Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA.
Trang 1Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phú
Bài 1:
a, Chứng minh rằng nếu ab 0 thì ta luôn luôn có
ab b a ab
b
a
2
b, Phân tích đa thức M = a10a5 1 thành nhân tử
Bài 2:
a, Giải hệ phương trình
1 )
(
2 ) (
2 2
2
y xy x y x
y y x
b, cho x, y 0 và x + y = 1
Chứng minh 8(x4+ y4) + 1 5
xy
Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax3 bx2 cx d
a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên
b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kỳ giá trị nguyên nào của x không? tại sao?
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm đôí xứng với D
qua AB, G làgiao điểm của AB với DE, từ giao diểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC tại I các tia CH, IG cắt nhau tại K Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình
x6 - x5 + x4 - x3 + x2 - x +
4
3
= 0
Vô nghiệm trên tập hợp các số thực
……… Hết………
Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm
HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Bài 1: (3 điểm)
a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta có:
Trang 2( a b ab
b a
2
=
= (
2
b
a
)2+ ab + (a + b) ab + (
2
b
a
)2 + ab - (a + b) ab +2 a b )2 ab
2
= 2(
2
b
a
)2 + 2ab + 2(
2
b
a
)2 - 2ab Cho 0,25 điểm
( vì (
2
b
a
)2 ab) Cho 0,25 điểm
= 4(
2
b
a
)2 = (a + b)2 = (a + b )2 Cho 0,5 điểm
(vì ab 0 a; b cùng dấu)
a b ab
b a
2 = a + b Cho 0,25 điểm
(Với ab 0)
b, Ta có A = a10 + a5 + 1
= a10 - a + a5 - a2 + a2 + a + 1
= a(a3 - 1)(a6 + a3 + 1) + a2(a3 - 1) + a2 + a + 1 Cho 0,25 điểm
= a(a - 1)( a2 + a + 1)( a6 + a3 + 1) +
+ a2(a - 1)(a2 + a + 1) + a2 + a + 1 Cho 0,25 điểm
= (a2 + a + 1) a(a - 1)(a6 + a3 + 1) + a2(a - 1) + 1) Cho 0,25 điểm
= (a2 + a + 1)(a8 - a7+ a5 - a4+ a3 - a + 1) Cho 0, 5 điểm
Bài 2: (5 điểm)
a, Nếu x = 0 thay vào ta có
1
2 2 3
y y
y
vô lý Cho 0,25 điểm
Vậy x≠ 0 Đặt y = tx Cho 0,25 điểm
Ta có
1 )
(
2 )
(
2 2 2 2 2
x t tx x tx x
tx tx x
Cho 0,25 điểm
2
1 ) 1
(
) 1 (
t t t
t t
=
1
2
Cho 0,25 điểm
( vì t ≠ -1 hệ mới có nghiệm) Cho 0,25 điểm
Trang 3
2
1
) 1
(
t t
t t
= 2 Cho 0,25 điểm
t + t2 = 2 - 2t + 2t2 Cho 0,25 điểm
t2 - 3t + 2 = 0 Cho 0,25 điểm
2
1
t
t
Cho 0,25 điểm
* Nếu t = 1 y = x 4x3 = 2
x = y =
3 2
1
Cho 0,25 điểm
* nếu t = 2 y = 2x
18x3 = 2 Cho 0,25 điểm
3 3
9 2 9 1
y x
Tóm lại hệ có 2 nghiệm
x = y =
3 2 1
Hoặc ( x =
3 9
1
; y =
3 9
2
) Cho 0,25 điểm
b, Áp dụng bất đẳng thức
2
2 2
b
a
(
2
b
a
)2 Với mọi a, b Cho 0,25 điểm
ta có
2
4 4
y
x
( 2
2 2
y
x
)2
2 2
) 2
x y
Cho 0,25 điểm
2
4 4
y
x
(
2
y
x
)4 =
16
1
Cho 0,5 điểm
8( x4+ y4) 1 Cho 0,25 điểm
lại có xy (
2
y
x
)2 =
4 1
Cho 0,25 điểm
Trang 4
xy
1
4 Cho 0,25 điểm
Vậy 8( x4+ y4) +
xy
1
1 + 4 = 5 Cho 0,25 điểm
Bài 3: ( 4 điểm)
a, Ta có f(0) = d là số nguyên Cho 0,25 điểm
f(1) = a + b + c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm
f(1) - f(0) = a + b + c cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm f( -1) =- a + b - c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(2) = 8a + 4b + 2c + d cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm Vậy f(1) + f( -1) = 2b + 2d là số nguyên Cho 0,25 điểm
2b là số nguyên ( vì 2d là số nguyên) Cho 0,25 điểm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d là số nguyên Cho 0,25 điểm
Mà
d
b
c b a
2 là các số nguyên
Nên 6a là số nguyên Cho 0,25 điểm
Ta có điều phải chứng minh
b, Đảo lại:
f(x) = ax3 + bx2+ cx + d
= (ax3 - ax) + (bx2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 điểm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
=
6
) 1 ( ) 1 (
6a x x x
+
2
) 1 (
2bx x
+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
= 6a
6
) 1 ( ) 1 (x x x
+ 2b
2
) 1 ( x x
+ (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm
Vì (x - 1)x( x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 6
6a
6
) 1 (
)
1
(x x x
là số nguyên Cho 0,25 điểm
x(x -1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2
nên 2b
2
) 1 ( x x
là số nguyên Cho 0,25 điểm
Và (a + b + c)x là số nguyên Cho 0,25 điểm
Trang 5d là số nguyên
f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b + c; d là các số nguyên
Cho 0,25 điểm
Bài 4: ( 6 điểm)
(Vẽ hình đúng 0,5 điểm)
Ta có G và I cùng nhìn HD dưới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội tiếp
Cho 0,5 điểm
Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm
Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm
lại có góc GHD = góc GHK ( do E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm
góc KIB = góc KHB ( cùng = góc GHD) Cho 0,25 điểm
Nên KHIB là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm
Vì góc HIB = 900 góc HKB = 900 Cho 0,5 điểm
Ta có góc B1 = góc K1 (Do KHIB là tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm
Lại có K và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên AKBC là tứ giác nội tiếp
Cho 0,5 điểm
góc K2 = góc B1 Cho 0,5 điểm
Từ đó ta có KC là phân giác của góc IKA Cho 0,5 điểm
Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tương tự
Bài 5: (2 điểm)
* Nếu x 0 thì vế phải nhận giá trị dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm
Cho 0,5 điểm
E
B
I
D
C
A
H
G
K 2 1
1
Trang 6* Nếu 0 < x < 1
4
1 4
1 4
1
x x x
x x
x x
2 2
2 2 3
1 2
1 2
1 2
1
x x x
x
cũng luôn dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm
* Nếu x 1 ta có
Vế trái = x5 (x - 1) + x3(x - 1) + x(x - 1) +
4
3
Cho 0,25 điểm
Cũng là số dương nên ở khoảng này phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm
Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R
(Cho 0,25 điểm)
Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa