Tiểu luận về hàm lồi và lõm

Tiểu luận về hàm lồi và lõm I. Hàm lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. 1. Hàm lồi, hàm lõm và hàm logalồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên tập lồi. Định nghĩa 1.1. Cho là một khoảng chứa trong và hàm .

ii f

được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu

(1.1)ngặt với các điểm

,

x y

phân biệt và (0;1)

U

khi x U x

y z

< >+ −

Vậy U

S

là hàm lồi trên U

Nhận xét 1.1 Ý nghĩa hình học của hàm lồi Cho

:

f I →R

là một hàm lồi trên một khoảng I ⊂ R

Với u v I, ∈

phân biệt và x∈[ ; ]u v

Khi đó tồn tại một số [0;1]

2 Một số tính chất cơ bản của hàm lồi.

Định lý 2.1 Các phép toán với các hàm lồi.

Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thựcX. Khi đó

g fo

là hàm lồi thực sự

( (1 ) ) ([ (1 ) ] (1 [ (1 ) ]) ) ( [ (1 ) ] (1 )[ (1 ) ])

là hàm đơn điệu tăng.

Ngược lại, giả sử f x'( ) là hàm đơn điệu tăng và 1 2 1 2

x < <x x x x x ∈I

Theo định lý Lagrange, tồn tại 3 4

0 ( '( )≥ f y − f x'( ))(x y− )hay

t

f u t x y f u

f u x y t

, 1 1 2 , 2' ( )x y f u x y'( )( ) f u'( )(x y) ' ( ) (2.9)x y

s∈

để

1( ) ( ) '( )( ) ''( )( , )

không âm (dương) Kết hợp với định lý 2.7 ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.1 Từ định lý 2.8 ta có các hàm sau đây là lồi.

1 ( ) x

f x =eα

, trong đó α∈R.

'( ) '( )( )''( ) ''( )( , ).

Vậy định lý đã được chứng minh

3 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi.

( ) ( )( )x f x( ) f b f a (x a) f a x( ), [ ; ]a b

[ ; ]a b

và do đó tồn tại [ ; ]

ϕ − <ϕ

và (c h) ( )c

ϕ + ≤ϕ

4( ) ( ) ( )

i i

[(1 ) ] ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ),

f −λ x+λy ≤ f x −λ f y λ ≤ −λ f x +λf x

nên các hàm loga-lồi là các hàm lồi

Điều ngược lại không đúng Chẳng hạn, hàm 1

Định lý 4.1 Giả sử C là tập lồi trong không gian

là hàm lồi Không mất tính tổng quát có thể xem như λ∈( )0,1

Không thể xảy ra trường hợp f x( ) < +∞ , f y( ) < +∞

⇐

Ngược lại, giả sử

(4.1) đúng Lấy ( )x r, ∈epi f y s, ,( )∈epi f,λ∈[ ]0,1

ta phải chứng minh:

1 1

thỏa mãn với dấu " "<

đối với mọi

Hàm f được gọi là tuyến tính afin (hay đơn giản là afin) trên C nếu f hữu hạn

và vừa lồi vừa lõm trên C. Một hàm afin trong

n

R

có dạng ( ) T , n,

Tương tự ta có các tập mức trên là lồi.

Định nghĩa 4.3 Một hàm mà mọi tập mức dưới của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa

lồi Một hàm mà mọi tập mức trên của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa lõm Hiển nhiên hàm lồi (lõm) là hàm tựa lồi (tựa lõm)

Hệ quả 4.1 Giả sử

fα

là hàm lồi trên

n R

được gọi là thuần nhất dương nếu

epi f

đóng đồi với phép cộng và phép nhân vô hướng, nghĩa là

epi f

là một nón lồi Vậy hàm

Định lý 4.5 Hàm

f

đóng khi và chỉ khi tất cả các tập mức có dạng {x X f x∈ : ( )≤α}

n

b R∈

.3) Cận trên (supremum theo từng điểm) của một họ tùy ý các hàm lồi là hàm lồi

3) Kết luận được suy ra từ sự kiện là

Khi đó, hàm( ) infy G ( , )

f x = ∈ ϕ x y

là lồi trên D

Chứng minh.

i f

=

⊕hay 1

i f

=

⊗

là hàm lồi trên

bởi (4.5) là một hàm lồi, nhưng có thể không chính thường.

Thật vậy, chẳng hạn ta xét hai hàm tuyến tính khác nhau 1 2

,

f f

trên R Khi đó,

là các hàm lồi chính thường, thì hàm các hàm cận trên

và bao lồi cận dưới là lồi, nhưng có thể không chính thường

b) Bao đóng của một hàm lồi là một hàm lồi ;

c) Bao đóng của hàm chính thường có thể không chính thường ;