BI KÍP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 CHUYÊN SƯ PHẠM

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng P,Q : ta phải mở rộng mặt phẳng để tìm điểm chung + Nếu biết một điểm chung thì ta lấy mặt phẳng thứ ba R không qua điểm chung

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) : ta phải mở rộng mặt phẳng để tìm điểm chung

+) Nếu biết một điểm chung thì ta lấy mặt phẳng thứ ba (R) không qua điểm chung và qua một đường thẳng  thuộc (P) hoặc (Q) , giả sử là( P) Sau đo tìm giao tuyến của (R) và (Q)

là d Giao của d và  sẽ thuộc P,Q

+) Nếu chưa biết điểm chung nào thì ta làm như trên hai lần

Muốn dựng  qua M và d,d’ trong không gian chéo nhau ta làm như sau:

Ta tìm giao điểm của d (hoặc d’) với mặt phẳng P qua đường thẳng d’ (hoặc d) và chứa

M, bằng cách tìm giao tuyến  của P và mặt phẳng qua d ,  sẽ cắt d tại N cũng thuộc P nên

MN cũng cắt d’ Suy ra MN là đường thẳng cân dựng

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau trong không gian, và đường thẳng c.Cách dựng đường thẳng  // c đi qua a, b như sau:

+) Tìm hoặc dựng mặt phẳng (P) qua a ( hoặc b ) và //c ( Tìm d cắt a hoặc b và // c thì (P) là (a,d) hoặc (b,d))

+) Lấy giao của b (hoặc a ) với (P)

+) Từ giao điểm đó dựng đường thẳng // c sẽ cắt a (hoặc b)

Ta được đường thẳng cần dựng

Cho mặt phẳng (b) cố định và đường thẳng d thuộc (b) cố định Muốn dựng mặt phẳng (a) qua d và hợp với (b) một góc x nào đó ta làm như sau:

+)Qua một điểm cố định ( chẳng hạn O) trong hình vẽ của bài và thuộc (b) ta dựng đường thẳng d’ vuông góc với d và cắt d tại I, và cũng qua điểm cố định đó ta dựng đường thẳng

 vuông góc với mặt phẳng (b) Khi đó d sẽ vuông góc với (d’, )

+) Mặt phẳng (a) qua d sẽ cắt  tại K ,thì góc giữa hai mặt phẳng (a) ,(b) là góc KIO +) Ta chi việc dựng K sao cho góc KIO=x , thì mặt phẳng (d,K) chính là (a)

Muốn dựng (P) qua d và tạo với  một góc ỏ ta làm như sau:

+) Chọn (Q) qua  và //d hoặc trùng d +) Lấy d’ là hình chiếu của d trên (Q) +)  giao d’ tại O, dựng (R) vuông góc với d’ cắt  tại A +) Giả sử giao của (P’) ( là mặt phẳng qua d’ //d) , (R) tại ’, qua A dựng đường vuông góc với ’ , dựa vào các dữ kiện của của bài toán ta xác định ’ qua điểm cố định nào đó và hợp với d’ góc nào đó, từ đó dựng ngược trở lại (P)

Hoặc ta tính khoảng cách từ một điểm trên  tới (P) để suy ra những điều cần thiết để dựng thiết diện

Nếu (P) vuông góc với đường thẳng hay mặt phẳng nào đó thì quy về dựng qua đường thẳng nào đó

Bài 1:

Cho tứ diện ABCD; X,Y,Z thuộc AB,AC,AD , M (BCD) Gọi N =AM BCD) Gọi N =AM (BCD) Gọi N =AM XYZ) Tìm N

Bài 2 :

Cho tứ diện ABCD,M[CD], K CD], K (BCD) Gọi N =AM ABC),L (BCD) Gọi N =AM ACD) ,N =KL  (BCD) Gọi N =AM ABM).vẽ N

Bài 3 :

Cho tứ diện ABCD, K (BCD) Gọi N =AM ABC),L (BCD) Gọi N =AM ACD) Tìm KL (BCD) Gọi N =AM BCD)

Bài 4 :

Cho tứ diện ABCD, M nằm trong tứ diện A’,B’,C’,D’ là giao của AM,BM,CM,DM với (BCD) Gọi N =AM BCD),(BCD) Gọi N =AM ACD),(BCD) Gọi N =AM ABD),(BCD) Gọi N =AM ABC).CMR:

a)

MA'

AA ' +

MB' BB' +

MC' CC' +

MD' DD' =1

b) ∑ MA '< { AB , AC , AD ,BC ,CD ,BD }

Gợi ý:a) Dùng bài toán : cho M trong ABC , A’,B’,C’ là giao của AM,BM,CM với

BC,CA,AB Khi đó ∑ MA' AA '=1

Gọi K ,L là giao của AA’ và BB’; CC’ và DD’ sau đó áp dụng bài trên

b)

MA '

AA ' >

MA '

max{AB , AK}>

MA'

max{AB , AC , AD}>

MA '

max{AB , AC , AD, BC ,CD , BD}

Bài 5 :

Cho tứ diện S.ABC,G là trọng tâm ABC; A’,B’,C’ bất kì trên cạnh SA,SB,SC , AG giao (BCD) Gọi N =AM A’B’C’) tại G’ CM: ∑SA ' SA =3 SG

SG '

Gợi ý:Gọi A1,B1,C1 là trung điểm BC,CA,AB A2,B2,C2 là giao SA1 và B’C’;SB1 và A’C’;SC1 và A’B’ A3,B3,C3 là giao AA1 và A’A2; BB1 và B’B2;CC1 và C’C2

Dùng menelauyt cho A3GG’ và A3AA’ với S,A1,A2 thẳng hàng Sau suy ra

SA

SA '=3

SG

SG'.

A 2G'

A 2 A '

Tương tự có các đẳng thức còn lại,cộng vào có dpcm

Bài 6 :

BCD,ACD,ABD,ABC.CM:AA’,BB’,CC’,DD’ động quy tại một điểm

Bài 7:

Cho hình chóp SABCD M,N,P thuộc SA,SB,SC Tìm thiết diện của (BCD) Gọi N =AM MNP) và hình chóp

Bài 8:

Cho tứ diện ABCD,M (BCD) Gọi N =AM ABC),N (BCD) Gọi N =AM ACD),P (BCD) Gọi N =AM ADB) Vẽ thiết diện của (BCD) Gọi N =AM MNP) và ABCD

Bài 9:

Cho hình chóp tứ giác SABCD,M [CD], K SA],N: B[CD], K SN],P [CD], K CD] Tìm thiết diện của (BCD) Gọi N =AM MNP) và hình chóp

Bài 10:

Cho hình chóp SABCD, N [CD], K SD], P (BCD) Gọi N =AM ABCD), lấy M:B[CD], K SM] Tìm thiết diện của (BCD) Gọi N =AM MNP) và hình chóp

Bài 11:

Cho tứ diện ABCD,có các cạnh đối bằng nhau CM: các mặt của tứ diện là các tam giác nhọn và bằng nhau

Gợi ý:Gọi M,N là trung điểm của AB,CD ,có CM=DM suy ra MN CD, tương tự với

AB, Tính MN theo các cạnh

Bài 12 :

Cho S.ABC, M N,P thuộc SA,SB,SC

I=(BCD) Gọi N =AM BCM) (BCD) Gọi N =AM CAN) (BCD) Gọi N =AM ABP)

J=(BCD) Gọi N =AM NAP) (BCD) Gọi N =AM PMB) (BCD) Gọi N =AM MNC)

CM:a) S,I,J thẳng hàng

b)

SJ

IJ=1+

SM

AM+

SN

BN+

SP CP

Gợi ý:

a) Gọi A’,B’,C’ là giao của BP và CN;AP và CM;BM và AN

I = AA’ giao BB’ giao CC’

J= MA’ giao NB’ giao PC’

Suy ra: I= (BCD) Gọi N =AM SBB’) giao (BCD) Gọi N =AM SCC’) giao (BCD) Gọi N =AM SAA’)

J= (BCD) Gọi N =AM SMA’) giao (BCD) Gọi N =AM SNB’) giao (BCD) Gọi N =AM SPC’)

a) Gọi Q = SA’ giao BC

H=SI giao AQ

K = MA’ giao AQ

Ta có (BCD) Gọi N =AM AQHK)=-1



JS

JI .

HI

HS=1 (BCD) Gọi N =AM 1)

C1:Menelauyt cho SIC với C’,J,P thẳng hàng



SP

PC=

JS

JI .

A ' I

AA '

Tương tự có các đẳng thức khác; cộng vào có

SA

MA+

SB

NB+

SC

PC=

JS

JI .(

A ' I

AA ' +

B ' I

BB '+

C ' I CC' )

⇒∑SM MA =JS

JI (1−HI

HS)

Kết hợp với (BCD) Gọi N =AM 1) ta có dpcm C2:Dùng bổ đề cho ABC, M thuộc ; A’,B’,C’ là giao của Am,BM,CM và BC,AC,AB Khi đó

AB ' BB'+

AC ' CC'=

AM

MA ' (BCD) Gọi N =AM cm:qua A kẻ đường thẳng //BC)

Ta có: ∑ SM MA = SM

MA +

SA '

A ' Q =

SI IH

Điều cần chứng minh

⇔ SJ

SI IH

⇔ JS

HS HI

Bài 13:

Cho tứ diện ABCD ; M,N,P,Q,R,S là trung điểm của AB,CD,AC,BD,AD,BC.CM:

a)MN,PQ,RS đồng quy tại trung điểm mỗi đường

b) Điểm đồng quy đó là trọng tâm của tứ diện

Bài 14:

Cho tứ diện ABCD, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (BCD) Gọi N =AM SBC),(BCD) Gọi N =AM SAC),(BCD) Gọi N =AM SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC

CMR: ∑ MA' SA

=1

Bài 15:

Cho tứ diện ABCD, A’,B’,C’,D’ là trọng tâm của (BCD) Gọi N =AM BCD),(BCD) Gọi N =AM ACD),(BCD) Gọi N =AM ABD),(BCD) Gọi N =AM ABC) ; M bất kì; Lấy A’: MA}} =3 {overline { ital MA'}} } { ¿¿¿ .Tường tự có B”,C”,D”.CMR:

a)AA”,BB”,CC”,DD” đồng quy tại trung điểm của mỗi đường gọi là N

b)MN đi qua trọng tâm tứ diện

Bài 16:

Cho tứ diện S.ABC , G là trọng tâm của ABC,M thuộc ABC; M và  // SG cắt (BCD) Gọi N =AM SBC),(BCD) Gọi N =AM SCA),(BCD) Gọi N =AM SAB) tại A’,B’,C’.CMR: MA’+MB’+MC’+MD’=3SG

Gọi ý: Dùng talet

Bài 17:

Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC;A,B,C qua A,B,C //SM cắt (BCD) Gọi N =AM SBC),(BCD) Gọi N =AM SAC), (BCD) Gọi N =AM SAB) tại A’,B’,C’,

a) CM:

1

SM=∑ AA '1

b) Gọi M’=SM (BCD) Gọi N =AM A’B’C’).Tính SM : SM’

Gợi ý :b) Để ý giao điểm I của BC’ , CB’ và S,A thẳng hàng.Gọi L =A’I

SM’,P=A’M’B’C’, N=IPBC Ta có IP=IN  SL=LM’,SL=SM.Suy ra SM’=2SM

Bài 18:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b M,N di chuyển trên a,b.Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Gọi ý:Lấy hai điểm cố định A.B trên a,b.Gọi O là trung điểm AB, qua O kẻ ,’lần lượt //a,b; trên ,’ lấy M’,N’ sao cho MM’,NN’ //AB

Bài 19:

Tứ diện ABCD M thay đổi thuộc AC ,(BCD) Gọi N =AM ỏ)M và // AB,CD cắt AD,BD,BC tại N,P,Q

a) CMR:MNPQ là hình bình hành

b) Tìm điều kiện của M để MNPQ là hình thoi

c) Tìm quỹ tích của tâm I của MNPQ

d) Tìm điều kiện của ABCD để MNPQ có chu vi không đổi

Gợi ý:b) MN=

AM

AC CD

MQ=

CM

AC AB

MNPQ là hình thoi <=> MN=MQ

c)Gọi E,F là trung điểm của AB,CD khi đó I thuộc EF áp dụng bài 18

d) MN+MQ=

AM CD+CM AB

AM CD+(AC− AM)AB

AM ( AB−CD )+CD AB

AC

Chu vi =const KHI và chỉ khi AB=CD do AM thay đổi

*) Trong chương quan hệ song song có hai loại thiết diện là:

+) Thiết diện qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau

+) Thiết diện qua một đường thẳng và song song với một đường thảng khác

Thường thì các thiết diện này được dựng qua các hình chóp

Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại trên

a) Giả sử thiết diện qua M và song song với d,d’ chéo nhau:

+) Ta dựng giao tuyến  của (BCD) Gọi N =AM M,d) với (BCD) Gọi N =AM P) qua d’

+) Dựng đường thẳng song song d qua M cắt  tại O

+) Trong (BCD) Gọi N =AM P) dựng đường thẳng //d’

Cách hai áp dụng cho bài toán có hình lăng trụ hoặc hình hộp:

+) Ta tịnh tiến một trong hai đường thẳng đến đường thẳng kia tạo (BCD) Gọi N =AM Q)

+) Qua M dựng mặt phẳng song song với (BCD) Gọi N =AM Q)

b) Giả sử thiết diên qua d và song song d’:

+) Chọn hai điểm A,B trên d (BCD) Gọi N =AM thường thì sẽ có trong hình bài ra)

+) Dựng giao tuyến  của (BCD) Gọi N =AM A,d’) với (BCD) Gọi N =AM P) chứa B

+) Trong (BCD) Gọi N =AM A,d’) dựng đường thẳng qua A //d’ ,Giả sử cắt giao tuýên trên tại C ,khi đó (BCD) Gọi N =AM ABC) là mặt phẳng cần tìm

+) Cuối cùng dựng thiết diện của (BCD) Gọi N =AM ABC) với hình bài ra

Ta có thể lấy các điểm bất kì và thử tìm thiết diện

Sau đây là một số bài tập

Bài 20:

Cho hình chóp S.ABCD.M,N là trung điểm của AB,SB Mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) M và (BCD) Gọi N =AM P)// CN,SD Dựng thiết diện của (BCD) Gọi N =AM P) với S.ABCD

Bài 21:

Cho S.ABC, MABC Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) M và (BCD) Gọi N =AM P)// SB,AC

Bài 22:

Cho S.ABCD , N,P là trung điểm của SB,AD Lấy M sao cho B là trung điểm của MN Dựng thiết diện của mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P)MP và (BCD) Gọi N =AM P) //CN với S.ABCD

Bài 23:

Cho hình chóp S.ABCD ,N là trung điểm của BC ,P[CD], K SC] :SP=2CP ,MSA:S là trung điểm của AM Dựng thiết diện của mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) MN, (BCD) Gọi N =AM P)// DP với S.ABCD

Bài 24:

Cho S.ABCD , P là trung điểm của SD, M thuộc BC sao cho B là trung điểm của CM , N thuộc [CD], K SB] sao cho SN=2NB Dựng thiết diện của mp (BCD) Gọi N =AM P) NP và (BCD) Gọi N =AM P)//AM với S.ABCD

Bài 25: (BCD) Gọi N =AM phần mặt phẳng song song)

Cho tứ diện S.ABC, M thuộc ABC ; A’,B’,C’thuộc (BCD) Gọi N =AM SBC),(BCD) Gọi N =AM SAC),(BCD) Gọi N =AM SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ //SA,SB,SC

Gọi M’=SM(BCD) Gọi N =AM A’B’C’) CMR:M’ là trọng tâm của A’B’C’, tính tỉ số SM : SM’

Gợi ý :Lấy giao của (BCD) Gọi N =AM MA’B’) với SC, hoặc chứng minh SM cắt các trung tuyến = việc để

ý (BCD) Gọi N =AM SAB)//(BCD) Gọi N =AM MA’B’)

Bài 26:

Cho tứ diện S.ABC, G là trọng tâm của tứ diện M bất kì thuộc ABC A’,B’,C’thuộc (BCD) Gọi N =AM SBC),(BCD) Gọi N =AM SAC),(BCD) Gọi N =AM SAB) sao cho MA’,MB’,MC’ // GA,GB,GC CMR: GM đi qua trọng tâm của

A’B’C’

Gợi ý : Gọi A”,B”,C” là giao của MA’,MB’,MC’ với (BCD) Gọi N =AM GBC),(BCD) Gọi N =AM GCA),(BCD) Gọi N =AM GAB),khi đó A”,B”,C”, chia GA’,GB’,GC’ theo tỉ số 3:1 do tính chất của trọng tâm tứ diện Theo bài 25 thì

MG sẽ đi qua trọng tâm A”B”C”, vị tự A”B”C” thành A’B’C’ ,suy ra GM đi qua trọng tâm A’B’C’

Bài 27:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b ; (BCD) Gọi N =AM P) qua a // b ; (BCD) Gọi N =AM Q) qua b // a M (BCD) Gọi N =AM P)  (BCD) Gọi N =AM Q) CMR: Tồn tại duy nhất đường thẳng qua M cắt a,b

Bài 28:

Hai đường thẳng chéo nhau a,b cắt (BCD) Gọi N =AM P) M,N di chuyển trên a,b sao cho MN // (BCD) Gọi N =AM P) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Gợi ý : tương tự bài 18, chú ý M’N’ luôn tự song song

Bài 29:

Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau, mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) di chuyển luôn song song với chính mình và cắt a,b,c tạ A,B,C Tìm quỹ tích trong tâm G của ABC

Gợi ý: Theo bài 27 thì quỹ tích trung điểm M của BC là đường thẳng d nào đó xác định, điểm G chia đoạn AM theo tỉ số 2, mà AM luôn song song (BCD) Gọi N =AM P), từ đó theo cách làm bài 18,lấy O chia AM theo tỉ số 2 Ta được quỹ tích G

Bài 30:

Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, M là điểm bất kỳ thuộc AB1, Gọi I= (BCD) Gọi N =AM MCD1) BC1,

J =(BCD) Gọi N =AM MCD1)A1D CMR:M,I,J thẳng hàng

Gợi ý : Dùng Talet

Bài 31:

Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1 ,gọi N là trung điểm của AA1, G1 là trọng tâm của A1B1C1

a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) M và (BCD) Gọi N =AM P)// CN,BC1

b) Gọi E là giao của (BCD) Gọi N =AM P) với A1B1 Tính

A1E

B1E

Gợi ý: Dùng cách 2 bí kíp (BCD) Gọi N =AM a) ở trên

Bài 32:

Cho hình lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 M thuộc [CD], K BA1] sao cho

MB

MA 1=

4

5 Gọi (BCD) Gọi N =AM Q) M và (BCD) Gọi N =AM Q) // AC1,CB1

a) Vẽ thiết diện của hình lăng trụ với (BCD) Gọi N =AM Q)

b) Gọi E =(BCD) Gọi N =AM Q)  CC1 Tính

CE

C1E

Gợi ý : như bài trên

Bài 33:

CMR: Thiết diện bất kì của tứ diện bất kì có chu vi nhỏ hơn max của chu vi các mặt của

tứ diện

Bài 34:

Cho hình hộp xiên ABCD.A1B1C1D1, gọi XYZTUV là thiết diện của (BCD) Gọi N =AM P) với hình hộp, có XT,YU,ZV đồng quy tại O CMR :O là giao của các đường chéo của hình hộp

Gợi ý: Giao tuyến

Bài 35:

Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ I,K,G là trọng tâm của ABC,A’B’C’ ACC’.CMR: (BCD) Gọi N =AM IKG)//(BCD) Gọi N =AM BB’CC’) ,(BCD) Gọi N =AM A’KG)//(BCD) Gọi N =AM AIB’)

Bài 36: ( Đề kiểm tra )

Cho diện ABCD, gọi I1,I2,I3,I4 là tâm đường tròn nội tiếp của BCD, ACB, DAB,

ABC CMR:AI1, BI2, CI3, DI4 đồng quy AC.BD = AB.CD = AD.BC

Gợi ý: làm từng chiều một

Bài 37: ( Đề kiểm tra )

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O là giao của DC1 và CD1, M thuộc tia AA1 sao cho MA=3MA1

a)Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P)MO và (BCD) Gọi N =AM P)//BD

b)Gọi L là giao của (BCD) Gọi N =AM P) với CC1 Tính LC:LC1

Bài 38: ( Đề kiểm tra )

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm của tứ diện M là điểm bất kì thuộctứdiện,MG(BCD) Gọi N =AM BCD)=A1,MG(BCD) Gọi N =AM ACD)=B1,MG(BCD) Gọi N =AM DAB)=C1, MG(BCD) Gọi N =AM ABC)=D1 CMR:

∑MA GA 1

1 =4

Gợi ý: Gọi giao AM,BM,CM,DM với các mặt phẳng đối diện, sau dùng melaúyt

Bài 39: ( Đề kiểm tra A 1 )

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 ,O =DC1 CD1, M[CD], K A1B1]sao cho MB’=2MA’

a) Dựng thiết diện của hình hộp với mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P)MO và (BCD) Gọi N =AM P)// AC

b) Gọi L =(BCD) Gọi N =AM P) CC1 Tính LC:LC1

Bài 40: ( Đề kiểm tra A 1 )

Cho tứ diện ABCD CMR: AB.CD, AC.BD, AD.BC là ba cạnh một tam giác

Gợi ý: Lấy trên AB,AC, AD các điểm B’,C’,D’ sao cho AB’.AB=AC’.AC=AD’.AD Sau

đó dùng tam giác đồng dạng

Cách dựng đường thẳng  vuông góc với (BCD) Gọi N =AM P):

Trong (BCD) Gọi N =AM P) chọn a,b cắt nhau

C1: dựng hai mặt phẳng lần lượt vuông góc với a,b ,khi đó  là giao tuyến của hai mặt phẳng trên

C2: dựng mặt phẳng vuông góc với a (BCD) Gọi N =AM hoặc b) khi đó  là đường thẳng trong mặt phẳng đó và vuông góc với a (BCD) Gọi N =AM hoặc b)

Trong chương quan hệ vuông góc thì có hai loại mặt phẳng:

+) Qua một điểm A và vuông góc với một đường thẳng  cho trước

+) Qua một đường thẳng  cho trước vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P) cho trước

Sau đây xin trình bày cách dựng hai loại mặt phẳng trên:

Loại 1:

+) Tìm hai đường thẳng vuông góc với  (BCD) Gọi N =AM thường lấy đường thẳng cắt đường nào đó trên hình chữa A)

+) Qua A dựng mặt phẳng song song đường thẳng trên Loại 2 :

+) Tìm đường thẳng d vuông góc (BCD) Gọi N =AM P) (BCD) Gọi N =AM có thể cắt  thì càng tốt) +) Nếu cắt  thì song rồi, nếu không thì qua  dựng mặt phẳng song song d

Dựng đoạn vuông góc chung AB của hai đường thẳng a,b chéo nhau

a) a,b vuông góc với nhau:

 Qua a dựng mặt phẳng vuông góc với b, cắt b tại B

 Qua B dựng đường vuông góc với a

b) a,b không vuông góc:

 Tìm (BCD) Gọi N =AM P) qua a song song với b

 Dựng hình chiếu b’ của b trên (BCD) Gọi N =AM P) cắt a tại A

 Qua A kẻ đương thẳng vuông góc với b Tổng quát :

 Tìm (BCD) Gọi N =AM P) a, (BCD) Gọi N =AM P)a=H

 Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b

 Dựng HKb’, Kb’

 Dựng KB//a,Bb

 Dựng BA//HK,Aa Trên đây chỉ là lí thuyết còn trong thực tế thì phải linh động với từng bài toán

Chương song song và vuông góc có quan hệ chặt chẽ với nhau , thay bằng việc tìm trực tiếp yếu tố vuông góc thì ta có thể tìm các hình khác sau đó dựng song song

Bài 41:

Cho tứ diện ABCD, có AC BD,AB CD.CMR: AD BC

Gợi ý: C1: Gọi trung điểm của các cạnh ta được các hình chữ nhật

C2: Dựng hình hộp ngoại tiếp tứ diện có bốn đỉnh là bối đỉnh của tứ diện Khi đó

ta có các mặt hình thoi

Bài 42:

Cho tứ diện ABCD, M,N là trung điểm của AB,CD CMR:

MN AB,CD  AC=BD và BC=AD

Gợi ý : làm tương đương và dùng công thức trung tuyến hoặc lấy trung điểm của AC,BD,BC,AD

Bài 43:

Cho tứ diện ABCD có:

AB2 + CD2 = AC2 + DB2 CMR: BC AC

Bài 44:

Cho tứ diện ABCD có: AC= BD; AD=BC

Tìm M : (BCD) Gọi N =AM MA + MB + MC + MD) min

Bài 45:

Cho tứ diện ABCD.M di chuyển trên AC, (BCD) Gọi N =AM P)M và (BCD) Gọi N =AM P)//AB,CD Tìm M sao cho thiết diện của hình chóp với (BCD) Gọi N =AM P) có diện tích max

Gợi ý: Gọi thiết diện là MNPQ, MNPQ là hình bình hành Diện tích = MN.MQ sin (BCD) Gọi N =AM AB,CD) Tính MN,MQ theo AB,CD sau dùng côsi

Bài 46:

Cho tứ diện ABCD CMR: 6 mặt phẳng trung trực của tứ diện đồng quy

Bài toán tương đương với việc chứng minh 4 trục của các tam giác đồng quy

Bài 47:

Cho ABC , A,(BCD) Gọi N =AM ABC), M chạy trên  H,K là trực tâm của ABC, MBC

a) CMR: HK (BCD) Gọi N =AM MBC)

b) CMR: HK cắt  , Gọi N=HK

CMR:AM.AN = const

Bài 48:

Cho (BCD) Gọi N =AM O) ,đường kính AB A(BCD) Gọi N =AM O) , M di chuyển trên (BCD) Gọi N =AM O), S là điểm cố định trên 

AH SM (BCD) Gọi N =AM H thuộc SM) CMR: AH vuông góc SB, và H thuộc một đường tròn cố định

Gợi ý : Chứng minh H thuộc mặt phẳng cố định là mp qua A vuông góc SB, và thuộc đường tròn cố định trong mp dó

Bài 49:

Cho góc xOy Tìm quỹ tích các điểm M sao cho góc MOx = MOy

Gợi ý : Là mặt phẳng vuông góc (BCD) Gọi N =AM xOy) qua đường phân giác của góc xOy

Bài 50:

Cho hình bình hành ABCD Điểm S thoả mãn góc ASB=BSC=CSD=DSA, O=ACBD CMR: SO(BCD) Gọi N =AM ABCD)

Gợi ý : B,D thuộc mặt phẳng phân giác của AC, SO là phân giác của góc ASC, suy ra SO AC; A,C thuộc mặt phẳng phân giác của BD,tương tự

Bài 51:

Hình thang ABCD có BC=CD=DA=a SA(BCD) Gọi N =AM ABCD).(BCD) Gọi N =AM P)A,(BCD) Gọi N =AM P)

SC ;B’=(BCD) Gọi N =AM P)SB,C’=(BCD) Gọi N =AM P)SC,D’=(BCD) Gọi N =AM P)SD

a) CMR: Thiết diện nội tiếp được một đường tròn

b) CMR: B’C’, D’C’, D’B’ đi qua điểm cố định

c) Cho SA= √ 3 a tính diện tích thiết diện

Bài 52:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành, SA(BCD) Gọi N =AM ABCD) , M di chuyển trên cạnh

BC, SK DM(BCD) Gọi N =AM KDM) Tìm quỹ tích của K

Bài 53:

Cho mặt phẳng (BCD) Gọi N =AM P), A cố định trong (BCD) Gọi N =AM P),  quay quanh A S cố định nằm ngoài (BCD) Gọi N =AM P), SH

(BCD) Gọi N =AM H) Tìm quỹ tích của H

Bài 54: (kiểm tra học kì)

Cho tứ diện ABCD Gọi M,N là trung điểm của AC,BC Lấy K thuộc tia đối của DC và gọi P =BD NK,Q=ADMK, E =MP NQ

a)CMR: DE đi qua trọng tâm của ABC

b)Tính tỉ số KC/KD, biết rằng S(BCD) Gọi N =AM KMN)=4S(BCD) Gọi N =AM KPQ)

Khi gặp hai đương thẳng chéo nhau (BCD) Gọi N =AM có thể vuông góc với nhau) thì phải nghĩ ngay đến đường vuông chung dựng các đường song song thích hợp

Bài 55:

Cho hai tia Ax,By chéo nhau, M,N di chuyển trên Ax,By sao cho AM=kBN, I thuộc đoạn

MN sao cho IM=mIN Tìm quỹ tích I

Bài 56:

Cho hai tia Ax,By chéo nhau , AB vuông góc với Ax,By M trong không gian MH, MK vuông góc với Ax,By AH + BK=AB; MH=MK Tìm quỹ tích của M

Gợi ý : Vẽ hình lập phương có cạnh nằm trên Ax,By, và có độ dài bằng AB Khi đó quỹ

sẽ là đương chéo của hình lập phương không có điểm chung với Ax,By Từ AH+BK=AB suy

ra các hình vuông suy ra M thuộc trục của mặt phẳng chéo hình lập phương

Ta có thể thay AH+BK=kAB (BCD) Gọi N =AM k là số thực) thì ta bài toán chỉ khác là dựng hình hộp chữ nhật có 1 cạnh là AB và hai cạnh kia bằng nhau và bằng kAB

Bài 57:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho AM +BN=MN; O là trung điểm của AB, OH MN (BCD) Gọi N =AM HMN) Tìm quỹ tích của H

Gợi ý : AM=MH,BN=NH

Bài 58:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, vuông góc với nhau, AB là đường vuông góc chung, M,N di chuyển trên a,b sao cho 2AM.BN=AB2 O là trung điểm của AB, OH MN (BCD) Gọi N =AM HMN) Tìm quỹ tích của H

Bài 59:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau AB là đường vuông góc chung M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const Tìm quỹ tích của trung điểm I của MN

Gợi ý: qua B vẽ đường thẳng a’// a O là trung điểm của AB, OI= const, quỹ tích là đường tròn

Bài 60:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau và vuông góc với nhau AB là đường vuông góc chung M,N di chuyển trên a,b sao cho MN= const I là trung điểm của MN, O là trung điểm của AB Tính OI

Bài 61:

Cho hai đường thẳng chéo nhau a,b vuông góc với nhau, AB là đương vuông góc chung,

O là trung điểm của AB, M trong không gian sao cho với H,K là hình chiếu của M lên a,b thì MO=MH=MK Tìm quỹ tích của M

Gợi ý: Vẽ hình lập phương

Bài 62:

a) Cho tứ diện ABCD đều, M,N nằm trong BC,AD sao cho BM=2MC, DN=2AN Dựng

và tính đường vuông góc chung của : MNvà CD, MN và AC

b) Cho tứ diện đều ABCD, H,K lần lượt là trung điểm của CD,AB Dựng và tính đường vuông góc chung của BH,CK

Bài 63:

Cho (BCD) Gọi N =AM P),(BCD) Gọi N =AM Q) cắt nhau tại  Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai mặt phẳng trên Gợi ý : Làm tương đương

Bài 64:

Cho hai đường thẳng a,b chéo nhau, M,N chạy trên a,b sao cho (BCD) Gọi N =AM a,MN)=(BCD) Gọi N =AM b,MN) Tìm quỹ tích trung điểm I của MN

Gợi ý: Lấy đường vuông góc chung AB, O là trung điểm của AB, qua O lấy a’,b’ song song với a,b Từ I vẽ các đường vuông góc với a,a’,b,b’ Quỹ tích là hai phân giác của góc tạo bởi a’,b’

Bài 65:

Cho tứ diện bất kì ABCD, K thuộc AD sao cho (BCD) Gọi N =AM KBC) là mặt phẳng phân giác của (BCD) Gọi N =AM BCA) và (BCD) Gọi N =AM BCD) CMR:

KA

KD=

S(BCA ) S(BCD) Gợi ý: Từ A,D vẽ các đường vuông góc với (BCD) Gọi N =AM BCK) hoặc

Chiếu vuông góc lên (BCD) Gọi N =AM P) vuông góc với BC Bài hệ quả: tứ diện ABCD, mặt phẳng phân giác của nhị diện cạnh BC,AD,AB,CD cắt các cạnh đối diện tại M,N,P,Q sao cho

AM

MD=

BN

NC và PD=nPC Tính

AQ QB

Bài 66:

Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp AA’=a, AB=2a, AC’=3a Dựng

và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (BCD) Gọi N =AM P)O và (BCD) Gọi N =AM P) AC’ với hình hộp

Bài 67:

Cho hình hộp ABCD.A’B’D’C’ , O là tâm của hình hộp AA’=a, AB=2a, AD=3a Dựng

và tính diện tích của thiết diện tạo bởi (BCD) Gọi N =AM P)O và (BCD) Gọi N =AM P) AC’ với hình hộp

Bài 68:

CMR:Nếu hình hộp chữ nhật có một thiết diện là lục giác đều thì hình hộp đó là hình lập phương