PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ THAY ĐỔI

Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD CHƯƠNG 6: PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ (PSSS) THAY ĐỔI 1. Hiện tượng PSSS thay đổi Xét mô hình: 1 2 Y X u i i i β β = + + 1.1. Bản chất của hiện tượng PSSS số thay đổi - Giả thiết 3 của phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS): Phương sai của các yếu tố ngẫu nhiên là đồng nhất, tức là: ( ) ( ) 2 | | , i i j j Var U X Var U X i j σ = = ∀ ≠ . - Giả thiết này có nghĩa là phân bố có điều kiện của Y với giá trị đã cho của X có phương sai bằng nhau, các giá trị cá biệt của Y xoay quanh giá trị trung bình với phương sai như nhau: ( ) ( ) i 2 ar(Y) | | ( )V Var Y X Var U X i i i i σ = = = ∀ - Nếu giả thiết này được thoả mãn thì PSSS là đồng đều - PSSS không thay đổi. - Nếu giả thiết này không được thoả mãn thì PSSS là không đồng đều - PSSS thay đổi. 1.2. Nguyên nhân của hiện tượng PSSS thay đổi - Do bản chất nội dung kinh tế của các biến số có trong mô hình. Ví dụ: + Thu nhập (Y), tiêu dùng (C) của dân cư ở thành phố và nông thôn có độ phân tán khác nhau (số liệu chéo). + Khi thu nhập (Y) tăng thì người tiêu dùng có nhiều lựa chọn hơn trong hành vi tiêu dùng của mình nên theo xu hướng tăng của thu nhập chi tiêu sẽ có độ phân tán khác nhau (số liệu theo thời gian). - Do số liệu không phản ánh đúng hiện tượng kinh tế - xã hội. Ví dụ: Tồn tại các số liệu ngoại lại (không bình thường) trong dãy số liệu của các biến số. - Do quá trình thu thập, xử lý số liệu ngày càng tốt hơn nên sai số ngày càng ít hơn dẫn đến PSSS giảm dần theo thời gian hay PSSS thay đổi. - Do định dạng không đúng dạng hàm của mô hình làm cho PSSS thay đổi. Ví dụ: Dạng hàm đúng phải là dạng hàm logarit cơ số tự nhiên của các biến nhưng lại hồi qui với dạng hàm tuyến tính giữa các biến. 1.3. Hậu quả của hiện tượng PSSS thay đổi - Các ước lượng thu được bằng phương pháp OLS là các ước lượng tuyến tính, không chệch: + Các ước lượng là tuyến tính: ˆ 2 1 i k y n i i β = ∑ = ⇒ ˆ ˆ 1 2 1 n Y X Y X k y i i i β β = − = − ∑ = Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 1 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD Trong đó: 2 1 1 x n i k n i i x i i = ∑ = ∑ = + Các ước lượng là không chệch: ˆ ( ) 2 2 E β β = ˆ ( ) 1 1 E β β ⇒ = - Các ước lượng có thể không phải là các ước lượng có phương sai nhỏ nhất (tốt nhất): 2 2 2 ˆ ar( ) 2 2 1 1 n i V k n i i i x i i σ β σ = = ∑ = ∑ = Trong đó: ( ) 2 ( 1 )Var U i n i i σ = = ÷ - Ước lượng của các phương sai (của các hệ số hồi quy) là các ước lượng chệch làm cho các kiểm định T, F có thể sai. Ước lượng của phương sai của ˆ 2 β là: 2 ˆ 2 2 ( 2) 1 1 RSS i n n x n x i i i i σ = − ∑ ∑ = = Suy ra: E( 2 ( 2) 1 RSS n n x i i − ∑ = ) ≠ 2 ˆ ar( ) 2 2 1 V n x i i σ β = ∑ = 2. Phát hiện ra hiện tượng PSSS thay đổi Xét mô hình: 1 2 Y X u i i i β β = + + (1) - Thông thường chúng ta không có toàn bộ tổng thể vì vậy không thể biết được các giá trị 2 i σ nên không thể biết được có hiện tượng PSSS thay đổi hay không. Tuy nhiên chúng ta có mẫu rút ra từ tổng thể và chúng ta sẽ dựa trên thông tin từ mẫu để đưa ra một số cách chuẩn đoán có thể phát hiện ra hiện tượng PSSS thay đổi. - Cần lưu ý rằng chúng ta không có một phương pháp chắc chắn nào để phát hiện ra hiện tượng PSSS thay đổi. 2.1. Dựa vào bản chất của vấn đề nghiên cứu - Đây là cách chuẩn đoán hiện tượng PSSS thay đổi dựa vào thông tin tiên nghiệm về hiện tượng kinh tế - xã hội. Tuỳ thuộc vào kinh nghiệm của người nghiên cứu và vấn đề nghiên cứu có thể chuẩn đoán được rằng có thể có hiện tượng PSSS thay đổi. - Trên thực tế thì số liệu chéo thường có hiện tượng PSSS thay đổi vì số liệu có được từ các đơn vị có các tính chất khác nhau. Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 2 2 2 2 ˆ ar( ) 1 2 1 n X i i V n i n x i i β σ ∑ = = ∑ = Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD 2.2. Xem đồ thị của phần dư - Dựa vào mẫu rút ra từ tổng thể ta có được giá trị của các phần dư ( i e ), chúng là các ước lượng điểm của các yếu tố ngẫu nhiên ( i U ). Chúng ta dựa vào các giá trị này để chuẩn đoán về hiện tượng PSSS thay đổi bằng cách vẽ đồ thị của phần dư hoặc bình phương của phần dư theo giá trị của các biến độc lậy ( X i ) hoặc các giá trị ước lượng được ( ˆ i Y ). - Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X i hoặc ˆ i Y tăng lên . Nếu độ rộng của biển đồ phân rải của phần dư giao động khi X i hoặc ˆ i Y tăng thì gợi ý cho chúng ta rằng có thể có hiện tượng PSSS thay đổi. 2.3. Kiểm định PSSS thay đổi dựa vào biến độc lập 2.3.1. Kiểm định Park - Giả thiết: 2 2 2 v i X e i i β σ σ = . Trong đó v i là yếu tố ngẫu nhiên. - Biến đổi: 2 2 ln ln ln 2 X v i i i σ σ β = + + . Đặt 2 ln 1 β σ = Khi đó: 2 ln ln 1 2 X v i i i σ β β = + + - Vì 2 i σ là chưa biết nên Park đề nghị sử dụng 2 e i thu được từ việc hồi quy mô hình (1) thay cho 2 i σ và ước lượng mô hình: 2 ln ln 1 2 e X v i i i β β = + + (2) - Tóm lại, để thực hiện kiểm định Park ta tiến hành các bước sau: Bước 1: Hồi quy mô hình gốc - mô hình (1) cho dù có hay không có hiện tượng PSSS thay đổi. Bước 2: Ghi lại các phần dư e i sau đó bình phương chúng thu được 2 e i và lấy 2 lne i . Bước 3: Hồi quy mô hình phụ - mô hình (2) và tiến hành kiểm định cặp giả thiết sau: 0 2 1 2 : 0 : 0 H H β β =   ≠  (PSSS không thay đổi ) (PSSS thay đổi) Bước 4: Kết luận về hiện tượng PSSS thay đổi cho mô hình gốc. 2.3.2. Kiểm định Glejser Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 3 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD - Glejser đưa ra nhiều giả thiết khác nhau về sự phụ thuộc của phần dư e i vào biến độc lập. Tuỳ vào giả thiết được đưa ra mà tiến hành hồi quy mô hình phụ để đưa ra chuẩn đoán về hiện tượng PSSS thay đổi. - Các giả thiết được Glejser đưa ra: 1 2 e X v i i i β β = + + 1 2 e X v i i i β β = + + ( 0X i ≥ ) 1 1 2 e v i i X i β β = + + ( 0X i ≠ ) 1 1 2 e v i i X i β β = + + ( 0X i > ) Trong đó: v i là các yếu tố ngẫu nhiên và e i là ước lượng của i σ thu được từ việc hồi quy mô hình gốc - mô hình (1). - Ứng với mỗi giả thiết tiến hành kiểm định cặp giả thiết sau: 0 2 1 2 : 0 : 0 H H β β =   ≠  (PSSS không thay đổi ) (PSSS thay đổi) - Kết luận về hiện tượng PSSS thay đổi cho mô hình gốc. 2.3.3. Kiểm định tương quan hạng của Spearman: (tham khảo giáo trình) 2.3.4. Kiểm định Golđfel - Quandt: (tham khảo giáo trình) 2.3.5. Kiểm định Breusch - Pagan: (tham khảo giáo trình) 2.3.6. Kiểm định White - Đây là thủ tục kiểm định tổng quát về hiện tượng PSSS thay đổi. - Xét mô hình: 1 2 2 3 3 Y X X u i i i i β β β = + + + (3) - Giả thiết: 2 2 2 5 1 2 2 3 3 4 2 3 6 2 3 e X X X X X X v i i i i i i i i α α α α α α = + + + + + + + (4) Trong đó: v i là yếu tố ngẫu nhiên và e i là ước lượng của i σ thu được từ việc hồi quy mô hình gốc - mô hình (3). - Tóm lại, các bước để thực hiện kiểm định White như sau: Bước 1: Hồi quy mô hình gốc - mô hình (3) bằng OLS, thu được các phần dư tương ứng e i sau đó bình phương chúng thu được 2 e i . Bước 2: Hồi quy mô hình phụ - mô hình (4), thu được hệ số R 2 và xác định thống kê: 2 2 2 ( 1)nR k χ χ = −: . Trong đó k là số hệ số của mô hình (4), n là số quan sát. Bước 3: Sử dụng thống kê 2 2 2 ( )nR k χ χ = : để kiểm định cặp giả thiết: Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 4 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD 2 0 2 3 0 2 1 1 : 0 : 0 : 0( 1) : 0 a j a H H R H j H R α α α  = = = =    ⇔   ∃ ≠ ≠ ≠     (PSSS không thay đổi ) (PSSS thay đổi) Bước 4: Kết luận về hiện tượng PSSS thay đổi cho mô hình gốc. Chú ý: Mô hình hồi quy phụ - mô hình (4) bắt buộc phải có hệ số chặn cho dù mô hình gốc - mô hình (3) có hệ số chặn hay không. Trong nhiều trường hợp mô hình (4) có thể có các biến độc lập có số mũ cao hơn hoặc không có các số hạng chéo. 2.4. Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc - Xét mô hình: 1 2 2 3 3 i i i k ki i Y X X X U β β β β = + + + + + (5) - Giả thiết: 2 2 1 2 ( ( )) i i E Y σ α α = + . Vì 2 2 , ( ) i i E Y σ đều chưa biết nên sử dụng các ước lượng của nó để thay thế là 2 e i , 2 ˆ i Y . Khi đó mô hình hồi quy phụ sẽ là: 2 2 1 2 ˆ i i i e Y v α α = + + (6) Trong đó: v i là yếu tố ngẫu nhiên. - Tóm lại, các bước để kiểm định dựa trên biến phụ thuộc như sau: Bước 1: Hồi quy mô hình gốc - mô hình (5) bằng OLS, thu được e i và ˆ i Y sau đó lấy bình phương thu được 2 e i và 2 ˆ i Y . Bước 2: Hồi quy mô hình phụ - mô hình (6), thu được hệ số R 2 và xác định thống kê: 2 2 2 (1)nR χ χ = : hoặc 2 2 2 ˆ ( ) (1, 2) ˆ ( ) F F n se α α = −: . Trong đó n là số quan sát. Bước 3: Sử dụng một trong hai thống kê trên để kiểm định cặp giả thiết: 2 00 2 2 1 2 1 : 0 : 0 : 0 : 0 a a H R H H H R α α  = =   ⇔   ≠ ≠    (PSSS không thay đổi ) (PSSS thay đổi) Bước 4: Kết luận về hiện tượng PSSS thay đổi cho mô hình gốc. 3. Khắc phục hiện tượng PSSS thay đổi - Xét mô hình: 1 2 Y X u i i i β β = + + (1) - Giả sử mô hình (1) thoả mãn tất cả các giả thiết của phương pháp OLS trừ giả thiết PSSS không thay đổi. - Việc khắc phục hiện tượng này phụ thuộc chủ yếu vào việc 2 i σ đã biết hay chưa. - Việc khắc phục PSSS thay đổi cần phải dựa vào giả thiết về sự thay đổi của PSSS. 3.1. Trường hợp 2 i σ đã biết Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 5 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD - Giả thiết: 0( ) i i σ > ∀ . - Để khắc phục hiên tượng PSSS thay đổi ta chia cả hai vế của mô hình gốc - mô hình (1) cho i σ đã biết. Khi đó: 1 1 2 Y X u i i i i i i i β β σ σ σ σ = + + ⇔ * * * * 1 2 Y X u i i i β β = + + (1’) Trong đó: * * * * 1 1 ; ; ; . i i i i i i i i i i Y X u Y X u β β σ σ σ σ = = = = - Mô hình (1’) có: 2 * i i i 2 2 i u ar(u ) ar(u ) ar( ) 1 i i i V V V σ σ σ σ = = = = . Như vậy mô hình (1’) có PSSS không thay đổi. - Sử dụng phương pháp OLS để ước lượng mô hình (1’) ta thu được các ước lượng * 1 2 ˆ ˆ , β β là các ước lượng tuyến tính, không chệch có phương sai nhỏ nhất. 3.2. Trường hợp 2 i σ chưa biết - Trong trường hợp 2 i σ chưa biết ta cần phải dựa vào giả thiết về PSSS thay đổi để khắc phục. - Một số giả thiết phổ biến được đưa ra như sau: 3.2.1 .PSSS tỷ lệ với bình phương của biến giải thích - Giả thiết: 2 2 2 ( ) ( 0) i Var u X X i i i σ σ = = ≠ - Biến đổi: Chia cả hai vế của mô hình gốc - mô hình (1) cho X i : 1 2 i i i i i Y U X X X β β = + + . Đặt * * 1 ; ; . i i i i i i i i Y U Y X V X X X = = = Khi đó ta có: * * 2 1i i i Y X V β β = + + (2) - Mô hình (2) có: 2 2 2 i i i 2 2 i i U ar(U ) ar(V ) ar( ) X X i i X V V V X σ σ = = = = . Tức là PSSS không thay đổi. - Ước lượng mô hình (2) bằng phương pháp OLS thu được ước lượng của các hệ số: 2 1 ˆ ˆ , β β là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất. - Trong mô hình (2) thì 2 ˆ β là ước lượng của hệ số chặn, 1 ˆ β là ước lượng của hệ số góc. Tuy nhiên trong mô hình (1) thì thì 2 ˆ β là ước lượng của hệ số góc, 1 ˆ β là ước lượng của hệ số chặn. - Từ mô hình (2) để trở lại mô hình gốc thì ta nhân cả 2 vế của mô hình (2) với X i 3.2.2. PSSS tỷ lệ với biến giải thích - Giả thiết: 2 2 ( ) ( 0) i Var u X X i i i σ σ >= = Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 6 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD - Biến đổi: Chia cả hai vế của mô hình gốc - mô hình (1) cho i X : 1 2 i i i i i i Y U X X X X β β = + + . Đặt: * * * 1 2 1 ; ; ; . i i i i i i i i i i Y U Y X X X V X X X = = = = Khi đó ta có: * * * 1 1 2 2i i i i Y X X V β β = + + (3) - Mô hình (3) có: 2 2 i i i i i U ar(U ) ar(V ) ar( ) X X i i X V V V X σ σ = = = = . Tức là PSSS không thay đổi. - Ước lượng mô hình (2) bằng phương pháp OLS thu được ước lượng của các hệ số: 1 2 ˆ ˆ , β β là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất. - Từ mô hình (3) để trở lại mô hình gốc thì ta nhân cả 2 vế của mô hình (3) với i X . 3.2.3. PSSS tỷ lệ bình phương giá trị kỳ vọng của Y - Giả thiết: 2 2 2 ( ) ( ( )) ( ( ) 0)Var u E Y E Y i i i i σ σ = = ≠ - Biến đổi: Chia cả hai vế của mô hình gốc - mô hình (1) cho ( )E Y i . Tuy nhiên, do ( )E Y i là chưa biết nên ta sử dụng ước lượng của nó là ˆ i Y thu được từ việc ước lượng mô hình (1) cho dù là có hay không có hiện tượng PSSS thay đổi. 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ i i i i i i i Y X U Y Y Y Y β β = + + ( ˆ 0) i Y ≠ . Đặt: * * * 1 2 1 ; ; ; . ˆ ˆ ˆ ˆ i i i i i i i i i i i Y X U Y X X V Y Y Y Y = = = = Khi đó ta có: * * * 1 1 2 2i i i i Y X X V β β = + + (4) - Mô hình (3) có: 2 2 2 i i i 2 2 ˆ U ar(U ) ar(V ) ar( ) ˆ ˆ ˆ i i i i Y V V V Y Y Y σ σ = = = = . Tức là PSSS không thay đổi. - Ước lượng mô hình (4) bằng phương pháp OLS thu được ước lượng của các hệ số: 1 2 ˆ ˆ , β β là các ước lượng tuyến tính, không chệch và có phương sai nhỏ nhất. - Từ mô hình (4) để trở lại mô hình gốc thì ta nhân cả 2 vế của mô hình (4) với ˆ i Y . 2.3.4. Định dạng lại dạng hàm - Dạng đúng của mô hình: 1 2 ln ln ( , 0) i i i i i Y X U Y X α α = + + > (5) Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 7 Lê Anh Đức Khoa TKT – ĐHKTQD - Việc ước lượng mô hình (5) sẽ làm giảm PSSS thay đổi do tác động của phép biến đổi loga nên các ước lượng thu được từ mô hình (5) có thể tốt hơn các ước lượng thu được từ mô hình (1). 4. Thí dụ: Thực hành trên máy bằng Mfit với thí dụ 6.1 giáo trình (trang 159). Bài giảng Kinh tế lượng - Hệ chính quy 8 . 6: PHƯƠNG SAI CỦA SAI SỐ (PSSS) THAY ĐỔI 1. Hiện tượng PSSS thay đổi Xét mô hình: 1 2 Y X u i i i β β = + + 1.1. Bản chất của hiện tượng PSSS số thay đổi - Giả thiết 3 của phương pháp bình phương. không thay đổi. - Nếu giả thiết này không được thoả mãn thì PSSS là không đồng đều - PSSS thay đổi. 1.2. Nguyên nhân của hiện tượng PSSS thay đổi - Do bản chất nội dung kinh tế của các biến số. tượng PSSS thay đổi bằng cách vẽ đồ thị của phần dư hoặc bình phương của phần dư theo giá trị của các biến độc lậy ( X i ) hoặc các giá trị ước lượng được ( ˆ i Y ). - Phương sai của phần dư