Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H... - Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhi
Trang 1Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán
Thời gian làm bài :150 phút
( Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau :
P =
6 2 3 2 2
6 2 6
2 3 2
2
2 3 2
x x
x x
x
x
Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
a)
2
1 2
2
2
2
x
xy
y
x
b) 1 x 4 x 3
Bài 3: Chứng minh rằng :
2007 2008
2007 4015
1 4
3 7
1 3
2 5
1 2
1
3
1
Bài 4 : BC là dây cung không là đường kính của đường tròn tâm O Một điểm A di động trên
cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng
b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA'
d) Chứng minh rằng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí của A để tổng (EF + FD + DE) lớn nhất
Bài 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2
Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
……… Hết………
Trang 2Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm
HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ
Bài 1: (2,5 điểm)
2 3 2 6
2 3 2 2
2 3 2
x
x x
x
x
cho 0,25 điểm
A =
2 3 2
x
x
cho 0,25 điểm
Tương tự có:
B =
32 2
6 2 6
2 3 2
2
6 2
x
x x
x
x
cho 0,25 điểm
Từ đó Tập xác định là x0 vàx9 cho 0,25 điểm
Ta có P = A+B =
6 2 3
2 2
2 3 2
x
x x
x
3 32 2
3 6
2 3 2
3 2
x x
x x
x x
cho 0,5 điểm
=
9 2 2
18 2 3 6 2 2 9 2 3 6 2
x
x x
x x
x x
Cho 0,25 điểm
9 2
2 9
2 2 9
x
x x
x
Cho 0,25 điểm
Vậy P =
9
9
x
x
Với x0 và x9 Cho 0, 25 điểm
Bài 2 ( 4,5 điểm)
a, Từ hệ
2
1 2
2
2 2
x xy
y x
xy +x2 4 x 2 2 y2 cho 0,25 điểm
0 2
3 2 2
x xy y (*) cho 0,25 điểm
- Nếu y = 0 ta được :
2 2 1
2 2
x
x
hệ này vô nghiệm cho 0,25 điểm
- Nếu y ≠ 0 ta có : (*) 3 2 0
2
y
x y
x
cho 0,25 điểm
3
2
1
y
x
y
x
cho 0,5 điểm
Vậy hệ đã cho tương đương với
Trang 3
1
2x2 y2
y
x
hay
1 2
3 2
2 2
y x
y x
cho 0,25 điểm
Giải hệ đầu ta được (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm
Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hoặc x = y = -1 cho 0,25 điểm
b) Điều kiện - 4 x 1 cho 0,25 điểm
Phương trình tương đương với : (vì cả 2 vế đều không âm)
9 3
4 2
5 xx2 cho 0,25 điểm
43xx2 2 cho 0,25 điểm
4- 3x - x2 = 4 cho 0,25 điểm
x2 +3x = 0 cho 0,25 điểm
x(x + 3) = 0 cho 0,25 điểm
x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm
Bài 3 : (3điểm)
Ta có với n 1 thì
1 2 1 1
2
2
2
n n
n n
n cho 0,5 điểm
1 1 1
2
1
2
n n n
n
n n
cho 0,5 điểm
Từ đó ta có :
Sn =
2 3
2 5
1 2
1
3
1
< 1-
4 4
2 1
4 4
2 1
1
1
2
n cho 0,75 điểm
=
1-2 2
2
n
n cho 0,5 điểm
Vậy Sn <
2
n
n
cho 0,25 điểm
Áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 <
2009
2007
là điều phải chứng minh ( 0,5 điểm)
Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm
C
B
A
E
F
D
x
O
H
A'
A1
Trang 4a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC
Có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Cho 0,25 điểm
góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 điểm
b) Vẽ đường kính AK
Có BE AC(gt)
KC AC (Vì góc ACK = 900 ) cho 0,25 điểm
BE // KC cho 0,25 điểm
Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm
Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 điểm
HK là đường chéo nên đi qua trung điểm A' của đường chéo BC H, A', K thẳng
hàng cho 0,25 điểm
Xét tam giác AHK có A'H = A'K
OA = OK cho 0,25 điểm
Nên OA' là đường trung bình
AH = 2 A'O cho 0,25 điểm
c, Áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2 trung tuyến tương ứng, tỉ số giữa 2
bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 điểm
AEF đồng dạng ABC
'
R
R
=
1
'
AA
AA cho 0,25 điểm
Trong đó R là bán kính của đường tròn tâm O
R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp AEF cho 0,25 điểm
cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm
R AA1 = R' AA' =
2
AH
.AA' cho 0,5 điểm
= AA'
2
'
2OA
= AA' OA' cho 0,25 điểm
Vậy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 điểm
d, Trước hết ta chứng minh OA EF
vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O
Ta có OA Ax cho 0,25 điểm
Vì góc xAB = Góc BCA
mà góc BCA = góc EFA (cmt)
góc EFA = góc xAB cho 0,25 điểm
EF// Ax cho 0,25 điểm
OA EF cho 0,25 điểm
Chứng minh tương tự có OB DF và OC ED
Ta có SABC = SOEAF + SOFBD +SODCE
=
2
1
OA EF +
2
1
OB FD +
2
1
OC.DE cho 0,25 điểm
=
2
1
R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R)
K
Trang 5 R (EF + FD + DE) = 2 SABC cho 0,25 điểm
EF + FD + DE =
R
S ABC
2
Nên EF + FD + DE lớn nhất SABC lớn nhất cho 0,25 điểm
Lại có SABC =
2
1
BC.h (h là đường vuông góc hạ từ A đến BC) SABC lớn nhất h
lớn nhất ABC là tam giác cân A là điểm chính giưã của cung AB lớn
cho 0,25 điểm
Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a; b, c 1
(cho 0,25 điểm)
a - 1 0 ; b - 1 0; c-1 0 cho 0,25 điểm
( a -1) (b -1) (c -1) 0
( ab - a - b +1) ( c -1) 0 cho 0,25 điểm
abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 2 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2 cho 0,25 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)2 2 cho 0,5 điểm
2abc - 2(ab + ac + bc) + a2 + b2 + c2 +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 điểm)
2abc + a2 + b2 + c2 2 (đpcm) cho 0,25 điểm
Chú ý: đối với các bài nếu có cách giải khác mà làm đúng vẫn cho điểm tối đa
- Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiều hình vẽ khác nhau cho các ý và ở ý 4
có thể sử dụng công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc mà không cần
chứng minh lại