Các tính chất của biến đổi Z hai phía
Trang 12.2 các tính ch t c a bi n ất của biến đổi z ủa biến đổi z ến đổi z đổi z i z
Khi phân tích h x lý s qua bi n ệ xử lý số qua biến đổi ử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi ến đổi đổi i Z, v n d ng các tính ch t c a bi n ận dụng các tính chất của biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi ủa biến đổi ến đổi đổi i Z s giúp cho vi c gi i quy tẽ giúp cho việc giải quyết ệ xử lý số qua biến đổi ải quyết ến đổi
b i toán ài toán được dễ dàng hơn được dễ dàng hơn.c d d ng h n.ễ dàng hơn ài toán được dễ dàng hơn ơn
2.2.1 Các tính chất của biến đổi Z hai phía
2.2.1 a Tính chất tuyến tính :H m nh àm ảnh ảnh Zc a t h p tuy n tính các dãy b ng t h p tuy n tính các h m ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ằng tổ hợp tuyến tính các hàm ổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm àm ảnh nh
ảnh Z th nh ph n àm ảnh ần.
i i i
i
Mi n h i t c a h m ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi ài toán được dễ dàng hơn Y (z) l giao mi n h i t c a các h m ài toán được dễ dàng hơn ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi ài toán được dễ dàng hơn Xi(z).
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
) ( ).
( ).
( )
( )
i i n
n i
i i
n i
i i
i
tính được dễ dàng hơn ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi c s d ng đểu thức biến đổi tìm bi n ến đổi đổi i Z thu n ho c ngận dụng các tính chất của biến đổi ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ược dễ dàng hơn ủa biến đổi c c a h m l t ng các h m ã bi t c p bi n ài toán được dễ dàng hơn ài toán được dễ dàng hơn ổi ài toán được dễ dàng hơn đ ến đổi ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ến đổi đổi i Z c a chúng.ủa biến đổi
Ví dụ 2.4 : Hãy tìm bi n ến đổi đổi i Z c a các dãy sau :ủa biến đổi
Gi i : ảnh a Theo công th c ức biến đổi Euler có :
) ( )
( )
( )
cos(
)
( )
0 0
2
1 2
1 2
0
Theo tính ch t tuy n tính c a ất của biến đổi ến đổi ủa biến đổi bi n ến đổi đổi i Z nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
( ) ( )
)]
( [ )
2
1 2
1
1
1 z ZT x n ZT e j n u n ZT e j n u n
S d ng bi u th cử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.1-18] v i ới a e j 0 và a e j 0
) (
) (
0
0
j n
j
e z
z n
u e ZT
) (
) (
0
0
j n
j
e z
z n
u e
) (
) (
) (
0
1 2
1
e z
z e
z
z z
] ) (
[
)]
( [
) )(
(
) (
)
(
1
2
2
0 0
0 0
0 0
2 1
j j
j j
j j
j j
e e z z
e e z z e
z e z
e z e
z z z
X
V y :ận dụng các tính chất của biến đổi
) cos
(
) cos (
)]
cos(
)
(
[
1
2
0 0
z z
z z n
n u
) ( )
( )
( )
sin(
)
( )
0 0
2
1 2
1 2
0
j j
j
) (
) (
) (
0
1 2
1
e z
z j e
z
z j z X
] ) (
.[
) (
) )(
.(
) (
)
(
1 2
0 0
0 0
0 0
2 2
j j
j j
j j
j j
e e z z j
e e z e
z e z j
e z e
z z z
X
V y :ận dụng các tính chất của biến đổi
) cos
(
sin )]
sin(
)
(
[
1
2
0 0
z z
z n
n u
Trong m t s trội tụ của hàm ố qua biến đổi ường hợp, tổ hợp tuyến tính của các ng h p, t h p tuy n tính c a các ợc dễ dàng hơn ổi ợc dễ dàng hơn ến đổi ủa biến đổi Xi(z) t o cho ạo cho Y (z) các không i m trùng v i c c i m c ađ ểu thức biến đổi ới ực điểm của đ ểu thức biến đổi ủa biến đổi
Xi(z), l m cho các c c i m ó b lo i tr , khi ó mi n h i t c a ài toán được dễ dàng hơn ực điểm của đ ểu thức biến đổi đ ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của ạo cho ừ, khi đó miền hội tụ của đ ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi Y (z) s ẽ giúp cho việc giải quyết được dễ dàng hơn.c m r ng.ở rộng ội tụ của hàm
Ví dụ 2.5 : Có :
a z
z n
u a ZT
X
) (
v : ài toán được dễ dàng hơn
) ( )]
( [ )
(
2
a z z
a n
u a ZT
X
v i ới RC[X2(z)]:|z||a|
Gi i : ảnh Theo tính ch t tuy n tính có :ất của biến đổi ến đổi
) ( )
( ) ( )
(
2 2
1
a z z
a a
z
z z
z
Y
Trang 21 )
( )
z a z a z z a z z
Y v i ới RC[Y(z)]:|z| 0
T h p tuy n tính c a ổi ợc dễ dàng hơn ến đổi ủa biến đổi X1(z) v ài toán được dễ dàng hơn X2(z) ã t o cho đ ạo cho Y (z) không i m đ ểu thức biến đổi z0 = a đểu thức biến đổi ạo cho lo i tr c c i m ừ, khi đó miền hội tụ của ực điểm của đ ểu thức biến đổi zp = a c a của biến đổi ải quyết
X1(z) v ài toán được dễ dàng hơn.X2(z), do ó mi n h i t c a đ ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi Y (z) được dễ dàng hơn.c m r ng ở rộng ội tụ của hàm
2.2.1b Tính chất trễ :Khi d ch tr dãy ịch trễ dãy ễ dãy x(n) i đi k m u thì ẫu thì h m nh àm ảnh ảnh Z c a nó ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm đi ượp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm c nhân thêm th a s ừa số ố zk
v i ới RC[Y(z)] RC[X(z)], tr i m ừ, khi đó miền hội tụ của đ ểu thức biến đổi z = 0 n u ến đổi k > 0 v i m ài toán được dễ dàng hơn đ ểu thức biến đổi z = n u ến đổi k < 0
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
) ( ).
( ).
( )
n
k n k
n
Tính ch t tr thất của biến đổi ễ dàng hơn ường hợp, tổ hợp tuyến tính của các ng được dễ dàng hơn ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi c s d ng đểu thức biến đổi tìm bi n ến đổi đổi i Z c a các dãy tr ủa biến đổi ễ dàng hơn
Ví dụ 2.6 : Tìm : X(z) ZT[rect N(n)]
Gi i : ảnh rect N(n) u(n) u(n N)
) ( )]
( [
1
z
z n
u
S d ng tính ch t tuy n tính và tính ch t tr nh n ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi ến đổi ất của biến đổi ễ dàng hơn ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
) ( )
( )]
( [ )]
( [ )]
( [
1
z
z z
z
z n
u ZT n
u ZT n
rect
V y :ận dụng các tính chất của biến đổi
) 1
1 (
) (
)]
(
z z
z n
rect
N
2.2.1 c Tính chất tỷ lệ :Khi nhân dãy x(n) v i th a s ới thừa số ừa số ố a n thì h m nh àm ảnh ảnh Z c a nó b thay ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ịch trễ dãy đi ổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ỷ lệ (bị nén nếu ệ (bị nén nếu ịch trễ dãy i t l (b nén n u ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm a
> 0, dãn n u ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm a < 0).
v i ới RC[Y(z)] |:a|.R x |z| |a|.R x
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
( ) ( ) ( )( 1 ) ( 1 )
)
Y
n
n
n
n n
R Y
RC[ (z)]: |a 1.z| RC[Y(z)] |:a|.R x |z| |a|.R x
T ng quát ổi a l s ph c : ài toán được dễ dàng hơn ố qua biến đổi ức biến đổi a |a|.e j 0, khi ó véc t đ ơn.X (z) trên m t ph ng ph c b thay ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ẳng phức bị thay đổi tỷ lệ và bị quay ức biến đổi ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của đổi ỷ lệ và bị quay ệ xử lý số qua biến đổi ài toán được dễ dàng hơn ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của i t l v b quay
m t góc ội tụ của hàm 0 N u ến đổi a n m trên vòng tròn ằm trên vòng tròn đơn vị thì | đơn.n v thì |ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của a| = 1 , nên h m ài toán được dễ dàng hơn X (z) không b thay ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của đổi ỷ lệ và bị quay ệ xử lý số qua biến đổi i t l nh ng véc t ư ơn.X (z) trên
m t ph ng ph c b quay m t góc ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ẳng phức bị thay đổi tỷ lệ và bị quay ức biến đổi ị loại trừ, khi đó miền hội tụ của ội tụ của hàm 0.
Ví dụ 2.7 : Hãy tìm bi n ến đổi đổi i Z c a các dãy sau :ủa biến đổi
Gi i : ảnh a S d ng tính ch t t l ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi ỷ lệ và bị quay ệ xử lý số qua biến đổi đố qua biến đổi ới i v i bi u th c ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.2-2] nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
) cos
(
) cos (
)]
cos(
)
( [
1
2 2
0 1
1 0
z a z a
z a z a n
n u a
ZT n
0 2
0 0
cos
) cos ( )]
cos(
)
( [
z
a z z n
n u a
ZT n
b S d ng tính ch t t l ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi ỷ lệ và bị quay ệ xử lý số qua biến đổi đố qua biến đổi ới i v i bi u th c ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.2-3] nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
) cos
(
sin )]
sin(
)
( [
1
2 2
0 1
0
z a z a
z a n
n u a
ZT n
0 2
0 0
cos
sin )]
sin(
)
( [
z
z a n
n u a
ZT n
2.2.1d Tính chất biến đảo :H m nh àm ảnh ảnh Z c a dãy bi n ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm đi ảnh o x(-n) có bi n l ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm àm ảnh z-1
v i ới
x
R Y
RC[ (z)]: 1 |z| 1
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
76
Trang 3
n
n
z n x n
x ZT z
Đổi ến đổi đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi n m khi n thì m , nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
)
Y
m
m
m
m
z
z
|
| :
)]
x
R Y
RC[ (z)]: 1 |z| 1 Tính ch t bi n ất của biến đổi ến đổi đải quyếto cho phép tìm bi n ến đổi đổi i Z c a dãy ph n nhân qu theo bi n ủa biến đổi ải quyết ải quyết ến đổi đổi i Z c a dãy nhân qu tủa biến đổi ải quyết ươn.ng ng
ức biến đổi
Ví dụ 2.8 : Hãy tìm bi n ến đổi đổi i Z c a dãy ph n nhân qu ủa biến đổi ải quyết ải quyết x(n) a n u( n)
Gi i : ảnh Theo [2.1-18] có
) ( )]
( [
a z
z n
u a
ZT n
S d ng tính ch t bi n ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi ến đổi đải quyếto nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
) ( ) (
)]
(
[
1
1
1
1
z a a
z
z n
u
a
|
|
|
|
a z
2.2.1 e Tính chất đạo hàm
dz
z d z n
x n n y ZT
Y( ) ( ) ( ) ( ) [2.2-11]
Ch ng minh : ứng minh : T bi u th c bi n ừ, khi đó miền hội tụ của ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1]:
n
n
z n x n
x ZT z
L y ất của biến đổi đạo cho o h m c hai v theo ài toán được dễ dàng hơn ải quyết ến đổi z nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
) ( )
)
( )]
( [ )
).(
x dz
z
d
Y X
n
n n
n n
dz
z d z n
x n n y ZT
Y( ) ( ) ( ) ( )
Tính ch t ất của biến đổi đạo cho o h m c a h m nh ài toán được dễ dàng hơn ủa biến đổi ài toán được dễ dàng hơn ải quyết được dễ dàng hơn ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi c s d ng đểu thức biến đổi tìm bi n ến đổi đổi i Z c a các dãy d ng ủa biến đổi ạo cho n k x (n) theo bi n ến đổi đổi i
Z c a dãy ủa biến đổi x(n).
Ví d 2.9 ụ : Hãy tìm bi n ến đổi đổi i Z c a các dãy sau :ủa biến đổi
Gi i ảnh : a S d ng tính ch t ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi đạo cho o hàm đố qua biến đổi ới i v i bi u th c ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.1-7] , nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn :c
2
) 1
)]
(
[
z
z z
z dz
d z n
u n
b S d ng tính ch t ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi đạo cho o h m ài toán được dễ dàng hơn đố qua biến đổi ới i v i bi u th cểu thức biến đổi ức biến đổi [2.1-18] , nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
2
)
(
)
( )]
(
[
a z
z a a
z
z dz
d z n
u
a
n
2.2.1f Tính chất tích chập :H m nh àm ảnh ảnh Z c a tích ch p hai dãy b ng tích hai h m nh th nh ph n ủa tổ hợp tuyến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm ập hai dãy bằng tích hai hàm ảnh thành phần ằng tổ hợp tuyến tính các hàm àm ảnh ảnh àm ảnh ần.
v : ài toán được dễ dàng hơn ZT[x2(n)] X2(z) v i ới RC[X2(z)]:R2 |z| R2
Mi n h i t c a h m ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi ài toán được dễ dàng hơn Y (z) l giao các mi n h i t c a các h m ài toán được dễ dàng hơn ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi ài toán được dễ dàng hơn Xi(z).
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
n
n
z n x n x n
x n x n y ZT z
Y( ) ( ) 1( ) * 2( ) 1( ) * 2( )
n
k k
k
n n
z z z k n x k x z
k n x k x z
2
x
Y
k n k
Tính ch tất của biến đổi tích ch p ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi c s d ng đểu thức biến đổi tìm ph n ng ải quyết ức biến đổi y(n) c a h x lý s b ng cách tính tích ch p qua bi nủa biến đổi ệ xử lý số qua biến đổi ử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi ằm trên vòng tròn đơn vị thì | ận dụng các tính chất của biến đổi ến đổi
i
Ví dụ 2.10 : Tìm ph n ng ải quyết ức biến đổi y(n) c a h x lý s ủa biến đổi ệ xử lý số qua biến đổi ử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi TTBBNQ có đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi c tính xung h(n) 2n rect2(n 1)v i tác ới đội tụ của hàm ng
l ài toán được dễ dàng hơn x(n) u(n)
Trang 4Gi i : ảnh Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
2 1
) ( )
(
n
n n n
n
n h ZT z
H
z
H
) ( )]
( [ )
(
1
z
z n
u ZT z
X
) ( ) ( )
( )
2
1
z
z z
z
Y
) ( )
( )
(
1
4 1
z
z z
z
z z z
Y
Theo [2.1-7] v các tính ch t tr , tuy n tính nh n ài toán được dễ dàng hơn ất của biến đổi ễ dàng hơn ến đổi ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn : c
)]
( [ )]
( [ )
(z ZT 2u n 1 ZT 4u n 2
Y
L y bi n ất của biến đổi ến đổi đổi i Z ngược dễ dàng hơn tìm c được dễ dàng hơn.c ph n ng ải quyết ức biến đổi y(n) :
) ( )
( )]
( [ )
(n IZT z 2u n 1 4u n 2
2 6
1 2
0 0
) (
n Khi n Khi n Khi n
y
K t qu úng nh tính tr c ti p tích ch p ví d ến đổi ải quyết đ ư ực điểm của ến đổi ận dụng các tính chất của biến đổi ở rộng ụng các tính chất của biến đổi 1-19 chươn.ng m t So v i tính tr c ti p, tính tích ch p quaội tụ của hàm ới ực điểm của ến đổi ận dụng các tính chất của biến đổi
bi n ến đổi đổi i Z không nh ng d th c hi n h n, m còn luôn luôn nh n " ễ dàng hơn ực điểm của ệ xử lý số qua biến đổi ơn ài toán được dễ dàng hơn ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c bi u th c toán h c c a ểu thức biến đổi ức biến đổi ọc của ủa biến đổi y(n).
2.2.1 g Hàm ảnh Z của tích hai dãy
v : ài toán được dễ dàng hơn ZT[x2(n)] X2(z) v i ới RC[X2(z)]:R2 |z| R2
C
d
z j
n x n x n y ZT
1 2
1 2
) ( )
(
2
1
[2.2-15]
Mi n h i t c a hàm ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi Y (z) là giao các mi n h i t c a ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi X1(z) và X2(z) Đường hợp, tổ hợp tuyến tính của các ng cong kín C c a tíchủa biến đổi phân [2.2-15] ph iải quyết bao quanh g c t a ố qua biến đổi ọc của đội tụ của hàm và thu c mi n h i t c a c ội tụ của hàm ền hội tụ của hàm ội tụ của hàm ụng các tính chất của biến đổi ủa biến đổi ải quyết X1(z) và X2(z) trong m t ph ngặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ẳng phức bị thay đổi tỷ lệ và bị quay
ph c.ức biến đổi
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
n
n
n
z n y z
n y
ZT ( ) Y( ) ( ). 1( ). 2( )
Thay x2(n) b ng bi u th c bi n ằm trên vòng tròn đơn vị thì | ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z ngược dễ dàng hơn ủa biến đổi c c a nó :
C
j n
)
2 2
2 1
n
n C
z d j
n x
)
2 1
2
1
C n
n
d z
n x j
1 2
) (
2 1
C
d
z j
1 2
) (
2 1
2.2.1h Định lý giá trị đầu của dãy nhân quả : N u ến tính các dãy bằng tổ hợp tuyến tính các hàm x(n) l dãy nhân qu v àm ảnh ảnh àm ảnh X(z) ZT[x(n)] thì :
) ( )
(
lim X z x 0
Ch ng minh : ứng minh : Vì x(n) là dãy nhân qu nên ải quyết x(n) = 0 v i m i ới ọc của n < 0 , do óđ :
) ( ) ( ) ( )
( )
( )
0
2 1
z
x z
x x
z n x z
n x z
n
n n
n
X
V y : ận dụng các tính chất của biến đổi limX(z) x(0)
2.2.1 i Hàm ảnh Z của dãy liên hợp phức
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
n
n
z n x n
x
n
n z n x z
X*( ) ( ).( *)
78
Trang 5V y :ận dụng các tính chất của biến đổi * (z* ) x* (n).(z* ) * x* (n).z ZT[x* (n)]
n
n
n
n
2.2.1k Biến đổi Z của hàm tương quan rxy(m)
N u : ến đổi ZT[x(n)] X(z) v ài toán được dễ dàng hơn ZT[y(n)] Y(z)
Ch ng minh : ứng minh : Hàm tươn.ng quan r xy (m)được dễ dàng hơn.c xác nh theo đị loại trừ, khi đó miền hội tụ của [1.8-1] chở rộng ươn.ng m t :ội tụ của hàm
n
r ( ) ( ) ( )
Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n ận dụng các tính chất của biến đổi [2.1-1] có :
m
m
n xy
Đổi ến đổi đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi l = (n - m) => m = (n - l) :
l
l n
n xy
R ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( )
R
l n
xy xy
S d ng tính ch t trên ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi đểu thức biến đổi tìm h m tài toán được dễ dàng hơn ươn.ng quan r xy (m)qua bi n ến đổi đổi i Z s ẽ giúp cho việc giải quyết đơn.n gi n v d d ng h n tính tr cải quyết ài toán được dễ dàng hơn ễ dàng hơn ài toán được dễ dàng hơn ơn ực điểm của
ti p.ến đổi
Ví dụ 2.11 : Cho các tín hi u s ệ xử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi x(n) 0 , 5n u(n) và y(n) (n 2) , hãy tìm hàm tươn.ng quan
)
(m
r xy .
Gi i : ảnh S d ng bi u th c ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.1-5] v i ới k = 2 v bi u th c ài toán được dễ dàng hơn ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.1-18] nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
2
)
z z
Y vài toán được dễ dàng hơn
5 , 0 )
(
z
z z
X
5 , 0
) 2 ( 2
1
z
z z
z
R
L y bi n ất của biến đổi ến đổi đổi i Z ngược dễ dàng hơn.c , tìm được dễ dàng hơn.c : r (m) 0 , 5(m2)u(m 2 )
xy
2.2.1m Biến đổi Z của hàm tự tương quan rx(m)
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.2-17], thay y(n) = x(n) v ài toán được dễ dàng hơn ( 1 ) ( 1 )
Y
S d ng tính ch t trên ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi đểu thức biến đổi tìm hàm t tực điểm của ươn.ng quan r x (m)qua bi n ến đổi đổi i Z s ẽ giúp cho việc giải quyết đơn.n gi n và dải quyết ễ dàng hơn dàng h n tính tr c ti p.ơn ực điểm của ến đổi
Ví dụ 2.12 : Tìm hàm t tực điểm của ươn.ng quan r x (m) c aủa biến đổi tín hi u s ệ xử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi x(n) (n k)
Gi i : ảnh S d ng ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi [2.1-5] v theo ài toán được dễ dàng hơn [2.2-18] tìm được dễ dàng hơn.c :
)]
( [ 1
)
x
L y bi n ất của biến đổi ến đổi đổi i Z ngược dễ dàng hơn.c , tìm được dễ dàng hơn.c : r x(m) (m)
Các tính ch t c b n c a bi n ất của biến đổi ơn ải quyết ủa biến đổi ến đổi đổi i Z hai phía được dễ dàng hơn.c tóm t t trong b ng ắt trong bảng ải quyết 2.2, trang ở rộng 114 (cu i chố qua biến đổi ươn.ng hai)
Bi n ến đổi đổi i Z m t phía có h u h t t t c các tính ch t gi ng nh bi n ội tụ của hàm ầu hết tất cả các tính chất giống như biến đổi ến đổi ất của biến đổi ải quyết ất của biến đổi ố qua biến đổi ư ến đổi đổi i Z hai phía, tr tính ch t tr ừ, khi đó miền hội tụ của ất của biến đổi ễ dàng hơn
2.2.2 a Tính chất trễ của biến đổi Z một phía
k i
k i
z n
x ZT
Y
1
) ( 1
1
v i ới RC[Y1 (z)] RC[X1 (z)], tr i m ừ, khi đó miền hội tụ của đ ểu thức biến đổi z = 0
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n m t phía ận dụng các tính chất của biến đổi ội tụ của hàm [2.1-8] có :
k n
n k
n
n n
z n x
1 0 0
1
Đổi ến đổi đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi m = (n - k) => n = (m + k), khi n = 0 thì m = -k , khi n = k - 1 thì m = -1 , khi n = k thì m = 0 , v khi ài toán được dễ dàng hơn n
= thì m = :
0
) (
1
) ( 1
m
k m k
m
k
z m x n
x ZT
Y
k m
k m k
k m
k m m
m
z
Y
1
) ( 1
1
) ( 0
Đổi ến đổi đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi m = -i => i = -m , khi m = -1 thì i = 1 , khi m = -k thì i = k :
Trang 6
k i
k i
z n
x ZT
Y
1
) ( 1
1
Tính ch t tr c a bi n ất của biến đổi ễ dàng hơn ủa biến đổi ến đổi đổi i Z m t phía ội tụ của hàm được dễ dàng hơn ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi c s d ng đểu thức biến đổi ải quyết gi i phươn.ng trình sai phân tuy n tính h s h ng ến đổi ệ xử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi ằm trên vòng tròn đơn vị thì |
Ví dụ 2.13 : Cho dãy ( ) 1 , 1 , 0 , 1
n
x Hãy tìm : a X1(z) ZT1[x(n)] ,
z
Gi i : : ảnh Tính theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n m t phía ận dụng các tính chất của biến đổi ội tụ của hàm [2.1-8] :
1 0 0
z
n
n n
n
X
2 0 0
z
n
n n
n
Y
Tính Y1 (z)theo bi u th c ểu thức biến đổi ức biến đổi c a tính ch t tr ủa biến đổi ất của biến đổi ễ dàng hơn.[2.2-19]:
1 1
1
1
Y
2 1
)
( )
( )
n
n n
z n x z
Y
2 2
1 0
)
z Y
K t qu các câu b và c c a ví d trên cho th y, ến đổi ải quyết ủa biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ất của biến đổi đố qua biến đổi ới i v i các dãy không nhân qu , tính ch t tr c aải quyết ất của biến đổi ễ dàng hơn ủa biến đổi
bi n ến đổi đổi i Z m t phía và hai phía là khác nhau Có th th y ngay ội tụ của hàm ểu thức biến đổi ất của biến đổi được dễ dàng hơn đố qua biến đổi ới c, i v i các dãy nhân qu , tínhải quyết
ch t tr ất của biến đổi ễ dàng hơn c a ủa biến đổi bi n ến đổi đổi i Z m t phía và hai phía là nh nhau.ội tụ của hàm ư
2.2.2b Tính chất vượt trước của biến đổi Z một phía
1 0
) ( 1
1
m
m k
z k n x ZT
v i ới RC[Y1 (z)] RC[X1 (z)], tr i m ừ, khi đó miền hội tụ của đ ểu thức biến đổi z = 0
Ch ng minh : ứng minh : Theo bi u th c bi n ểu thức biến đổi ức biến đổi ến đổi đổi i Z thu n m t phía ận dụng các tính chất của biến đổi ội tụ của hàm [2.1-8] có :
0
n
n
z k n x z
Y
Đổi ến đổi đặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi m = (n + k) => n = (m - k), khi n = 0 thì m = k , nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn.c :
0
1 0
) ( )
( )
(
m
k m
k m k
m k
m
k
z m x z
Y
1 0
) ( 1
1 0
) ( 0
k m
m k k
k m
m k m
m
z
Y
Ví dụ 2.14 : Hãy tìm ZT1[y(n) a n u(n 3 )]
Gi i : ảnh Ta ã bi t v i đ ến đổi ới x(n) a n u(n)
) ( )]
( [ )]
( [ 1
a z
z n
x ZT n
x ZT
S d ng bi u th c ử lý số qua biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ểu thức biến đổi ức biến đổi [2.2-20] nh n ận dụng các tính chất của biến đổi được dễ dàng hơn : c
2 0
) 3 ( 3
3 3 3
1
) ( (
[ )]
(
m
m
m u m z a
a a z
z z a n
x a ZT n
y
ZT
) (
)
)(
( )
( ) ( )]
(
2 2 3 4
3
2 2 3 3
4 1
a z a
z a z a z a z z a
z a z a z a z a
z n
y ZT
)]
( [ )
( )
(
)
(
)]
(
3
3 2 2 3 2 2 3 4 4
a z
z a
z a
z a z a z a z a z a z z n y
V y ận dụng các tính chất của biến đổi ZT1 [a n u(n 3 )] ZT1 [a n u(n)]
, hãy t gi i thích i u ó.ực điểm của ải quyết đ ền hội tụ của hàm đ
2.2.3 Bảng các biến đổi Z cơ bản
B ng ải quyết 2.3 trang ở rộng 115 l c p bi n ài toán được dễ dàng hơn ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ến đổi đổi i Z c a các dãy nhân qu thủa biến đổi ải quyết ường hợp, tổ hợp tuyến tính của các ng g p T t c các c p bi n ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ất của biến đổi ải quyết ặc ngược của hàm là tổng các hàm đã biết cặp biến đổi ến đổi đổi i Z trong
b ng ải quyết 2.3 ã đ được dễ dàng hơn.c ch ng minh trong các ví d các ph n trên B ng ức biến đổi ụng các tính chất của biến đổi ở rộng ầu hết tất cả các tính chất giống như biến đổi ải quyết 2.3 có ý ngh a r t quan tr ng, vì nó giúp chúng taĩa rất quan trọng, vì nó giúp chúng ta ất của biến đổi ọc của nhanh chóng tìm được dễ dàng hơn.c bi n ến đổi đổi i Z thu n v bi n ận dụng các tính chất của biến đổi ài toán được dễ dàng hơn ến đổi đổi i Z ngược dễ dàng hơn.c khi gi i các b i toán phân tích v t ng h p h x lý s ải quyết ài toán được dễ dàng hơn ài toán được dễ dàng hơn ổi ợc dễ dàng hơn ệ xử lý số qua biến đổi ử lý số qua biến đổi ố qua biến đổi
Theo tính ch t bi n ất của biến đổi ến đổi đải quyếto c a bi n ủa biến đổi ến đổi đổi i Z , t b ng ừ, khi đó miền hội tụ của ải quyết 2.3 xây d ng ực điểm của được dễ dàng hơn.c b ng ải quyết 2.4 trang ở rộng 116 l bi n ài toán được dễ dàng hơn ến đổi đổi i Z c aủa biến đổi
m t s dãy ph n nhân qu ội tụ của hàm ố qua biến đổi ải quyết ải quyết
80
