Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán Thời gian làm bài :150 phú Bài 1: a, Chứng minh rằng nếu ab 0 thì ta luôn luôn có ab ba ab ba 22 = ba b, Phân tích đa thức M = a 1 510 a thành nhân tử Bài 2: a, Giải hệ phương trình 1)( 2.)( 22 2 yxyxyx yyx b, cho x, y 0 và x + y = 1 Chứng minh 8(x 4 + y 4 ) + 5 1 xy Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax dcxbx 23 a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên. b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kỳ giá trị nguyên nào của x không? tại sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm của AB với DE, từ giao diểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC tại I các tia CH, IG cắt nhau tại K. Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA. Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 4 3 = 0 Vô nghiệm trên tập hợp các số thực. …………………… Hết………………… Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Bài 1: (3 điểm) a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta có: ( ab ba 2 + ab ba 2 ) 2 = = ( 2 ba ) 2 + ab + (a + b) ab + ( 2 ba ) 2 + ab - (a + b) ab +2 ab ba 2 ) 2 ( Cho 0,25 điểm = 2( 2 ba ) 2 + 2ab + 2( 2 ba ) 2 - 2ab Cho 0,25 điểm ( vì ( 2 ba ) 2 ab) Cho 0,25 điểm = 4( 2 ba ) 2 = (a + b) 2 = ( a + b ) 2 Cho 0,5 điểm (vì ab 0 a; b cùng dấu) ab ba 2 + ab ba 2 = a + b Cho 0,25 điểm (Với ab 0) b, Ta có A = a 10 + a 5 + 1 = a 10 - a + a 5 - a 2 + a 2 + a + 1 = a(a 3 - 1)(a 6 + a 3 + 1) + a 2 (a 3 - 1) + a 2 + a + 1 Cho 0,25 điểm = a(a - 1)( a 2 + a + 1)( a 6 + a 3 + 1) + + a 2 (a - 1)(a 2 + a + 1) + a 2 + a + 1 Cho 0,25 điểm = (a 2 + a + 1) a(a - 1)(a 6 + a 3 + 1) + a 2 (a - 1) + 1) Cho 0,25 điểm = (a 2 + a + 1)(a 8 - a 7 + a 5 - a 4 + a 3 - a + 1) Cho 0, 5 điểm Bài 2: (5 điểm) a, Nếu x = 0 thay vào ta có 1. 2 2 3 yy y vô lý Cho 0,25 điểm Vậy x≠ 0 Đặt y = tx Cho 0,25 điểm Ta có 1)( 2)( 2222 2 xttxxtxx txtxx Cho 0,25 điểm 2 2 1)1( .)1( ttt tt = 1 2 Cho 0,25 điểm ( vì t ≠ -1 hệ mới có nghiệm) Cho 0,25 điểm 2 1 )1( t t tt = 2 Cho 0,25 điểm t + t 2 = 2 - 2t + 2t 2 Cho 0,25 điểm t 2 - 3t + 2 = 0 Cho 0,25 điểm 2 1 t t Cho 0,25 điểm * Nếu t = 1 y = x 4x 3 = 2 x = y = 3 2 1 Cho 0,25 điểm * nếu t = 2 y = 2x 18x 3 = 2 Cho 0,25 điểm 3 3 9 2 9 1 y x Tóm lại hệ có 2 nghiệm x = y = 3 2 1 Hoặc ( x = 3 9 1 ; y = 3 9 2 ) Cho 0,25 điểm b, Áp dụng bất đẳng thức 2 22 ba ( 2 ba ) 2 Với mọi a, b Cho 0,25 điểm ta có 2 44 yx ( 2 22 yx ) 2 2 2 ) 2 ( yx Cho 0,25 điểm 2 44 yx ( 2 yx ) 4 = 16 1 Cho 0,5 điểm 8( x 4 + y 4 ) 1 Cho 0,25 điểm lại có xy ( 2 yx ) 2 = 4 1 Cho 0,25 điểm xy 1 4 Cho 0,25 điểm Vậy 8( x 4 + y 4 ) + xy 1 1 + 4 = 5 Cho 0,25 điểm Bài 3: ( 4 điểm) a, Ta có f(0) = d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) = a + b + c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) - f(0) = a + b + c cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm f( -1) =- a + b - c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(2) = 8a + 4b + 2c + d cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm Vậy f(1) + f( -1) = 2b + 2d là số nguyên Cho 0,25 điểm 2b là số nguyên ( vì 2d là số nguyên) Cho 0,25 điểm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d là số nguyên Cho 0,25 điểm Mà d b cba 2 là các số nguyên Nên 6a là số nguyên Cho 0,25 điểm Ta có điều phải chứng minh b, Đảo lại: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = (ax 3 - ax) + (bx 2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 điểm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm = 6 )1()1(6 xxxa + 2 )1(2 xbx + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm = 6a 6 )1()1( xxx + 2b 2 )1( xx + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm Vì (x - 1)x( x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 6 6a 6 )1()1( xxx là số nguyên Cho 0,25 điểm x(x -1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 nên 2b 2 )1( xx là số nguyên Cho 0,25 điểm Và (a + b + c)x là số nguyên Cho 0,25 điểm d là số nguyên f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b + c; d là các số nguy ên Cho 0,25 điểm Bài 4: ( 6 điểm) (Vẽ hình đúng 0,5 điểm) Ta có G và I cùng nhìn HD dưới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm lại có góc GHD = góc GHK ( do E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm góc KIB = góc KHB ( cùng = góc GHD) Cho 0,25 điểm Nên KHIB là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Vì góc HIB = 90 0 góc HKB = 90 0 Cho 0,5 điểm Ta có góc B 1 = góc K 1 (Do KHIB là tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm Lại có K và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên AKBC là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 đi ểm góc K 2 = góc B 1 Cho 0,5 điểm Từ đó ta có KC là phân giác của góc IKA Cho 0,5 điểm Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tương tự. Bài 5: (2 điểm) * Nếu x 0 thì vế phải nhận giá trị dương nên ở khoảng này phương trình vô nghi ệm Cho 0,5 điểm E B I D C A H G K 1 2 1 * Nếu 0 < x < 1 Ta có vế trái = 5222436 4 1 4 1 4 1 xxxxxxxx Cho 0,25 điểm = 32 22 2 2 3 1 2 1 2 1 2 1 xxxxx Cho 0,25 điểm cũng luôn dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm * Nếu x 1 ta có Vế trái = x 5 (x - 1) + x 3 (x - 1) + x(x - 1) + 4 3 Cho 0,25 điểm Cũng là số dương nên ở khoảng này phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R (Cho 0,25 điểm) Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa . Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mã ký hiệu: Năm học : 2 00 8- 2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán Thời gian làm bài :1 50 phú Bài 1: a, Chứng minh rằng nếu. ký hiệu: Hướng dẫn chấm HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Bài 1: (3 điểm) a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta c : ( ab ba 2 + ab ba 2 ) 2 =. 5: Chứng minh rằng phương trình x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 4 3 = 0 Vô nghiệm trên tập hợp các số thực. …………………… Hết………………… Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm HD02T- 08 -