BỘ MÔN TOÁN BÀI GIẢNG TOÁN 3 pot

Ứng dụng trong hình học không gian:gọi là hàm véc tơ của biến số t xác định trên X + Nếu xt, yt, zt là ba thành phần của và là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz thì...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BỘ MÔN TOÁN

BÀI GIẢNG

Chương I: Hàm số nhiều biến

Số tiết: 10 lý thuyết + 5 bài tập, thảo luận

1.1 Khái niệm mở đầu

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số 1.3 Cực trị của hàm số nhiều biến số

1.1 Khái niệm mở đầu

1.1.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số

1.1.2 Miền xác định của hàm số nhiều biến số

1.1.3 Tập hợp trong Rn

•Tập E được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là

điểm trong

1.1.4 Giới hạn của hàm số nhiều biến số

• Ví dụ: Tính giới hạna)

b)

2

2 2 0

1.1.5 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm số nhiều biến số

1.2.1 Đạo hàm riêng

vd

1.2.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Ví dụ:

1.2.3 Vi phân toàn phần

1.2.4 Đạo hàm của hàm số ẩn

b) Đạo hàm hàm ẩn

Ví dụ:

1.2.5 Đạo hàm theo hướng và gradien.

1.2.6 Đạo hàm và vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao

Ví dụ:

Ví dụ:

1 3 Cực trị của hàm số nhiều biến số

1.3.1 Cực trị không điều kiện của hàm số nhiều biến số

Ví dụ:

1.3.2 Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Ví dụ:

Ví dụ:

Ví dụ:

1.3.3 Các giá trị max và min của hàm số nhiều biến số trong miền đóng bị chặn

Ví dụ:

2.1 Ứng dụng trong hình học phẳng

2.1.1 Tiếp tuyến của đường cong

Ví dụ:

2.2 Ứng dụng trong hình học không gian:

gọi là hàm véc tơ của biến số t xác định trên X

+ Nếu x(t), y(t), z(t) là ba thành phần của và

là các véc tơ đơn vị tương ứng với các trục Ox, Oy, Oz thì

Đặt thì M = (x(t), y(t), z(t)) Khi t biến

thiên trên X thì quỹ tích của M là một đường cong trong

R3, gọi là tốc đồ của hàm véc tơ và ta nói đường cong có pt tham số là:

2.2.1.2: Giới hạn, liên tục, khả vi:

+ Ta nói hàm véc tơ có giới hạn là r r(t) a khi t r → t0

nếu∀ε > 0, ∃δ(ε, t0) > 0 : |t – t0| < δ ⇒ rr(t) a− < εr

t tlim r(t) a

→ r = r

Ký hiệu:

+ Hàm véc tơ được gọi là liên tục tại nếu r r(t) t0 ∈ X

t tlim r(t) r(t )

+ Cho hàm véc tơ xác định trên X, , cho t0

một số gia Giới hạn nếu có của tỉ số: 0

t ∈ X r(t)

r t

Và nói khả vi tại tr r(t) 0

r (t ) x (t )i y (t ) j z (t )k ur ′ = ′ r + ′ r + ′ r

2.2.2 Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong tại một

Giả sử điểm M0(x(t0), y(t0), z(t0)) ∈ L

Giả sử x'(t0), y'(t0) và z'(t0) không đồng thời bằng 0, khi đó

Điểm M(x, y, z) nằm trên tiếp tuyến của L tại M0khi và chỉ khi véc tơ đồng phương với véc tơ tức

*) Mọi đường thẳng đi qua M0 và vuông góc với tiếp

tuyến của L tại M0 được gọi là pháp tuyến của L tại M0

+ Nếu L có tiếp tuyến tại M0 thì nó có vô số pháp tuyến tại M0, chúng cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến tại M0, mặt phẳng ấy được gọi là pháp diện

Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến và pháp diện của đường:

23

2.2.3 Độ cong:

Cho đường cong L trong không gian có phương trình

x = x(t), y = y(t), z = z(t) Khi đó độ cong của đường cong (L) tại M được ký hiệu và xác định bởi công thức:

Ví dụ: Tính độ cong của đường

tt

Tại mỗi điểm M0 trên mặt S có vô số đường cong

thuộc S đi qua, vì vậy có thể có vô số tiếp tuyến với

mặt s tại M0

S

M 0

T

Định lý: G/s M 0 là một điểm chính quy của mặt S ( tức

là tại đó F’ x , F’ y , F’ z không đồng thời bằng 0) Khi đó tập hợp tất cả các tiếp tuyến của mặt cong S tại M 0 là

một mặt phẳng đi qua M 0 , mặt phẳng đó gọi là tiếp diện của S tại M 0

+ Đường thẳng qua M 0 vuông góc với tiếp diện của S tại

M 0 gọi là pháp tuyến của S tại M 0

Đặt n r = ( F (M ), F (M ), F (M )x′ 0 y′ 0 z′ 0 )

+ Nếu M0 là điểm chính quy thì và mọi tiếp

tuyến của mặt S tại M0 đều vuông góc với

Ví dụ: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong S có phương trình

x − 4y + 2z = 6tại M0(2; 2; 3)

Chú ý: Xét điểm M(x, y, z) ∈ S Nếu gọi α, β và γ tương ứng là các góc tạo bởi véc tơ pháp tuyến của S tại M với ba trục toạ độ Ox, Oy và Oz thì véc tơ

n uur = (cos , cos , cos ) α β γ

được gọi là véc tơ pháp tuyến đơn vị của S tại M

Đồng thời cosα, cosβ, cosγ được gọi là các cosine chỉ

phương của Khi đó ta cón uur0

y x

Nếu mặt S được cho bởi z = f(x, y) thì bằng cách đặt

Chương III

1.1 Tích phân phụ thuộc tham số 1.2 Tích phân kép

1.3 Tích phân bội ba

1.1 Tích phân phụ thuộc tham số

1.1.1 Trường hợp tích phân xác định

Xét tích phân

trong đó f(x, t) xác định trên [a, b]×[c, d] và khả tích theo x trên [a, b] với mọi t ∈ [c, d] Vế phải phụ thuộc vào t, nên ta gọi (1.1) là tích phân phụ thuộc tham số

Định lý 1.1.1:

Nếu hàm số f(x, t) liên tục trên [a, b]×[c, d] thì I(t) liên tục trên [c, d].

baI(t) = ∫ f (x, t)dx

• Định lý 1.1.2: Nếu hàm số f(x, t) liên tục trên [a, b] × [c, d] thì

I (t) ′ = ∫ f (x, t)dx

1.1.2 Trường hợp tích phân suy rộng

• Xét tích phân suy rộng

trong đó f(x, t) xác định trên [a, + ∞]×[c, d]

Khái niệm tích phân suy rộng hội tụ

Khái niệm tích phân suy rộng hội tụ đều

Tích phân (1.7) được gọi là hội tụ đều nếu sự tồn tại của B ở trên chỉ phụ thuộc vào ε Tức là

∀ε > 0, ∃B = B(ε) > 0 : ∀b > B

⇒ |I(t) – Ib(t)| = < ε ∀t∈[c, d]

• Định lý 1.1.4:

Nếu |f(x, t)| ≤ g(x) ∀(x, t) ∈[a, + ∞]×[c, d] và

hội tụ thì tích phân (1) hội tụ đều trên [c,d].

a

g(x)dx

+∞

∫

• Ví dụ:

Xét sự hội tụ của tích phân:

2 2 1

1.2 Tích phân kép

1.2.1 khái niệm tích phân kép

• Bài toán tính thể tích vật thể hình trụ

Giả sử f(x, y) liên tục và không âm trong miền đóng bị chặn

D với biên L Tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L (Hình 1.1)

z = f(x, y) f(xk, yk)

Ta làm như sau:

• Chia miền D thành n mảnh nhỏ tuỳ ý là S1, S2, , Sn

• Gọi diện tích tương ứng của chúng là ∆S1, ∆S2, , ∆Sn

• Trên mỗi mảnh Sk lấy điểm Mk(xk, yk) tuỳ ý

Khi đó thể tích V của vật thể xấp xỉ với

Sự xấp xỉ càng chính xác nếu n càng lớn Vì vậy thể tích V được định nghĩa bằng giới hạn (nếu có) của tổng trên khi n dần ra vô hạn Giới hạn đó không phụ thuộc cách chia

miền D và cách lấy các điểm Mk

Định nghĩa tích phân kép

• Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền đóng bị chặn D ⊂ R 2

• Chia D thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau,

D = S 1∪S 2∪ ∪S n ,

Với k = 1, 2, , n, lấy tuỳ ý M k (x k , y k ) ∈S k và ký hiệu ∆S k = |S k | (số

đo diện tích của S k )

• Đặc biệt nếu f(x,y)=1 thì I= là diện tích miền D

• Vì tích phân kép không phụ thuộc cách chia miền D, nên ta

có thể chia D bởi hai họ đường thẳng song song với các trục

Ox và Oy, vì thế dS = dxdy Vậy ta thường viết

∫∫

1.2.2 Cách tính tích phân kép trong tọa độ Đêcác

a) Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ D = [a, b]×[c, d]

• Định lý 1.2.1: Giả sử f(x, y) khả tích trên D = [a, b]×[c, d] Khi đó:

• Nếu ∀x ∈ [a, b], hàm f(x, y) khả tích trên [c, d] thì

I(x) = khả tích trên [a, b] và

(1.11)

d c

• Nếu ∀y ∈ [c, d], hàm f(x, y) khả tích trên [a, b] thì

Miền lấy tích phân là miền bị chặn

c x (y)

( f (x, y)dx)dy

∫ ∫

• Chú ý: Nếu miền D có thể mô tả được bằng cả hai dạng

D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)}

và D = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}

trong đó y1(x) và y2(x) là các hàm khả tích trên [a, b] và x1(y)

và x2(y) là các hàm khả tích trên [c, d] Khi đó ta có công thứ đổi thứ tự tích phân:

c x (y)

( f (x, y)dx)dy

= ∫ ∫

1.2.3 Đổi biến trong tích phân kép

Xét phép đổi biến x = x(u, v), y = y(u, v) thoả mãn:

• Các hàm x(u, v) và y(u, v) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đóng D’ của mặt

1.2.4 Tính tích phân kép trong tọa độ cực

( Áp dụng khi miền D là hình tròn hay một phần hình tròn)

1.2.5 Ứng dụng của tích phân kép

a) Tính thể tích vật thể

Vật thể hình trụ có đáy là miền D, mặt trên được mô tả bởi

z = f(x, y), đường sinh song song với Oz Thể tích của vật thể

này được tính theo công thức

3 3

1.3 Tích phân bội ba

1.3.1 Khái niệm tích phân bội ba

Cho hàm số f(x, y, z) xác định trên miền đóng bị chặn V⊂ R 3

• Chia V thành n mảnh nhỏ không dẫm lên nhau

Cho n → + ∞ sao cho max V k → 0 mà s n → I không phụ

thuộc vào cách chia và cách chọn điểm M k thì I được gọi

là tích phân bội 3 của f(x,y,z) trên V Kí hiệu:

• Trong đó:

V là miền lấy tích phân

dV là yếu tố thể tích

f(x, y, z) là hàm dưới dấu tích phân

Nếu tích phân (1) tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên

1.3.2 Cách tính tích phân bội 3 trong tọa độ Đềcác

Tương tự như tích phân kép, tính tích phân bội ba ta đưa về

tích phân bội 2 và bội Sau đây là một số trường hợp cụ thể

• V = { (x, y) ∈ D ⊂ Oxy, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}

a y (x) z (x,y)

= ∫ ∫ ∫

z xy

x y V

Xét phép đổi biến: x = x(u, v, w),

• Định thức Jacobi khác không trong V’

1.3.3 Đổi biến trong tích phân bội ba

D(x, y,z) J

• Khi đó:

b) Đổi biến trong tọa độ trụ

( Phạm vi áp dụng: Miền V được giới hạn bởi mặt nón, mặt trụ, mặt paraboleliptic)

Công thức đổi biến:

c) Đổi biến trong tọa độ cầu

(Áp dụng đối với miền V có dạng hình cầu hay một phần hình cầu)

• Ta có định thức Jacobi

Do vậy

2

sin cos r cos cos r sin sin

J sin sin r cos sin r sin cos r sin

0 0

x V

y z

1.3.4 Ứng dụng tích phân bội ba

a) Thể tích vật thể

Thể tích vật thể được giới hạn bởi miền V là:

Ví dụ: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi các mặt sau:

b) Trọng tâm vật thể

Xét vật thể được giới hạn bởi miền V

Vật thể có khối lượng riêng

• Khi đó khối lượng của vật thể là:

• Trọng tâm của vật thể tính theo công thức:

2.1 Tích phân đường loại một 2.2 Tích phân đường loại hai 2.3 Tích phân mặt loại một

Chương 2

2.4 Tích phân mặt loại hai

2.1 Tích phân đường loại một

1.2.3 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc không gian

• Tích phân đường loại một của hàm f(x, y, z) dọc theo cung

AB trong không gian cũng được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng

Nếu AB có phương trình tham số:

2.2 Tích phân đường loại 2

2.2.1 Định nghĩa

Cho hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung phẳng AB

• Chia thành n cung nhỏ không dẫm lên nhau,

= ∪ ∪ ∪

• Với k = 1, 2, , n, lấy tuỳ ý M k (ξk , ηk ) ∈ , ký hiệu

∆x k , ∆y k là chiếu của lên 2 trục 0x,0y.

không phụ thuộc: cách chia , cách chọn các điểm M k thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại hai của hai hàm P(x, y) và Q(x, y) dọc theo , ký hiệu là

Chú ý: Tích phân đường loại hai cũng có các tính chất

tương tự như tích phân xác định

• Nếu ta đổi chiều lấy tích phân thì tích phân đổi dấu, tức là

• Nếu đường lấy tích phân L là kín, ta có thể dùng ký hiệu

2.2 Cách tính

2.2.3 Công thức Green

• Giả sử D là miền liên thông bị chặn với biên trơn từng khúc

L (có thể gồm nhiều đường cong kín rời nhau) Nếu các đạo hàm riêng cấp một của P(x, y) và Q(x, y) liên tục trong D thì

2.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không

phụ thuộc đường lấy tích phân

Định lý 2.2.1 Nếu hai hàm P(x, y) và Q(x, y) liên tục cùng với

các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong miền đơn liên

D thì bốn mệnh đề sau tương đương:

1

2 = 0 với mọi đường cong kín L nằm trong D

3 chỉ phụ thuộc hai mút A và B, không phụ thuộc vào cung ⊂ D

4 Biểu thức Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm

u(x, y) nào đấy trong miền D

2.2.5 Trường hợp đường lấy tích phân thuộc không gian

B

tt[P.x '(t) Q.y'(t) R.z '(t)]dt

2.3 Tích phân mặt loại 1

• Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên mặt cong S

• Chia S thành n mảnh nhỏ dời nhau kí hiệu bởi

2.4 Tích phân mặt loại 2:

2.4.1 Khái niệm về mặt định hướng:

2.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 2:

 G/s S là mặt cong hai phía có pt biểu diễn là z = z(x, y) Trên S ta cố định một phía, chẳng hạn phía ngoài

-

( xoy )

D ch S =

-Chia S thành n mảnh nhỏ tuỳ ý không dẫm lên

nhau: (S1), (S2), ….,(Sn)

-Gọi có diện tích tương ứng là Di

-Trên mỗi mảnh (Si) lấy một điểm Mi(xi, yi, zi) tuỳ ý

-Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

-(di là đường kính của mảnh Si)

Không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm Mi thì g/h đó gọi là tp mặt loại 2 của hàm số f(x,y,z) lấy theo phía ngoài mặt S

→∞ = ∑

∫∫

Kí hiệu:

Tổng quát: Nếu có ba hàm số P(x, y, z),

Q(x, y, z), R(x, y, z) xác định trên mặt S và có (1), (2), (3) thì tp mặt loại 2 lấy theo phía ngoài mặt S có dạng tổng quát là:

( , , ) dydz ( , , ) dxdz+R(x,y,z)dxdy

S

P x y z + Q x y z

∫∫

Chú ý: Ta nói trong miền xác định một trường

véc tơ nếu ứng với mỗi điểm M(x, y, z) có một véc

tơ gốc tại M với các toạ độ P(M), Q(M), R(M)

Trong đó là cosin chỉ hướng

của véc tơ pháp tuyến tại M

Với: Lấy dấu (+) nếu pháp tuyến

tương ứng của S hợp với trục ox một góc nhọn,

ngược lại lấy dấu (-) Tương tự với I2, I3.

( yoz )

2.4.4.Công thức Stokes

(Liên hệ giữa đường loại 2 và ích phân mặt loại 2)

+ Ta gọi véc tơ xoáy hay rôta của là véc tơ ký

Giả sử V là miền giới nội trong R3 với biên là

mặt kín S P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) là ba

hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong V Khi đó ta có :

ur

•Chú ý: Nếu véc tơ có các toạ độ là P(M),

Q(M), R(M) thì tổng gọi là dive của

3.1 Phương trình vi phân cấp 1 3.2 Phương trình vi phân cấp 2 3.3 Hệ phương trình vi phân

Chương 3

3.1 Phương trình vi phân cấp 1:

3.1.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp 1:

( , , ) 0,

F x y y ′ =

Nghiệm tổng quát dạng: y = y(x, C)

Định lý 3.1.1 (sự tồn tại và duy nhất nghiệm)

Cho phương trình y' = f(x, y) Giả sử f(x, y) liên tục trong một miền D nào đó của mặt phẳng Oxy

và (xo, yo) ∈ D

Khi đó trong một lân cận nào đó của điểm x = xo, tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) thoả mãn pt trên sao cho y nhận giá trị yo tại x = x0.

Nếu f’y(x, y) cũng liên tục trong miền D thì nghiệm ấy là duy nhất.

3.1.2 Phương trình khuyết:

- Phương trình khuyết y: F (x, y') = 0

Phương trình giải ra được đối với y': y' = f(x).

Tích phân hai vế, được y = ∫f(x)dx = F(x) + C, với

F(x) là một nguyên hàm của f(x)

Phương trình giải ra được đối với x: x = f(y')

Đặt y' = t Ta được phương trình tham số của đường tích phân: x = f(t); y = ∫tf'(t)dt = tf(t) – F(t) + C, trong

đó F(t) là một nguyên hàm của f(t)

– Phương trình có thể tham số hoá: x = f(t), y' = g(t)

y = ∫g(t)f'(t)dt = h(t) + C, trong đó h(t) là một nguyên hàm của g(t)f'(t)

Ví dụ 1: Giải phương trình: y ′ + sinx = cosx

Ví dụ 2: Gpt: y ′2 + + − = y ′ 1 x 0

- Phương trình khuyết x: F y y ( , ) 0 ′ =

+ Dạng : y ′ = f y ( )

+ Dạng: y = f y ( ) ′

+ Dạng tham số hoá: y = f t y ( ), ′ = g t ( )

3.1.3 Phương trình phân li:

+ B2: Tìm nghiệm tổng quát của pt vptt cấp 1

Thay vào (*) ta có nghiệm tổng quát của pt là:

( )

P x dx P x dx P x dx

3.1.6 Phương trình Bernoulli

Đ/n: y' + p(x)y = q(x)yα, (α ≠ 0 và α ≠ 1)

Cách giải: Phương trình luôn có nghiệm y = 0

Với y ≠ 0, chia hai vế cho yα, ta được

y–α y' + p(x) y1- α = q(x).

Đặt z = y1 – α, ta có z' = (1 – α )y – αy', phương trình trên trở thành: z' + (1 – α )p(x)z = (1 – α )q(x), là pt vptt cấp 1.

3.1.7 Phương trình vi phân toàn phần

Đ/n: P(x,y)dx + Q(x, y)dy = 0

trong đó P(x, y), Q(x, y) là những hàm số liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng trong một miền đơn liên D thoả mãn điều kiện

Chú ý : G/s cho pt P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, nhưng

Ví dụ: Giải pt:

(2xy − y)dx (y + + + x y)dy 0 =

Bằng cách tìm thừa số tích phân có dạng µ (y)