Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số pdf

Chuyên đề I: Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số Chiều biến thiên hàm số Lý thuyết: Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  Tìm tập xác định Tính đạo hàm y  f   x  Giải phương trình f   x   để tìm nghiệm xi  i  1,2 , n  Sắp xếp nghiệm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải lập bảng biến thiên hàm số Kết luận (hàm số đồng biến khoảng mà f   x   ngược lại) Ví dụ: Xét chiều biến thiên hàm số y   x Gợi ý giải:  Đ/k xác định:  x   x   2  x  Tập xác định hàm số D   2;2   x    Đạo hàm: y  x  x2  x2 y   x  thuộc  2;2 Dấu y dấu với biểu thức  x  Ta có bảng biến thiên x y y 2 + 0 2   Căn vào bảng biến thiên ta thấy, hàm số đồng biến khoảng  2;0  nghịch biến rtreen khoảng  0;  Một lưu ý quan trọng tập xác định khoảng  a; b  hàm số gián đoạn x0 ta cần tính giới hạn lim y , lim y lim y , lim y x a xb x x0 x x0 để điền vào bảng biến thiên Bài tập: Câu 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau tập xác định chúng: 1) y  x5  x3  x  ; 2) y  x  ; x 1 3) Chứng minh bất đẳng thức sau: a) tan x  sin x,  x   x b)  x   , x  Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y  x  x  Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y  x3  3x  Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến khoảng  2;0  ,  2;   H/số nghịch biến khoảng  ; 2  ,  0;  Câu 3: H/số đồng biến khoảng  1;1 Cực trị hàm số Lý thuyết: - Định lý 1, định lý SGK Giải tích 12 Dạng 1: Tìm m để hàm số y  f  x, m  đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x  x0 Cách giải:  Tính y  f   x, m   Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) x  x0 y  x0   f   x0 , m   Giải phương trình tìm m  Thử lại (Điều kiện đủ) Với giá trị m tìm được, ta tính y  x0  - Nếu y  x0   hàm số đạt cực tiểu x  x0 - Nếu y  x0   hàm số đạt cực đại x  x0 Căn vào yêu cầu đề để chọn giá trị m thỏa mãn  Kết luận Cịn có cách khác để thử lại lập bảng biến thiên để kiểm tra xem hàm số đạt cực đại hay cực tiểu x  x0 Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y  x  mx  đạt cực đại x  xm Gợi ý giải: Để dễ tính đạo hàm ta chia tử cho mẫu y  x   Đ/k xác định x  m   x  m    Đạo hàm y   x    1 xm  x  m 2 xm y       m 2  Đ/k cần để hàm số đạt cực đại x  y     1   m 2     m  2  m   m  1     m  1  m  3  Thử lại (đ/k đủ)   2   0 Ta có y  1   2   x  m  x  m   x  m 3   - Với m  1 , ta có y      nên trường hợp hàm số đạt cực tiểu  2  nên trường hợp hàm số đạt cực đại   1 x  (không thỏa đề bài) - Với m  3 ta có y      3 x  (thỏa đề bài)  Kết luận: Giá trị m phải tìm m  3 Dạng 2: Chứng minh hàm số y  f  x, m  ln có cực trị với giá trị tham số m Cách giải: Chứng tỏ fy  x, m   ln có nghiệm đổi dấu x chạy qua nghiệm - Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y có delta dương; - Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để y có nghiệm, nghiệm Ví dụ 2: Chứng minh hàm số y  x  mx  x  có điểm cực đại điểm cực tiểu với giá trị m Gợi ý giải:  Tập xác định hàm số: D   Đạo hàm y  3x  2mx  tam thức bậc hai có    2m   4.3  2   4m  24  0, m  Suy y  có hai nghiệm phân biệt y đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x1 , x2 ) x qua hai nghiệm  Vậy hàm số ln có cực đại, cực tiểu với m Bài tập: Câu (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số y  x  x  x có đồ thị (C) Với giá trị tham số m, đường thẳng y  x  m2  m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị (C)   2 Câu 2: Tìm m để hàm số y  x  mx   m   x  có cực trị x  Khi  hàm số đạt cực đại hay cực tiểu ? Tính cực trị tương ứng ? Câu 3: (TN BTTH 2006) Chứng minh hàm số y  x3  mx   2m   x  ln có cực trị với giá trị tham số m ? Gợi ý – đáp số: Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị hàm số A  3;0  , B 1;  Trung điểm hai cực trị M  2;  Cho M  2;  thuộc đường thẳng y  x  m2  m , ta có   m  m Giải tìm m Câu 2: m  Hàm số đạt cực tiểu x  Tiếp tuyến, tiệm cận đồ thị hàm số Lý thuyết: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  M  x0 ; y0  điểm  C  Tiếp tuyến với đồ thị  C  M  x0 ; y0  có: - Hệ số góc: k  f   x0  - Phương trình: y  y0  k  x  x0  Hay y  y0  f   x0  x  x0  Vậy để viết PT tiếp tuyến M  x0 ; y0  cần đủ ba yếu tố sau: - Hoành độ tiếp điểm: x0 - Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính cách thay x0 vào hàm số y0  f  x0  } - Hệ số góc k  f   x0  Dạng 1: Viết p/trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ; y0  , hoành độ x0 , tung độ y0 Ví dụ: Viết p/trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm M  2;9  Gợi ý giải:  Ta có (đạo hàm): y  x  x  T/tuyến M  2;9  có: - Hệ số góc k  y  2    2    2   24 - P/trình: y   24  x   2   Hay y  24 x  39 Ở cần biết: x0  2 , y0  tọa độ M (đề cho) Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số y  x 1 x 1 a) Tại điểm có hồnh độ b) Tại điểm có tung độ Gợi ý giải: a) Ta có y   x  1  x  1   x  1  x  1   x  12  x  12 Gọi tọa độ tiếp điểm  x0 ; y0  Theo giả thiết có x0   Tung độ tiếp điểm: y0  x0   1   x0    Hệ số góc tiếp tuyến  2;  :     k  y     P/trình tiếp tuyến: y     1  2  x   Hay y  x  9 Với dạng này, đề cho x0  , ta cần tính y0  số góc t/tuyến k  y   x0   y   x0  tính đạo hàm, suy hệ x0  b) Ta có y   x  1  x  1   x  1  x  1   x  12  x  12 Gọi tọa độ tiếp điểm  x0 ; y0  Theo giả thiết có y0   Vậy y0  x0    x0    x0  1  x0  2 x0   Hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0    2;3 là: k  y  2    2  1 2  P/trình tiếp tuyến cần tìm: y    x   2   Hay y  x  Dạng 2: Viết p/trình tiếp tuyến biết hệ số góc Dấu hiệu: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng  d  : ax  by  c  - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d  : ax  by  c  Cách giải:  Cần biết (rút y theo x) d  : y   a c a x  nên  d  có hệ số góc k    b b b  Khi t/tuyến song song với  d  hế số góc t/tuyến hệ số góc  d  a k  k   b  Khi t/tuyến vng góc với  d  hế số góc k t/tuyến hệ số góc k   d  thỏa mãn  a k k   1  k     1  b Lời giải (Các bước):  Tính đạo hàm hàm số y  f   x  Tính hệ số góc tiếp tuyến k (theo dấu hiệu trên)  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm  Hệ số góc t/tuyến k  y   x0  - Giải ph/trình tìm x0 - Thay vào y0  f  x0  để tính tung độ tiếp điểm  Viết p/trình t/tuyến Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số y  2x , biết: x 1 a) Hệ số góc t/tuyến 2 b) T/tuyến song song với đường thẳng  d  : y   x c) T/tuyến vng góc với đường thẳng    : y  x  Gợi ý giải: a)  Ta có y   x  1  x  x  1  2  x  12  Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y  x0   2  x0  12 Theo giải thiết ta có y  x0   2  2  x0  12 x 1   x0  2   x0  1      x0   1  x0   Với x0  , ta có y0  x0 2.2  4 x0   Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến  2;4   2 y   2  x   hay y  2 x   Với x0  , ta có y0  x0 2.0   x0   Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến  0;0  y   2  x   hay y  2 x  Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề có p/trình y  2 x  ; y  2 x Lưu ý: Hệ số góc t/tuyến k  y  x0   2 (đề cho) b) T/tuyến song song với  d  nên hệ số góc t/tuyến hệ số góc  d  , k    Gọi  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến  x0 ; y0  y  x0   2  x0  12 Vậy y  x0   k  2  x0  1  1   x0  1  x   x0      x 1   x    2 3 x0   Với x0  , ta có y0   x0   Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến  ;6     27 1 3 y     x   hay y   x  2 2   Với x0  , ta có y0  2 x0  2  1 x0  Tr/hợp ta có p/trình t/tuyến  ; 2    2  1 1 y   2     x   hay y   x  2 2  Kết luận: Vậy có hai t/tuyến thỏa đề có p/trình 27 y x ; y   x 4 c) Đường thẳng    : y  x  có hệ số góc k    Gọi k hệ số góc t/tuyến Biết t/tuyến vng góc với    nên ta có k k   1  k  1  k   Đến làm tương tự câu a) câu b)  Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình 32 y   x ; y   x 9 9 Bài tập: Câu (Đề TN 2006, Ban KHXH): Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x  điểm thuộc đồ thị x 1 có hồnh độ x0  3 Câu (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y  x3  x  điểm A(2;4) Câu (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số y  x 1 , gọi đồ thị hàm số (C) x2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số y  3x  , gọi đồ thị hàm số (C) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y0  2 4 Đáp số: Câu 1: y   x  ; Câu 2: y  x  14 3 Câu 3: y  x  ; Câu 4: y  x  Tương giao hai đồ thị Lý thuyết: Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f  x  để biện luận theo m số nghiệm phương trình f  x   m Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số y  x3  3x Dựa vào đồ thị  C  , biện luận theo m số nghiệm phương trình x3  x   m  (1) Gợi ý giải:  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  (2 điểm) Học sinh tự làm  Đồ thị (xem hình) y - -1 x -2  Viết lại (1) dạng (1)  x3  x  m  (2) Đây PT hoành độ giao điểm đồ thị  C  hàm số y  x3  3x với đường thẳng  d  : y  m  (song song với trục hoành) nên số nghiệm (2) số giao điểm  d   C   Dựa vào đồ thị ta có kết biện luận sau:  m   2  m  1 * Với   , ta thấy  d   C  khơng có điểm chung Suy (2) m 1  m  vô nghiệm  m   2  m  1 * Với   , ta thấy  d  cắt  C  điểm tiếp xúc m 1  m  điểm Suy (2) có hai nghiệm (một nghiệm đơn nghiệm kép) Nói đơn giản  d   C  có hai điểm chung nên (2) có hai nghiệm m   2  m  1  , ta thấy  d  cắt  C  ba điểm phân biệt Suy (2) m   m  * Với  có nghiệm phân biệt  Kết luận: * Với m  1 m  , p/trình (1) vơ nghiệm * Với m  1 m  , p.trình (1) có hai nghiệm * Với 1  m  , p/trình (1) có nghiệm phân biệt Dạng 2: Chứng tỏ đường thẳng y  f  x   d  : ax  by  c  cắt đồ thị hàm số mx  n hai điểm phân biệt, không cắt cx  d Cách giải: a b  Viết lại  d  : y   x  c b  Lập p/trình hồnh độ giao điểm  d   C  : mx  n a c  x cx  d b b (1) Quy đồng khử mẫu đưa p/trình bậc hai dạng f  x, m   Ax  Bx  C  với cx  d   x   d c Tính   B  AC  d   Đến cần chứng tỏ   với m f   , m   kết luận (1)  c  có hai nghiệm phân biệt Suy  d  cắt  C  hai điểm phân biệt - Tương tự, kết luận cho tr.hợp   0;   Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh với giá trị thực m, đường thẳng  d  : y  x  m cắt đồ thị  C  hàm số y  hai điểm phân biệt M, N Gợi ý – Giải:  P/trình hồnh độ giao điểm  d   C  x3  2x  m x 1 (1) x3 x 1  x    x  m  x  1 ,  x     x  1  m  x  m   ,  x  1 (2)  P/trình (2) p/trình bậc hai có   1  m   4.2  m  3   m  6m  25   m  3  16  với m (a) Mặt khác, thay x  1 vào vế trái (2) ta 2. 1  1  m   m   2  với m (b)  Kết hợp (a) (b) suy p/trình (2) ln có hai nghiệm phân biệt thỏa x  1 Do (1) ln có hai nghiệm phân biệt Vậy đ/thẳng  d  cắt đồ thị  C  hai điểm phân biệt với giá trị m Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, bản) Tìm m để đồ thị  Cm  hàm số y  x   m   x   m cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  2  Phân tích tốn: - Nhưng điểm nằm trục hồnh có tung độ y  - Vậy  Cm  cắt trục hoành điểm  x; y    2;0  - Điểm thuộc  Cm  nên tọa độ thỏa mãn p/trình  Cm  Lời giải:  Từ giả thiết ta suy  Cm  cắt trục hoành điểm  2;0  , thay tọa độ điểm vào p/trình  Cm  ta được:   2    m  3 2    m  8   m  3   m   3m    m    Vậy m   Bài tập: giá trị cần tìm Câu (Đề TN 2008, L1, Phân ban): Cho hàm số y  x  3x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x  3x   m Câu (Đề TN 2008, L2, KPB): Cho hàm số y  x  3x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3  3x  m  Câu (Đề TN 2006, Phân ban): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y   x3  3x 2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình  x3  x  m  Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành Điểm đặc biệt đồ thị hàm số Lý thuyết: - Một số dạng toán: Tìm điểm đồ thị có tọa độ ngun; Ví dụ: Tìm điểm đồ thị hàm số y  x3 có tọa độ số nguyên x 1 Giải:  Đ/k xác định: x    x  1  Chia tử cho mẫu ta có y   x 1 Xét điểm  x; y  thuộc đồ thị hàm số cho, ta có y   x 1  Với x  ta có y    x 1   x 1  x  ước số nguyên Các trường hợp xảy ra: x    x  , ta có y  33 0 1 x   4  x  5 , ta có y  x    x  , ta có y  1 x   2  x  3 , ta có y  x    x  , ta có y  3 x   1  x  2 , ta có y   Vậy có sáu điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên là:  3;0  ,  5;  , 1; 1 ,  3;3 ,  0; 3 ,  2;5 Bài tập: Tìm điểm đồ thị hàm số y  2x  có tọa độ số nguyên x2 Khảo sát hàm số Sơ đồ:  Tập xác định  Đạo hàm y  f   x  Giải p/trình f   x    Tính giới hạn lim y ; tiệm cận với hàm hữu tỷ y  x Và lim  x  d c   ax  b cx  d y   để suy tiệm cận đứng đ/t x  a ; c lim y  a , suy tiệm cận ngang đ/t y  a c c x   Bảng biến thiên (điền đầy đủ thông tin, ý giá trị giới hạn tính)  Dựa vào bảng biến thiên suy ra: - Các khoảng đơn điệu (đồng, nghịch biến) hàm số; - Cực trị hàm số (nếu có)  Vẽ đồ thị: - Xác định giao điểm với trục hồnh: Cho y  , tìm x - Xác định giao điểm với trục tung: Cho x  , tìm y - Cho thêm số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm trung điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm t/cận) ... biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung Câu (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban): Cho hàm số y  3x  , gọi đồ thị hàm số (C) x 1 Khảo sát... 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt x3  3x  m  Câu (Đề TN 2006, Phân ban): Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y   x3  3x 2 Dựa vào đồ thị. .. vào đồ thị hàm số y  f  x  để biện luận theo m số nghiệm phương trình f  x   m Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C  hàm số y  x3  3x Dựa vào đồ thị  C  , biện luận theo m số