Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6

Tính các tổng sau 1. A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210 2. B = 1 + 3 + 32 + 33 + 34 + ... + 3100 Giải : 1. 2A = 2 + 22 + 23 + ... + 210 + 211 . Khi đó : 2A – A = 211 – 1 2. 3B = 3 + 32 + 33 + ... + 3100 + 3101. Khi đó : 3B – B = 2B = 3101 – 1 . Vậy B = Ta nghĩ tới bài toán tổng quát là : Tính tổng S = 1 + a + a2 + a3 + ... + an , a ∈ Z+ , a > 1 và n ∈ Z+ Nhân 2 vế của S với a ta có aS = a + a2 + a3 + a4 + ... + an + an+1 . Rồi trừ cho S ta được :

Dãy Số Viết theo quy luật

Bài toán 1 : Tính các tổng sau

c) Chứng minh rằng : 1414 – 1 chia hết cho 3

d) Chứng minh rằng : 20092009 – 1 chia hết cho 2008

Bài toán 2 : Tính các tổng sau

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

2) B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

Giải :

1) A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Vấn đề đặt ra là nhân hai vế của A với

số nào để khi trừ cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu ?.Ta thấy các

số mũ liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 , rồi trừ cho A

ta đợc :

32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102

A = 1 + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100

32A – A = 3102 – 1 Hay A( 32 – 1) = 3102 – 1 Vậy A = ( 3102 – 1): 8

Từ kết quả này suy ra 3102 chia hết cho 8

2 ) Tơng tự nh trên ta nhân hai vế của B với 72 rồi trừ cho B , ta đợc :

72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101

B = 7 + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799

72B – B = 7101 – 7 , hay B( 72 – 1) = 7101 – 7 Vậy B = ( 7101 – 7) : 48Tơng tự nh trên ta cũng suy ra 7101 – 7 chia hết cho 48 ; 7100- 1 chia hết cho 48

Bài tập áp dụng : Tính các tổng sau :

Nhận xét : Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1 Nhân 2 vế của A với 3

lần khoảng cách này ta được :

3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10)

= 1.2.(3 0) + 2.3.(4 1) + 3.4.(5 2) + 4.5.(6 3) + 5.6.(7 4) + 6.7.(8 5) + 7.8.(9 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8)

= 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11

= 9.10.11 = 990

A = 990/3 = 330

Ta chú ý tới đáp số 990 = 9.10.11, trong đó 9.10 là số hạng cuối cùng của A và 11 là

số tự nhiên kề sau của 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta cã kết quả tæng qu¸t sau :

Theo cách tính A của bài toán 2, ta được kết quả là : C = 10.11.12/3

Theo c¸ch giải 2 của bài toán 2, ta l¹i cã :

C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 + 10.11

= (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (9.10 + 10.11)

= 2( 1 + 3) + 4( 3 + 5) + 6( 5 + 7) + 8 ( 7 + 9) + 10( 9 + 11)

= 2.4 + 4.8 + 6.12 + 8.16 + 10.20 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + 2.8.8 + 2.10.10

Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ Bài toán có một kết quả duy nhất,

không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n

Nhận xột : Khoảng cỏch giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2 , nhõn hai vế của A

với 3 lần khoảng cỏch này ta được :

6A = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + …+ 2 + 97.99.6

= 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + …+ 2 + 97.99(101 - 95)

= 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + …+ 2 + 97.99.101 - 95.97.99 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + …+ 2 + 97.99.101 - 95.97.99

Trong bài toán 2 ta nhân A với 3 Trong bài toán 5 ta nhân A với 6 Ta có thể nhận

thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa

2 thừa số trong mỗi hạng tử.

Bài toỏn 6 : Tớnh A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

Lời giải :

Trở lại bài toỏn 2 mỗi hạng tử của tổng A cú hai thừa số thỡ ta nhõn A với 3 lần khoảngcỏch giữa hai thừa số đú Học tập cách đó , trong b i n y ta ài này ta ài này ta nhõn hai vế của A với 4 lầnkhoảng cỏch đú vỡ ở đõy mỗi hạng tử cú 3 thừa số Ta giải được bài toỏn nh sau :

A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10

4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4

4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)]

4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 = 1980

= 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 + …+ 2 + 99.101 - 99

= (1.3 + 3.5 + 5.7 + …+ 2 + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 + …+ 2 + 99)

= 171650 – 2500

= 169150

Trong bài toán này ta không nhân A với một số mà tách ngay một thừa số trong mỗi

số hạng làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính đợc

Nhận xét V× = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n , nªn ta cã kÕt qu¶ rÊt quan träng sau ®©y :

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + …+ 2 + 99.100.3

= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + …+ 2 + 99.100 (101 - 98)

= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + …+ 2 + 99.100.101 - 98.99.100 = 99.100.101

 A = 33.100.101 = 333 300

2) Một số dãy số dễ dàng tính đ ợc

1 + 2 + 3 + …+ 2 + n

a + (a + k) + (a + 2k) + …+ 2 + (a + nk) k là hằng số

II) Khai thác bài toán 1

Trong bài toán 1 Các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 hay cách nhau

1 đơn vị Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2

Trong bài toán 1 ta nhân A với 3 (a = 3) Trong bài toán 2 ta nhân A với 6(a = 6) Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lầnkhoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử

3k n(n + k) = n(n + k)(r + 2k) - (n - k) n (n + k)

Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3

Bài toán 3 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + …+ 2 + 98.99.100

Giải :

– ( 1.3.3 + 3.5.3 + …+ 2 + 99.101.3 )

= ( 15 + 99.101.103.105): 8 – 3( 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 2 + 99.101) = 13517400 – 3.171650

Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán

Bài toán 10: Tính

A = 13 + 33 + 53 + …+ 2 + 993

Giải : Sử dụng (n - 2)n(n + 2) = n3 - 4n

 n3 = (n - 2)n(n + 2) + 4n

 A = 1 + 1.3.5 + 4.3 + 3.5.7 + 4.5 + …+ 2 + 97.99.101 + 4.99

= 1 + (1.3.5 + 3.5.7 + …+ 2 + 97.99.101) + 4(3 + 5 + 7 + …+ 2 + 99)

= 1 + 12487503 + 9996 = 12497500

Với khoảng cách là a ta tách : (n - a)n(n + a) = n3 - a2n

ở bài toán 8, 9 ta có thể làm nh bài toán 6, 7

Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có:

Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy bằng số hạngtổng quát theo quy luật của dãy

*Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau:

2, 12 + 2 2 + + n 2 =

6

) 1 2 )(

1

n

3, 13+23 + + n3 =

2

2

) 1 (

1

13 12

1 12 11

1 11

1 11

1 12 11

1 100 99

1 10

1 100

1 99

1

12

1 11

1 11

1 2 1

VÝ dô 3 : tÝnh tæng

5 4 3

1 4 3 2

1 3 2

1 (

1 )

1 (

1 2

1

4 3

1 3 2

1 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

1 (

1 )

1 (

1

4 3

1 3 2

1 3 2

1 2 1

1 2

1

n n n

n

Sn =

) 2 )(

1 ( 4

) 3 ( )

2 )(

1 (

1 2

1

1 2

n n n

) 3 2 (

5 )

Ta cã :

1 1

) 1 (

1 2

2 2

2   





i i i

3

1 2

1 ) 2

1

n n

= 1- 2 ( 1 ) 2

) 2 ( ) 1 (

III > Ph ¬ng ph¸p gi¶i ph ¬ng tr×nh víi Èn lµ tæng cÇn tÝnh:

) 1 (

1 1

) 1 (

a a

n i i i

i

i b a b a

) (

i

i a a a

a

1 1

n i

n i

n i

i i

i i i

i

1

2 2

1

) ( ) 1 (

V× :

6

) 1 2 )(

1 (

2

) 1 (

3 2 1

n

i

n n n i

1 ( 6

) 1 2 )(

1 ( 2

) 1

n i

i i i

i

3 ( )

1 3 (

n i

i i

1 1

) 1 2 )(

1 (

) 2 2 ( ) 1 2

+ §Ó tÝnh tæng c¸c sè h¹ng cña mét d·y sè mµ 2 sè h¹ng liªn tiÕp c¸ch nhau cïng 1 sè

C¸ch 2 : Ta cã k ( k +1) = k(k+1)

3

) 1 ( ) 2 (k  k 

=

3

) 1 )(

1 ( 3

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

áp dụng : 1.2.3 =

4

3 2 1 0 4

4 3 2 1



2.3.4 =

4

4 3 2 1 4

5 4 3 2

1 ( ) 1 ( 4

) 3 )(

2 )(

Cộng vế với vế ta đợc S =

4

) 3 n )(

2 n )(

1 n (

1

4 3

1 3 2

1 2

4

9 7

4 7

5

26 21

5 21 16

5 16

3

1 3

1 3

9, Sn = ( 11)( 2)

4 3 2

1 3

10, Sn =

100 99 98

2

4 3 2

2 3

1 4

3

n n

2

10

1 6

1 3

Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan

15, Chøng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 lµ luü thõa cña 2