Tuyển tập các đề thi vào lớp 10 chuyên toán (có đáp án)

Câu 3 (1,5 điểm).Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của .Câu 4 (3,0 điểm).1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng và ba điểm O, H, L thẳng hàng.2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho . Chứng minh đẳng thức sau: ,trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.

Sở giáo dục và đào tạo

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x3 là một số nguyên dơng và biết

câu I

2,5 điểm

1)1,5điểm

2,5 ®iÓm

1)1,5®iÓm

2

a m bc m

Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0

0.25câu III

2 điểm

1)1,0điểm

Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dơng

0.25

Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c  16b + 2c = (2010- 98a) 0.25

Ta có f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010)3 0.25Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) là hợp số

0.252)

x 3 2 .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn

câuIV

2 điểm

1)0,75điểm

Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp  MAB MNB , MCAP nội tiếp  CAM CPM

0.25Lại có BNM CPM

1,25điểm

K

E

B C

A N

M

P D

Do DE//NP nên DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên:

A N

M

P

D

Theo giả thiết DMK NMP     0

 MEA MDA   MEK MDC   0.25Vì MEK MDK  MDK MDC  DM là phân giác của góc CDK, kết hợp

với AM là phân giác DAB M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của

câu V

1 điểm

D'

B'A'

O

CA

AD’ + CD’  AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’

 Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung

Sở giáo dục và đào tạo

Hng yên

đề chính thức

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

Năm học 2009 – 2010 2010 Môn thi: Toán

(Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin)

Thời gian làm bài: 150 phút

a) Giải hệ phơng trình:

x 16xy

nguyên tố thì k chia hết cho 5

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì

p a p b  p c 3p

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung ABnhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại C Chứng minhrằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnhCD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minhrằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ

Gi¶i (2)  6y  6x 5xy (2x 3y)(3x 2y)  0 0,25 ®

- Víi y 3 x2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

- Víi y 3 x2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

C N

c) Kẻ đờng kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC

0,5 đ

(  ).



0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180O - 135O = 45O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân

KỲ THI TUỶấN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN

b.Tính độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

12

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:a,b,c >0 và a< b+c ,b< a + c , c < a+b

Ta có f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p) ¹ 0

= >m,n,p không phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Bài 3

b a

Ta cú ãBAD=CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và ãAEC=DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung AC) nờn

Ta cú ãADC=BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD ΔBDE

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú hay DC

( )

2 2

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M lần lượt là trung điểm của BD,

AC Đường thẳng qua K và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại

Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, sao cho 3 điểm bất kỳ trong chúng là 3 đỉnh của một

tam giác có diện tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất cả những điểm đã cho nằm trong

một tam giác có diện tích không lớn hơn 4

xy xy

1

x y

22

1

x y

Nếu p  thì (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 1 2 x ; (2) vô nghiệm; (3) vô nghiệm 0,25

Nếu p  thì (2) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 1   3 x 2; (1) có nghiệm x=2; (3)VN 0,25

Kết luận:

+ Nếu -1 < p < 1 thì phương trình có 2 nghiệm: x = 2 và 2( 4)

1

p x p





+ Nếu p = -1 thì phương trình có vô số nghiệm 2 x  

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm   3 x 2

Nội dung trình bày Điểm+ Phát hiện và chứng minh

Vậy các giá trị tìm được thoả mãn yêu cầu là: x0, x1

0,25

Câu 4 (3,0 điểm):

a) 2,0 i m: điểm: ểm:

Gọi I là trung điểm AB,

Suy ra KIBKED IK KE 0,25

Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25

Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK là đường trung bình của ABD  IK//AD hay IE//AD

Có: QK AD(gt), IE//AD (CM trên)  QKIE Tương tự có QM IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK IE QKlà trung trực ứng với cạnh IE của IER Tương tự QM là

Hạ QH CD suy ra QH là trung trực thứ ba của IER hay Q nằm trên trung trực của đoạn CD

B' C'

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích S) Khi đó

1

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các đường thẳng

này giới hạn tạo thành một tam giác ' ' 'A B C (hình vẽ) Khi đó S A B C' ' ' 4S ABC 4 Ta sẽ chứng

minh tất cả các điểm đã cho nằm trong tam giác ' ' 'A B C

Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác ' ' 'A B C có diện tích không lớn hơn 4. 0.25

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010 Bài 1 : ( 1 điểm )

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp

điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN

cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T làthao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là

ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

=> tứ giỏc BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giỏc AOQM nội tiếp

+) do tứ giỏc AOQM nội tiếp=> AQOAMO900

tứ giỏc BOPN nội tiếp => BPO BNO 900

=> AQBAPB900 => tứ giỏc AQPB nội tiếp

b ) tam giỏc AQB vuụng tại Qcú QE là trung tuyến nờn QE = EB = EA

a OC OB

NQ ON OM NOQ COA g g

b OC OC

PQ OP OM POQ BOA g g

vậy p/ trỡnh cú hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )

2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

Bài 1.(2,5 điểm)

x y x

Cho ∆ABC nhọn có C A. Đờng tròn tâm I nội tiếp ABC tiếp xúc với các cạnh AB,

BC, CA lần lợt tại các điểm M, N, E; gọi K là giao điểm của BI và NE

a) Chứng minh: AIB 900 

2

C

b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia Bt cố định;

điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố định

 = n 2( trong đó n là số tự nhiên).

Khi đó ta có 2m 32 77n2  2m 32 n2 772m 3n  2m 3 n 77

Do nN nên 2m-3+n>2m-3-n

Và do mZ, nN và 77=1.77=7.11=-1.(-77)=-7.(-11)

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

+ Nếu a+b{2; 7; 8} thì a+b có dạng 3k 1(k± 1(k N) khi đó 4a b 2 chia hết cho 3 1

mà (a+b) + 9a= 3k 1+9a không chia hết cho 3± 1(k  10a b 9a không 3 c N

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:

Do A, B và tia Bt cố định nên ta có tia Bx cố định và ABI  không đổi (tia Bx là tia

phân giác của ABt )

Xét ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cos không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do đó K cố

định  đpcm

GIAÛI ẹEÀ CHUYEÂN TOAÙN THPT HUYỉNH MAÃN ẹAẽT – KIEÂN GIANG, NAấM 2009 – 2010

ẹeà, lụứi giaỷi Caựch khaực, nhaọn xeựt

Baứi 1: (1 ủieồm) Cho phửụng trỡnh ax 2 + bx + c =

0 coự 2 nghieọm phaõn bieọt x 1 , x 2 ẹaởt S 2 = x 1 2 + x 2 2

; S 1 = x 1 x 2 Chửựng minh raống: a.S 2 + b.S 1 + 2c =

0

Theo Vi-eựt ta coự: x1+ x2 = b

a

 ; x1.x2 = c

a/ ẹũnh m ủeồ phửụng trỡnh coự moọt nghieọm baống

9 vaứ tỡm taỏt caỷ nghieọm coứn laùi cuỷa phửụng trỡnh.

b/ Tỡm taỏt caỷ caực giaự trũ cuỷa m ủeồ phửụng trỡnh

x x x x x

x x

y y

x x

y y

Vậy nghiệm của hệ là (0 ; 0 ; 0) và (-2 ; -4 ; -6)

Nếu x, y, z đều là các số dương thì hệ chỉcó 1 nghiệm

Bài 4: (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho

Với m là tham số khác 0.

a/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai

điểm M, I

b/ Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai

điểm phân biệt A, B với AB > 6

a/ Gọi pt của (d) là y = ax + b

Khi đi qua I(0 ; 3) và M(m ; 0) ta có:

Vì A, B là giao điểm của (d) và (P) nên hoành độ

xA, xB phải thỏa mãn pt: mx2 + 9x – 9m = 0

Theo Vi-ét ta có: xA+ xB = 9

Bài 5: (3 điểm) Cho hai đường tròn (O ; R) và

(O’ ; R’) cắt nhau tại A và B (R > R’) Tiếp tuyến

tại B của

(O’ ; R’) cắt (O ; R) tại C và tiếp tuyến tại B của

(O ; R) cắt (O’ ; R’) tại D.

a/ Chứng minh rằng: AB 2 = AC.AD và

b/ Lấy điểm E đối xứng của B qua A Chứng

minh bốn điểm B, C, E, D thuộc một đường tròn

có tâm là K Xác định tâm K của đường tròn

a/ Xét (O) ta có  

Vậy tứ giác BCED nội tiếp đường tròn tâm K Với

K là gaio điểm 3 đường trực của BCE hoặc

BDE



Së GD&§T NghƯ An

§Ị thi chÝnh thøc

K× thi TUYĨN sinh VµO líp 10

trêng thpt chuyªn phan béi ch©u

n¨m häc 2009 - 2010 Mơn thi: TỐN

Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x  2 3 7  x  3b) Giải hệ phương trình

x y x

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác trong BE (E thuộc AC) Đường tròn

đường kính AB cắt BE, BC lần lượt tại M, N (khác B) Đường thẳng AM cắt BC tại K Chứng

minh: AE.AN = AM.AK

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC Đường

tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn

ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt

tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình

bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng

1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c    3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

K× thi TUYÓN sinh VµO líp 10 trêng thpt chuyªn

phan béi ch©u n¨m häc 2009 - 2010

x x

x x

x x

Vì tứ giác AMIN nội tiếp nên  ANM   AIM

Vì tứ giác BMNC nội tiếp nên  ANM   ABC

  .Suy ra tứ giác BOIM nội tiếp

0,25đ

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

M

N

E

K

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC.

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC

0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

giả thiết) Suy ra điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Kè THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN LAM SƠN

MễN: TOÁN (Dành cho học sinh thi vào lớp chuyờn Toỏn)

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 thỏng 6 năm 2009Cõu 1: (2,0 điểm)

1 Cho số x (x R ; x > 0 ) thoả món điều kiện : x + 2 12 = 7

x Tớnh giỏ trị cỏc biểu

thức : A = x + 3 13

x và B =

5 5

1 + 2 - 21

xy

Cho phương trỡnh: ax2 + bx + c = 0 (a 0) cú hai nghiệm x1, x2 thoả món điều kiện:

2 Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ cỏc tiếp

tuyến AB, AC với đường trũn (O) (B, C là cỏc tiếp điểm) Một gúc xOy cú số đo

bằng 450 cú cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E

-Họ và tờn thớ sinh: ……… Số bỏo danh: ………

sở giáo dục - đào tạo hà

nam kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 - 2010

Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các điểm A ,

B và AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung điểm của

HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N

a) Chứng minh ACB và AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

-hết -sở giáo dục đào tạo hà

 (loại)K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2

0,25

Bài 4(3,5 điểm)

E N

M

I

K H

C B

A

Có AMN AHN (cùng chắn cung AN)

b) (1 điểm) HNC vuông đỉnh N vì ANH 90 0 có KH = KC  NK = HK

lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên KNI = KHI (c.c.c)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BèNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYấN

NĂM HỌC 2009 – 2010Mụn Toỏn – Vũng 1

Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m).

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

x  x  4Câu 3: (1,0 điểm)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A Thời gian kể

từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốcdòng nước biết vận tốc riêng cảu ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác địnhtâm đường tròn đó

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5

23

x  y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7

ĐS: Vận tốc ca nô: 12 km/h

Vận tốc dòng nước: 3 km/h

Bài 4:

a, b)

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax3 + x2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a2 > 2

Câu 2.(4,0 điểm)

a) Giải phương trình: x + 3 + 6 - x (x + 3)(6 - x) = 3

Câu 3.(3,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn :

3x2 + 6y2 +2z2 + 3y2z2 -18x = 6

Câu 4.(3,0 điểm)

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3 abc + xyz3 3(a + x)(b + y)(c + z)

 (MN + NP + PQ + QM)

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính thay

đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻđường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của Ax và By

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

Giải (3) ta được hai nghiệmt1 1 5

t

Từ đó :

2 2 2

Hay |z|  3.

Vì z nguyên suy ra z = 0 hoặc |z| = 3

a) z = 0 , (2)  (x-3)2 + 2y2 = 11 (3)

Từ (3) suy ra 2y2  11  |y|  2

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x { 0 ; 6}

b) |z| = 3, (2)  (x-3)2 + 11 y2 = 5 (4)

Từ (4)  11y2  5  y = 0, (4) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm nguyên (x ;y ;z) là (0;1;0) ; (0 ;-1;0) ;

(6 ;1 ;0) và (6 ;-1 ;0)

0,50

0,500,500,500,50

Câu 4a.

(2,0đ)

3abc3 xyz  3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

abc + xyz + 3 (abc) xyz + 3 abc(xyz)3 2 3 2 (a+x)(b+y)(c+z)

2 3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) (4)

Cộng hai bất đẳng thức (3) và (4) ta được bất đẳng thức (2), do đó (1) được

chứng minh

0,50

0,50

0,500,50

K

Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ //NP, MN//PQ,

MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau), lúc đó

AOB =AMB 90 (giả thiết)

 tứ giác AOBM luôn nội tiếp

 AMO ABO 45  0(vì AOB

vuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường

thẳng đi qua O và tạo với đường

*) Trường hợp B ở vị trí B’: khi A  H thì M’  P, khi A  K thì M’  R

Phần đảo: Lấy M bất kì trên đường chéo SQ (hoặc M’ trên PR), qua M kẻ

đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại A Kẻ bán kính OB 

OA

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45  0)

Suy ra : AMB AOB 90  0

Mà AM//PQ , PQ PS  MB//PS

Kết luận:Quỹ tích giao điểm M là 2 đường chéo của hình vuông PQRS.

0,500,50

0,50

0,50

0,500,50

=Hết=

x y

A

B

M M'

B'

Sở Giáo dục và đào tạo

BìNH DƯƠNG

-Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Hùng Vơng Năm học 2009-2010

Môn thi: Toán (Chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề.)

-

1- Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m

2- Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình Chứng tỏ M = x1 + x2 - x1x2 không phụ thuộc vào giá trị của m

Câu 5 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn BE và CF là hai đờng cao Trực tâm H Trên HB và

HC lần lợt lấy điểm M , N sao cho AMC ANB 900 Chứng minh : AM = AN

-Đề thi chính thức

GiảI đề Thi Câu1: Giải phơng trình

1 2

0

4(

5(

75

x x

2

(2)

, : ® êng

, : ® êng

3( )

H

F

E A