III. NHI MV NGHIấN CU ỤỨ
K t l un ch ng 3 ếậ ươ
1.3. Tình hình vận dụng quan điểm hoạt động trong dạy học môn toán ở các trờng
môn toán ở các trờng THPT
Phong trào đổi mới phơng pháp dạy học buộc giáo viên phải thay đổi phơng pháp dạy học. Các xu hớng dạy học tích cực ngày càng đợc sử dụng phổ biến. Quan điểm hoạt động cũng đã đợc vận dụng trong dạy học môn toán ở trờng phổ thông. Tuy nhiờn việc vận dụng này còn mang tính tự phát, cha có tớnh hệ thống, thường xuyờn. Nhiều giỏo viờn chưa nắm vững cỏc quan điểm lý luận và kỹ năng thực hành. Bao nhiêu giáo viên toán nắm đợc các dạng hoạt động trong Toán học? Thế nào là quy tắc tựa thuật giải?
Điều đó còn khá mơ hồ mặc dù các hoạt động toán học vẫn diễn ra trong khi dạy học
mỗi khái niệm, mỗi định lý, mỗi quy tắc phơng pháp. Nhiều cỏc hoạt động dạy học diễn ra theo một thúi quen và kinh nghiệm. Nhng kinh nghiệm thì cha đủ mặc dù kinh nghiệm là rất quý báu.
Sách giáo khoa cũng đó chỳ ý đến việc dẫn dắt học sinh tiếp cận một khái niệm,
một định lý hay một phơng pháp nhng chỉ thực hiện được với một số ít nội dung và
cũng không phù hợp cho tất cả các đối tợng học sinh.
Do thời gian mỗi tiết học chỉ là 45 phút nờn nếu không khéo léo thì cho dù sự chuẩn bị có hay đến mấy bài giảng không hoàn thành mục tiêu thì cũng không đợc. Điều đó cũng tạo nên tâm lý của giáo viên là dùng phơng pháp nào cho tiết kiệm thời gian nhất, đâu cứ nhất thiết là phải vận dụng quan điểm hoạt động. Thành thử việc dạy học theo quan điểm hoạt động trở nên khó khăn.
Tất nhiên việc đổi mới phơng pháp dạy học là xu thế khụng thể thay đổi. Vận
dụng quan điểm hoạt động vào dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số được đề
cập trong luận văn là một sự thể nghiệm.
Chơng 1 của luận văn trỡnh bày một cỏch sơ lược về quan điểm hoạt động, tính tích cực của học sinh trong học tập và một số xu hớng dạy học tích cực. Qua đó khẳng định thêm một lần nữa rằng, vận dụng quan điểm hoạt động vào dạy học Toán là một phơng thức dạy học chứa đựng nhiều yếu tố của phơng pháp dạy học hiện đại, phù hợp với xu hớng chung hiện nay của thế giới.
Ngoài ra chơng này cũng đã hiện thực hóa việc vận dụng những t tởng chủ đạo của quan điểm hoạt động vào dạy học chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số bằng việc phân tích rõ từng yếu tố trong mỗi t tởng chủ đạo ấy và nêu đợc thực trạng việc áp dụng quan điểm hoạt động trong dạy học môn toán hiện nay ở các trờng THPT.
Chơng 2
Tổ chức các hoạt động NHậN THứC cho
học sinH trong dạy học chủ Đề ứng dụng ĐạO
HàM của hàm số
2.1. Phân tích nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số trong chơng trình toán ở các trờng thpt
2.1.1. Nội dung chủ đề Đạo Hàm
Đạo hàm là một trong những khỏi niệm quan trọng nhất của Giải tớch. Nú là cụng cụ sắc bộn để nghiờn cứu cỏc tớnh chất của hàm số. Nhờ khỏi niệm đạo hàm, ta cú thể nghiờn cứu: tớnh đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị của hàm số, cỏc khoảng lồi, lừm và điểm uốn của đồ thị hàm số, … điều này giỳp ớch rất nhiều cho việc khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số. Đạo hàm cũng là một cụng cụ hữu hiệu để giải quyết một số bài toỏn quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ học, Điện học, Hoỏ học, …).
Về kiến thức:
- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. - Nhớ cỏc cụng thức và cỏc quy tắc tớnh đạo hàm.
- Nắm được định nghĩa vi phõn, cụng thức tớnh gần đỳng nhờ vi phõn.
- Hiểu được định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo hàm cấp hai.
Về kĩ năng: Học sinh cần đạt được cỏc yờu cầu sau
- Tớnh được đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một số hàm số đơn giản.
- Vận dụng tốt cỏc quy tắc tớnh đạo hàm của tổng hiệu tớch thương cỏc hàm số và cỏch tớnh đạo hàm của hàm số hợp.
- Biết cỏch tớnh đạo hàm cấp cao của một số hàm thường gặp.
- Biết cỏc ứng dụng của đạo hàm và vi phõn để giải một số bài toỏn về tiếp
tuyến, vận tốc, …
Cấu tạo của chương: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 15 tiết, cụ thể:
Đ1. Khỏi niệm đạo hàm (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)
Đ2. Cỏc quy tắc tớnh đạo hàm (3 tiết) Luyện tập (1 tiết)
Đ3. Đạo hàm của cỏc hàm số lượng giỏc (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)
Đ4. Vi phõn (1 tiết)
Luyện tập (1 tiết) ễn tập và kiểm tra chương (2 tiết)
* Những điểm mới về cấu trỳc và thời lượng:
Trong chương trỡnh SGK Chỉnh lớ hợp nhất năm 2000, nội dung phần Giải tớch liờn quan đến khỏi niệm Đạo hàm được dành 46 tiết và được phõn bố vào 2 chương đầu của lớp 12:
Chương I: Đạo hàm (20 tiết)
Chương II: Ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)
Trong chương trỡnh đổi mới này, nội dung trờn của SGK nõng cao được chia thành 3 mảng nội dung và được phõn bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuối lớp 11, tiếp nối ngay với chương giới hạn trước đú), ứng dụng của đạo hàm đầu lớp 12 và cụng thức tỡm đạo hàm của cỏc hàm số mũ, hàm số Lụgarớt và hàm số luỹ thừa (xen kẽ vào nội dung của chương tiếp theo ở lớp 12).
Đạo hàm trỡnh bày ở chương V- Chương cuối của năm học lớp 11. Điều đú cú những ưu điểm cơ bản sau:
- Tiếp nối ngay được chương Giới hạn (chương IV) đó học trước đú nờn vận dụng được dễ dàng cỏc định lớ, tớnh chất vừa học của chương Giới hạn.
- Khụng gõy căng thẳng cho học sinh phải học liờn tục, học dồn dập nhiều giờ vào một vấn đề.
- Đỏp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt cỏc mụn học khỏc như: Vật lớ, Hoỏ học, Sinh học,...
Thời gian dành cho chương Đạo hàm chỉ cú 15 tiết, giảm 5 tiết so với SGK chỉnh lớ hợp nhất năm 2000. Nhưng bự lại, chương này chưa đề cập đến cỏc cụng thức tớnh đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lụgarớt và hàm số Luỹ thừa (đó được chuyển lờn
lớp 12). Để tăng tớnh khả thi của sỏch, cỏc tỏc giả đó cải tiến cỏch trỡnh bày, rỳt gọn cỏch xõy dựng một số khỏi niệm, tăng thời gian luyện tập, giảm thời lượng giảng bài lớ thuyết nhưng vẫn đảm bảo bỏm sỏt chương trỡnh và chuẩn kiến thức đó được quy định.
Về mục cõu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đó cố gắng cải tiến theo hướng:
Bớt những bài tập phải tớnh toỏn cồng kềnh, những bài tập ỏp dụng quy tắc tớnh đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tập tớnh Đạo hàm của cỏc hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tớch...
- Đa dạng hoỏ cỏc bài tập: cụ thể cú nhiều cõu hỏi và bài tập cú hỡnh ảnh hỡnh học, nhiều bài tập ụn tập được những kiến thức mà học sinh đó học ở lớp 10 và đầu lớp 11 nhiều bài tập ỏp dụng thực tế.
* Những điểm mới về nội dung:
Để thực hiện những định hướng về đổi mới nội dung và PPDH mụn Toỏn theo tinh thần phỏt huy tớnh chủ động sỏng tạo của học sinh SGK Đại số và Giải tớch lớp 11 nõng cao đó cú những thay đổi sau:
- Đổi mới phương phỏp trỡnh bày một số khỏi niệm như: thay đổi định nghĩa tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,...
- Giảm một số kiến thức khú như: Đạo hàm một phớa, đạo hàm trờn đoạn, quan hệ giữa đạo hàm và liờn tục,.... Bớt chứng minh một số định lớ.
- Tăng cường luyện tập tại lớp, thờm một số bài tập về nhà (nhưng cỏc bài tập này thường là dễ) bỏ hẳn những bài toỏn phức tạp hoặc những bài toỏn khú. Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tớnh theo định nghĩa Đạo hàm của hàm số cho bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian...
- Thờm một số bài toỏn ứng dụng thực tế, bài toỏn cú hỡnh ảnh hỡnh học, bài toỏn tổng hợp (mà khụng khú) ụn tập được nhiều kiến thức đó học ở lớp 10 và lớp 11
Trước khi phỏt biểu Định lớ 1, nờn yờu cầu học sinh xem (mà khụng tớnh toỏn)
bảng giỏ trị của
x x
sin
ở trong SGK để đi đến nhận xột: với x (dương) càng nhỏ thỡ
x x
sin
càng gần với 1. Trong khuụn khổ của chương trỡnh, Định lớ này khụng được chứng minh. Tuy nhiờn, đối với cỏc học sinh giỏi, nhất là đối với cỏc học sinh chuyờn toỏn, giỏo viờn cũng cú thể hướng dẫn cho học sinh chứng minh định lớ này, nhưng trước đú, học sinh phải được trang bị Định lớ “kẹp” sau đõy:
Định lớ: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; cỏc hàm số g1, f và g2 cựng xỏc định trờn D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) với mọi x thuộc D. Khi đú, nếu x x g x = x x g x = L → → ( ) lim ( ) lim 1 2 0 0 (với L
∈
R) thỡ 0 lim ( ) x x f x L → = .Trong vớ dụ minh hoạ cho định lớ 1, ta cú kết quả sau:
2 2 2 sin lim 2 2 sin lim 0 0 = = → → x x x x x x .
Đú chỉ là một trường hợp riờng của định lớ: “Nếu hàm số u = u(x) thoả món cỏc
điều kiện: u(x) ≠ 0 với mọi x ≠ x0 và lim0 ( )=0 → u x x x thỡ 1 ) ( ) ( sin lim 0 = → u x x u x x ”.
Tất nhiờn định lớ trờn vẫn đỳng với u(x) ≠ 0 với mọi x thuộc một khoảng nào đú chứa x0 sao cho x ≠ x0. Tuy nhiờn, để đơn giản ta chỉ đưa ra cỏc vớ dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thoả món điều kiện u(x)≠ 0 với mọi x ≠ x0.
Cú thể chứng minh phần b) của định lớ 2 như sau:
Hàm số y = g(x) = sin(u(x)) cú thể xem là hàm số hợp của hàm số f(u) = sinu và hàm số trung gian u = u(x) chỳ ý rằng f ‘(u) = (sinu)’ = cosu
y’ = g’(x) = f’[u(x)].u’(x) = [cos u(x)].u’(x), chứng minh tương tự cho phần b) của cỏc định lớ 3, 4 và 5.
2.1.2.Nội dung chủ đề ứng dụng đạo hàm
* Vị trớ của chủ đề“Ứng dụng đạo hàm của hàm số”
Sau đõy chỳng tụi phõn tớch vị trớ của chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số đối với mụn Toỏn núi chung và đối với chương trỡnh Giải tớch lớp 12 núi riờng.
Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc phỏt huy năng lực nhận thức và sỏng tạo của học sinh. Đõy là một chủ đề hay và khú ở trường THPT với hệ thống lý thuyết và bài tập phong phỳ, đa dạng, cú nhiều sự độc đỏo trong cỏc phương phỏp giải tạo nờn sự hấp dẫn say mờ đối với học sinh. Cỏc kiến thức về ứng dụng đạo hàm được ỏp dụng để giải quyết khỏ nhiều cỏc loại bài toỏn; chẳng hạn như vấn đề về tớnh đơn điệu của hàm số, chỳng ta cũng cú thể giải quyết được một loạt bài toỏn như là: khảo sỏt tớnh đơn điệu của hàm số; điều kiện để hàm số đơn điệu trờn khoảng cho trước; ỏp dụng tớnh đơn điệu để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; dựng tớnh đơn điệu để giải phương trỡnh, hệ phương trỡnh … Vấn đề về cực trị của hàm số, chỳng ta cú thể giải quyết một số bài toỏn: Tỡm cực trị của hàm số; tỡm điều kiện để h m sà ố cú cực trị; giỏ trị cực trị và đường thẳng đi qua cỏc điểm cực trị; giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất; dựng cực trị để chứng minh bất đẳng thức … Cũn vấn đề về tớnh lồi lừm và điểm uốn của hàm số, chỳng ta cú thể giải quyết một số bài toỏn: tớnh lồi lừm và điểm uốn của hàm số; điều kiện để hàm số cú điểm uốn; ỏp dụng tớnh lồi lừm để chứng minh bất đẳng thức …
Như vậy, cỏc kiến thức về chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm số được ỏp dụng để giải quyết khỏ nhiều cỏc loại bài toỏn trong chương trỡnh toỏn phổ thụng núi chung và chương trỡnh Giải tớch 12 núi riờng, tạo nờn tiềm năng cho việc phỏt huy năng lực nhận thức của học sinh.
*Mục tiờu của chương Về kiến thức
Giỳp học sinh nắm vững
- Quan hệ giữa tớnh đơn điệu và dấu đạo hàm của hàm số. - Khỏi niệm cực trị và cỏc quy tắc tỡm cực trị của hàm số.
- Khỏi niệm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số và cỏch tỡm cỏc giỏ trị đú.
- Định nghĩa và cỏch tỡm đường tiệm cận của đồ thị hàm số. - Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số.
Về kỹ năng
Giỳp học sinh cú kỹ năng thành thạo trong việc xột chiều biến thiờn (tức là tớnh đơn điệu) của hàm số, tỡm cực trị của hàm số, tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số trờn một tập hợp số thực cho trước, viết phương trỡnh cỏc đường tiệm cận của đồ thị và khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản.
Cấu tạo của chương: Gồm 8 bài, dự kiến được thực hiện trong 23 tiết, phõn phối cụ thể như sau :
Đ1. Tớnh đơn điệu của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết)
Đ2. Cực trị của hàm số (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ3. Giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Đ4. Đồ thị của hàm số và phộp tịnh tiến hệ tọa độ (1 tiết) Đ5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (2 tiết) Đ6. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Kiểm tra giữa chương 1 (1 tiết)
Đ7. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số phõn thức (2 tiết) Luyện tập (2 tiết) Đ8. Một số bài toỏn thường gặp về đồ thị (2 tiết) Luyện tập (1 tiết) Cõu hỏi và bài tập ụn tập chương I (2 tiết) Bài đọc thờm : Tớnh lồi, lừm và điểm uốn của đường cong
* Những điểm mới về cấu trỳc thời lượng và nội dung
Về cấu trỳc thời lượng, so với SGK chỉnh lớ hợp nhất năm 2000 thỡ SGK giải tớch 12 nõng cao hiện nay cú một số điểm mới sau :
- Giảm bớt được 3 tiết ( chỉ cũn 23 tiết so với 26 tiết trước đõy)
- Khụng xột tớnh lồi lừm, điểm uốn của đồ thị hàm số nữa mà chỉ đưa nội dung này vào bài đọc thờm.
- Cỏc SGK trước đõy cũng như sỏch chỉnh lớ hợp nhất Giải tớch 12 chỉ xột tớnh đơn điệu của hàm số trờn một khoảng. Trong SGK giải tớch đổi mới hiện nay, cỏc tỏc giả đó đề cập đến tớnh đơn điệu của hàm số khụng chỉ trờn một khoảng mà cả trờn một đoạn và trờn một nửa khoảng.
- SGK giải tớch mới hiện nay, trong phần ứng dụng của đạo hàm cú đưa vào một số bài tập mà nội dung mang tớnh thực tế. Chỳng giỳp học sinh thấy những ứng dụng của đạo hàm để giải một số bài toỏn thực tế. Khi giải một số bài tập thuộc loại này, ta sử dụng đạo hàm để tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số trờn một tập hợp số nguyờn dương.
Về nội dung, gồm hai phần : phần đầu cung cấp cho học sinh những khỏi niệm dựng để mụ tả một số tớnh chất của hàm số như tớnh đơn điệu, cực trị, đường tiệm cận của đồ thị hàm số, phương phỏp dựng giới hạn và đạo hàm để nghiờn cứu cỏc tớnh chất đú. Thực chất đõy là bước chuẩn bị cho phần thứ hai là khảo sỏt hàm số. Khỏc với SGK 2000, chương trỡnh SGK giải tớch 12 hiện nay đó bỏ qua tớnh lồi – lừm của đồ
thị. Tuy nhiờn, do cú vai trũ đặc biệt trong việc vẽ đồ thị, điểm uốn vẫn được SGK đề cập ở mức độ đơn giản.
Để giỳp học sinh trỡnh bày lời giải bài khảo sỏt hàm số được thuận tiện, cỏc tỏc giả đó đưa ra một sơ đồ khảo sỏt hàm số cải tiến hơn so với sơ đồ truyền thống. Cụ thể
