Hệ thống bài tập bồi dưỡng HSG toán 6

Bài tập 1:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm chữ số 2 vào bên phải số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ số 2 vào bên trái số tự nhiên ban đầu Bài tập 2:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số .Biết rằng khi thêm một chữ số vào bên phải số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ số đó vào bên trái số tự nhiên ban đầu

HỆ THỐNG BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 6

I)Tập hợp số tự nhiên N = 0;1;2;3;4;5;6  ; 0 là số tự nhiên nhỏ nhất ;không có số tự nhiên

lớn nhất

* aN ; a được biểu diễn theo hệ số thập phân như sau: a =

n n 1 4 3 2 1 0 n n 1 4 3 2 1 0

Ví dụ : 254687 = 2.105+ 5 104+ 4 103+ 6 102+ 8 101 + 7 100

II) Bài tập về các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia số tự nhiên

Bài tập 1:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số Biết rằng khi thêm chữ số 2 vào bên phải số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ

số 2 vào bên trái số tự nhiên ban đầu

Hướng dẫn:

Gọi số cần tìm có dạng abcde và hai số mới tạo ra là :abcde2 và2abcde

Ta có : 2abcde nên e.3 = 2 thì e = 4 và   1

 3 d.3+1 =  4 thì d = 1 và   0

abcde2 c.3 =  1 thì c = 7 và   2

b.3 +2 =  7 thì b = 5 và   1

a.3 +1 =  5 thì a = 8 và   2 vậy số cần tìm là: abcde= 85714 Bài tập 2:Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số Biết rằng khi thêm một chữ số vào bên phải

số tự nhiên đó ta được một số tự nhiên lớn gấp ba lần số tự nhiên có được bằng cách thêm chữ số đó vào bên trái số tự nhiên ban đầu

Hướng dẫn:

Gọi số cần tìm có dạng x = abcde và hai số mới tạo ra là :xy vàyx với y là chữ số mới thêm vào

Ta có xy = 3 yx hay 10x + y = 3.( 100000 y + x)  7x = 299999y x = 42857y

Do x là số có 5 chữ số thì y chỉ là số 1 hoặc số 2 nếu y 3 thì x là số có sáu chữ số không đúng theo đề bài đã cho vậy với y = 1 thì ta có x = 45782 hoặc y = 2 thì x = 85714

Bài tập 3:Tìm một số tự nhiên cĩ chữ số tận cùng là chữ số 3 nếu bỏ chữ số hàng đơn vị thì được một số mới nhỏ hơn chữ số cần tìm 1992 đơn vị

Hướng dẫn: gọi số cần tìm là x thì x 310 là số mới nên ta cĩ :x – x 310 = 1992 biến đổi dẳng thức nầy ta được :

9x = 19920-3 hay x = 19917 2213

Bài tập 4: Tìm một số tự nhiên a Biết rằng khi chia a cho 54 thì cĩ số dư là 38 nhưng khi chia a cho 18 thì được thương là 14 và cịn số dư

Hướng dẫn: Do chia a cho 54 cĩ số dư là 38 nên ta cĩ : a = 54.x + 38= 18.3x +18.2 + 2

= 18(3x + 2) +2

Hay a = 18(3x+2) + 2 (*)

và theo phép chia a cho 18 cĩ thương là 14 và cịn số dư r nên ta cĩ : a = 18 14 + r (**)

So sánh (*) và (**) ta cĩ r = 2 và a = 18 14 + 2 = 254

Bài tập 5: tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng gấp 5 lần hiệu của chúng và tích của chúng gấp 24 lần hiệu của chúng

Hướng dẫn: ta cĩ thể dùng sơ đồ sau:

Gọi hiệu của hai số là a ta cĩ tổng của hai số là 5a và tích là 24a

Theo sơ đồ ta cĩ tổng cọng thêm hiệu bằng hai số lớn:5a+a = 6a

Theo sơ đồ ta cĩ tổng trừ đi hiệu bằng hai số nhỏ : 5a - a = 4a

Vậy số lớn bằng :3a và số nhỏ bằng 2a

Và : số lớn số nhỏ = 24a  số lớn = số nhỏ 24a =24a 12

Và số nhỏ = 24a 24a 8

số lớn  3a 

Bài tập 6: tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng là 6210 nếu giảm một số đi 7 đơn vị thì tích mới của chúng bằng 5265

Số lớn

            

Số nhỏ

        hiệu=a

    

Hướng dẫn: Gọi hai số cần tìm là a và b Ta cĩ a.b = 6210 nếu bớt đi một trong hai số 7

đơn vị thì tích mới là 5265 đã giảm đi 7 lần số cịn lại nên hiệu 6210 – 5265 = 945 bằng 7 lần một trong hai số a hoặc b

Nếu a = 945 135

7  thì b = 6210 46

135  Nếu b = 945 135

7  thì a = 6210 46

Bài tập 7: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333 3 999 9  50 chữ số  50 chữ số

Hướng dẫn:Ta cĩ A = 333 3 999 9  50 chữ số  50 chữ số = 333 3 (100 00 1)  50 chữ số  50 chữ số  =333 3000 0 333 3     50 chữ số 50 chữ số    50 chữ số

Thực hiện phép trừ ta cĩ kết quả A =

Bài tập 8: Hãy tìm kết quả của phép nhân 333 3 333 3  50 chữ số   50 chữ số

Hướng dẫn:Ta cĩ B = 333 3 333 3  50 chữ số   50 chữ số

50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ số 50 chữ so

111 1 3 333 3 111 1 999 9 111 1 (1000 0 1) 111 1000 0 111 1

  

Thực hiện phép trừ ta cĩ kết quả B = 111 10888 89  49 chữ số   49 chữ số

Bài tập 9: Hãy chứng minh C = 111222 và D = 444222 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Hướng dẫn:Ta cĩ C = 111222 = 111000 + 111.2 = 111.1000 = 111.2 = 111.(1000 +2) =

111.1002 = 111.3.334

C = 333.334 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

Và D = 444222 = 444000 +111.2 = 111(4000+2 ) =111.4002 = 111.6.667

= 666.6677

D = 666.6677 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp

III) Bài tập về các phép chia cĩ dư:

Bài tập 10: Tìm hai số tự nhiên biết rằng chia hai số đĩ cho nhau được thương bằng 6 và

số dư bằng 49 và tổng của ba số bị chia ,số chia và số dư bằng 595

Hướng dẫn: số chia : b

49 chữ số 49 chữ số

333 32666 67     

Số dư

Số bị chia : a

Theo đề bài ta có : a + b + 49 = 595 Theo sơ đồ ta có : a = 6b + 49 hay 6b + 49 + a +

49 = 595

Hay :7b + 98 = 595  7b = 497  b = 4977 = 71 và a = 6.71+49 = 475

Số bị chia là :475 và số chia là :71

Bài tập 11:một phép chia có thương là 4 ,số dư là 25 ,tổng của ba số bị chia ,số chia và số

dư bằng 210 Tìm số bị chia và số chia đó

Hướng dẫn: tương tự bài tập 10(ĐS: 153 và 32 )

Bài tập 12: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm

5 vào số chia thì thương và số dư vẫn không đổi

Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư

Ta có : a = b.q + r (1)

Và : a+15 = (b + 5).q + r (2)  a + 15 = b.q +5.q +r  a = (b.q + r) + 5.q - 15 

a = a + 5.q – 15

Hay : 5q = 15 vậy q = 5

Bài tập 13: Tìm thương của một phép chia ,biết rằng nếu thêm 73 vào số bị chia và thêm 4

vào số chia thì thương vẫn không đổi nhưng số dư tăng 5 đơn vị

Hướng dẫn:Gọi a là số bị chia ,b là số chia , q là thương và r là số dư

Ta có : a = b.q + r (1)

Và : a+73 = (b + 4).q + r +5 (2) a + 73 = b.q +4.q +r +5  a = (b.q + r) + 4.q – 73+5  a = a + 4.q – 68

Hay : 4q = 68 vậy q = 17

IV) Bài tập về phép toán lũy thừa và phối hợp các phép toán :

Bài tập 14: Chứng minh 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 220 = 221

Hướng dẫn Đặt A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 220  2A = 8+ 23 + 24 + 25 + + 220

+ 221

Nên 2A = 8+ 23 + 24 + 25 + + 220 + 221

-A = 4 + 22 + 23 + 24 + 25 + + 220

A = 221

Bài tập 15: Chứng minh 72 543 4 2

108



= 8

Hướng dẫn B.đổi V.T.= 72 543 4 2

108



=

3 2 3 2 3 3 2 6 9

3



nên đ thức đã cm

Bài tập 16 : Tính giá trị của biểu thức :

a)A 2 13 2 6510 8 10

2 104



 b) B (1 2 3 100).(1 2 3 100 ).(65.111 13.15.37)     2  2  2  2 

Hướng dẫn A 2 13 2 65 2 (13 65) 2 2.39 2 3910 8 10 108 3 10 11 1111 3

B (1 2 3 100).(1 2 3 100 ).(65.111 13.15.37)     2  2  2  2  Ta có:

65.111-13 15.37= 0

Bài tập 17 :Tìm x biét rằng :

a) 2x 4 = 128 ; b) x15 = x ; c) (2x +1)3 = 125 ;

d) (x -5 )4 = (x -5 )6

e) A = 3+32+33 +399 +3100 và 2A + 3 = 3x Hướng dẫn a) 2x 4 = 128 b) x15 = x c) (2x +1)3 = 125

d) (x -5 )4 = (x -5 ) 2x = 32 015 = 0 (2x + 1)3= 53

04 = 0

2x = 53 (1)15 =  1 2x + 1 = 5

(1)4 = 1

x = 3 x = 0 hoặc x =  1 x = 2

x -5 = 0 hoặc x -5 = 1 x = 5

; x = 6 hoặc x = 4

e) A = 3+32+33 +399 +3100 Nên 3A = 32+33 +399 +3100+3101 2A = 3A –A = 3101 - 3 (1)

Mặc khác 2A + 3 = 3x  2A = 3x - 3 (2)

Từ (1) và (2) ta có : x = 101

Bài tập 18: tìm số tự nhiên có ba chữ số Biết rằng bình phương của chữ số hàng chục bằng tích của hai chữ số kia và số tự nhiên đó trừ đi số gồm ba chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại bằng 495

Hướng dẫn Gọi số cần tìm là abc= 102a+10b + c ; số viết ngược lại là cba = 102c+10b + a

Theo đề bài ta có : b2 = a.c và 102a+10b + c - 102c+10b + a = 495 hay 100 (a-c ) - ( a – c) = 495

99 (a-c) 495 a-c = 5 hay a = c + 5 Do 0 a  9 nên 0  c  4

* Với c = 0  a = 5 và b2 = 5.0 = 0  b = 0 nên số cần tìm là : abc = 500

* Với c = 1  a = 6 và b2 = a.c = 6  không tìm được chữ số b

* Với c = 2  a = 7 và b2 = a.c = 14 không tìm được chữ số b

* Với c = 3  a = 8 và b2 = a.c = 24 không tìm được chữ số b

* Với c = 4  a = 9 và b2 = a.c = 36 b = 6 nên số cần tìm là : abc = 964

Bài tập 19:Không thực hiện phép nhân hãy so sánh các tích sau:

a) A = 1998.1998 và B = 1996.2000

b) C = 2000.2000 và D = 1990.2010

c) E = 25.33 -10 và

d) G = 32.53 – 31 và H = 53.31 + 32

Hướng dẫn a) Ta có : A = 1998.1998 = (1996+2) 1998 = 1996 1998+2.(1996+2) =

1996 1998+2.1996+4

Và B = 1996.2000 = 1996.(1998+2) = 1996.1998+2.1996 Vậy A > B

và A – B = 4

b) Ta có : C = 2000.2000 = (1990+10).2000 = 1990 2000 + 10.2000 = 1990

2000 + 10.1990+100

Và D = 1990.2010 = 1990.(2000 +10) = 1990 2000 + 10.1990 Vậy

C > D và C – D = 100

c) Ta cĩ : E = 25.33 -10 = 33.(26-1) - 10 = 33.26 - 43

Và F = 31.26+10 = (33-2).26 + 10 = 33.26-42 vậy F > E và F – E = 1 d)Ta cĩ :G = 32.53–31= (31+1).53 – 31 = 53.31+22 Và H = 53.31 + 32 nên H > G và H – G = 10

Bài tập 20: Chứng minh: 37.13-13 chia hết cho 24+37.12

Hướng dẫn Ta cĩ : 37.13-13 = 37.(12+1) -13 = 37.12 +37 -13 = 37.12 +24

Vây : 37.13-13 24+37.12 1

24+37.12

Bài tập 21: Tính A = 101 100 99 3 2 1101 100 99 3 2 1     

      ; B = 2 4 6 8 1003737.43 4343.37

Hướng dẫn Ta cĩ :A = 101 100 99 3 2 1101 100 99 3 2 1     

A =

51chữ số1

101(101 1)



Và B = 3737.43 4343.37 101.37.43 101.43.37 0 0

Bài tập 22 :Vận dụng tính chất của các phép tính hãy tìm kết quả một cách hợp lí

a) 1990.1990-1992.1998 b) (1374.57+687.86):

(26.13+74.14)

c) (124.327+52) : (870+235.122) d) 423134.846267 423133846267.423133 423134



Hướng dẫn

a) 1990.1990 1992 1998 = (1992– 2 ).(1988+2) – 1992 1998= 1992 1988+2.1992 – 2.1988 – 4 – 1992 1998

= 2.1992 –2.1988 – 4 = 2 (1992 – 1988 – 2) = 2.2 = 4

b) (1374.57 + 687.86): (26.13+ 74.14) = 1374.57 + 687.8626.13+74.14 =1374.57 + 1374.4326.13+74.14 =

1374(57 43)

26.13 74.(13 1)



26.13 74.13 74 13(26 74) 74137400  137400

    =1300 74137400



=1374001374 = 100

c) (124 237+152) : (870+235.122) =

124.237+152 (122 2).(235 2) 152 122.235 244 470 4 152

= 122.235 870 1

122.235 870







d) 423134.846267 423133 (423133 1)846267 423133 846267.423133 846267 423133846267.423133 423134  846267.423133 423134   846267.423133 423134 

= 846267.423133 423134846267.423133 423134

 = 1 Bài tập 23 : Tìm số tự nhiên a :

a) 697:15a 364a = 17 b) 92.4 –27 =

a 350 315

a





c) 720 : 41 2a 5      2 53 d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+

… +(a+100) = 5750

Hướng dẫn

a) 697:15a 364a = 17  15a 364

a



= 69717  15 364

a

 = 41 364

a = 41-15 

364

26

b) 92.4 –27 = a 350 315

a



a



350

25

c) 720 : 41 2a 5      2 53  720 :40 = 46 - 2a  2a = 46 - 18  a = 28 14

2 

d) (a+1)+ (a+2)+ (a+3)+ … +(a+100) = 5750 100a+101.1002 =5750 100a = 5750-5050

V.Bài tập về tính chất chia hết của số tự nhiên:

Kiến thức cơ bản: Gọi A = a a a a a a n n 3 2 1 0 T a có:

A 2 a0 2

A 4  a a 41 0

A25  a a 251 0

A 8  a a a 82 1 0

A 3  an  an 1  a a  3 2 a a 31 0

A 9  an  an 1  a a  3 2 a a 91 0

A11 

n n 1 3 2 1 0

n n 1 3 2 1 0













A m

















Bài tập 24 : Cho n là một số tự nhiên chứng minh rằng :

a) (n+10) (n+15) chia hết cho 2

b) n(n+1) (n+2) chia hết cho 2,3,6

c) n(n+1) (2n+1) chia hết cho 2,3

Hướng dẫn

a) Nếu n = 2k Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+10) (2k+15) = 2(k + 5) (2k+15) chia hết cho 2

Nếu n = 2k + 1 Thì (n+10) (n+15) = ( 2k+1+10) (2k+1+15) = (2k + 11) 2 (k+8) chia hết cho 2

b) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2

Nếu r = 0 thì n = 3k .Nên n(n+1) (n+2) = 3k (3k + 1) (3k+2) chia hết cho 3

Nếu r = 1 thì n = 3k+1 Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 1) (3k+2) (3k+3) = 3(3k + 1)

(3k+2) (k+1) chia hết cho 3

Nếu r = 2 thì n = 3k+2 Nên n(n+1) (n+2) = (3k + 2) (3k+3) (3k+4) = 3(3k + 2) (k+1) (3k+4) chia hết cho 3

Vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 3

Và n(n+1) (n+2) là ba số liên tiếp nên trong đó có ít nhất một thừa số chẳn, vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 2

Nhưng (2;3) = 1 Vậy n(n+1) (n+2) chia hết cho 6

c) Ta có n chia3 có số dư r lần lượt là 0;1;2

Nếu r = 0 thì n = 3k Nên: n(n+1) (2n+1) = 3k(3k+1) (6k+1) chia hết cho 3

Nếu r = 1 thì n = 3k+1 Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+1) (3k+2) (6k+3) = 3(3k+1) (3k+2) (2k+1) chia hết cho 3

Nếu r = 2 thì n = 3k+2 Nên: n(n+1) (2n+1) = (3k+2) (3k+3) (6k+5) = 3(3k+2) (k+1) (6k+5) chia hết cho 3

Vậy n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3

Mặc khác n(n+1) chia hết cho 2 nên n(n+1) (2n+1) chia hết cho 3

Bài tập 25 : Cho A = 1119+1118+1117 +115+114 +113+112 +11+1 Chứng minh A chia hết cho 5

Do 11n có chữ số tận cùng là 1nên tổng A có chữ số tận cùng là 0 nên chia hết cho 5

Bài tập 26 : Chứng minh rằng :

a) A= 1018 +8 chia hết cho 72

b) B= 88 + 2020 chia hết cho 17

c) C= 2 +22+23+24+25+26+ +260 chia hết cho 3 , 7 và 15

d) D= 3 +33+35+37+ +31991chia hết cho 13 và 41

Hướng dẫn

a) A = 1018 +8 = 100 00000 8 100 00008    18 chữ số 0      17 chữ số 0 chia hết cho 9 vì tổng các chữ số bằng 9 và chia hết cho 8vì ba chữ số tận cùng là ….008 chia hết cho 9 và (9;8) = 1 Nên 1028 +8 

72 , vậy A 72

b) B = 88 + 2020 = (23)8 +2020 = 224 + 2020 = 2020(24 +1) = 2020 17 17 ,vậy B 17

c) C = 2 +22+23+24+25+26+ +260 = 2(1+2)+ 23(1+2)+25(1+2)+27(1+2)+

+257(1+2)+259(1+2)

= 3(2 + 23 +25 +27+ +257+259) Vậy C 3

C = 2 +22+23+24+25+26+ +260 = 2(1+2+22)+ 24(1+2+22)+27(1+2+22)+

+255(1+2+22)+258(1+2+22)

C = 7(2+24 +27+210 + .+252+255+258)  7 Vậy C 7

C = 2(1+2+22+23)+25(1+2+22+23)+29(1+2+22+23)+

+253(1+2+22+23)+257(1+2+22+23)

= 15(2 +25 + 29 + + 253 + 257)  15 Vậy C 15 d) D = 3 +33+35+37+ +31991 = 3(1 +32+34)+37(1 +32+34)+313(1 +32+34)+

+31987(1+32+34)

= (1+32+34)m= 91m= 13.7m Vậy D 13

D = 3 +33+35+37+ +31991 = 3(1 +32+34+36)+39(1 +32+34+36)+317(1 +32+34+35)+ +31985(1+32+34+36)

= (1+32+34+36) n= 820n= 41.20n Vậy D 41

Bài tập 27: Tìm các số tự nhiên x và y sao cho :

a) (2x +1) (y–3) = 10

b) (3x –2) (2y–3) = 1

c) (x +1) (2y–1) = 12

d) x+6 = y(x–1)

e) x–3 = y(x+2)

Hướng dẫn Do x,y N

a) (2x +1) (y–3) = 10  (2x +1) = y 310

 Do (2x +1)  N  10

y 3   N  y –3 là ước

tự nhiên của 10

* y –3 = 10  y = 13 nên x = 0

* y –3 = 5  y = 8 nên x = 1 N

2 (loại)

* y –3 = 2  y = 5 nên x = 2

* y –3 = 1  y = 4 nên x = 9 N

2 (loại) vậy x = 0 , y = 13 hoặc x = 2 , y = 5 là

các cặp số cần tìm

b) (3x –2) (2y–3) = 1 nên 3x 2 12y 3 1   x 1y 2

  x = 1 , y = 2 là các số cần tìm

c) (x +1) (2y –1) = 12 (x + 1) = 2y 112

 Do (x +1) N  12

2y 1   N  2y–1là ước tự nhiên lẽ của 12

* 2y –1 = 1  y = 1 nên x = 11

* 2y –1 = 3  y = 2 nên x = 3 vậy x = 11 , y = 1 hoặc x = 3 , y = 2 là các cặp

số cần tìm

d) x+6 = y(x–1)  (x+6)  (x–1)  (x–1+7)  (x–1)  7 (x–1)

 (x–1) = x 1 7x 1 1   x 8x 2  y 2y 8

  vậy x = 8, y = 2 hoặc x = 2 , y = 8 là các

cặp số cần tìm

e) x–3 = y(x+2)  (x–3)  (x+2)  (x+2–5)  (x+2)  5  (x+2)  x+2 là ước

tự nhiên của 5

* x+2 = 5  x = 3  y = 0

* x+2 = 1  x = -1 N vậy x = 3, y = 0 là cặp

số cần tìm

Bài tập 28: Tìm các số tự nhiên n sao cho: