Các phép biến đổi đồ họa ba chiều

Các phép biến đổi đồ họa ba chiều

CCCCAAAÁÙÙÙCCCC PPPPHHHHEEEÉÙÙÙPPPP BBBBIIIIEEEẾÁÁÁNNNN ĐĐĐĐOOOỔÅÅÅIIII 3333 CCCCHHHHIIIIEEEỀÀÀÀUUUU

Dẫn nhập

• Cùng một loại đối tượng có thể xuất hiện trong nhiều cảnh và xuất hiện nhiều lần trong một cảnh với các phương vị, màu sắc khác nhau

• Nếu ta có các mô hình đối tượng tốt, ta có thể phát sinh

ra các đối tượng khác nhau từ một mô hình duy nhất nhờ các phép biến đổi

• Các phép biến đổi quan trọng nhất là các phép biến đổi Affine và các phép chiếu

Hệ toạ độ bàn tay phải/bàn tay trái

• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theo trục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y

• Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái: để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng theotrục z, khi nắm tay lại, các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y

Hệ toạ độ thuần nhất ( Homogeneous Coordinates )

• Mỗi điểm (x, y, z) trong không gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong không gian 4 chiều thu gọn (hx, hy, hz, h) Người ta thường chọn h=1

• (x, y, z)Descartes (x, y, z, 1)Homogeneous

• (x, y, z, w)Homogeneous (x/w, y/w, z/w)Descartes (w ≠ 0)

x

w

w=1

homogeneous (x,y,z,w)

projected homogeneous (x/w,y/w,z/w,1) (x/w,y/w,z/w)Descartes

Các phép biến đổi tuyến tính

• Phép biến đổi tuyến tính là tổ hợp của các PBĐ:

♦ Tỉ lệ

♦ Quay

♦ Biến dạng và

♦ Đối xứng

• Các tính chất của các phép biến đổi tuyến tính

♦ Thoả mãn tính chất về tổ hợp tuyến tính.

♦ Gốc toạ độ là điểm bất động.

♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.

♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.

♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách

♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối

Phép tịnh tiến

• Dịch chuyển một điểm từ

vị trí đến vị trí khác trong

không gian theo vector

offset tr.

ư ç

ç ç è

ỉ

=

i f c

h e b

g d a với i f c

h e b

g d a z y x z' y' x'

y

z

x (x,y,z)

(x',y',z')

tr =(trx,try,trz)

Phép biến đổi Affine

• Phép biến đổi Affine là tổ hợp của các phép biến đổi:

♦ Tuyến tính

♦ Tịnh tiến

• Các tính chất

♦ Gốc toạ độ không là điểm bất động.

♦ Ảnh của đường thẳng là đường thẳng.

♦ Ảnh của các đường thẳng song song là các đường thẳng song song.

♦ Bảo toàn tỉ lệ khoảng cách

♦ Tổ hợp các phép biến đổi có tính phân phối

Các phép biến đổi Affine cơ sở

• Phép biến đổi Affine có thể xem là tổ hợp của các phép biến đổi cơ sở:

♦ Tịnh tiến

♦ Tỉ lệ (tâm tỉ lệ đặt tại gốc toạ độ)

♦ Quay quanh trục x

♦ Quay quanh trục y

♦ Quay quanh trục z

♦ Đối xứng qua trục x, y, z*

♦ Biến dạng* (tâm biến dạng đặt tại gốc toạ độ)

ư ç

ç ç ç ç è

ỉ

=

1 0 0

0

1 1

' ' '

z y

tr

i h g

f e d

c b a z

y x z

y x

tỉ lệ, quay, biến dạng tịnh tiến

• Phép tịnh tiến

ù

ê ê ê ê ê ë

é

=

1 Tr Tr Tr

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 ) Tr , Tr

,

Tr(Tr

z y x

z y x

• Phép biến đổi tỉ lệ

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

=

1 0 0 0

0 s 0 0

0 0 s 0

0 0 0 s ) s

,

s

,

S(s

z y x

z y

x

Khi sx=sy=sz: phép đồng dạng

• Phép quay quanh trục z

• Phép quay quanh trục x

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

=

1 0 0

0

0 ) cos(

) sin(

-0

0 ) sin(

) cos(

0 0 )

R(x,

θ θ

θ θ

θ 0

0 1

• Phép quay quanh trục y

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

=

1 0 0 0

0 ) cos(

0 ) sin(

0 0

0 ) sin(

-) cos(

) R(y,

θ θ

θ θ

0

y

z

x

y

z

x (x,y,z)

(x',y',z')

tr =(trx,try,trz)

y

z

x

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 ) cos(

) sin(

-0 0 ) sin(

) cos(

)

θ θ

θ

• Cách xác định chiều dương trong các phép quay

Các định nghĩa về chiều quay được dùng chung cho cả hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái Cụ thể chiều dương được định nghĩa như sau:

♦ Quay quanh trục x: từ trục dương y đến trục dương z.

♦ Quay quanh trục y: từ trục dương z đến trục dương x.

♦ Quay quanh trục z: từ trục dương x đến trục dương y.

• Ví dụ, xét trên hệ toạ độ bàn tay trái, khi nhìn dọc từ phía trục quay về gốc toạ độ, chiều dương sẽ là chiều ngược chiều kim đồng hồ

• Phép đối xứng qua mặt phẳng yOz, zOx và xOy

ú ú ú ú ù ê

ê

ê

ê

ë

é−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 Mr(x)

ú ú ú ú ù ê

ê

ê

ê

ë

é

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 Mr(y)

ú ú ú ú ù ê

ê

ê

ê

ë

é

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1 Mr(z)

• Phép đối xứng qua trục x, y và z

ú ú ú ú ù ê

ê

ê

ê

ë

é

−

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x

M

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

−

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

y

M

ú ú ú ú ù ê

ê ê ê ë

é

−

−

=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

z

M

• Phép biến dạng

ú ú ú ú ù ê

ê

ê

ê

ë

é

=

1 0 0 0

0 1 h h

0 h 1 h

0 h h 1

Sh

yz xz

zy xy

zx yx

y

z

x

y

z

x

Các phép biến đổi Affine tổng quát

• Tổ hợp các phép biến đổi Affine là một phép biến đổi Affine

• Mọi phép biến đổi Affine đều có thể phân rã thành tổ hợp các phép biến đổi Affine cơ sở

Phép tỉ lệ với tâm bất kỳ

• Phép tỉ lệ với tâm đặt tại điểm (xf, yf, zf) có thể xét như tổ hợp của các phép biên đổi cơ sở:

♦ Tịnh tiến điểm bất động (x f ,y f,z f ) về gốc tọa độ.

♦ Thực hiện phép biến đổi tỉ lệ với tâm là gốc toạ độ.

♦ Tịnh tiến ngược điểm bất động từ gốc tọa độ trở về vị trí ban đầu.

• Ma trận biến đổi sẽ là:

÷

÷

÷

ø

ư

çç ç ç ç

è

ỉ

=

1 1

1 1

0 0

0

0 0 0

0 0 0

f z f

y f

x

z y

x

z y x f

z -s y

-s x

-s

s s

s )

,s ,s (s S

Phép quay quanh một trục bất kỳ

• Giả sử trục quay xác định bởi 2 điểm P1 và P2 (chiều dương hướng từ P1 đến P2 thể hiện bởi vector k).

• Áp dụng qui tắc phân rã, ta có thể biểu diễn quay quanh

k một góc θ thành dãy các phép biến đổi cơ sở sau:

♦ Tịnh tiến trục k về gốc tọa độ: Tr(-P0) (thành trục k')

♦ Quay quanh trục x để đặt trục k' nằm trên mặt phẳng xOz: R(x, α ) (thành trục k'').

♦ Góc quay được xác định dựa trên chiếu của k' lên mặt phẳng yOz Ta không cần tính α cụ thể Thay vào đó ta tính sin( α ) và cos( α ) một cách trực tiếp.

1 0

1 0

P P

P P

2 z

2

y k k

( ) , sin( ) kd

d

k

♦ Quay quanh trục y để đưa trục k' về trục z: R(y,- β ) Tương tự bước trước, ta không cần tính cụ thể β

♦ Thực hiện phép quay quanh trục z một góc θ : R(z, θ )

♦ Thực hiện chuỗi các phép biến đổi ngược lại quá trình trên.

1

1 β

x y

z

d

"

k

P0

P1

k

'

k

kyα

x y

z

kx

"

k

β

• Như vậy, phép quay quanh 1 trục bất kỳ có thể được phân rã thành chuỗi các biến đổi cơ sở sau:

Modeling transformation

• Biến đổi từ Hệ tọa độ đối tượng sang Hệ tọa độ thế giới thực

Front-Wheel System

Tractor System

World

yW

yfW

zfW xfW

xt

yt

zt

Phép biến đổi Hệ toạ độ

• Cần thực hiện một phép quay và một phép tịnh tiến (gọi là Rigid boby transformation)

• Nếu chuyển đổi giữa hai hệ toạ độ bàn tay trái và bàn tay phải thì cần thêm một phép đối xứng nữa

Rigid boby transformation

• Bao gồm phép tịnh tiên và phép quay và các tổ hợp của chúng

• Do không làm thay đổi hình dạng và kích thước đối tượng, chỉ làm thay đổi vị trí, phương hướng của chúng trong không gian

Ví dụ về phép tịnh tiến

Ví dụ về phép quay