DE THI VAO LOP 10 CHUYEN LUONG VAN TUY NAM HOC 20102011

1) Híng dÉn chÊm thi nµy chØ tr×nh bµy c¸c bíc chÝnh cña lêi gi¶i hoÆc nªu kÕt qu¶.[r]

Sở giáo dục đào tạo NINH BìNH

đề thức

kú thi tun sinh vào lớp 10 thpt chuyên LƯƠNG VĂN TụY

NăM HọC: 2010-2011 Môn thi: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm)

Cho

1

a :

7 1 1

 

   

     

 

HÃy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a nghiệm Bài 2: (2,5 điểm)

a) Giải hệ phơng trình:

x 16 xy

y y xy

x



 

  

  

 

b) Tìm m để phơng trình  

2

x  2x  3x 6xm0

cã nghiệm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm)

a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mÃn k24 k216 số nguyên tố th× k chia hÕt cho

b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi p a p b p c  3p

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho ng trũn tõm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB C Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD

c) Tổng bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình cạnh EFGHIJKM có góc Chứng minh độ dài cạnh hình cạnh EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ

- Hết

-Họ tên thí sinh: Chữ ký giám thị

Số báo danh: Phòng thi số:

(Bản Híng dÉn chÊm thi gåm 04 trang) I Híng dÉn chung

1)Hớng dẫn chấm thi trình bày bớc lời giải nêu kết Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm đợc thống thực Hội đồng chấm thi.

4) Các điểm thành phần điểm cộng toàn phải gi nguyờn khụng c lm trũn

II Đáp án thang điểm Bài 1: (1,5 điểm)

1 1 1

a : :

7 1 1

      

   

     

 

0,5 ®

a =

2 :

7  0,25 ®

Đặt x a x x 1  7 x22x 1 7 0,5 ®

x 2x

   

Vậy phơng trình x22x 60 nhận làm nghiệm

0,25 đ

Bài 2: (2,5 điểm)

a)

x 16 x 16

xy (1)

xy

y y

y x y

(2) xy

x y x



  

  



 



 

     

 

  §K: x, y0

0,25 ®

Gi¶i (2)  6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y)  0 0,25 ®

* NÕu

3y 2x 3y x

2



   

Thay vào (1) ta đợc

3y 16 y

2



 

0,25 ®



2 3y 23

2



(phơng trình vô nghiệm)

0,25 đ

* NÕu

2y 3x 2y x

3

   

Thay vào (1) ta đợc

2

y  9 y3

0,25 đ

- Với y x2 (thoả mÃn điều kiện) - Với y x2 (thoả mÃn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

0,25 đ

b) Đặt

2

x  2x 1  y x 1  y x 1 y (y0) (*)

Phơng trình cho trở thành:    

y 1  y 1 m0

y 5y m

     (1)

Từ (*) ta thấy, để phơng trình cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có nghiệm dơng phân biệt

0,25 ®

0 4m

S

P m

   

 

 

     

    

 

0,25 ®

9

m

4 m

4

m

  

     

  



VËy víi

9 m

4

phơng trình có nghiệm phân biệt

0,25 đ

Bài 3: (2,0 ®iĨm)

a) V× k > suy k245; k2165

- XÐt k5n (víi n ) k2 25n210n 1  k24 5

k

không số nguyên tố

0,25 ®

- XÐt k5n2 (víi n) k2 25n2 20n 4 k2 16 5

k 16

không số nguyên tố 0,25 ®

- XÐt k5n3 (víi n) k2 25n2 30n 9 k216 5

k 16

  không số nguyên tố 0,25 đ

- XÐt k5n4 (víi n) k2 25n240n 16  k24 5

k

  kh«ng số nguyên tố

Do k

0,25 ®

b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th×    

2 2 2 2

a b c 3 a b c (*) ThËt vËy (*) a2b2c22ab2bc 2ca 3a2 3b23c2

2 2

(a b) (b c) (c a)

       (luôn ỳng)

0,5 đ

áp dụng (*) ta có:

 p a p b p c2 3 3p  a b c 3p Suy p a p b p c  3p (®pcm)

0,5 ®

J I

C N

M O

A B

D

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD

0,5 ®

Do MBCvà MDB đồng dạng Suy

MB MD

MB.BD MD.BC

BC BD  

0,5 ®

b) Gọi (J) đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC

hay

 BJC

MBC

1800 BJC

BCJ cân J CBJ

2



  

0,5 ®

Suy

  BJC 180O BJC O

MBC CBJ 90 MB BJ

2



     

Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J)

0,5 ®

c) Kẻ đờng kính MN (O)  NB  MB

Mà MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN

Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN Chøng minh tơng tự: CI // JN

0,5 đ

Do tứ giác CINJ hình bình hành  CI = NJ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (khơng đổi)

0,5 ®

g

f e d

h c

b a

G F

I

H

J M

C

A B

D

E

K

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng)

Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là:

O

O

8 180

135

(  )



0,25 ®

Suy góc ngồi hình cạnh là: 180O - 135O = 45O

Do tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân

 MA = AE =

h

2 ; BF = BG = b

2 ; CH = CI = d

2 ; DK = DJ = f

2

Ta cã AB = CD nªn:

h b f d

a e

2     

 (e - a) = h + b - f - d

0,5 ®

NÕu e - a ≠ th×

h b f d

e a

  

 

  (điều vô lý 2 số vô tØ) VËy e - a =  e = a hay EF = IJ (®pcm)

0,25 ®