Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thức Chuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thứcChuyên đề giao điểm của hàm số phân thức
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC y ax b
cx d
+
= +
Trang 2Bài toán 1: Bài toán về biện luận số giao điểm.
Phương pháp giải:
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm:
d cx
b ax n mx
+
+
=
−
≠
= + +
c d x
C Bx Ax
/
(*) 0 2
2 Biện luận số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm
Xảy ra các khả năng:
* d cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt khác -d/c
* d cắt (C) tại một điểm ⇔ thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng -d/c
- phương trình (*) có nghiệm kép khác -d/c
* d không cắt (C) ⇔thỏa mãn một trong hai trường hợp:
- phương trình (*) vô nghiệm
- phương trình (*) có nghiệm kép bằng -d/c
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 3 +
+
= +
x
x m
−
≠
=
− +
− + 2
0 2 2 ) 1 ( 2
x
m x m x
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ x2+(m−1)x+2m−2=0 có hai nghiệm phân biệt khác -2
⇔
≠
− +
−
−
>
−
−
−
=
∆
0 2 2 ) 1 (
2
4
0 ) 1 ( 8 ) 1
m m
m m
⇔ m2−10m+9>0 ⇔ m∈(-∞; 1)∪( 9; +∞).
Vậy m∈(-∞; 1)∪( 9; +∞).
Chú ý: giả sử d cắt (C) tại hai điểm A( x1,y1), B(x2,y2)
* A, B cùng nhánh ⇔ x1 <x2 < −d/c hoặc −d/c< x1 <x2
⇔ ( 1 − )( 2 − )>0
c
d x c
d
2 1 2
1
2x x −cd x +x +d >
c
Bài 1: Xác định m để đồ thị hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y (C) cắt đường thẳng d: y = x + m tại hai
điểm phân biệt
Bài 2: Chứng minh rằng đường thẳng d:2x−y+m=0 luôn cắt đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
Trang 3* A, B khác nhánh ⇔ x1 <−d/c< x2
⇔ ( 1− )( 2− ) < 0
c
d x c
d
2 1 2
1
2x x −cd x +x +d <
c
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1 2
−
+
= +
x
x m
≠
=
−
−
− + 1
0 1 )
3 (
2 2
x
m x m x
(1) ∆=m2 +2m+17=(m+1)2 +16>0 với mọi m
⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A, B.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 =
-2
1 +
m , x1 + x2 = -
2
3
−
m
Xét = -
2
1
+
m
+ 2
3
−
m
+ 1 = - 1 < 0 ⇔ x1 < 1 < x2 Vậy A và B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị
Chú ý: Dấu về nghiệm của phương trình: ax2 +bx+c=0 , a ≠0
* Phương trình có 2 nghiệm dương ⇔
>
>
≥
∆
0 0 0
P
S
* Phương trình có 2 nghiệm âm ⇔
>
<
≥
∆
0 0 0
P S
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
Lời giải: TXĐ: R\{0}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
x
x x
m( −2)= −1 ⇔
≠
= + +
− 0
0 1 ) 1 2 ( 2
x
x m mx
(1)
do m khác 0, ∆=4m2 +1>0 với mọi m ⇔ (C) luôn cắt d tại hai điểm phân biệt.
Khi đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1 + x2 = (2m + 1)/m, x1 x2 = 1/m
Nếu m > 0: x1 + x2 > 0 và x1.x2 > 0 Suy ra x1 , x2 dương
Bài 3: Chứng minh đồ thị hàm số y =
x
x 1−
luôn cắt đường thẳng y = m(x-2), (m khác 0) tại
2 điểm phân biệt, trong đó có ít nhất 1 điểm có hoành độ dương
Trang 4Nếu m < 0: x1.x2 < 0 ⇒x1, x2 trái dấu nên có ít nhất một số dương.
Lời giải: TXĐ: R\{-2}.
Hai điểm A(x1,y1), B(x2,y2)thỏa mãn:
= +
−
= +
−
0
0 2
2
1 1
m y x
m y x
thì A, B thuộc đường thẳng
d: x - y + m = 0 ⇔ y = x + m Do A, B thuộc (C) nên A, B nằm trên giao điểm của (C) và d
Khi đó phương trình :
2
2 +
−
= +
x
x m
x có hai nghiệm phân biệt ⇔ x2+(m+1)x+2m+ =2 0có hai nghiệm phân biệt khác -2
⇔ 2 6 7 0
∆ = − − >
A, B cùng nhánh khi (x1 + 2)( x2 + 2) >0 ⇔ x1.x2 + 2( x1 + x2) + 4 > 0
⇔ 2m + 2 + 2(-m - 2) + 4 > 0: luôn đúng
Vậy m< −1 hoặc m>7
Bài toán 2: Bài toán về khoảng cách giữa hai giao điểm.
Phương pháp giải:
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 4: Xác định m để trên đồ thị hàm số
2
2 +
−
=
x
x
y (C) có hai điểm phân biệt A(x1,y1), B(
)
, 2
2 y
x thuộc cùng một nhánh của (C) sao cho:
= +
−
= +
−
0
0 2
2
1 1
m y x
m y x
Trang 5
2 Gọi giao điểm là A(x1; mx1 + n), B(x2; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*).
1 2 2 2 1
(x −x +m x −x = ( 1 )[( ) 2 4 2 1]
1 2
+
3 Áp dụng định lý Viet: tính x1 + x2 và x1.x2 theo tham số
⇒ khoảng cách AB biểu thị theo tham số.
4 Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
* Định lý Viet: Nếu x1, x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0, a ≠0 thì:
a
b x
x1+ 2 =− ,
a
c x
x1 2 =
* x12 +x22 =(x1+x2)2 −2x1x2 , (x1 −x2)2 =(x1 +x2)2 −4x1x2
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
2
−
−
= +
−
x
x m
≠
=
− +
− 1
0 2 2
x
m mx x
(1) (C) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔phương trình: x2 −mx+m−2=0 có hai nghiệm phân biệt
khác 1⇔
≠
− +
−
>
−
−
=
∆
0 2 1
0 ) 2 ( 4 2
m m
m m
luôn đúng.
Gọi giao điểm là A(x1; -x1 + m), B(x2; -x2 + m), với x1, x2 là nghiệm của (1)
1 2
2 1
(x −x + −x +x = 2[( )2 4 2 1]
1
do x1 + x2 = m, x1.x2 = m - 2 nên AB = 2m2 − 8m+ 16
1 AB = 4 ⇔ 2m2 −8m+16= 4 ⇔m = 0, m = 4.
2 AB = 2(m−2)2 +8≥2 2 Suy ra AB nhỏ nhất khi m = 2.
Bài 1: Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt đồ thị hàm số
1
2
−
−
=
x
x
y (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho:
1 độ dài đoạn AB bằng 4
2 độ dài đoạn AB nhỏ nhất
Bài 2: Tìm m để đường thẳng∆: y = - x + 1 cắt đồ thị
4
2 +
+
−
=
x
m x
y (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2
Trang 6Lời giải: TXĐ: R\{- 4}
S =
2
1
d(O, ∆).AB Ta có d(O, ∆) =
2
1 Do đó: S = 2 ⇔AB = 4.
Áp dụng cách giải bài 3.1 ta tìm được m = 9/4
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
Ta tìm được A(-1; -1), B(2; 2) ⇒ AB = 3 2.
ABCD là hình bình hành ⇔ AB//CD và AB = CD.
* AB//CD khi đường thẳng y = x song song với y = x+m ⇔m≠0.
* CD = AB ⇒ CD = 3 2:
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 3 +
+
= +
x
x m
−
≠
=
− +
− + 2
0 2 2 ) 1 ( 2
x
m x m x
(1) cắt d tại hai điểm phân biệt ⇔ x2 −mx+m−2= 0 có hai nghiệm phân biệt khác - 2 ⇔
≠
− +
+
−
>
+
−
=
∆
0 2 2 2
2
4
0 9 10
2
m m
m m
⇔ m < 1 hoặc m > 9.
Gọi giao điểm C(x1; x1 + m), D(x2; x2 + m) Khi đó AB = 2[( )2 4 2 1]
1
do x1 + x2 = m - 1, x1.x2 = 2m - 2 nên CD = 2m2−20m+18
CD = 3 2 ⇔ 2m2 −20m+18= 3 2 ⇔m = 0(loại) , m = 10( thỏa mãn).
Vậy m = 10.
Bài toán 3: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một điểm cho trước.
Phương pháp giải:
Cho hai điểm A(x1,y1), B(x2,y2)
Bài 3: Cho đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y (1) tại hai điểm A và B Xác
định m để đường thẳng d: y = x+mcắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm C, D sao cho ABCD
là hình bình hành
Trang 7* A, B đối xứng nhau qua điểm I(x0,y0) ⇔
= +
= +
0 2
1
0 2 1
2
2
y y y
x x x
* A, B cách đều điểm M ⇔ MA = MB
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}.
A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O ⇒ d đi qua O ⇒ b = 2
Khi đó d: y = ax Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2 3 +
+
=
x
x
−
≠
=
−
− + 2
0 2 ) 3 2 ( 2
x
x a ax
(1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔
≠
− +
−
>
+
−
=
∆
≠
0 2 6 4 4
0 8 ) 3 2 (
0
2
a a
a a
a
: luôn đúng
Gọi A(x1; ax1), B(x2; ax2 )
A, B đối xứng nhau qua O ⇔ O là trung điểm của AB ⇔ 1 2
0 0
x x
ax ax
+ =
⇔x1+ x2 = 0 ⇔a = 3/2.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1 2 2
−
+
=
− +
x
x m
≠
=
− +
− 1
0 3 2
2
x
m mx mx
(1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔
≠
− +
−
>
−
−
=
∆
≠
0 3 2
0 ) 3 ( '
0 2
m m m
m m m
m
⇔ m > 0.
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax+2b−4 cắt đồ thị hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y (C) tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
Bài 2: Tìm m để đường thẳng d: y = mx + 2- m cắt đồ thị hàm số
1
1 2
−
+
=
x
x
y tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác MAB cân tại M với M(2; 1)
Trang 8Khi đó A(x1; mx1 + 2 - m), B(x2; mx2 + 2 - m), x1, x2 là nghiệm của (1).
Tam giác ABM cân tại M ⇔ MA = MB và A, B, M không thẳng hàng.
* A, B, M không thẳng hàng: M∉ d: 1≠2m + 2 - m ⇔ m≠-1
2
2 2
2 1
2
(x − + mx + −m = x − + mx + −m
⇔ (1+m2)(x1+x2)+2(1−m)−4=0 thay x1+x2= 2
⇔ (1+m2)2+2(1−m)−4=0 nghiệm m = 0(loại), m = 2: thỏa mãn Vậy m = 2
Bài toán 4: Bài toán về vị trí hai giao điểm đối với một đường thẳng.
Phương pháp giải:
1) A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔thỏa mãn cả hai điều kiện:
Trang 9* AB⊥∆.
* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆
2) A, B cách đều đường thẳng d ⇔ thỏa mãn một trong hai điều kiện:
* AB// ∆
* trung điểm I của đoạn AB thuộc ∆
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{- 2}
2 2
1
∆ y x A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ thì d ⊥ ∆ Suy ra a = -2.
Khi đó d: y = -2x + b Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C):
2
2
+
=
+
−
x
x b
−
≠
=
−
−
− 2
0 2 ) 5 (
2 2
x
b x b x
(1) Ta có:
≠
−
−
+
>
+
−
=
∆
0 2 )
5
(
2
4
0 8 )
5
b b
b b
với mọi b nên d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
A(x1; -2x1 + b), B(x2; -2x2 + b), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1)
Gọi I là trung điểm của AB ⇒I(x1+x2 ;−x1−x2 +b
2
5
; 4
5 +
b
)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆ ⇔ I thuộc ∆ ⇔b = -3.
Vậy a = -2, b = -3.
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 2
−
+
= +
x
m x
≠
=
−
−
− 1
0 2 2
x
m mx mx
Bài 1: Xác định a, b để đường thẳng d: y = ax+bcắt đồ thị hàm số
2 +
=
x
x
y (C) tại hai điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng ∆:x−2y+4=0
Bài 2: Cho hàm số
1
2
−
+
=
x
m x
y và đường thẳng d: y = mx + 2.
1 Tìm m để đồ thị hàm số và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, C sao cho khoảng cách từ
A, C đến trục hoành bằng nhau
2 Tính diện tích hình chữ nhật nhận A, C là các đỉnh đối diện và các cạnh song song với các
trục tọa độ Xác định m để diện tích hình chữ nhật bằng 20.
Trang 10d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, C ⇔
≠
−
−
−
>
+ +
=
∆
≠
0 2
0 ) 2 ( 4
0 2
m m m
m m m
m
⇔
>
−
<
0 5 8
m m
Gọi A(x1 ; mx1 + 2), C(x2 ; mx2 + 2) ⇒trung điểm AB: I(
2
4 ) (
; 2
2 1 2
1+ x m x +x +
x
)
1 A, C cách đều Ox khi:
TH1: d//Ox ⇔m = 0: không thỏa mãn (*)
TH2: Trung điểm I của AB thuộc Ox: m(x1+x2)+4=0 ⇔m = - 4: thỏa mãn (*)
2 B(x2 ; mx1 + 2), D(x1 ; mx1 + 2)
AB = x1−x2 , AD =m x1−x2
S = m 2
2
(x −x = m
m
m 8
5 +
S = 20 khi:
* m > 0: 5m + 8 = 20 ⇔m = 12/5
* m < 0: 5m + 8 = -20 ⇔m = -28/5
y
O
Bài toán 5: Bài toán liên qua đến góc
1 Góc AOB tù khi: OA2 + OB2 < AB2 hoặc OA→ .OB→ <0.
Trang 112 Góc AOB vuông khi: OA2 + OB2 = AB2 hoặc OA→ .OB→ =0.
3 Góc AOB nhọn khi: OA2 + OB2 > AB2 hoặc OA→ .OB→ >0
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
Tam giác OMN vuông tại O khi OM→ .ON→ =0
Phương trình hoành độ giao điểm:
2
1 2 3
−
+
= +
x
x
≠
=
−
−
− 2
0 7 ) 1 2 ( 2
x
x m mx
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔
≠
−
−
>
+
−
=
∆
≠
0 5 4 4
0 28 ) 1 2 (
0
2
m m
m m
m
(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (*), ta có M(x1, mx1 + 3), N(x2, mx2 + 3)
0
→ =
→
ON
OM ⇔ x1x2 + (mx1 + 3)( mx2 + 3) = 0
⇔(1 + m2) x1x2 + 3m(x1 + x2 ) + 9 = 0,
thay x1 + x2 = (2m - 1)/m, x1 x2 = -7/m ta có m2 - 6m + 7 = 0⇔m = 3± 2: tm (*)
Lời giải: TXĐ: R\{2}.
Góc AOB nhọn khi OA→ .OB→ >0 Phương trình hoành độ giao điểm:
2
3 1
−
+
= + +
−
x
x m
≠
= + + +
− 2
0 5 2 ) 2 ( 2
x
m x m x
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N ⇔ m2 −4m−16>0.(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình, A(x1, - x1 + m + 1), B(x2, - x2 + m + 1).
Bài 1: Xác định m sao cho đường thẳng y = mx + 3 cắt đồ thị hàm số
2
1 2
−
+
=
x
x
y tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác OMN vuông tại O
Bài 2: Cho hàm số
2
3
−
+
=
x
x
y có đồ thị (C) Tìm m sao cho đường thẳng d: y = - x + m +1
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho góc AOB nhọn
Trang 12. → >
→
OB
OA ⇔ x1x2 + (- x1 + m + 1)( - x2 + m + 1) > 0.
⇔2 x1x2 - (1+ m)(x1 + x2 ) + (m + 1)2 > 0
thay x1 + x2 = m +2, x1 x2 = 2m + 5 ta có m > - 3.
Kết hợp (*) có -3 < m < 2 − 3 hoặc m > 2+ 3
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Đường tròn đường kính AB đi qua O ⇔ góc AOB vuông ⇔ OA→ .OB→ =0
Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ x2 −mx+m+2=0, x≠1 (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔ m2−4m−8>0.(*)
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), A(x1, - x1 + m), B(x2, - x2 + m).
0
. → =
→
OB
OA ⇔ x1x2 + (- x1 + m)( - x2 + m ) = 0.
⇔ 2 x1x2 - m(x1 + x2 ) + m2 = 0
thay x1 + x2 = m, x1 x2 = m + 2 ta có m = - 2: thỏa mãn điều kiện
Vậy m = - 2.
Bài toán 6: Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị tại hai giao điểm
Phương pháp giải:
Bài 3: Tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho đường tròn đường kính AB đi qua gốc tọa độ O
Trang 13* Lập phương trình hoành độ giao điểm và tìm điều kiện để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
* Gọi giao điểm là A(x1 ; mx1 + n), B(x2 ; mx2 + n), với x1, x2 là nghiệm của phương trình (*)
* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B: k1 = y'(x1), k2 = y'(x2)
* Tìm điều kiện của tham số để bài toán được thỏa mãn.
Chú ý:
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2)
- Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B vuông góc với nhau ⇔thì y'(x1) y'(x2) = - 1
Bài tập giải mẫu:
Lời giải: TXĐ: R\{1}.
Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1 2
−
+
= +
x
x m
≠
=
−
−
− + 1
0 1 )
3 (
2 2
x
m x m x
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔
≠
−
−
− +
>
+ +
−
=
∆
0 1 3
2
0 ) 1 ( 8 ) 3
m m
m m
: luôn đúng
Khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m)
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc y'(x1) = 2
1 1) (
2
−
−
Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc y'(x2) = 2
2 1) (
2
−
−
Tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau thì y'(x1) = y'(x2) ⇔
2 2
2
1 1) ( 1)
(x − = x − ⇔ x1 +x2 =2 ⇔ 2
2
3
=
−
−m ⇔m = - 1.
Thử lại: tiếp tuyến của đồ thị tại A: y = -2x - 1, tiếp tuyến tại B: y = - 2x + 7: thỏa mãn
Vậy m = - 1.
Bài 1: Xác định m để đường thẳng y = 2x+mcắt đồ thị hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y tại hai điểm
A, B sao tiếp tuyến của đồ thị tại A, B song song với nhau
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x+mluôn cắt đồ thị hàm số
1
2
1
−
+
−
=
x
x
y tại 2 điểm A, B Gọi k1, k2lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại A, B
Trang 14Lời giải: TXĐ: R\{1/2}
Phương trình hoành độ giao điểm ⇔ 2x2 +2mx−m−1=0, x≠1/2 (1)
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ⇔
≠
−
− +
>
+ +
=
∆
0 1 2
/ 1
0 2 2 2
m m
m m
: luôn đúng
Gọi x1, x2 là nghiệm phương trình (1), có x1+ x2 = - m, x1 x2 = - (m + 1)/2
khi đó A(x1 ; 2x1 + m), B(x2 ; 2x2 + m)
Tiếp tuyến của đồ thị tại A có hệ số góc k 1 = 2
1 1) 2 (
1
−
−
Tiếp tuyến của đồ thị tại B có hệ số góc k 2 = 2
2 1) 2 (
1
−
−
k 1 + k 2 = 2
1 1 )
2
(
1
−
−
2 1 ) 2 (
1
−
−
2 1 2 1
2 1 2 1
2 2 1
] 1 ) (
2 4
[
2 ) (
4 8
) (
4
+ +
−
+ +
−
− +
−
x x x x
x x x x x
x
= − 4m2 − 8m− 6 = − 4 (m+ 1 ) 2 − 2 ≤ − 2
Vậy k 1 + k 2 lớn nhất khi m = -1.
Bài toán 7: Một vài bài toán khác
Bài 1: Cho hàm số
1
2 +
−
=
mx
m x
y (m 0) có đồ thị (C) và đường thẳng≠ ∆: y = 2x -2m ∆ cắt
(C) tại 2 điểm phân biệt A, B ∆ cắt Ox, Oy tại C, D
Trang 15Lời giải:
SOAB =
2
1
d(O, ∆).AB với d(O, ∆) =
5
2 m
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)⇔ 2x2−2mx−1=0, x≠-1/m (1)
ta có A(x1, 2x1 - 2m), B(x2, 2x2 - 2m)
AB = 5[( )2 4 2 1]
1
x + − = 5(m2+2) ⇒ SOAB = m m2 +2
∆ cắt Ox tại C(m; 0), ∆ cắt Oy tại D(0; -2m) ⇒ SOCD = m2
SOAB = 3SOCD ⇔ m m2 +2= 3 m2 ⇔m = 1/2 và m = -1/2
Lời giải:
Phương trình ∆: y = k(x - 1).
Phương trình hoành độ giao điểm của ∆và (C) ⇔ kx2−(2k+1)x k+ − =2 0, x≠1 (1)
∆cắt (C) tại hai điểm phân biệt ⇔k > -1/12, k ≠0 Khi đó M(x1, kx1 - k), N(x2, kx2 - k).
* M và N khác nhánh ⇔k > 0: ta có AM→ 2AN→
Theo ĐL Viét: 1 2
2k 1
x x
k
+ + = ⇒ x1= (k + 2)/k, x2= (k -1)/k,
Thay vào 1 2
2
k
x x
k
−
= có k = 2/3: thoả mãn < M(4; 2) N(-1/2; -1)>
* M và N cùng nhánh ⇔-1/12 <k < 0: ta có AM→ 2AN→
1 2( 1)
Theo ĐL Viét: 1 2
2k 1
x x
k
+ + = ⇒ x1= (3k + 2)/3k, x2= (3k +1)/3k,
Thay vào 1 2
2
k
x x
k
−
= có k = -2/27: thoả mãn < M(-8; 2/3) N(-7/2; 1/3)>
Bài 2: Cho hàm số
1
2
−
+
=
x
x
y có đồ thị (C) và đường thẳng∆đi qua A(1; 0) và có hệ số góc
k Tìm k để ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N và AM = 2AN