ! 2
0
n m
n m
=
≠
;
;
(3.4)
- Giữa hai số hạng liên tiếp có liên hệ tuyến tính về đạo hàm:
) ( 2 ) (
1 x nH dx
x dH
n
n
−
= (3.5) Nhờ tính chất (3.5) mà ta có thể xây dựng hàm nội suy chuyển vị của phần tử tấm chữ nhật thõa mãn điều kiện liên tục đến đạo hàm bậc nhất trên các cạnh biên của hai phần tử liền kề
Trên cơ sở hàm chuyển vị Hermite ta đi xây dựng thuật toán theo FEM Chọn hàm độ võng của phần tử có tọa độ x là 4 số hạng đầu tiên của hàm Hermite:
3 3 2 2 1 1 0
0 (x)a H (x)a H (x)a H (x)a H
w= + + + (3.6) Sau khi đi xây dựng thuật toán, lập chơng trình tính toán tấm trên nền đàn hồi chịu tác dụng của tải trọng vuông góc với mặt trung bình của tấm Trong báo cáo học thuật này tôi xin giới thiệu một vài kết quả mà chơng trình chạy ra đợc
Trang 10H×nh 3.1: T¶i träng tËp trung gi÷a tÊm, tÊm vu«ng
H×nh 3.2: T¶i träng tËp trung gi÷a c¹nh tÊm, tÊm vu«ng
Trang 11Hình 3.3: Tải trọng tập trung giữa góc tấm, tấm vuông
4 Tính toán tấm mặt đờng BTXM trên nên đất
Dựa vào những kết quả đã nghiên cứu đợc, ta đi xây dựng toán đồ để tính toán chiều dày tấm mặt đờng BTXM cho đờng ô tô và sân bay
a) Phạm vi tính toán:
- Không xét đến ma sát đáy tấm
- Giữa các tấm mặt đờng BTXM thông thờng có xẻ khe, phổ biến là khe kiểu khớp, có hoặc không bố trí những thanh thép truyền lực và thép liên kết Mặt đ-ờng ô tô có thể có 1 hoặc nhiều làn xe trên một chiều, cạnh của tấm ngoài cùng tiếp xúc với lề có thể coi là cạnh tự do Tấm mặt đờng BTXM thờng có kích thức 3.5 x 5 (m)
- Về tải trọng tác dụng: chỉ xét đến tải trọng tĩnh, tập trung tác dụng vuông góc với mặt trung bình của tấm
- Không xét đến ảnh hởng của nhiệt độ, tải trọng động và tải trọng trùng phục
- Với giả thiết nền theo mô hình Winkler thì cờng độ nền đất đợc biểu thị bằng hệ
số nền k (MN/m3 hoặc pci) Hệ số nền k đợc xác định nhờ thí nghiệm ép tấm cứng đờng kính 30inches (762mm) để gây một độ lún 0,5in (127mm) theo thí nghiệm của AASHTO – T222, hoặc thay bằng phơng pháp đo mô đun đàn hồi tĩnh (Ep) bằng cách nén tấm cứng có đờng kính D = 300 ~ 350mm đến độ sâu 1000mm và tính đổi theo công thức:
) / ( 125
3
cm daN E
k= p (4.1)
Trang 12b) Các thông số đầu vào:
- Tải trọng bánh xe ô tô tiêu chuẩn thờng đợc coi là tải trọng rải đều trên vòng tròn có đờng kính D = 30 ~ 33 cm, cờng độ phân bố q = 5 ~ 6 daN/cm2 Có thể coi là một lực tập trung có giá trị bằng P = qxD2 (daN)
- Bê tông làm tấm mặt đờng có Eb = (31,5 ~ 35)x104 (daN/cm2); àb = 0,15
- Lớp móng: bề dày lớp móng do tính toán mà có, dày tối thiểu (10 ~ 14)cm, mô
đun đàn hồi Em phụ thuộc vào vật liệu làm móng
- Nền đất: trong mọi trờng hợp tối thiểu phải có 30cm dới lớp móng đạt độ chặt k98 trở lên, 30cm tiếp theo đạt độ chặt k95 trở lên, đặc trng của nền đất là mô
đun đàn hồi E0, hệ số poisson à0 = 0,35
- Điều kiện bền: σ max ≤ 0 , 6R ku (4.2)
c) Xây dựng toán đồ.
Toán đồ xác định chiều dày của tấm mặt đờng BTXM
Hình 4.1: Toán đồ xác định chiều dày của tấm BTXM theo giả thiết nền Winkler áp dụng cho tấm BTXM có mô đun đàn hồi E b = 31,5x104daN/cm 2 Khi E b tăng lên
khoảng 20~30% thì chiều dày của tấm giảm đi khoảng 1 ~ 2cm.
d) Ví dụ tính toán.
Tính toán kết cấu mặt đờng BTXM đờng ô tô, với các số liệu: Tải trọng tác dụng
P = 55kN, cờng độ áp lực q = 6daN/cm2 Nền đất là á cát chặt dày 1m, có mô đun đàn hồi E0 = 500daN/cm2
