tài liệu lý thuyết tín hiệu

http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 1 CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TÍN HIỆU 1.1 Tín hiệu và thông tin: Từ tín hiệu có nguồn gốc từ tiếng Latin: signum dùng để chỉ một vật thể, một dấu hiệu, một phần tử của ngôn ngữ hay một biểu tượng đã được thừa nhận để thể hiện một tin tức. Khái niệm tín hiệu: là sự biểu hiện vật lý của tin tức mà nó mang từ nguồn tin đến nơi nhận tin. Phương cách biểu diễn tín hiệu: tín hiệu điện: dòng điện hay điện áp. Cách biểu diễn hay truyền đạt tín hiệu: mô hình toán học. Khái niệm thông tin: là nội dung mà tín hiệu thể hiện. Như vậy, thông tin này ngẫu nhiên (không được biết trước và nó mang tin tức). Tóm lại: tín hiệu mang tin tức là tín hiệu ngẫu nhiên, mô hình toán học. Tín hiệu là các quá trình ngẫu nhiên thực hay phức. Trong một tín hiệu chứa nhiều thông tin, nhưng trong một thông tin không thể chứa được nhiều tín hiệu. Khái niệm nhiễu: nhiễu là một dạng tín hiệu mà nơi nhận tin không cần quan tâm. Ví dụ: thông tin từ máy điện thọai, tín hiệu audio thu được từ micro. Quy ước: tín hiệu ký hiệu là S (Signal) Nhiễu ký hiệu là N (Noise) 1.2 Phân loại tín hiệu: 1.2.1 Tín hiệu vật lý và mô hình lý thuyết: -Tín hiệu vật lý: là một tín hiệu vật lý thực hiện được phải thỏa mãn các yêu cầu: +Năng lượng hữu hạn +Biên độ hữu hạn +Phổ hữu hạn. 1.2.2 Tín hiệu xác đònh và tín hiệu ngẫu nhiên: mô hình toán học Tín hiệu xác đònh (mô hình toán học biết trước): là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó đựơc biểu diễn bằng một hàm thời gian hoàn toàn xác đònh, hay có mô hình toán học được biết trước. http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 2 Ví dụ: tín hiệu hình sin, xung vuông. Tín hiệu ngẫu nhiên: là tín hiệu mà quá trình biến thiên của nó không được xác đònh, hay mô hình toán học không được biết trước. Ví dụ: tín hiệu ngẫu nhiên Lưu ý: tín hiệu hình sin với pha ban đầu không biết trước là tín hiệu ngẫu nhiên. 1.2.3 Tín hiệu năng lượng- tín hiệu công suất: năng lượng của tín hiệu Chia tín hiệu làm 2 loại: năng lượng hữu hạn và công suất trung bình hữu hạn. + Tín hiệu năng lượng hữu hạn: là tín hiệu mà có quá trình biến thiên theo thời gian giới hạn: Đònh nghóa bằng công thức: ⇒ = ±∞→ 0)(txLim t x(t) là tín hiệu năng lượng + Tín hiệu công suất: là tín hiệu mà có quá trình biến thiên theo thời gian không giới hạn. x(t) t t o x(t) t t x(t) x(t) t t x(t) http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 3 Đònh nghóa bằng công thức: = ±∞→ )(txLim t không xác đònh Ví dụ: cho các tín hiệu sau: t etx =)( 1 , t tx 1 )( 2 = , t etx − =)( 3 ,và )2sin()( 4 fttx π = Hãy cho biết tín hiệu nào là tín hiệu năng lượng và tín hiệu nào là tín hiệu công suất? 1.2.4 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc: Tín hiệu liên tục: là tín hiệu có biên độ biến thiên liên tục theo thời gian. Tín hiệu rời rạc là tín hiệu có biên độ biến thiên không liên tục theo thời gian. Ví dụ: xung vuông. 1.3 Tín hiệu xác đònh: 1.3.1 Các thông số đặc trưng của tín hiệu xác đònh: 1.3.1.1 Tích phân tín hiệu: Đònh nghóa: cho tín hiệu x(t) là tín hiệu xác đònh, tồn tại trong khoảng thời gian +∞<<∞− t , tích phân tín hiệu được đònh nghóa: ∫ +∞ ∞− = dttxx )(][ (1.1) Lưu ý: chỉ có ý nghóa với những tín hiệu mà giá trò tích phân của nó là hữu hạn. Ví dụ 1: cho tín hiệu t tx 2 1 )( = với + ∞ < < ∞ − t . Tính giá trò tích phân x(t) Giải: p dụng công thức (1.1), ta được: ∞+ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− ∫∫ === tdt t dttxx ln 2 1 2 1 )(][ = không xác đònh Ví dụ 2: cho tín hiệu x(t) như hình vẽ t x(t) T 1 T 2 t π 2sin http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 4 Tính tín phân x(t) biết T 1 , T 2 là các thông số biết trước. Giải: p dụng công thức (1.1), ta được: 2 1 2cos 2 1 2sin)(][ T T ttdtdttxx π π π ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− −=== [] 12 2cos2cos 2 1 ][ TTx ππ π −−= = const 1.3.2 Trò trung bình của tín hiệu: Công thức: 12 2 1 )( tt dttx x t t − = ∫ với ),()( 21 tttx ∈ (1.2) Với t 1 , t 2 là khoảng thời gian chu kỳ tín hiệu Ví dụ 3: cho tín hiệu t T tx π 2 sin)( = với ),0( Tt ∈ . Tính giá trò trò trung bình tín hiệu này. Giải: p dụng công thức (1.2) với t 1 =0, t 2 =T, ta được: T tdt T tt dttx x T t t ∫ ∫ = − = 0 12 2 sin )( 2 1 π 0 2 cos 2 0 =−= T t T T x π π Nếu tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T, ta có công thức (1.3): ∫ + = Tt t dttx T x 0 0 )( 1 (1.3) Với t 0 là thời điểm bất kỳ trên thang thời gian 1.3.3 Năng lượng tín hiệu: Năng lượng chứa trong tín hiệu x(t) được ký hiêu là E x http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 5 Công thức: [] ∫ +∞ ∞− == dttxxE x )( 2 2 (1.4) Ví dụ 4: cho tín hiệu t tx 2 1 )( = với )2,1( ∈ t . Tính giá trò năng lượng tín hiệu này. Giải: p dụng công thức (1.4), ta được: [] dt t dttxxE x ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ === +∞ ∞− 2 1 2 2 2 2 1 )( [] 8 1 14 1 2 1 1 2 = − == − t xE x Bài tập về nhà: tính năng lượng của các tín hiệu sau: a) t T tx π 2 sin)( = với ),0( Tt ∈ b) t T tx π 2 cos)( = với ),0( Tt ∈ 1.3.4 Công suất trung bình: Công thức: 12 2 2 2 1 )( tt dttx xP t t x − == ∫ (1.5) Với t 1 , t 2 là khoảng thời gian chu kỳ tín hiệu Lưu ý: tín hiệu tuần hoàn chu kỳ T thì ta áp dụng công thức (1.6) ∫ + == Tt t x dttx T xP 0 0 )( 1 2 2 (1.6) Với t 0 là thời điểm bất kỳ. Ví dụ 5: cho tín hiệu ttx π 200sin2)( = . Tính giá trò công suất trung bình của tín hiệu này. http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 6 Giải: Nhận xét chu kỳ của tín hiệu: π π ω 200 2 == T )( 100 1 sT =⇒ p dụng công thức (1.6), ta được: ∫∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − === TT x dt t T dtt T xP 00 2 2 4 400cos11 )200sin2( 1 π π 4 1 400sin 4 1 4 1 00 2 =+== TT x t T t T xP π Bài tập về nhà: tính công suất trung bình các tín hiệu sau: a) ttx π 40cos21)( 1 += b) cho tín hiệu x 2 (t) như hình vẽ: c) x 3 (t)= t T A π 2 cos d) x 4 (t)= t T B π 2 sin e) cho tín hiệu x 6 (t) như hình vẽ: 1.4 Phân tích phổ tín hiệu: Có 4 cách phân tích tín hiệu: +phân tích miền thời gian +phân tích tương quan +phân tích thống kê t x 6 (t) A T/2 T 3T/2 t 0 T/2 T 3T/2 x 2 (t) 1 http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 7 + Phân tích phổ (phân tích miền tần số) Trong đó, hai phương pháp phân tích miền thời gian và phân tích phổ là quan trọng. Phân tích miền thời gian là quá trình phân tích đã được xét ở các mục trên. Phân tích phổ tín hiệu là quá trình phân tích tín hiệu dưới dạng miền tần số. Đặc điểm phân tích phổ: phân tích nhiều loại tín hiệu, là một cơ sở phân tích được nghiên cứu đầy đủ và biểu diễn qua các cách phân tích khác. Phân tích phổ là một công cụ phân tích tín hiệu thông tin dùng trong điện thoại, phát thanh, phát hình, … Nhiệm vụ: nghiên cứu các tính chất tín hiệu qua phân tích cấu trúc tần số như: hình dáng, vò trí, bề rộng phổ, … trên thang đo tần số. Lưu ý: phân tích tần số cho ta tin tức về tín hiệu nhanh hơn phân tích thời gian, đặc biệt đối với các tín hiệu gồm nhiều thành phần tần số. Công cụ phân tích là chuỗi lượng giác và chuỗi phức Fourier. 1.4.1 Biến đổi tương đương Fourier của tín hiệu: Công thức: ∑ ∞ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++= 1 0 2 sin 22 cos 21 )( n nn t T n T t T n T T tx π β π αα (1.7) Trong đó: x(t) là tín hiệu xác đònh trong khoảng thời gian (0,T) Và dttx T T ∫ = 0 0 )( 1 α dtt T tx T T n ∫ = 0 2 cos)( 2 π α dtt T tx T T n ∫ = 0 2 sin)( 2 π β Công thức (1.7) được rút gọn lại như sau: () ∑ ∞ = ++= 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx ωω (1.8) Trong đó: dttx T a T ∫ = 0 0 )( 1 là hằng số DC http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 8 ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = ∫ ∫ dttntx T b dttntx T a T n T n 0 0 0 0 sin)( 2 cos)( 2 ω ω là các hệ số AC Với T π ω 2 0 = Nhận xét: bất kỳ một tín hiệu xác đònh nào trong khoảng thời gian thì đều được biến đổi tương đương thành tổng các thành phần Dc và AC có hài tần số từ thấp đến cao. 1.4.2 Phổ của tín hiệu: Cho tín hiệu x(t) với mọi t, ta được: () ωϕωω ω )()()( XdtetxX tj == ∫ +∞ ∞− − (1.9) )( ω X là hàm giá trò phổ biên độ của tín hiệu. () ωϕ là hàm giá trò phổ pha của tín hiệu. Nhận xét: phổ tín hiệu thể hiện sự biến thiên về tần số và công suất tín hiệu. Lưu ý: αα α sincos je j += αα α sincos je j −= − 1(t) là hàm đơn vò ⎩ ⎨ ⎧ < > 00 01 t t Ví dụ 6: cho tín hiệu )(1)( tetx t α − = . Tính giá trò phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu. Giải: dteedteedtetedtetxX tjttjttjttj ∫∫∫∫ +∞ −− ∞− −− +∞ ∞− −− +∞ ∞− − +=== 0 0 .1 0.).(1.)()( ωαωαωαω ω t x(t) 1 http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 9 ∞+ +− +∞ +− +∞ −− + − === ∫∫ 0 )( 0 )( 0 1 .1.)( tjtjtjt e tj dtedteeX ωαωαωα ωα ω ωαωα ω ωα j eiml tj X tj t + = + − = +− ∞→ 11 )( )( Giá trò phổ biên độ: ()() 22 2 22 2 2 22 2 1 )( ωα ωα ω ωα α ω + = + + + =X Giá trò phổ pha: α ω ωϕ − =)(tg ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =∠ α ω ωϕ arctg)( Bài tập về nhà: tính giá trò và vẽ phổ pha, phổ biên độ của các tín hiệu sau: a) ⎩ ⎨ ⎧ < > == − − 0 0 )( te te etx t t t α α α b) tín hiệu x 1 (t) có hình vẽ bên dưới: c) tín hiệu x 2 (t) có dạng như hình bên dưới: 1.4.3 Một số công thức tín hiệu xác đònh và các ký hiệu: 1.4.3.1 Tín hiệu năng lượng có thời hạn hữu hạn: 1) Xung vuông góc )(t∏ : t x 2 (t) 1 -T T t -T/2 T/2 x 1 (t) 1 http://www.ebook.edu.vn Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = > =∏= 2 1 1 2 1 2 1 2 1 0 )()( t t t ttx 2) Xung tam giác )(tΛ : ⎩ ⎨ ⎧ ≤− > =Λ= 11 10 )()( tt t ttx 1.4.3.2 Tín hiệu năng lượng có thời hạn vô hạn: 1) Hàm mũ suy giảm: ⎩ ⎨ ⎧ < ≥ = − 00 0 )( t te tx t α Với 0> α 2) Tín hiệu hàm Sa: () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ == 01 0 sin )( 0 0 0 t t t t tSatx ω ω ω t x(t) t x(t) 1 -1 1 t -T/2 T/2 x(t) 1 [...]... 3) Tín hiệu Sa2: ⎧ sin 2 ω 0 t t≠0 ⎪ x(t ) = Sa 2 (ω 0 t ) = ⎨ (ω t )2 0 ⎪ 1 t=0 ⎩ x(t) 1 − 3π ω0 − 2π ω0 − π ω0 π ω0 2π ω0 3π ω0 t 4) Tín hiệu Gausse: x(t ) = e −πt 2 x(t) 1 t 1.4.4 Các tính chất của phép biến đổi Fourier: http://www.ebook.edu.vn Tính chất 1: tính chẳn và lẻ: X (ω ) = X (ω ) ϕ (ω ) = −ϕ (−ω ) Tính chất 2: nếu tín hiệu x(t) có phổ X (ω ) tức là: Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý. .. số: http://www.ebook.edu.vn x(t ) y (t ) ↔ 1 [X (ω ) * Y (ω )] 2π Tính chất này thường sử dụng trong điều chế tín hiệu Tính chất 13: đònh lý về hàm tương quan: Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 13 Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM ϕ xy = +∞ ∫ x(t ) y * Khoa công nghệ điện tử (t − τ )dτ ↔ X (ω )Y * (ω ) −∞ Tính chất 14: đònh lý về hàm tự tương quan: ϕ xx = +∞ ∫ x(t ) x * (t − τ )dτ ↔ X (ω )... không đổi nhưng phổ pha tăng thêm - ωt 0 Vậy dòch chuyển tín hiệu trong miền thời gian không làm méo tín hiệu Tính chất 7: đònh lý dòch chuyển trong miền tần số (đònh lý điều chế tín hiệu) Cho x(t ) ↔ X (ω ) ⎡ x(t )e jω0t ↔ X (ω − ω0 ) Thì ⎢ − jω0t ↔ X (ω + ω0 ) ⎣ x(t )e ω0 > 0 ω0 < 0 http://www.ebook.edu.vn Nhận xét: dòch chuyển phổ của tín hiệu xung quanh tần số ω 0 x(t ) cos ω0 t ↔ 1 [X (ω − ω0... (ω − ω0 ) − X (ω + ω0 )] 2j Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 12 Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử Tính chất 8: đònh lý vi phân trong miền tần số: Cho x(t ) ↔ X (ω ) n (− j )n t n x(t ) ↔ d [X (ω )] ; Thì (dω )n n = 1,2,3, Tính chất 9: đònh lý vi phân trong miền thời gian: d n x(t ) ↔ ( jω ) n X (ω ); n dt n = 1,2,3, Nhận xét: - Tính chất này làm tăng phổ biên độ đối... Khoa công nghệ điện tử x(t ) ↔ X (ω ) x(−t ) ↔ X (−ω ) Tính chất 3: đònh lý về tính tuyến tính của phổ: Cho x(t ) ↔ X (ω ) y (t ) ↔ Y (ω ) Thì ax(t ) + by(t ) ↔ aX (ω ) + bY (ω ) Tính chất 4: tính chất đối xứng: Cho x(t ) ↔ X (ω ) Thì X (t ) ↔ 2πx(ω ) Tính chất 5: đònh lý về đồng dạng: Cho x(t ) ↔ X (ω ) t a Thì x( ) ↔ a X (ω ) Tính chất 6: đònh lý dòch chuyển trong miền thời gian Cho x(t ) ↔ X (ω )... áp dụng đònh lý đối xứng Ngoài ra, người ta có thể áp dụng đònh lý tích chập trong miền tần số để chứng minh 1.4.6 Phổ Fourier giới hạn (phổ của tín hiệu công suất không tuần hoàn): - Biến đổi Fourier không cho phép xác đònh phổ của tất cả các loại tín hiệu như: δ (t ) , 1(t), sgn(t),… - Phổ Fourier giới hạn được đònh nghóa bởi giới hạn của một dãy tín hiệu nào đó, dùng để biểu diễn tín hiệu không có... hàm tự tương quan là bình phương biên độ của tín hiệu Tính chất 15: đònh lý về tích vô hướng: +∞ * ∫ x(t ) y (t )dt = +∞ +∞ 1 2π +∞ −∞ ∫ x(t ) dt = 2 −∞ 1 2π ∫ X (ω )Y * (ω )dω −∞ ∫ X (ω ) 2 dω −∞ Nhận xét: năng lượng của tín hiệu có thể tính từ hàm tự tương quan khi cho τ = 0 hay bằng tích phân của bình phương biên độ phổ 1.4.5 các ví dụ về phổ của tín hiệu (các cặp biến đổi Fourier thông thường):... −α t 2 Các ví dụ: Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 15 Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Khoa công nghệ điện tử 1) δ (t ) ↔ 1 δ (t ) là phân bố Dirac hay là xung Dirac do đó không có biến đổi Fourier X (ω ) 1 δ (t ) ω t Phổ trắng (toàn bộ dãy bằng 1) 2) 1 ↔ 2πδ (ω ) Dùng đònh lý đối ngẫu chứng minh X (ω ) 2π x(t) 1 t 3) sgn t ↔ ω 2 jω X (ω ) x(t) 1 t ω -1 1 jω Tín hiệu 1(t ) = http://www.ebook.edu.vn... giảm một lượng π 2 π 2 với f>0; ngược với f0 2α α +ω2 2 ⎛t⎞ ∏ ⎜ T ⎟ ↔ TSa ⎝ ⎠ 4) Saω 0 t ↔ ωT 2 ⎛ ω ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 0⎠ π ω0 ∏ ⎜ 2ω ⎜ Ta không thể tính trực tiếp từ đònh nghóa p dụng đònh lý đối xứng, ta có: ⎛t⎞ http://www.ebook.edu.vn ∏ ⎜ T ⎟ ↔ TSa ⎝ ⎠ X (t ) = ω 0 Sa ωT 2 ω0t ⎛ω → 2π ∏ ⎜ ⎜ω 2 ⎝ 0 Chương 1: Lý thuyết tín hiệu ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Th.S Lý Tú Nga 14 Trường Đại Học Công Nghiệp TP.HCM Sa ω0t 2 → 2π ω0 Khoa công nghệ điện tử ⎛ω ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 0⎠ ∏⎜ . )2sin()( 4 fttx π = Hãy cho biết tín hiệu nào là tín hiệu năng lượng và tín hiệu nào là tín hiệu công suất? 1.2.4 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc: Tín hiệu liên tục: là tín hiệu có biên độ biến thiên. dụ: tín hiệu ngẫu nhiên Lưu ý: tín hiệu hình sin với pha ban đầu không biết trước là tín hiệu ngẫu nhiên. 1.2.3 Tín hiệu năng lượng- tín hiệu công suất: năng lượng của tín hiệu Chia tín hiệu. Chương 1: Lý thuyết tín hiệu Th.S Lý Tú Nga 1 CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT TÍN HIỆU 1.1 Tín hiệu và thông tin: Từ tín hiệu có nguồn gốc từ tiếng Latin: signum dùng để chỉ một vật thể, một dấu hiệu,