SLIDE - DẠNG TOÀN PHƯƠNG pot

 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn CHƯƠNG 4  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) "( , ) 2 "( , ) "( , ) 2 d f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy Adx Bdxdy Cdy        Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:  Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2: 2 2 2 2 11 12 13 22 23 33 2 2 2 d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz        Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến.  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm xác định như sau: với mỗi : V R   1 2 ( , , , ) n x x x x V    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x               được gọi là dạng toàn phương trên V.  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương: 3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                 11 a 12 2 a 13 2 a 22 a 23 2 a 33 a  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho dạng toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x               khi đó, ma trận sau:  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Gọi là ma trận của dạng toàn phương 11 12 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a                  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x            Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là: 2 2 3 2 1 1 3 1 8 A                 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 ( , , ) 6 3 4 5 x x x x x x x x x x       1 3 0 3 3 2 0 2 5 A                [...]... §øc  y1  2 y2  y3 TuÊn 2   §7: Dạng Toàn phương Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange: 2 2  ( x)  x12  5 x2  10 x3  4 x1 x2  8 x1 x3  2 x2 x3  (x1 )2 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn     §7: Dạng Toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Jacobi (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 2 2  ( x)  2 x12 ... 0    0 0 an n   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương    Hay 2 11 1 2 22 2 2 nn n  ( x)  a x  a x   a x Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn     §7: Dạng Toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc Phương pháp Lagrange (xem tài liệu) Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc 2 1 2 2 2 3  ( x)  x  2 x  10 x ... Phan §øc TuÊn  §7: Dạng Toàn phương Nhận xét:  Xác định dấu của các dạng toàn phương sau: 2 1 2 2 2 3 1 ( x)  x  2 x  x  6 x1 x2  2 x1 x3  8 x2 x3 2 1 2 2 2 3 2 ( x)  3 x  2 x  5 x 2 2 3 ( x)  2 x12  3x2  4 x3 2 1 2 2 2 3 4 ( x)  x  5 x  3 x Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn  §7: Dạng Toàn phương  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo...  §7: Dạng Toàn phương Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 1 2 2 2 3  ( x)  3 x  7 x  3 x  8 x1 x2  10 x1 x3  8 x2 x3  3 4 5   4 7 4  A     5 4 3    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn   §7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:  1 2 3   2 4 1  A     3 1 5    Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là: 2 1 2 2 2 3...   2  3  1    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  1  2 2 A 1 3  3    2  3  1     Đặt a11 D0  1, D1  a11  2, D2  a21 a11 D3  a21 a31 a12 a22 a32 a12 2 1   5, a22 1 3 a13 2 1 2 a23  1 3 3  35, a33 2 3 1 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn   §7: Dạng Toàn phương Nếu Di  0, i  1,2, thì dạng toàn phương có dạng chính tắc là: D1 2 D2 2 D3 2  ( y)  y1  y2... Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  2 1 2 2 2 3  ( x)  x  2 x  10 x  2 x1 x2  4 x1 x3  8 x2 x3 2 2 2 2 3  ( x1  x2  2 x3 )  x  6 x  4 x2 x3 2  ( x1  x2  2 x3 ) 2  ( x2  2 x3 ) 2  2 x3  Đặt y1  x1  x2  2 x3 y2  x2  2 x3 y3  x3 2 1 2 2 2 3   ( y)  y  y  2 y Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn   §7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: 2 1 2 2 2... thì dạng toàn phương có dạng chính tắc là: D1 2 D2 2 D3 2  ( y)  y1  y2  y3 D0 D1 D2 2 2 5 2 35 2  ( y )  y1  y2  y3 1 2 5 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn   §7: Dạng Toàn phương Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi: 2 2  ( x)   x12  2 x2  3x3  4 x1 x2  2 x1 x3  8 x2 x3  1  2 1  A    2 2  4    1  4  3   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn . TuÊn §7: Dạng Toàn phương )( 22 222 2 111 nnn xaxaxax    Hay  Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương.  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương.  2 1 )(x  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1. sau: .35)( .432)( .523)( .8262)( 2 3 2 2 2 14 2 3 2 2 2 13 2 3 2 2 2 12 323121 2 3 2 2 2 11 xxxx xxxx xxxx xxxxxxxxxx          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo               nn a a a 000