28 CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Do số lượng của các bài toán phương trình, bất phương trình là vô cùng nhiều nên ở phần này chúng tôi chỉ trình bày một số bài đã chọn lọc,có
Trang 1 28
CHƯƠNG III:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Do số lượng của các bài toán phương trình, bất phương trình là vô cùng nhiều nên ở phần này chúng tôi chỉ trình bày một số bài đã chọn lọc,có cách giải hay, độ khó tương đối và chắc chắn sẽ thú
vị hơn rất nhiều so với những bài toán thông thường khác.
Bài 1: Tìm a để hai phương trình sau tương đương:
Giải:
Ta có (2)
Vậy(1) tương đương với (2) khi và chỉ khi:
a hoặc a
Bài 2: Tìm a,b,c để phương trình sau đây nghiệm đúng:
Giải:
Điều kiện cần.Giả sử (1) đúng , nói riêng:
Khi
Khi
Khi x
Vậy điều kiện cần là a=b=c=0
Điều kiện đủ: nếu a=b=c=0 thì rõ ràng (1) đúng ( Tóm lại a=b=c=0 là điều kiện cần và đủ để
(1) đúng
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Giải:
(1)
Xét hàm số f (t)
Vậy f (t) là hàm đồng biến trên (0,
Ta thấy: (1)
Trang 2Như thế hệ đã cho có nghiệm duy nhất (
B ài 4: Giải phương trình:
Giải:
Điều kiện để phương trình có nghĩa là :
Ta có:
Từ (4) suy ra:
(5)
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
Từ (6) suy ra x
Do (9) không thõa mãn (3) nên riêng (6) đã vô nghiệm
Vậy hệ (6),(7),(8) dĩ nhiên vô nghiệm, tức là phương trình đã cho vô nghiệm>
*Chú ý: Bằng lập luận tương tự như trên, ta có thể giải phương trình
Cụ thể đưa phương trình ấy về hệ sau:
Trang 3 30
Từ đó suy ra nghiệm của phương trình ấy là:
Bài 5: Giải phương trình:
Giải:
Do
Vậy (1) tương đương với hệ sau:
Bài 6: Giải phương trình
Giải:
Dễ thấy nó có thể viết dưới dạng tương đương sau:
Từ đó có VT(5)
VP(5)
Vậy (5)
Trang 4BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
7 tanx sin x+3cos x £6 3 sin x + 4 cos x
Giải :
ĐK : cosx ¹ 0 Chia hai vế cho 2
cos x ta được:
7 tanx tan x+3 £6 3 tan x + 4
Đặt tanx = t, ĐK : t ³ 0 , bpt trở thành :
2
4
2
4
3
t
t
t
+
=
+
Đặt VT = f x ( ) , với t ³ 0 , ta có:
ì
ï
í
ï
î
( )
f t
=> là hàm đồng biến trên é 0, + ¥ ) và đo được t = 3 thì ( ) 4
6 3
f t =
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( ) 4
f t £ <=> £ t
3
£ £ <=> £ £ + Î Z
cosép x -10x ù- 3 sinép x -10x ù > 1
Giải:
Đặt ( 2 )
10
y=p x - x Bpt trở thành :
cos 3 sin 1
cos tan sin 1
3 cos cos sin sin cos
y
p
<=> - >
<=> ç + ÷ >
Hàm ( ) t đồng biến trên é 0, + ¥ )
Hàm
2
2
3
4
t
t
+
+ đồng biến trên é 0, + ¥ )
Trang 5 32
( )
2
2
2
3
2
3
2
3
p
p
<=> - + < + < + Î Z
<=> - + < <
<=> - + < - <
<=> - + < - < *
1.Giải bpt 2
10 2 ,
x - x< k k Î Z
( )
2
10 2 0 1
<=> - - <
(1) có nghiệm nếu:
D = + ³ <=> ³ -
- + < < + +
2. Giải bpt 2 2
3 k x x
- + < -
( )
3
2
3
<=> - - + ³
D = + - ³ <=> ³ -
(2) có nghiệm khi k ³ - 12
2
5 25 2
3
x< - + k - v 5 25 2 2
3
x> + + k -
Với mọi k ³ - 12 , ta có:
2
3
2
3
2
3
2
3
< + - < +
=> + - < +
ì
ï
ï
=> í
ï
ï
î
Do đó nghiệm của (*) là
2
3
2
3
é
- + < < - + -
ê
ê
ê
+ + - < < + + Î Z ³ -
ê
ë
Vậy nghiệm của bpt đã cho là
Trang 63
2
3
é
- + < < - + -
ê
ê
ê
+ + - < < + +
ê
ë
Với kÎ Z,k ³ - 12
Bài 3: Giải bpt: 5 2 cos 2 + x£ 2 | 2 sinx - 1 | 1 ( )
Giải:
2
(1) 5 2 1 2 sin 3 | 2 sin 1|
7 4 sin 3 | 2sin 1|
x
<=> - £ -
Đặt y = sin x với - £1 y £ 1 , ta có:
( )
2
7 4 - y £ 3 | 2y - 1 | 2
a. Xét trường hợp : 1 1
2 £ y £ Ta có :
2
2
5
, 1
2
=> - £ -
<=> + - ³
<=> + - ³
=> £ - ³
Kết hợp với điều kiện a. ta có y = 1 => sinx = 1 2 ,
2
x p k p k
<=> = + Î Z
b. Xét trường hợp : 1 1
2
y
- £ £ Ta có:
1
, 2
2
=> - £ - +
<=> - - ³ <=> - - ³
=> £ - £
Kết hợp với điều kiện b. ta có 1 1
2
y
- £ £ -
=> - £ £ - <=> - + £ - + Î Z
Vậy nghiệm bpt đã cho là
2
2
5
p
p
é
= +
ê
ê
ê - + £ - +
ê
với k l Î Z ,
Bài 4: Giải bất phương trình : sin2 cos 2 ( )
81 x+81 x £ 30 1 với x Î ( 0, 2 p)
Giải:
Đặt sin 2
81 x
y = với 1 £ y £81 * ( )
Trang 7 34
Ta có : cos2 1 sin 2 81
81 x 81 x
y
-
2
81
30 0
30 81 0
y
y
=> + - £
=> - + £
3 y 27
<=> £ £ thoả (*)
Do đó :
2
2
sin
2
2
3 81 27
1 4 sin 3
sin
x
x
x
x
<=> £ £
<=> £ £
<=> £ £
<=> £ £ - £ £ -
6 x 3 3 x 6
<=> £ £ £ £
6p x 3p 3p x 6 p
<=> £ £ £ £
Đó là 4 tập nghiệm của bất phương trình trên.
Bài 5: Giải bất phương trình:
sin 2 sin 3 sin 4
3 cos 2 cos3 cos 4
-
Giải:
Ta có
sin 2 sin 3 sin 4
cos 2 cos 3 cos 4
sin 2 sin 4 sin 3
cos 2 cos 4 cos 3
2 sin 3 cos sin 3
2 cos 3 cos cos 3
sin 3 2 cos 1
tan 3 cos 3 2 cos 1
x
=
-
=
-
-
- Với điều kiện 2 cosx ¹ 1
Ta có :
Trang 8( ) * 2 1
tan 3 3 0
tan 3 3
x
x
<=> ³
<=> - ³
<=> ³
<=> + £ £ + Î Z
<=> + £ £ +
9 k 3 x 6 k 3 k
Bài 6: Giải bất phương trình : sinx+2 cotx £ - 1
Giải :
Trong điều kiện có nghĩa của nó thì sinx+2 cotx ³ 0
Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 7: Giải bất phương trình : ( 3 ) ( ) 3 ( )
4 x -2x+1 sinx+2 cosx ³9 |x -2x + 1| 1 Giải:
Xét các khả năng sau:
a. Nếu 3
2 1 0
x - x + >
( ) 1 sin 2 cos 9
4
<=> + ³ vô lí vì - 5£( sinx+2 cosx ) £ 5
b. Nếu 3
2 1 0
x - x + <
4
<=> + £ - Vô lí
Do đó (1) chỉ có thể có nghiệm khi 3 ( )
2 1 0 2
x - x + =
Phương trình (2) có nghiệm là 1 1, 2 1 5, 3 1 5
x = x =- + x = - -
Đó cũng là nghiệm của bất phương trình trên.
CHƯƠNG V:
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 1: Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh với khoảng cách bé nhất giữa 2
đỉnh của 1 tứ giác lồi bất kì không bé hơn 2 .
Giải:
Giả sử M, m tương ứng là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh và khoảng cách bé nhất giữa 2 đỉnh của một tứ giác lồi. Vì ít nhất một trong các góc của tứ giác không phải là góc nhọn. Thí dụ
·
ABC Khi đó :
M 2 ³AC 2 =AB 2 +BC 2 2AB.BCcosABC
ÞM 2 ³AB 2 +BC 2 ³m 2 +m 2 =2m 2
Trang 9 36
Þ ³ 2
m
M
. Đó là điều phải chứng minh.
Bài 2: Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng :
4
2
tan
2
tan
2
tan
2 tan
4
16
4
tan
4
tan
4
tan
4
+ +
+ +
+ +
+
+
D
C
B
A
D
C
B
A
Giải:
Với x, y, z, t > 0 thì:
t
z
y
x
t
z
y
x + + + ³ + + +
16
1
1
1
1
Mà ABCD lồi nên:
0
2 tan ,
2 tan ,
2 tan ,
2
tan
2
2
,
2
,
2
,
2
0 < A B C D < p Þ A B C D >
Ta có:
2
tan
2
tan
2
tan
2 tan
4
16
2 tan
1
1
2 tan
1
1
2 tan
1
1
2
tan
1
1
D
C
B
A
D
C
B
A
+ +
+ +
³ +
+ +
+ +
+
+
Do đó , để có điều phải chứng minh , chỉ cần chứng minh :
2
2 tan
1
1
4 tan
2 tan
1
1
4 tan
2 tan
1
1
4 tan
2 tan
1
1
4
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+ +
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
+
+
D
D
C
C
B
B
A
A
Đặt x = tan
4
A
1
2
2
tan
x
x
A
-
= thế thì:
tan
4
A
2
1
2
2
1
1
2
A tan
1
1
2
3
2
2
3
2
<
+
- +
-
-
<
- +
- + +
=
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2 x Þ x + x ³ x
³ . Điều phải chứng minh.
Bài 3: Cho 4 số thay đổi a,b,x,y thoả mãn a 2 +b 2 =4 và x 2 +y 2 =3
Chứng minh rằng: - 2 3 £ ax + by £ 2 3
Giải:
a 2
+ b 2
2
2
2
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ +
÷
ø
ö
ç
è
æ a b
Û $aÎ R :
ï
ï
î
ï
í
ì
=
=
a
a
sin
2
cos
2
b
a
Û
î
í
ì
=
=
a
a sin
2
cos
2
b a
Trang 10Tương tự : x 2 +y 2 =3 Û $bÎ R :
ï
ï
î
ï
í
ì
=
=
b
b
sin
3
cos
3
y
x
ï
ï
í
ì Û
b
b sin
3
cos
3
Vậy M = ax+by
= 2cosa 3 cos b + 2 sin a . 3 sin b
= 2 3 (cos a. cos b + sin a . sin b )
=2 . cos( a - b )
Vì cos ( a - b ) £ 1 nên M £ 2 3
3
2
3
2 £ + £
-
Û ax by
Kết luận: min( ax + by ) = - 2 3
3
2 ) max( ax + by = .
* Chú ý : Với cách giải hoàn toàn tương tự ta cũng có thể giải được các bài toán sau:
1. Cho x và y là 2 số thay đổi và nghiệm đúng phương trình x 2 +y 2 =1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá
trị lớn nhất của biểu thức P=2xy+1
2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức y2x+5 biết x và y là ha số thay đổi thoả mãn
36x 2 +16y 2 =9
Bài 4:Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có:
1. a 2 (pb)(pc)+b 2 (pc)(pa)+c 2 (pa)(pb)£p 2 R 2
2. p 2 ³ ab.sin 2 A+bc.sin 2 B+ac.sin 2 C
Giải:
1. Đưa bất đẳng thức về dạng tương đương sau:
2
2
2
R
c
p
b
p
a
p
c
p
c
b
p
b
a
p
a
- +
- +
-
£
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
+
-
+
Đặt p - a = x , p - b = y , p - c = z Khi đó x ,y ,z > 0
Với kí hiệu ấy thì
(1) Û 2 2 2 ( ) 2 2
R
z
y
x
xy
c
xz
b
yz
Theo định lí hàm số cosin suy ra:
2
4 sin 4sin 4 sin
2
³ + + +
+ +
Û x x y C z B yz A y z (2)
Quan niệm vế trái của (2) là tam thức bậc 2 của x có hệ số của x 2 là 1>0. còn:
Trang 11 38
( sin 2 sin 2 ) 0
2 sin
2 sin
2
2 sin
2 sin
2
2 cos
2 cos
2 cos
2
2 sin
2 sin
2 cos
2 cos
2 cos
2
1
2 cos
1
2 cos
2 cos
2
2 cos
2 cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
£
-
-
=
+
-
-
=
+
- +
-
-
=
- +
- +
-
=
-
-
- +
=
D¢
B
z
C
y
C
B
yz
B
z
C
y
C
B
C
B
yz
B
z
C
y
A
C
B
yz
B
z
C
y
z
y
A
yz
B
z
C
y
Theo định lí về dấu tam thức bậc hai suy ra (2) đúng Þ điều phải chứng minh.
2. Bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau:
B
bc
C
ac
A
ab
c
b
2
sin sin
sin
+ +
0
2 cos
2
2 cos
2
2 cos
2
2 cos
1
2
2 cos
1
2
2 cos
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
³ +
+ +
+ +
Û
- +
- +
-
³ + + + + +
Û
C
ac
B
bc
A
ab
c
b
a
B
cb
C
ca
A
ba
a
bc
ab
c
b
a
2
³ +
+ + +
+
Û a a b A c C b c bc B (3)
Quan niệm vế trái là tam thứ bậc hai của a. Do hệ số của a 2 là 1>0 và:
( sin 2 sin 2 ) 0
2 sin
2 sin
2
2 sin
2 sin
2 cos
2 cos
2 cos
2
2 sin
2 sin
2 cos
2
2 cos
2 cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
£
-
-
=
+
-
-
=
- +
-
-
=
-
-
- +
=
D¢
C
c
A
b
C
A
bc
C
c
A
b
B
C
A
bc
C
c
A
b
b
c
B
bc
C
c
A
b
Vậy (3) đúng và đó là điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra Û DABC là tam giác đều.
Bài 5: Cho tứ diện OABC vuông tại O . Gọi a , b , d lần lượt là góc giữa đương cao OH với các cạnh OA,OB,OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
b
d
a
a
d
b
d
b
a
2
2
2
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
+
+ +
+
=
T
Giải:
Đặt x = cos a , y = cos b , z = cos d
Vì : 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 2 Þ x 2 + y 2 + z 2 = 1
OH
OC
OB
OA
1 ,
,
0 < <
Þ x y z , do đóa , b , d đều nhọn. Ta có:
2
2
2
y
x
z
x
z
y
z
y
x
T = + + + + +
ø
ö
ç
è
+
+ +
+ +
+
= +
y
x
z
x
z
y
z
y
x
z
y
x
T
z
y
x
2
2
2
2
3
1
÷
ø
ö
ç
è
+
+ +
+ +
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
³
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
+ +
+ +
+
=
y
x
z
x
z
y
z
y
x
y
x
x
y
z
x
x
z
y
z
z
y
y
x
z
x
z
y
z
y
x
y
x
z
x
z
y
z
y
x
18
6
3
1
2
2
2 + + + 2 =
³ (1) .(Bất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpxki)
Ngoài ra : 0 < x + y + z £ 3 ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 3 (2).
Trang 123
18
³
T Dấu “=” xảy ra Ûx=y=z Û OA = OB = OC
Vậy T đạt GTNN bằng
3
18
khi tứ diện OABC vuông cân tại O.
Bài 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
( 1 + + - ) cos + ( 1 + + - ) cos + ( 1 + + - ) cos £ 3
= b c bc A a c ac B b a ab C
S
Giải:
Ta có thể thấy :
) cos cos
cos ( cos ) ( cos ) ( cos ) ( cos cos
cos A B C b c A c a B a b C ab C bc A ac B
Đặt P = cosA+cosB+cosC
Q = (b+c)cosA+(c+a)cosB+(a+b)cosC
R= ab.cosC+bc.cosA+ac.cosB
Dễ thấy : P=cosA+cosB+cosC
2
3
£ (1) (Dấu “=” trong (1) xảy ra Û DABC là tam giác đều)
Theo định lí hàm số sin ta có:
R
B
c
C
b cos + cos = 2 sin cos + sin cos = 2 sin + = 2 sin =
Tương tự ta có:
c
A
b
B
a
b
B
c
C
a cos + cos = , cos + cos =
.
c
b
a
Q = + +
Þ Còn theo định lí hàm số cosin , thì:
2
2
2
2
c
b
a
R = + +
2 (2)
Để ý rằng:
2 )
(
2
c
b
a
c
b
a + + - + +
+
3
2
1
1
1
3
2
2
2
£
- +
- +
-
Dấu “=” trong (3) xảy ra khi a=b=c=1
Từ (2) và (3) suy ra S£3. Đó là điều phải chứng minh.
Dấu “=” xảy raÛđồng thời có dấu “=” trong (1) và (3) Û DABC là tam giác đều có cạnh bằng 1.
Trang 13 40
Lời kết :
Chúng ta đã cùng nhau đi một vòng quanh vương quốc của những bài toán lượng giác, đã cùng nhau chiêm nghiệm sự rộng lớn của đại dương kiến thức bao la. Nhưng toán học mãi là một câu chuyện không có hồi kết, chúng tôi vẫn còn thiếu kinh nghiệm và chưa chuyên nghiệp, nên chỉ có thể giới thiệu một số bài toán hay và rất thú vị ẩn trong những công thức khô khan và quá ư trừu tượng. Bạn sẽ thấy một số bài toán mà có thể chẳng dùng để làm gì cả, nhưng hãy coi nó như một bông hồng, một bức hoạ đẹp hay một bản tình ca của thiên đường toán học…Vì một lẽ, nó được sinh
ra trong một phút, một ngày, cả một đời người hay qua nhiều thế hệ chỉ để thoả mãn niềm đam mê của những ai phát hiện và chứng minh được vẻ đẹp tuyệt vời của nó!
Đề tài này, chúng em kính tặng người thầy giáo yêu mến, thầy Nguyễn Lái.
Mọi góp ý xin liên hệ : Tổ 4 – Toán 2 – Niên khoá : 2008 – 2011
Trường THPT chuyên Lương Văn Chánh Tp.Tuy Hoà, tỉnh Phú Yên.
Danh sách thành viên :
1. Trần Hoàng Nguyên
2. Nguyễn Ngọc Viễn Đông
3. Nguyễn Hữu Phát
4. Nguyễn Phan Thảo Lan
5. Nguyễn Vũ Bảo Di
6. Nguyễn Trương Mĩ Hiền
7. Đỗ Anh Minh