Tuyển tập các bài toán xác suất

Tuyển tập các bài Toán xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 1 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 2 Lời nói đầu Cách nay hơn 400 năm, từ những bức thư trao đổi giữa hai nhà toán học vó đại người Pháp là Pascal (1623-1662 ) và Fermat ( 1601-1665) quanh việc giải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò cờ bạc của một quý tộc Pháp, moat ngành toán học quan trọng đã ra đời: lý thuyết xác suất. Ngày nay, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, ngành toán học này đã được ứng dụng trên phần lớn các lónh vực, len lỏi vào hầu heat các ngõ ngách của đời sống như: kinh tế, sinh học, y học, công nghệ, Từ một việc nhỏ như chơi trò chơi gieo súc sắc cho đến vấn đề liên quan đến sinh mạng con người như khả năng lây nhiễm của một loại bệnh nào đó hoặc khả năng sống sót của một bệnh nhân ung thư máu, người ta đều cần sử dụng đến lý thuyết xác suất. Vậy cơ sở lý thuyết của ngành toán học này là gì ? Tại sao nói là nó có thể áp dụng được trên hầu hết các lónh vực của đời sống ? Chúng ta phải áp dụng nó bằng cách nào và áp dụng như thế nào mới chính xác ? Những câu hỏi trên sẽ dần được giải đáp thông qua “Tuyển tập các bài toán xác suất THPT”” mà các bạn đang cầm trên tay. Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 3 Để tiện cho việc theo dõi, phần trình bày của tổ chúng tôi xin được chia thành ba phần:  Phần 1: Cơ sở lý thuyết: gồm các khái niệm mở đầu, các đònh nghóa xác suất, các quy tắc tính xác suất,…nhằm giúp độc giả làm quen với lý thuyết xác suất, chẩn bò “hành trang” trước khi bước chân vào “thế giới của sự may rủi”.  Phần 2: Bài tập tổng hợp: đây là phần cốt lõi của tuyển tập này: là nơi tổng hợp các dạng toán xác suất thường gặp, những bài toán điển hình cùng với những phương pháp giải đáp được các thành viên trong tồ dày công sưu tầm, sáng tạo rồi tổng hợp thành. Ngoài ra, trong mỗi dạng chúng tôi còn tìm thêm một số đề không lời giải cùng đáp án của chúng để độc giả tự mình tìm hiểu nhằm củng cố lại những kiến thức và kó năng của bản thân.  Phần 3: Kết luận: Tổng hợp và đánh giá Lần đầu tiên biên soạn cả một tuyển tập về toán học, chúng tôi đã rất cố gắng và nỗ lực với mục đích giới thiệu thêm cho độc giả về một ngành toán học có tính thực tế rất cao, cũng như đóng góp một tập tài liệu nhỏ cho thế hệ đàn em sau đam mê môn Toán lấy đó mà tham khảo. Tuy nhiên, do khả năng có hạn, việc thiếu sót là khó tránh khỏi. Rất mong nhận được sự Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 4 góp ý và phê bình thẳng thắn của độc giả để tổ chúng tôi có thêm những kinh nghiệm quý báu, từ đó hoàn thiện hơn trong các tuyển tập sau. Thay mặt các thành viên tổ 3 Nguyễn Thái Dương. Danh sách thành viên thực hiện 1. Nguyễn Thái Dương 2. Trần Minh Đăng 3. Đào Nguyễn Hương Giang 4. Đinh Quang Huy 5. Phan Hồng Nhung 6. Nguyễn Thò Thanh Tâm 7. Điêu Thiện Toàn 8. Trần Hà Y Vân Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 5 Phần 1: Cơ sở lý thuyết A. A.A. A. Các khái niệm mở đầu: Các khái niệm mở đầu:Các khái niệm mở đầu: Các khái niệm mở đầu:  Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiênPhép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên(gọi tắt là phép thử): là một thí nghiệm hay hành động mà: _ Kết quả của nó không đoán trước được; _ Có thể xác đònh tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó. Phép thử thưởng được kí hiệu bởi chữ T. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không gian mẫu không gian mẫukhông gian mẫu không gian mẫu của phép thử và được kí hiệu bởi chữ Ω (đọc là ô-mê-ga).  Biến cố A liên quan đến phép thử T liên quan đến phép thử Tliên quan đến phép thử T liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T. Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho A. kết quả thuận lợi cho A.kết quả thuận lợi cho A. kết quả thuận lợi cho A. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là A Ω . Khi đó, người ta nói b bb biến cố A được mô tả bởi tập iến cố A được mô tả bởi tập iến cố A được mô tả bởi tập iến cố A được mô tả bởi tập A Ω . Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 6  Ngoài ra, chúng ta còn có khái niệm “biến cố chắc “biến cố chắc “biến cố chắc “biến cố chắc chắn” chắn”chắn” chắn” và “biến cố không thể” “biến cố không thể”“biến cố không thể” “biến cố không thể”: _ Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T. Biến cố chắc chắn được miêu tả bởi tập Ω và được kí hiệu là Ω . _ Biến cố không thể: là biến cố không bao giờ xảy ra khi phép thử T được thực hiện. Rõ ràng không có một kết quả thuận lợi nào cho một biến cố không thể. Biến cố không thể được mô tả bởi tập ∅ và được kí hiệu là ∅ . B. B.B. B. Đònh nghóa xác suất: Đònh nghóa xác suất:Đònh nghóa xác suất: Đònh nghóa xác suất: 1. Theo nghóa cổ điển: 1. Theo nghóa cổ điển:1. Theo nghóa cổ điển: 1. Theo nghóa cổ điển:  Đònh nghóa: Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và A Ω 1 2 k A A A ∪ ∪ ∪ là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A thì xác suất xác suấtxác suất xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác đònh bởi công thức: ( ) A P A Ω = Ω Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 7  Chú ý: Từ đònh nghóa trên ta suy ra: • 0 ( ) 1 P A ≤ ≤ ; • ( ) 1, ( ) 0 P P Ω = ∅ = 2. The 2. The2. The 2. Theo nghóa thống kê: o nghóa thống kê:o nghóa thống kê: o nghóa thống kê: Trong đònh nghóa cổ điển của xác suất, ta cần giả thiết phép thử T có một số hữu hạn các kết quả có thể và các kết quả này là đồng khả năng. Nhưng trong nhiều trường hợp, giả thiết đồng khả năng không được thỏa mãn. Chẳng hạn khi gieo một con súc sắc không cân đối thì các mặt của con súc sắc không có cùng khả năng xuất hiện. Trong trường hợp đó ta sử dụng đònh nghóa sau gọi là đònh nghóa thống kê của xác suất. Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó. Ta tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê xem biến cố A xuất hiện bao nhiêu lần.  Số lần xuất hiện biến cố A được gọi là tần số tần sốtần số tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T.  Tỉ số giữa số lần của A đối với số N được gọi là tần suất tần suấttần suất tần suất của A trong N lần thực hiện phép thử T. Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác đònh, số đó được gọi là Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 8 xác suất của A theo nghóa thống ke xác suất của A theo nghóa thống kexác suất của A theo nghóa thống ke xác suất của A theo nghóa thống kê (số này cũng chính là P(A) trong đònh nghóa cổ điển của xác suất). Như vậy, tần suất được xem như giá trò gần đúng của xác suất. Trong khoa học thực nghiệm, người ta thường lấy tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn d9u7o72c gọi là xác suất thực nghiệm. C. C.C. C. Các quy tắc tính xác suất: Các quy tắc tính xác suất:Các quy tắc tính xác suất: Các quy tắc tính xác suất: 1. 1. 1. 1. Qui tắc cộng: Qui tắc cộng:Qui tắc cộng: Qui tắc cộng: a. a. a. a. Biến cố hợp: Biến cố hợp:Biến cố hợp: Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “A hoặc B xảy ra”, kí hiệu là A B ∪ , được gọi là hợp của hai biến cố hợp của hai biến cốhợp của hai biến cố hợp của hai biến cố A và B. Một cách tổng quát: Cho k biến cố 1 A , 2 A , , k A . Biến cố “Có ít nhất một trong các biến cố 1 A , 2 A , , k A xảy ra”, kí hiệu là 1 2 k A A A ∪ ∪ ∪ , được gọi là hợp của k biến co hợp của k biến cohợp của k biến co hợp của k biến cố đó. b. Biến cố xung khắc: b. Biến cố xung khắc:b. Biến cố xung khắc: b. Biến cố xung khắc: Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc xung khắcxung khắc xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. c. Quy tắc cộng xác suất: c. Quy tắc cộng xác suất:c. Quy tắc cộng xác suất: c. Quy tắc cộng xác suất: Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 9 Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k P A A A P A P A P A = ( ) ( ) ( ) P A B P A P B ∪ = + Quy tắc cộng xác suất cho nhiều biến cố: Cho k biến cố 1 A , 2 A , , k A đôi một xung khắc. Khi đó: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k k P A A A P A P A P A ∪ ∪ ∪ = + + + d. Biến cố đối: d. Biến cố đối:d. Biến cố đối: d. Biến cố đối: Cho A là một biến cố đối. Khi đó biến cố “Không xảy ra A”, kí hiệu A , được gọi là biến cố đối biến cố đốibiến cố đối biến cố đối của A. Đònh Lý Đònh LýĐònh Lý Đònh Lý: :: : Cho biến cố A. Xác suất của biến cố đối A là: P( A )=1-P(A) 2. Quy tắc nhân xác suất: 2. Quy tắc nhân xác suất:2. Quy tắc nhân xác suất: 2. Quy tắc nhân xác suất: a. Biến cố giao: a. Biến cố giao:a. Biến cố giao: a. Biến cố giao: Cho hai biến cố A và B. Biến cố “Cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là AB, được gọi là giao của hai biến co giao của hai biến cogiao của hai biến co giao của hai biến cố A và B. Cho k biến cố 1 A , 2 A , , k A . Biến cố “Tất cả k biến cố 1 A , 2 A , , k A đều xảy ra”, kí hiệu là 1 A 2 A , k A , được gọi là giao của k biến cố đó. Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 10 b. Biến cố độc lập: b. Biến cố độc lập:b. Biến cố độc lập: b. Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia. Nhận xét: Nhận xét:Nhận xét: Nhận xét: Nếu hai biến cố A, B độc lập với nhau thì A và B ; A và B; A và B cũng độc lập với nhau. Một cách tổng quát: Cho k biến cố 1 A , 2 A , , k A ; k biến cố này gọi là độc lập độc lậpđộc lập độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới các xác suất xảy ra của các biến cố còn lại. c. Quy tắc nhân xác suất: c. Quy tắc nhân xác suất:c. Quy tắc nhân xác suất: c. Quy tắc nhân xác suất: Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì: P(AB)=P(A).P(B) Nếu k biến cố 1 A , 2 A , , k A độc lập với nhau thì P(A 1 A 1. . . A 1 )=P(A 1 ).P(A 1 ). . .P(A k ) [...]...GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Tốn xác suất Phần 2: Bài tập tổng hợp A Dùng đònh nghóa cổ điển tính xác suất I/BÀI TOÁN VỀ CHỌN VẬT Bài 1 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ 3 màu Giải: 4 - Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi có: C15 cách - Số cách chọn để trong số bi lấy ra... 19 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh a2 có 4 cách chọn trường hợp này co 16 số vậy từ 2 trường hợp trên ta có 20+16= 36 số b) Gọi số có 3 chữ số là: a1a2 a3 Số này ⋮9 ⇔ a1 + a2 + a3 = 9 Xét cặp số (0; 4 ; 5): + a1 có 2 các chọn + a2 có 2 cách + a3 có 1 cách Xét (2; 4; 3): + a1 có 3 cách chọn + a2 có 2 cách + a3 có 1 cách Xét (1; 3; 5): + a1 có 3 cách chọn + a2 có 2 cách + a3 có 1 cách... cách chọn a2 có 5 cách chọn a3 có 4 cách chọn →vậy có 40 số Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 20 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh c) a3 có 2 cách chọn a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn →vậy có 40 số d) a3 có 1 cách chọn a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn →vậy có 20 số BÀI 9: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đơi một khác nhau được tạo thành từ các phần tử {0,1,2,3}... ≠ 0 Ta có : a1 có 2 cách a2 có 4 cách Vậy có 4.2= 8 số →Vậy có tất cả là 20 + 8 = 28 số b) + Xét a3 = 0 Ta có: a1 có 5 cách chọn a2 có 4 cách chọn Vậy có 20 số + Xét a3 = 5 Ta có: a1 có 4 cách chọn a2 có 4 cách chọn Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 16 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Vậy có 16 số →Vậy ta có tất cả là 20 + 16 = 26 số BÀI 2 Từ các phấn tử của X =... lấy tùy ý: C =210 cách 6 10 b) Lấy 4 bánh dâu: C64 = 15 cách - Lấy 2 bánh Sôcôla C42 =6 => có 15.6 = 90 cách Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 12 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Bài 6 Một tổ gồm 6 nam và 4 nữ Có bao nhiêu cách chọn 1 bạn đại diện gồm 5 người sao cho chọn: a) Không phân biệt nam, nữ (252 cách) b) Có đúng 2 nữ ( C42 C63 =120 cách) Bài 7 Trong một... 1925308 cách Bài 10 Một gia đình được 15 vệ só bảo vệ trong đó có 3 người bảo vệ mẹ, 5 người bảo vệ cha, còn lại bảo vệ con gái đầu lòng Có bao nhiêu cách phân công? 3 - Chọn 5 người bảo vệ mẹ: C15 cách 5 - Chọn 5 người bảo vệ cha: C12 cách - Bảo vệ cô gái: C77 cách 3 5 => C15 C12 C77 cách Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 13 GVHD: Trần Thị Hạnh Tuyển tập các bài Tốn xác suất II/BÀI... trúng mục tiêu bài 9 xếp ngẫu nhiên 4 người lên toa tàu.tính xác suất để Nhóm 3-11T2-THPT Chun Huỳnh Mẫn Đạt, Kiên Giang Trang 24 Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh a) cả 4 người lên 4 toa khác nhau b) có ít nhất 2 người cùng toa Bài 10 Nhà nọ có ni 1 con chó.một đêm có 2 tên trơm X, Y đột nhập vào Xác suất để bắt được tên trơm X là 0,45 ; tên trộm Y la 0,6 tính xác suất để a) cả hai... Giang Trang 27 Tuyển tập các bài Tốn xác suất Thay vào (*) có P(A ∪ B)= GVHD: Trần Thị Hạnh 238 161 354243 + = ≈ 0,5243 1599 405 675595 Bài 3 Gọi M là tập hợp gồm các số có 2 chữ số khác nhau đuợc lập thành từ các số 1,2,3,4,5,6 Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M tính xác suất để ít nhất 1 trong 2 phần tử đó chia hết cho 6 Giải Mỗi phần tử thuộc M đều có dạng a1 a 2 a1 :6 cách chọn a 2 (≠ a1 ) :5 cách chọn... 161700 161700 40425 Bài 6 Có 3 con súc sắc hình lập phuơng làm bằng giấy, các mặt của súc sắc in các hình bầu, cua, tơm, cá, gà, nai Súc sắc thứ nhất cân đối, súc sắc thứ 2 khong cân đói, có xác suất mât tơm là 0,2; các mặt còn lai có xác suất bằng nhau; súc sắc thứ 3 khơng cân đối, có xác suất mặt nai là 0,25, các mặt còn lại có xác suất bằng nhau Gieo 1 lần 3 con súc sắc đã cho Tính sác suất để a) Cả 3... người đá 1 lần với xác suất làm bàn tương ứng là 0,8 và 0,7 Tìm xác suất để có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn Đáp số: 0,94 Bài 18 Có 2 máy điện A,B hoạt động đọc lập Biết rằng xác suất để máy A làm việc tốt là P(a) = 0,96 ;xác suất để máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85 a) Tìm xác suất để 2 máy đồng thời làm việc tơt b) tìm xác suất để có ít nhất 1 máy làm việc tốt đáp số: a) 0,816 b) 0,994 Bài 19 Một chiếc . tần suất làm xác suất. Vì vậy tần suất còn d9u7o72c gọi là xác suất thực nghiệm. C. C.C. C. Các quy tắc tính xác suất: Các quy tắc tính xác suất: Các quy tắc tính xác suất: Các quy tắc tính xác. quả thuận lợi cho A thì xác suất xác suấtxác suất xác suất của A là một số, kí hiệu là P(A), được xác đònh bởi công thức: ( ) A P A Ω = Ω Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh. kia không xảy ra. c. Quy tắc cộng xác suất: c. Quy tắc cộng xác suất: c. Quy tắc cộng xác suất: c. Quy tắc cộng xác suất: Tuyển tập các bài Tốn xác suất GVHD: Trần Thị Hạnh Nhóm 3-11T2-THPT