Nghiên cứu và tính toán ứng suất, biến dạng của tấm đàn hồi dẻo dưới tác dụng của tải trọng khác nhau

Để tăng công suất và tăng tốc độ động cơ, phát triển kĩ thuật áp lực cao, giảm nhẹ kết cấu trong quá trình làm việc … chúng ta cần đưa ra được quan hệ chính xác về biến dạng và đàn hồi;

-

NGUYỄN HỮU TÚ

NGHIÊN CỨU VÀ TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG CỦA

TẤM ĐÀN HỒI – DẺO DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI

TRỌNG KHÁC NHAU CHUYÊN NGÀNH: CƠ HỌC VẬT LIỆU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGÀNH: CƠ HỌC KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nhữ Phương Mai

HÀ NỘI - 2010

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình khoa học của tôi Các kết quả nghiên cứu trong

luận văn là trung thực và có nguồn gốc cụ thể, rõ ràng Các kết quả của luận văn

chưa từng được công bố trong bất cứ công trình khoa học nào

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Người cam đoan

Nguyễn Hữu Tú

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo,

PGS.TS Nhữ Phương Mai đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận

MỤC LỤC

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 7

Danh mục bảng 5

Danh mục hình vẽ 5

Chương 1: Cơ sở lý thuyết 9

I Trường ứng suất 9

1.1 Ứng suất 9

1.2 Ten xơ ứng suất lệch 11

1.3 Phương trình cân bằng và điều kiện biên 14

II Trường biến dạng 15

2.1 Ten xơ biến dạng 15

2.2 Biến dạng nhỏ 16

2.3 Các bất biến 17

III Tốc độ biến dạng 20

3.1 Ten xơ tốc độ biến dạng 20

3.2 Bất biến của ten xơ vận tốc biến dạng 22

3.3 Biến dạng và tốc độ biến dạng 22

IV Tính chất cơ học của vật rắn khi có biến dạng dẻo 23

4.1 Biến dạng đàn hồi và biến dạng dẻo 23

4.2 Biến cứng của vật liệu 25

4.3 Điều kiện chảy dẻo và điều kiện biến cứng 25

4.4 Tiêu chuẩn dẻo ứng suất tiếp lớn nhất (Tiêu chuẩn Tresca-Saint Venant) 27

4.5 Tiêu chuẩn dẻo Misses (Điều kiện cường độ ứng suất tiếp không đổi)29 4.6 Điều kiện đặt tải và cất tải Giả thiết đường cong

biến dạng là duy nhất 29

V Các lí thuyết dẻo hiện nay và ứng dụng 32

5.1 Lý thuyết chảy dẻo 33

5.2 Một số dạng của lí thuyết chảy dẻo 35

5.3 Lý thuyết biến dạng đàn dẻo 37

Chương 2: Phương pháp giải tích tính toán tấm đàn dẻo 42

I Định lý tổng quát và phương pháp giải bài toán tấm đàn dẻo 43

1.1 Nguyên tắc biến phân và phương pháp Ritz, phương pháp Bobnov-Galekin 43

1.2 Nguyên lí cực tiểu công bù Phương pháp Philonhenko – Borodish 45

1.3 Phương trình cân bằng theo dịch chuyển Phương pháp nghiệm đàn hồi 46

1.4 Phương pháp tham số đàn hồi thay đổi 49

II Uốn tấm mỏng 51

III Uốn đàn dẻo tấm mỏng 55

3.1 Đặt bài toán 56

3.2 Uốn thuần túy bản đàn dẻo 59

3.3 Khả năng chịu lực của bản 69

Chương 3: Phương pháp số giải bài toán tấm đàn dẻo 72

I Giới thiệu phần mềm 73

II Giải một số bài toán 74

2.1 Xét ảnh hưởng kích thước các cạnh đến biến dạng dẻo trong tấm 74

2.2 Bài toán tấm chịu lực tập trung 83

Kết luận và kiến nghị 93

Tài liệu tham khảo 94

Hình 1.1: Biểu diễn véc tơ ứng suất tại một điểm

Hình 1.2: Quan hệ ứng suất và biến dạng trong trường hợp kéo nén đơn của thép và của đồng

cất tải

trượt thuần túy

Hình 2.1: Tấm chịu mô men uốn phân bố trên các cạnh

Hình 2.3: Biểu diễn miền biến dạng trên một mặt cắt của tấm

Hình 3.1: Biểu diễn tấm chịu lực phân bố trên bề mặt

kích thước giữa các cạnh của tám chịu lực phân bố

giữa các cạnh của tấm chịu lực phân bố

Hình 3.3a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1667x600x10 theo các phương x và y

Hình 3.4a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1429x700x10 theo các phương x và y

Hình 3.5a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1250x800x10 theo các phương x và y

Hình 3.6a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1111x900x10 theo các phương x và y

Hình 3.7a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1250x800x10 theo các phương x và y

Hình 3.8a, b: Biểu diễn trường ứng suất trên tấm có kích thước 1000x1000x10 theo các phương x và y

Hình 3.9: Biểu diễn tấm chữ nhật chịu lực tập trung

trong với trường hơp ngàm cả 4 cạnh

Hình 3.11 a,b: Biểu diễn trường ứng suất của tấm ngàm 4 cạnh chịu lực tập trung ở giữa tấm

cạnh tựa tự do chịu lực tập trung

Hình 3.13a,b: Biểu diễn trường ứng suất của tấm với các cạnh tựa tự do

MỞ ĐẦU

Tấm và vỏ là những phần tử kết cấu cơ bản trong cấu trúc không gian, ô tô, máy bay, máy công cụ, kết cấu nhà ở, nhà thi đấu, cầu đường, tàu thuyền, và nhiều kết cấu khác; chúng ta thấy các kết cấu này thường có kích thước và khối lượng rất lớn Do đó việc tính toán, phân tích, thiết kết tối ưu để lựa chọn vật liệu, kết cấu của tấm và vỏ là hết sức cần thiết trong mọi phân tích và thiết kế cấu trúc Đã có rất nhiều công trình khoa học nghiên cứu và tính toán về tấm và vỏ, các công trình đều

có kết quả phù hợp và có thể sử dụng trong tính toán và thiết kế Khi nghiên cứu về tấm vỏ có thể nghiên cứu theo hai hướng chính: Một là nghiên cứu tấm và vỏ trong miền đàn hồi (biến dạng nhỏ); hai là nghiên cứu tấm và vỏ vượt qua giới hạn đàn hồi (biến dạng lớn) Cả hai hướng lí thuyết trên đều nghiên cứu để đưa ra công thức chính xác nhất về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong tấm và vỏ Tuy nhiên khi tính toán tấm trong miền đàn hồi (biến dạng nhỏ) thì kết cấu đưa ra nhiều khi khối lượng quá lớn có thể gây ra lãng phí Để tăng công suất và tăng tốc độ động

cơ, phát triển kĩ thuật áp lực cao, giảm nhẹ kết cấu trong quá trình làm việc … chúng ta cần đưa ra được quan hệ chính xác về biến dạng và đàn hồi; quan hệ này trong thực tế là một quan hệ phức tạp chứ không đơn thuần là tuyến tính như trong phần đàn hồi do đó việc nghiên cứu tính toán trong miền không đàn hồi là hết sức cần thiết Ta biết rằng vật rắn chỉ biến dạng đàn hồi khi nó biến dạng là rất nhỏ, đến một chừng mực nào đó thì quá trình biến dạng xảy ra hiện tượng không đàn hồi đó

là hiện tượng biến dạng dư hay hiện tượng biến dạng dẻo

Lí thuyết dẻo dùng công cụ toán học để mô tả quan hệ ứng suất và biến dạng trong vật thể biến dạng dẻo Nó mở ra triển vọng sử dụng đầy đủ khả năng bền vững của vật liệu Lí thuyết dẻo áp dụng và thừa kế những kiến thức của lí thuyết đàn hồi, các công thức trong phần lí thuyết đàn hồi phần lớn đều áp dụng được trong lí thuyết dẻo Đối tượng nghiên cứu của lí thuyết dẻo là khá rộng: lí thuyết biến dạng dẻo nhỏ, quá trình từ biến, biến dạng dẻo nhớt, biến dạng dẻo lớn…

Một đặc điểm đáng chú ý của các bài toán dẻo đó là tính chất phi tuyến của các định luật cơ bản trong lí thuyết dẻo Cho nên việc tính toán thường gặp khó khăn mà nhiều khi chúng ta không thể giải quyết được Tuy nhiên ngày nay với sự trợ giúp của máy tính và các lí thuyết số rất phát triển cho nên việc giải gần đúng hoặc dùng phương pháp số để giải bài toán lí thuyết dẻo là hết sức cần thiết

Phạm vi ứng dụng của lí thuyết dẻo Lý thuyết dẻo là sức quan trọng với

người kĩ sư và nhà nghiên cứu vật lí Dùng để giải quyết một số vấn đề về độ bền của vật liệu và của các cấu trúc, công trình dựa trên lí thuyết dẻo Nó mở ra triển vọng về sử dụng đầy đủ khả năng về độ bền của vật liệu, và cần thiết trong tính toán

về máy móc và cấu trúc như dưới tác dụng của các dạng chịu tải chính Chỉ tiêu của phương pháp là đơn giản, dễ dàng áp dụng cho các bài toán trong quá trình thiết kế tối ưu hoá của cấu trúc Sử dụng hợp lí và kinh tế vật liệu trong quá trình biến dạng dẻo dưới điều kiện nhiệt độ hay không nhiệt độ là hết sức cần thiết (rèn, dập, cán, hay cắt gọt…); phân tích lực là hết sức cần thiết để hoàn thành quá trình gia công và

sự phân bố biến dạng tương ứng là hết sức quan trọng trong ứng dụng lí thuyết dẻo

Trong khuôn khổ luận văn cao học của mình tôi xin trình bày vấn đề áp dụng

lí thuyết dẻo để tính toán cho kết cấu tấm chịu tải trọng và biến dạng dẻo; cụ thể nghiên cứu biến dạng dẻo của tấm dưới tác dụng của các tải trọng khác nhau Trong luận văn của mình tôi đề cặp đến các vấn đề chính sau: 1) Giới thiệu lí thuyết về trường ứng suất phẳng, và biến dạng phẳng đây là hai trường hợp cơ bản chịu lực của tấm 2) Giới thiệu về lí thuyết dẻo cơ bản, trong phần này đưa ra những công thức về biến dạng dẻo nói chung 3) Áp dụng lí thuyết dẻo vào một số bài toán cụ thể về tấm đưa ra kết quả để đánh giá lí thuyết (dùng phần mền để tính toán) Nội dung chính của luận văn gồm:Chương 1: Trạng thái ứng suất và trạng thái biến dạng:Trong chương này sẽ giới thiệu về trường ứng suất và trường biến dạng Lí thuyết dẻo hiện nay đang sử dụng Chương 2: Tấm đàn dẻo Chương 3: Mô phỏng bài toán bằng phần mền số

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Trường ứng suất

1.1 Ứng suất

Như ta đã biết tại một điểm bất kì trong môi trường liên tục luôn tồn tại một

trạng thái ứng suất, đó là một ten xơ đối sứng hạng hai và cho bởi công thức sau:

T

Một véc tơ ứng suất pr trên mặt phẳng với véc tơ pháp tuyến nr được cho

bởi công thức sau:

đó:n x =cos , ,( )n x n y =cos ,( )n y n, z =cos ,( )n z

là các cô sin chỉ phương

Véc tơ ứng suất ở trên có thể tách thành hai

y

x

τn

Hình 1 O

Tại một điểm của vật thể biến dạng luôn tồn tại ba mặt phẳng trục giao nhau

mà tại đó ứng suất tiếp bằng 0, hướng pháp tuyến của các mặt đó gọi là các hướng

chính của ten xơ ứng suất Các hướng chính không phụ thuộc vào việc chọn hệ trục

tạo độ x,y,z Ứng suất pháp tương ứng với các phương chính gọi là ứng suất chính,

=

Trên các tiết diện chia đôi góc giữa các mặt chính có ứng suất tiếp chính với

giá trị như sau:

m

Khi cho trạng thái ứng suất ở một điểm thì ta có thể tìm được các ứng suất

chính của nó chính là nghiệm của phương trình

-

- 0

Rõ ràng rằng ứng suất pháp trên một mặt không phụ thuộc vào việc ta chọn

hệ trục toạ độ và nó thay đổi theo góc của mặt phẳng đó Ứng suất chính

1, 2, 3

σ σ σ là cực trị của ứng suất σnvà đường nhiên là nó không phụ thuộc vào việc

chúng ta chọn hệ trục tạo độ Công thức (1.7) có thể thu được như là các điều kiện

cựu trị của ưng suất pháp σn Các hệ số trong công thức (1.7) không thay đổi khi ta

đổi từ một hệ trục toạ độ này sang hệ trục toạ độ khác tương ứng và do đó gọi là các

bất biến Các bất biến đó có giá trị như sau:

Để ngắn gọn chúng ta viết cho hệ toạ độ chính, và gọi là các bất biến bậc

nhất, bậc 2 và bậc 3 của ten sơ ứng suất; điều này rất thuận tiện để chúng ta làm

việc, bởi vì khi ta biểu diễn các bất biến dưới dạng hàm của các thành phần ứng suất

thì nó phức tạp

1.2 Ten xơ ứng suất lệch

Khi cho một ten xơ ứng suất (1.1) chúng ta có thể đặt

Với vật liệu có các đặc trưng cơ học khác nhau và nó phân ra làm hai thành

phần là thành phần trượt và thành phần khối nở theo 3 phương, do đó chúng ta có

thể tách ten xơ ứng suất thành 2 ten xơ như sau:

Khi đó các thành phần ứng suất pháp của ten xơ lệch ứng suất là

( σx − σ σ , y − σ σ σ , z − )có lúc chúng ta kí hiệu là s s sx, ,y z Hướng chính của ten

xơ lệch ứng suất và của ten xơ ứng suất là trùng nhau, nhưng giá trị ứng suất chính

là khác nhau Giá trị ứng suất chính của ten xơ lệch ứng suất là nghiệm của phương

Và được gọi là cường độ ứng suất tiếp Cường độ ứng suất tiếp bằng 0 khi

ứng suất là áp suất thuỷ tĩnh

Với trượt thuần tuý

1 , 2 0, 3

trong đó τ là ứng suất tiếp Và theo đó ta có: T =τ

Trong trường hợp chịu kéo hoặc nén đơn theo trục x thì chúng ta có:

là cường độ ứng suất

Trong phương trình bậc 3 (1.11) có nghiệm thực, chúng ta có thể biểu diễn

nghiệm dưới dạng hàm số lượng giác Chúng ta biểu diễn các thành phần ứng suất

chính của ten xơ lêch ứng suất dưới dạng lượng giác như sau:

33

2cos3

2

I D T

σ σ

31cos

3cos

T T T

1.3 Phương trình cân bằng và điều kiện biên

Nếu tác dụng vào vật thể lực khối và lực mặtKj, ∑jthì vật thể sẽ ở trong

trạng thái chuyển động hoặc cân bằng Khi vật thể ở trạng thái cân bằng chúng ta có

phương trình như sau:

ij

j i

σ ρK x

∂

Điều kiện biên

+ trên biên S cho trước chuyển dịch tức là: u

II Trường biến dạng

2.1 Ten xơ biến dạng

Biến dạng của vật thể được xác định hoàn toàn khi chúng ta biết được

chuyển vị u của nó Chuyển vị ucó thể biểu điễn thành 3 thành phần u u ux, ,y z

Biến dạng được đặc trưng bởi ten xơ biến dạng

Biểu diễn các thành phần khác tương tự

Ten xơ biến dạng là một ten xơ đối xứng, và chúng ta có thể phân tích

chuyển về dạng một ma trận đường chéo như sau:

1 2 3

ε ε ε

=

Trong đó ε ε ε1, ,2 3được gọi là thành phần biến dạng chính, có nghĩa một biến

dạng bất kì đều tương ứng với sự nở ra hay co vào theo 3 phương vuông góc nhau

Theo cách khác ta có:

Và chúng ta gọi đó là các biến dạng trượt chính Giá trị lớn nhất của biến

dạng trượt cho tại một điểm gọi là biến dạng trượt lớn nhất γmax

2.2 Biến dạng nhỏ

Trong trường hợp biến dạng nhỏ các thành phần biến dạng là nhỏ hơn so với

một giá trị nào đó, và hơn thế nữa góc xoay cũng phải nhỏ và do đó chúng ta có thể

bỏ qua các thành phần bậc cao trong công thức xác định biến dạng (1.23) Theo đó

Công thức (1.25) không đủ để miêu tả biến dạng thực tế của vật thể nó chỉ

phù hợp với vật thể có biến dạng nhỏ (tuyến tính) Do đó rất cần thiết để chúng ta

nghiên cứu, tính toán dùng công thức (1.23) Công thức (1.25) đã được chứng minh

là không phù hợp với biến dạng và ổn định của vật thể mền dẻo, dễ uốn (Mái, tấm,

vỏ) Bởi vì các phần tử này thường có biến dạng và góc xoay đáng kể

2.3 Các bất biến

Các bất biến của ten xơ biến dạng được xác định giống như bất biến của ten

xơ ứng suất, ta có các bất biến biến dạng là:

nó đặc trưng cho sự thay đổi hình dáng của vật thể bởi biến dạng trượt Bất

biến của ten xơ lệch biến dạng là:

Trong lý thuyết dẻo thì bất biến bậc 2 có vai trò hết sức quan trọng, chúng ta

xem nó như là tính chất chung của biến dạng của phần tử trong môi trường liên tục

Chúng ta gọi giá trị không âm

là cường độ biến dạng trượt

Trong trường hợp trượt thuần tuý

Sau khi giải nghiệm của (1.29) chúng ta có thể chọn trường hợp trượt thuần

tuý và do đó chúng ta thu được:

ij ij ij

1

Trong đó eij là thành phần ten xơ lệch biến dạng

* Biểu diễn lượng giác

Tương tự như ứng suất thì biến dạng chính chúng ta cũng có thể biểu diễn

nghiệm dưới dạng lượng giác, ta có

cos

33

1cos3

e e e

* Phương trình tương thích biến dạng

Các thành phần biến dạng phải phù hợp với sáu phương trình tương thích

biến dạng của Saint Venant:

2 2 2

Tính chất nhớt dẻo có thể xuất hiện trong vật thể khi có hiện tượng biến dạng

lớn, vì vậy người ta thường đặc trưng quá trình biến dạng bằng các đại lượng tốc độ

biến dạng Nhận xét theo bản chất của nó, biến dạng dẻo là một trạng thái chuyển

động Hiện tượng chảy dẻo được xem như một chuyển động nào đấy của môi

trường liên tục

3.1 Ten xơ tốc độ biến dạng

Giả thiết phần tử môi trường liên tục chuyển động với vận tốc v, gồm các

thành phần

( , , , ,) ( , , , ,) ( , , , )

xác định là u dt u dt u dtx ; y ; z Các thành phần biến dạng tính theo công thức (1.25),

chúng đều có thừa số dt, và theo đó chúng ta có phần tử của ten xơ tốc độ biến

dạng đối xứng như sau:

Các thành phần ξ ξ ξx, ,y z thể hiện tốc độ biến dạng dọc theo các trục toạ độ,

còn η η ηxy, yz, xz thể hiện tốc độ biến dạng góc Tốc độ giãn nở của vật thể là:

( )

div

Chúng ta có thể phân tích tốc độ biến dạng thành hai thành phần, đó là thành

phần tốc độ biến dạng thể tích đặc trưng bởi véc tơ biến đổi v và một thành phần

3.2 Bất biến của ten xơ vận tốc biến dạng

Bất biến của ten xơ tốc độ biến dạng Tξ và của ten xơ độ lệch tốc độ biến

dạng Dξ có thể thu được từ công thức (1.26) và (1.28) bằng cách thayεx, ,γxz

u u

Để nhận được liên hệ giữa ứng suất và biến dạng ngoài giới hạn đàn hồi trong trường hợp tổng quát chúng ta cần biết được tính chất cơ học của vật liệu liên quan đến tính đàn hồi và tính dẻo của vật liệu

Đồ thị kéo-nén đơn giản vật thể cho ta liên hệ thực tế giữa ứng suất σ1 và biến dạng ε1 trong trường hợp ứng suất một chiều Nó cho phép ta phát hiện nhiều tính chất cơ học của vật liệu

bởi một thay đổi P chúng ta

thu được đồ thị liên hệ giữa

ứng suất và biến dạng Đồ

thì hình 1.2 là đồ thị kéo nén

đơn giản của thép và đồng

trong điều kiện nhiệt độ

phòng

Trên đồ thị thị chúng ta có: A là điểm giới hạn tuyến tính, B giới hạn đàn hồi nếu cất tải tại điểm B thì trong mẫu có biến dạng dư, ra ngoài điểm B thì chúng ta thấy biến dạng tăng trong khi tải trọng không tăng; tiếp theo đến C tăng ứng suất thì biến dạng tăng và đây gọi là giai đoạn biến cứng Đồ thị phần nén mẫu thu được cũng tương tự như đồ thị của phần nén như trên đồ thị tuy nhiên các giá trị tương ứng tại các điểm A’, B’, C’, D’ có thể lớn hơn ở các điểm A,B,C,D Ứng suất tương ứng với đoạn BC gọi là giới hạn chảy

Một số vật liệu (như Đồng, nhôm, thép hợp kim cao…) trên đồ thị không có giới hạn chảy

10 20 30

-10 -20 -30

0.01 0.02 0.03

Đồng

Thép Kéo

Nén

0

l l

Hình 1.2

Nếu bỏ lực, ta thu được đường cong ABC

(hình 1.3) tương tự như một đường thẳng, đường này

giống như đường thẳng đàn hồi tuyến tính, độ lớn của

đoạn biến dạng dư bằng đoạn OC

Mẫu với hiện tượng trượt thuần tuý (xoắn của

ống) kết quả thí nghiệm tương tự như đường cong

kéo

Trong lí thuyết dẻo đường cong biến dạng

thường cho như trong (hình 1.4) chúng ta có đồ thị

phụ thuộc của biến dạng trượt γ và ứng suất tiếp τ với mẫu trượt thuần tuý Khi

Biến dạng của đoạn này tiếp

tục tăng đến giá trị γs gọi là giới hạn

chảy Sau đoạn này biến dạng tăng

khi ứng suất tăng theo một đường

công bởi công thức:

( )

g

τ = γ γ Hàm g ( ) γ gọi là mô đul dẻo,

trình biến cứng BC được nối với đoạn đàn hồi tuyến tính OA

4.2 Biến cứng của vật liệu

0

P F

O

D C B

Hình1 3 0

l l

∆

0

C B

Hình1 4

Với vật liệu đường cong bỏ tải ABC (hình 1.3) thông thường là một đoạn thẳng; nếu mẫu được đặt lực lại , đường cong ứng suất biến dạng CDE sẽ khác đường ABC Theo cách đó, vật liệu tổ chức lại độ bền, và sau mỗi lần như vậy thì giới hạn đàn hồi của vật liệu tăng lên; điều quan trọng là vật liệu đã giảm biến dạng dẻo Hiện tượng đó gọi là hiện tượng biến cứng của vật liệu

Ta thấy rằng tái bền giảm dần Khi tăng nhiệt độ hiện tượng này càng thể hiện rõ rệt và dưới nhiệt độ cao tái bền tích luỹ được sẽ giảm mất (sự ủ vật liệu)

4.3 Điều kiện chảy dẻo và điều kiện biến cứng

Khi nghiên cứu về hiện tượng chảy dẻo với trường ứng suất phức tạp chúng

ta nghiên cứu mẫu hình trụ rỗng chịu xoắn và chịu kéo; hoặc dùng mẫu trên chịu kéo và áp suất phân bố bên trong

* Mặt chảy và đường cong độ chảy

Một điều quan trọng là chúng ta cần biết được ứng xử của vật liệu với trường ứng suất phức tạp Đặc biệt chúng ta cần biết điều kiện gì làm vật liệu thay đổi từ đàn hồi sang chảy dẻo (biến dạng dẻo đoạn AB trên hình 4) Trong quá trình chảy dẻo σ1 =σs =constvới kéo nén đơn giản, τ τ= s =const với trường hợp trượt thuần tuý

Câu hỏi đặt ra là điều kiện nào là nguồn gốc của sự thay đổi từ giới hạn đàn hồi sang giai đoạn biến dạng dẻo trong trường hợp ứng suất phức tạp Điều kiện đó phù hợp với trường trạng thái của vật liệu, điều kiện đó gọi là điều kiện chảy dẻo Với vật liệu đẳng hướng điều kiện này là một hàm đối xứng của ứng suất chính

( ) ( )

( , 2 , 3 )

Vấn đề chính thu được là sự phù hợp khi chúng ta có thể bỏ qua ảnh hưởng

của ứng suất trong phương pháp gia công làm thay đổi hình dáng của vật thể Và do

đó điều kiện này có thể viết như sau:

( ) ( )

( 2 , 3 )

Trong thực tế nó phụ thuộc vào các ứng suất chính, do đó điều kiện trên có

thể viết ngắn gọn như sau:

thích sự phất triển của trạng thái ứng suất,

công thức (1.42) có thể là phương trình của

hình tròn, trục của nó là các ứng suất chính

tạo với nhau các góc lệch, trong đó đã bỏ qua áp suất trong công thức (1.42) Điều

đó đủ để chúng ta quan sát đường tròn trong các mặt lệch Đó có thể là một đường

cong C, đối xứng qua các trục 1’, 2’, 3’ và gọi là đường cong chảy (dẻo) trên hình

1.5

* Đường cong chảy (dẻo) có những đặc tính sau:

- Đường cong dẻo không đi qua gốc toạ độ O, điều kiện đó đạt được với giá

trị lớn của ứng suất tiếp

- Chúng ta tính toán đặc tính của vật liệu đúng với trường hợp kéo và nén

Đường cong trượt có thế đối xứng qua các đường thẳng trực giao 1’, 2’, 3’, từ đó

trạng thái thu được với sự thay đổi dấu của ứng suất

- Đường cong chảy có thể là đường lồi; nó có thể ở một bên đường tiếp tuyến

(hoặc nó là một đường chuẩn nếu C chứa các đường thẳng)

Với vật liệu đẳng hướng mà giới hạn kéo bằng giới hạn nén thì đường cong

trượt có thể đi qua 6 điểm A , A , A , A , A , A trên các trục 1’, 2’, 3’ cách đều 1 2 3 4 5 6

nhau

Trong hệ quả ở trên đường cong trượt chứa 12 cung bằng nhau Theo đó, khi

chúng ta nghiên cứu về chỉ tiêu chảy của một cung là đúng cho ứng xử của vật liệu

4.4 Tiêu chuẩn dẻo ứng suất tiếp lớn nhất (Tiêu chuẩn Tresca-Saint

Venant)

Với kinh nghiệm của mình về sự chảy dẻo của vật liệu qua một lỗ phun Kĩ

sư người Pháp Tresca đưa ra giả thuyết rằng trạng thái ứng suất tiếp lớn nhất có giá

trị giống nhau tại mọi điểm của vật liệu Giá trị đó bằng 1

2 σs, điều đó có được từ thí nghiệm kéo đơn giản Sau đó Saint Venant đưa ra công thức tính toán với điều

s s s

Trong đó điều kiện σ1 ≥σ2 ≥σ3, và chúng ta luôn có τmax =σ σ1− 3

Trong trường hợp trạng thái đàn hồi thì công thức (1.43) phù hợp với bất

phương trình không có dấu bằng

Trong trường hợp chảy dẻo thì dấu bằng có thể giữ ở một hoặc hai bất

phương trình Khi σs > , chúng ta không thể có cả 3 ứng suất tiếp chính cùng 0

bằng giá trị hằng số σs(bởi vì chúng ta có tổng của ứng suất theo các chỉ số là bằng

0, τ τ1+ 2 +τ3 = ) 0

(nhắc lại σ1 =τ σ, 2 =0,σ3 = −τ τ, max = ) τ

2

Điều kiện (1.43) miêu tả một hình lăng trụ 6 cạnh với trục σ1 =σ2 =σ3 Tiết

diện của nó nằm trong mặt phẳng σ1+σ2 +σ3 = là một hình lục lăng đều Miền 0

đàn hồi là miền trong của hình lục lăng, với nén hoặc dãn đều các phía tức là

σ =σ =σ thì vật liệu vẫn làm việc trong miền đàn hồi khi mà giá trị của ứng suất

i

σ là cực lớn

Điều kiện Saint Venant đặc trưng cho trạng thái chảy dẻo của vật liệu

Những kết quả thực nghiệm về chảy dẻo của vật liệu khi bị cán phù hợp với điều

kiện này

4.5 Tiêu chuẩn dẻo Misses (Điều kiện cường độ ứng suất tiếp không đổi)

Chúng ta sử dụng điều kiện Tresca-Saint Venant bằng các bất phương trình

điều này sẽ gặp khó khăn trong trường hợp ứng suất khối Đề khắc phục nhược

điểm này Von Miss đưa ra ý tưởng thay thế hình lăng trụ bằng một hình tròn ngoại

σ

Von Miss coi điều kiện Saint Venant là đúng còn điều kiện (1.45) là gần

đúng nhưng nhiều thí nghiệm cho thấy với các kim loại đa tinh thể thì điều kiện

Miss thoả mãn tốt hơn

4.6 Điều kiện đặt tải và cất tải Giả thiết đường cong biến dạng là duy

nhất

Trong lí thuyết đàn hồi do tính chất tổng hợp tuyến tính ảnh hưởng của lực

tác dụng lên, nên chúng ta không cần quan tâm đến cách đặt tải Với cách đặt tải tuỳ

ý thì ten xơ chỉ hướng ứng suất và ten xơ chỉ hướng biến dạng là trùng nhau

Tuy nhiên trong lí thuyết dẻo cách đặt lực ảnh hưởng quyết định đến liên hệ

giữa ten xơ ứng suất và ten xơ biến dạng Do ảnh hưởng của sự thay đổi lực ngoài

(quá trình đặt tải) trạng thái biến dạng tại lân cận điểm thay đổi theo, ta gọi hiện

tượng đó là quá trình biến dạng

Quá trình biến dạng là đơn giản khi ten xơ chỉ hướng biến dạng là không đổi

Quá trình này thực hiện được nếu các tải ngoài thay đổi tỉ lệ với một tham số nào

đấy Trong quá trình đơn giản các thành phần biến dạng có thể thay đổi, các đại

lượng e e có thể thay đổi nhưng hướng chính biến dạng và tỉ số biến dạng chính , u

không đổi

Quá trình là phức tạp khi có ít nhất một thành phần của ten xơ chỉ hướng

biến dạng thay đổi

Trong nhiều thực nghiệm cho thấy, trong miền biến dạng dẻo với đặt tải đơn

giản hệ thức giữa cường độ ứng suất tiếp T và cường độ biến dạng trượt Γ không

phụ thuộc vào trạng thái ứng suất

( )

Trong đó g ( ) Γ là hàm số đặc trưng cho từng vật liệu Vì dạng của phương

trình này không phụ thuộc vào trạng thái ứng suất nên có thể xác định từ thí nghiệm

kéo nén đơn giản Trong trường hợp lực phức tạp thì thí nghiệm cho kết quả gần

đúng với phương trình (1.48) Phương trình (1.48) chính là giả thiết về đường cong

biến dạng là duy nhất

Phương trình này có thể đặc trưng cho mọi giai đoạn biến dạng Hàm g ( ) Γ

còn gọi là hàm mô đul dẻo Ở trạng thái tái bền của của vật liệu thường gặp đường

* Điều kiện đặt tải và cất tải

Với ứng suất một chiều ta phân biệt một cách dễ dàng đặt tải và cất tải

Nhưng trong trường hợp ứng suất là phức tạp thì vấn đề khó khăn hơn nhiều

Giả sử vật thể ở trạng thái dẻo đặc trưng bởi ứng suất σij và biến dạng εij

Nếu cho số gia d σij, d εij, các đại lượng T , Γcũng nhận được số gia tương ứng

,

Trường hợp đặt tải đơn giản các thành phần của ten xơ lệch ứng suất thay đổi tỉ lệ

với tham số t Khi ttăng ứng với trường hợp đặt tải, khi t giảm ứng với trường

hợp cất tải Chúng ta có thể đi đến một cách đặt tải mang tính tổng quát hơn Độ đo

cơ bản của biến dạng dẻo là công biến dạng dẻo Wp Khi đặt tải biến dạng dẻo

tăng, thì số gia công biến dạng dẻo là dương Cần phân biệt hai loại vật liệu:

- Vật liệu là dẻo lí tưởng với vật liệu này chỉ có dT ≤0

dT=0 phát sinh biến dạng dẻo

- Vật liệu tái bền Điều kiện d Wp > 0 tương đương với Ψ ' ( ) T dT > 0 vì

dT=0 đôi khi còn gọi là trạng thái trung gian (đàn dẻo)

Khi cất tải, phần biến dạng của phần tử xảy ra do việc tích luỹ năng lượng

đàn hồi sẽ mất đi, còn lại biến dạng dư Vì vậy có thể xem biến dạng toàn phần εijlà

tổng của biến dạng đàn hồi εije và biến dạng dẻo εijp

e p

Thành phần biến dạng đàn hồi liên hệ với ứng suất tuân theo định luật Hook,

các hằng số đàn hồi xem như không đổi Khi cất tải thành phần biến dạng dẻo

không thay đổi, thành phần biến dạng đàn hồi thoả mãn hệ thức:

Trong đó σijlà ứng suất khi kết thúc cất tải

V Các lí thuyết dẻo hiện nay và ứng dụng

Mục đích của lí thuyết dẻo là thiết lập hệ thức giữa ứng suất và biến dạng

trong miền biến dạng dẻo với cách đặt tải phức tạp cho các vật liệu đẳng hưởng

hoặc tựa đẳng hướng ban đầu

Có hai hướng phát triển lí thuyết dẻo chính là: Li thuyết chảy dẻo và lí thuyết

biến dạng dẻo tổng quát Ngoài ra cũng cần chú ý một số phương trình mới như lí

thuyết trượt xuất phát từ mô hình vật lí của ứng xử dẻo và các lí thuyết suy từ các

kết quả của nhiệt động học

Trong phạm vi của luận văn tôi đưa ra tóm tắt và ngắn gọn các lí thuyết dẻo,

là cơ sở để nghiên cứu về biến dạng dẻo của tấm sau này

5.1 Lý thuyết chảy dẻo

Quá trình biến dạng dẻo là một hiện tượng không thể tránh khỏi, nó là một

phần quan trọng của biến dạng dưới sự thay đổi của trường nhiệt độ Ứng suất trong

trạng thái thông thường phụ thuộc quá trình biến dạng Trong quan hệ giữa ứng suất

và biến dạng thông thường không thể biểu diễn bằng phương trình ở dạng hữu hạn

mà phải biểu diễn dười dạng vi phân Lí thuyết chảy dẻo xây dựng quan hệ vi phân

giữa số gia biến dạng và số gia ứng suất, ứng suất đương nhiên ở trạng thái dẻo

Một số giả thiết:

a) Vật liệu là đẳng hưởng

b) Sự thay đổi thể tích tương đối là nhỏ và tỉ lệ đàn hồi với áp suất trung

d) Ten xơ lêch ứng suất và ten xơ lệch biến dạng của số gia biến dạng dẻo

cho bởi công thức sau:

.

p

Trong đó dλ là hệ số nhân vi phân Công thức miêu tả kết quả của trường

hợp chịu lực phức tạp, trong trường hợp các trục chính thì quan hệ của ứng suất

chính có thể thay đổi Theo kinh nghiệm số gia thành phần biến dạng dẻo tỉ lệ với

ứng suất ở mỗi thời điểm, tức là trạng thái ứng suất xác định gia số tức thời của biến

ij ije . ij

trong đó số gia biến dạng đàn hồi tuân theo định luật Hook như công thức (1.53)

Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng số gia công biến dạng là:

5.2 Một số dạng của lí thuyết chảy dẻo

a) Lí thuyết Prandtl-Reus với vật dẻo lí tưởng

Chúng ta sử dụng điều kiện của Von - Misses

s

T = τ

do đó ta có:

22

P s

dA dλ

τ

Độ lớn của dλ tỉ lệ với số gia công của biến dạng dẻo, và chúng ta biểu diễn

bởi σ εijd ijp chúng ta không chỉ có duy nhất sự phụ thuộc của số gia thành phần biến

dạng vào thành phấn ứng suất trong trường hợp chảy dẻo

dẻo Nếu dT <0, vật liệu thôi biến dạng dẻo và bắt đầu bỏ lực, vật liệu tuân theo

định luật Hooke

b) Lí thuyết chảy dẻo Saint Venant-Lévy-Miss

Theo lí thuyết này thì biến dạng đàn hồi là rất nhỏ so với biến dạng dẻo cho

nên chúng ta có thể bỏ qua biến dạng đàn hồi, do đó chúng ta thu được công thức

Saint Venant-Lévy-Misses như sau:

Nó tỉ lệ với tốc độ biến dạng dẻo, nó có tính chất của hàm hao tán Khử

thành phần ứng suất trong công thức (1.61) chúng ta thu được:

ξ τ

trong đó H là cường độ tốc độ biến dạng trượt

Lí thuyết Saint Venant-Lévy-Misses được sử dụng rộng dãi trong tính toán

biến dạng dẻo và trong dao động

c) Điều kiện biến cứng

Chúng ta sử dụng điều kiện biến cứng đẳng hướng ta có:

( )

p

Quan hệ trên đúng khi mà dT ≥0

Nếu dT=0, chúng ta có sự thay đổi trung gian của trạng thái ứng suất, và theo

đó số gia biến dạng quan hệ với số gia ứng suất có thể tuân theo định luật Hook, đó

là trạng thái trung gian giữa đàn hồi và biến dạng dẻo (đàn dẻo)

Theo điều kiện biến cứng miêu tả quan hệ duy nhất sự phụ thuộc của số gia

biến dạng vào ứng suất và số gia của nó

5.3 Lí thuyết biến dạng đàn dẻo

a) Một số giả thiết

Để đưa ra một số kết quả khi dùng lí thuyết biến dạng dẻo, chúng ta nghiên

cứu thí nghiệm với mẫu là một thanh chịu kéo, và dựa trên một số giả thiết sau đây:

ε σ

Như vậy ta thấy thành phần ten xơ lệch biến dạng bằng thành phân ten xơ

lệch ứng suất nhân với một lượng vô hướng ψ Chúng ta cũng có thể biểu diễn các

biến dạng chính tỉ lệ với ứng suất tiếp chính tương ứng:

Chú ý trong công thức trên chúng ta bỏ qua biến dạng đàn hồi; eij là thành

phần ten xơ lệch biến dạng

Khử đi phần dãn nở thể tích (bỏ qua biến dạng đàn hồi) trong công thức

(1.69) chúng ta thu được quan hệ Henky[

ε σ

Khử hàm ψ trong công thức (1.73) chúng ta có:

Trong đó thành phần đầu tiên là công thay đổi thể tích và thành phần thứ 2 là

công thay đổi hình dáng Công thức ở trên chua thể hoàn thành được bởi vì chúng ta

chưa biết hàm ψ , đó là hàm đa biến của các thành phần

miền đàn hồi hay chính là định luật Hook

Chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Von Miss về điều kiện chảy dẻo

s

T = τ

Theo công thức (1.72) chúng ta thu được:

2 s

ψ τ

Γ

tả duy nhất một thành phần biến dạng qua thành phần ứng suất Một cách tự nhiên

chúng ta thấy trong đồ thị (Hình 1.4) chúng ta thấy trong miền chảy dẻo thì không

có duy nhất một quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Từ (1.71) chúng ta có:

23

s e k

Chú ý giá trị ứng suất theo công thức trên là giá trị duy nhất, nó là hàm của

biến dạng và thoả mãn điều kiện Von Misses

Với vật liệu không nén được (k=0), ứng suất tính qua biến dạng và một phần