CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC pot

28  CHƯƠNGIII: PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC Dosốlượngcủacác bài toánphươngtrình,bấtphươngtrìnhlàvô cùngnhiềunênở phầnnày chúngtôichỉtrìnhbàymộtsốbàiđãchọnlọc,cócách giảihay, độkhó tươngđốivàchắcchắnsẽthú vịhơnrấtnhiềusovớinhững bài toánthôngthường khác. Bài1:Tìma đểhaiphươngtrìnhsautươngđương: Giải: Tacó (2) Vậy(1)tươngđươngvới(2)khi vàchỉkhi: a hoặca Bài2:Tìma,b,c đểphươngtrìnhsauđâynghiệmđúng: Giải: Điềukiệncần.Giảsử(1)đúng , nóiriêng: Khi Khi Khix Vậyđiềukiệncầnlàa=b=c=0 Điềukiệnđủ:nếua=b=c=0thìrõràng(1)đúng( .Tómlạia=b=c=0làđiềukiệncần vàđủđể (1)đúng Bài3:Giảihệphươngtrình: Giải: (1) Xéthàmsố f(t) Vậyf(t)làhàmđồngbiếntrên(0, Tathấy:(1) 29  Vậy(1),(2),(3) Nhưthếhệđã chocónghiệmduynhất( Bài4:Giảiphươngtrình: Giải: Điềukiệnđể phươngtrình cónghĩalà: Tacó: Từ(4)suyra: (5) Vậyphươngtrìnhđãchotươngđươngvớihệsau: Từ(6)suyra x Do(9)không thõa mãn(3)nênriêng(6)đãvônghiệm Vậyhệ (6),(7),(8) dĩnhiênvônghiệm,tức làphươngtrìnhđãchovônghiệm> *Chúý:Bằnglậpluậntươngtựnhưtrên,ta cóthểgiảiphương trình Cụthể đưaphươngtrìnhấyvề hệsau: 30  Từđósuyranghiệm củaphươngtrình ấylà: Bài5:Giảiphươngtrình: Giải: Do Vậy(1)tươngđươngvớihệsau: Bài6:Giảiphươngtrình Giải: Dễthấy nócóthểviếtdướidạngtươngđươngsau: TừđócóVT(5) VP(5) Vậy(5) 31 CHNGIV: BTPHNGTRèNHLNGGIC Bi1:Giibtphngtrỡnh: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 7 tan sin 3cos 6 3 sin 4cosx x x x x + Ê + Gii: K: cos 0x ạ .Chiahaivcho 2 cos x tac: ( ) ( ) 2 2 4 7 tan tan 3 6 3 tan 4x x x + Ê + ttanx=t,K: 0t ,bpttrthnh: 2 4 2 4 7 6 3 3 t t t + = + t ( ) VT f x = ,vi 0t ,tacú: ỡ ù ớ ù ợ ( ) f t => lhmngbintrờn ) 0,+Ơ ộ ở voc 3t = thỡ ( ) 4 6 3f t = Davobngbinthiờntathy ( ) 4 6 3 3f t t Ê <=> Ê Túsuyra0 tan 3 ( ) 3 x k x k k p p p Ê Ê <=> Ê Ê + ẻ Z Bi2:Giibtphngtrỡnh: ( ) ( ) 2 2 cos 10 3 sin 10 1x x x x p p ộ ự ộ ự - - - > ở ỷ ở ỷ Gii: t ( ) 2 10y x x p = - .Bpttr thnh: cos 3 sin 1 cos tan sin 1 3 cos cos sin sin cos 3 3 3 cos cos 3 3 y y y y y y y p p p p p p - > <=> - > <=> - > ổ ử <=> + > ỗ ữ ố ứ Hm ( ) t ngbintrờn ) 0,+Ơ ộ ở Hm 2 2 3 4 t t + + ngbintrờn ) 0,+Ơ ộ ở t 0 3 +Ơ f(t) 4 6 3 32  ( ) ( ) 2 2 2 2 , 3 3 3 2 2 2 3 2 2 10 2 3 2 2 10 2 3 k y k k k y k k x x k k x x k p p p p p p p p p p p p <=> - + < + < + ÎZ <=> - + < < <=> - + < - < <=> - + < - < * 1.Giảibpt 2 10 2 ,x x k k - < ÎZ ( ) 2 10 2 0 1x x k <=> - - < (1)cónghiệmnếu: ' 25 2 0 12 5 25 2 5 25 2 k k k x k D = + ³ <=> ³ - - + < < + + 2.Giảibpt 2 2 2 10 3 k x x - + < - ( ) 2 2 10 2 0 2 3 2 ' 25 2 0 12 3 x x k k k <=> - - + ³ D = + - ³ <=> ³ - (2)cónghiệmkhi 12k ³ - 2 5 25 2 3 x k < - + - v 2 5 25 2 3 x k > + + - Vớimọi 12k ³ - ,tacó: 2 0 25 2 25 2 3 2 25 2 25 2 3 2 5 25 2 5 25 2 3 2 5 25 2 5 25 2 3 k k k k k k k k < + - < + => + - < + ì - + < - + - ï ï => í ï + + - < + + ï î Dođónghiệmcủa(*)là 2 5 25 2 5 25 2 3 2 5 25 2 5 25 2 , , 12 3 k x k k x k k k é - + < < - + - ê ê ê + + - < < + + ÎZ ³ - ê ë Vậynghiệmcủabptđãcholà 33  2 5 25 2 5 25 2 3 2 5 25 2 5 25 2 3 k x k k x k é - + < < - + - ê ê ê + + - < < + + ê ë Với , 12k k ÎZ ³ - Bài3:Giảibpt: ( ) 5 2cos 2 2 | 2sin 1| 1x x + £ - Giải: ( ) 2 2 (1) 5 2 1 2sin 3| 2sin 1| 7 4sin 3| 2s in 1| x x x <=> + - £ - <=> - £ - Đặt siny x = với 1 1y - £ £ ,tacó: ( ) 2 7 4 3 | 2 1| 2y y - £ - a.Xéttrườnghợp: 1 1 2 y £ £ .Tacó: ( ) ( ) 2 2 2 2 7 4 3 2 1 4 6 10 0 2 3 5 0 5 , 1 2 y y y y y y y y => - £ - <=> + - ³ <=> + - ³ => £ - ³ Kếthợpvớiđiềukiệna.tacóy=1=>sinx=1 2 , 2 x k k p p <=> = + ÎZ b.Xéttrườnghợp: 1 1 2 y - £ £ .Tacó: ( ) ( ) 2 2 2 2 7 4 3 2 1 4 6 4 0 2 3 2 0 1 , 2 2 y y y y y y y y => - £ - + <=> - - ³ <=> - - ³ => £ - £ Kếthợpvớiđiềukiệnb.tacó 1 1 2 y - £ £ - 1 5 1 sin 2 2 , 2 6 6 x l l l p p p p => - £ £ - <=> - + £ - + Î Z Vậynghiệmbptđãcholà 2 2 5 2 2 6 6 x k l l p p p p p p é = + ê ê ê - + £ - + ê ë với ,k l ÎZ Bài4:Giảibấtphươngtrình: ( ) 2 2 sin cos 81 81 30 1 x x + £ với ( ) 0,2x p Î Giải: Đặt 2 sin 81 x y = với ( ) 1 81 *y £ £ 34  Tacó: 2 2 cos 1 sin 81 81 81 x x y - = = 2 81 30 0 30 81 0 y y y y => + - £ => - + £ 3 27y <=> £ £ thoả(*) Dođó: ( ) ( ) 2 2 sin 1 4sin 3 2 2 3 81 27 3 3 3 1 4sin 3 1 3 sin 4 4 1 3 3 1 sin , sin 2 2 2 2 x x x x x a x b £ £ <=> £ £ <=> £ £ <=> £ £ <=> £ £ - £ £ - Giải(a) 2 5 , 6 3 3 6 x x p p p p <=> £ £ £ £ Giải(b) 7 4 5 11 , 6 3 3 6 x x p p p p <=> £ £ £ £ Đólà4tậpnghiệmcủabấtphươngtrìnhtrên. Bài5:Giảibấtphươngtrình: sin2 sin3 sin 4 3 cos2 cos3 cos4 2 1 x x x x x x - + - - + ³ (*) Giải: Tacó ( ) ( ) sin 2 sin3 sin 4 cos 2 cos3 cos 4 sin 2 sin 4 sin3 cos 2 cos 4 cos3 2sin 3 cos sin 3 2cos3 cos cos3 sin 3 2cos 1 tan 3 cos3 2 cos 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x - + - + + - = + - - = - - = = - Vớiđiềukiện 2cos 1x ¹ Tacó: 35  ( ) tan 3 3 * 2 1 tan 3 3 0 tan 3 3 3 , 3 2 9 3 6 3 x x x k x k k k x k p p p p p p p p - <=> ³ <=> - ³ <=> ³ <=> + £ £ + Î Z <=> + £ £ + Vậynghiệmcủa(*)là , 9 3 6 3 k x k k p p p p + £ £ + Î Z Bài6:Giảibấtphươngtrình: sin 2cot 1x x + £ - Giải: Trongđiềukiệncónghĩacủanóthì sin 2cot 0x x + ³ Vậybấtphươngtrìnhđãchovônghiệm. Bài7:Giảibấtphươngtrình: ( ) ( ) ( ) 3 3 4 2 1 sin 2cos 9 | 2 1| 1x x x x x x - + + ³ - + Giải: Xétcáckhảnăngsau: a.Nếu 3 2 1 0x x - + > ( ) 9 1 sin 2cos 4 x x <=> + ³ vôlívì ( ) 5 sin 2cos 5x x - £ + £ b.Nếu 3 2 1 0x x - + < ( ) 9 1 sin 2 cos 4 x x <=> + £ - .Vôlí Dođó(1)chỉcóthểcónghiệmkhi ( ) 3 2 1 0 2x x - + = Phươngtrình(2)cónghiệmlà 1 2 3 1 5 1 5 1, , 2 2 x x x - + - - = = = Đócũnglànghiệmcủabấtphươngtrìnhtrên. CHƯƠNGV: BẤTĐẲNGTHỨCLƯỢNGGIÁC Bài1:Chứngminhrằngtỷsốkhoảngcáchlớnnhấtgiữahaiđỉnhvớikhoảngcáchbénhấtgiữa2 đỉnhcủa1tứgiáclồibấtkìkhôngbéhơn 2 . Giải: GiảsửM,mtươngứnglàkhoảngcáchlớnnhấtgiữahaiđỉnhvàkhoảngcáchbénhấtgiữa2 đỉnhcủamộttứgiáclồi.Vìítnhấtmộttrongcácgóccủatứgiáckhôngphảilàgócnhọn.Thídụ · ABC .Khiđó: M 2 ³AC 2 =AB 2 +BC 2 2AB.BCcosABC Þ M 2 ³AB 2 +BC 2 ³m 2 +m 2 =2m 2 36  Þ 2 ³ m M .Đólàđiềuphảichứngminh. Bài2:ChotứgiáclồiABCD.Chứngminhrằng: 4 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan4 16 4 tan 4 tan 4 tan 4 tan < + + + + + + + + DCBA DCBA Giải: Vớix,y,z,t>0thì: tzyxtzyx + + + ³ + + + 161111 MàABCDlồinên: 0 2 tan, 2 tan, 2 tan, 2 tan 22 , 2 , 2 , 2 0 > Þ < < DCBADCBA p  Tacó: 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan4 16 2 tan1 1 2 tan1 1 2 tan1 1 2 tan1 1 DCBADCBA + + + + ³ + + + + + + + Dođó,đểcóđiềuphảichứngminh,chỉcầnchứngminh: 2 2 tan1 1 4 tan 2 tan1 1 4 tan 2 tan1 1 4 tan 2 tan1 1 4 tan < ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç è æ + + D D C C B B A A Đặtx=tan 4 A thì 2 1 2 2 tan x xA - = .thếthì: tan 4 A + 11 21 2 21 1 2 A tan1 1 2 32 2 32 < + - + - - < - + - + + = + xx xxx xx xxx Vì1+x 23 22 xxxx ³ + Þ ³ .Điềuphảichứngminh. Bài3:Cho4sốthayđổia,b,x,ythoảmãna 2 +b 2 =4vàx 2 +y 2 =3 Chứngminhrằng: 3232 £ + £ - byax Giải: a 2 +b 2 =4 Û 1 22 22 = ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ ba Û :R Î $ a ï ï î ï ï í ì = = a a  sin 2 cos 2 b a Û î í ì = = a a  sin2 cos2 b a 37 Tngt:x 2 +y 2 =3 :R ẻ $ b ù ù ợ ù ù ớ ỡ = = b b sin 3 cos 3 y x ù ợ ù ớ ỡ b b sin3 cos3 VyM=ax+by =2cos a . 3.sin2cos3 a b + sin b =2 )sin.sincos.(cos3 b a b a + =2 )cos(.3 b a - Vỡcos( ) b a - 1 Ê nờn 32 ÊM 3232 Ê + Ê - byax Ktlun:min(ax+by)= 32 - 32)max( = +byax . *Chỳý:Vicỏchgiihontontngttacngcúthgiiccỏcbitoỏnsau: 1. Choxvyl2sthayivnghimỳngphngtrỡnhx 2 +y 2 =1.Tỡmgiỏtrnhnhtvgiỏ trlnnhtcabiuthcP=2xy+1 2. Tỡmgiỏtrlnnhtvnhnhtcabiuthcy2x+5bitxvylhasthayithomón 36x 2 +16y 2 =9 Bi4:Chngminhrngtrongmitamgiỏctacú: 1. a 2 (pb)(pc)+b 2 (pc)(pa)+c 2 (pa)(pb) Êp 2 R 2 2. p 2 ab.sin 2 A+bc.sin 2 B+ac.sin 2 C Gii: 1. abtngthcvdngtngngsau: (pa)(pb)(pc) ( ) 2 2 222 Rcpbpap cp c bp b ap a - + - + - Ê ữ ữ ứ ử ỗ ỗ ố ổ - + - + - (1) t zcpybpxap = - = - = - ,, .Khiúx,y,z>0 Vikớhiuythỡ (1) ( ) 2 2 222 Rzyxxycxzbyza + + Ê + + Theonhlớhmscosinsuyra: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4sin 4sin 4sin 4sin 4sin 4sin 2 2 2 2 2 .sin 2 .sin 2 4sin 0 zy A xz B xy C x y z zy A xz B xy C x y z xy yz xz x x y y C z z B yz yz A y z + + Ê + + + + Ê + + + + + + - + - + - + + ( ) 02cos22cos2cos2 222 + + + + + zyAyzBzCyxx (2) Quannimvtrỏica(2)ltamthcbc2caxcúhscax 2 l1>0.cũn: