Cở sở lý thuyết mạch điện: Quá trình quá độ pdf

Giới thiệu 1• Tất cả các mạch điện từ trước đến giờ đều ở trạngTất cả các mạch điện từ trước đến giờ đều ở trạng thái/chế độ xác lập • Chế độ xác lập: mọi thông số trong mạch điện dòng ộ

Nguyễn Công Phương g y g g

Quá trình quá độ

Cơ sở lý thuyết mạch điện

Nội dung

Giới thiệu (1)

• Tất cả các mạch điện từ trước đến giờ đều ở trạngTất cả các mạch điện từ trước đến giờ đều ở trạng

thái/chế độ xác lập

• Chế độ xác lập: mọi thông số trong mạch điện (dòng ộ ập ọ g g ạ ệ ( g

điện, điện áp, công suất, năng lượng) đều là hằng số

(mạch một chiều) hoặc biến thiên chu kỳ (mạch xoay

Giới thiệu (2)

• Quá trình quá độ (kỹ thuật điện): quá trình mạch điện Quá trình quá độ (kỹ thuật điện): quá trình mạch điện

chuyển từ chế độ xác lập này sang chế độ xác lập khác

Giới thiệu (3)

• Quá trình quá độ (kỹ thuật điện): quá trình mạch điện Quá trình quá độ (kỹ thuật điện): quá trình mạch điện

chuyển từ chế độ xác lập này sang chế độ xác lập khác

(dòng điện trong L phải liên tục)

(điện áp trên C phải liên tục)

Giới thiệu (7)

• Quá trình quá độ xảy ra khi có thay đổi đột ngột về cấuQuá trình quá độ xảy ra khi có thay đổi đột ngột về cấu trúc của các mạch điện quán tính

Giới thiệu (8)

• QTQĐ tồn tại & ảnh hưởng đến thiết bị điện, VD khiQTQĐ tồn tại & ảnh hưởng đến thiết bị điện, VD khi

đóng cắt mạch điện, dòng & áp có thể đạt tới một trị số rất lớn Ta cần biết được trị số này để, VD, thiết kế mạch

có thể chịu được độ lớn đó

• Lợi dụng QTQĐ, VD điện áp quá độ trong chấn lưu sắt

từ của đèn néon, điện áp quá độ trong máy hiện sóng, …

• → cần khảo sát QTQĐ

• QTQĐ trong mạch tuyến tính

Nội dung

Sơ kiện (1)

• Giá trị (& đạo hàm các cấp) ngay sau thời điểm đóng mở ị ( ạ p) g y gcủa dòng điện trong cuộn cảm & điện áp trên tụ điện

• iL(0), uC(0), i’L(0), u’C(0), i’’L(0), u’’C(0), …

• Được dùng để tính các hằng số tích phân của nghiệm của quá trình quá độ

• Việc tính sơ kiện dựa vào:

– Thông số mạch ngay trước thời điểm đóng mở (chế độ cũ):

Sơ kiện (3)

• Hàm bước nhảy đơn vị 1(t) Hàm bước nhảy đơn vị 1(t)

0

0 )

(

0 1

) (

1





t t

1

0 )

( 1

1

)()

( 1 [

2 )

) (

1 )

dt d

Sơ kiện (6)

• Luật/quy tắc đóng mở 1: dòng điện trong một cuộn cảm Luật/quy tắc đóng mở 1: dòng điện trong một cuộn cảm

iL(+0) = iL(–0)

• Luật/quy tắc đóng mở 2: điện áp trên một tụ điện ngay

uC(+0) = uC(–0)

Sơ kiện (7)

VD1

Tại thời điểm t = 0 khoá K đóng lại.

Tính sơ kiện iL(0) & i’L(0) của cuộn cảm.

Sơ kiện (8)

VD2

Tại thời điểm t = 0 khoá K mở ra.

Tính sơ kiện iL(0) & i’L(0) của cuộn cảm.

Sơ kiện (9)

VD3

Tại thời điểm t = 0 khoá K đóng lại.

Tính sơ kiện uC(0) & u’C(0) của tụ điện.

Sơ kiện (10)

VD4

Tại thời điểm t = 0 khoá K mở ra.

Tính sơ kiện uC(0) & u’C(0) của tụ điện.

Sơ kiện (11)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

Sơ kiện (12)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

Sơ kiện (13)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

Sơ kiện (14)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

Sơ kiện (15)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

Sơ kiện (16)

VD5

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3

= 30 Ω; L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tính các sơ kiện iL(0),

(0) (0)

C

i u

• Luật/quy tắc đóng mở tổng quát 2: tổng điện tích ở một đỉnh ngay

sau khi đóng mở g Σq(+0) bằng tổng điện tích ở đỉnh đó ngay trước q( ) g g g y khi đóng mở Σq(–0)

Σq(+0) = Σq(–0)

Σq(+0) Σq( 0)

Sơ kiện (19)

VD6

E = 120 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; L1 = 1 H; L2 = 2 H

Tại thời điểm t = 0 khoá K mở ra Tính sơ kiện iL2(0).

Sơ kiện (20)

VD6

E = 120 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; L1 = 1 H; L2 = 2 H

Tại thời điểm t = 0 khoá K mở ra Tính sơ kiện iL2(0).

( 0) ( 0) (0) L i L i

• Để tính sơ kiện bậc 1 [i’L(0) & u’C(0)]

3 Lập (hệ) phương trình (α) (theo KD & KA) mô tả mạch điện

sau khi đóng mở

4 Giải (α)

• Để tính sơ kiện bậc 2 [i’’LL(0) & u’’( ) CC(0)]( )

5 Lấy đạo hàm 2 vế của (α), được (β)

6 Giải (β)

• …

Nội dung

ể Tích phân kinh điển (1)

Nghiệm của quá

Nghiệm của quá

- Vật lý: không do nguồn duy trì, vì nguồn đã dùng cho xxl

Toán học: là nghiệm riêng của PTVP thuần nhất (không có vế phải)

- Chỉ phụ thuộc vào bản hất ủ h khô

điều hoà, chu kỳ)

- Còn gọi là cưỡng bức

chất của mạch, không phụ thuộc vào nguồn

ể Tích phân kinh điển (2)

L

R t L

i Ae

ể Tích phân kinh điển (3)

R t L td

i  Ae

xl

E i

R



R t L

E

Ae R

i  Ae

6 Từ sơ kiện tính các hằng số tích phân

7 Tổng hợp kết quả

R t

Tích phân kinh điển (5)

1 Tính nghiệm xác lập

2 Lập phương trình đặc trưng

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm

ể Tích phân kinh điển (6)

Ri td  Li td  0

Ri  Li 

pt td

ể Tích phân kinh điển (7)

VD1

E = 12 V; R = 6 Ω; L = 2 mH Tại thời điểm t = 0 khoá K

đóng lại Tính dòng điện quá độ trong mạch.

xl

E i

R p

Tích phân kinh điển (9)

• Để tìm nghiệm đặc trưng:Để tìm nghiệm đặc trưng:

ể Tích phân kinh điển (10)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

ể Tích phân kinh điển (11)

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

1

0 1

0 1

pt pt

ể Tích phân kinh điển (12)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

1

0 1

pt pt

ể Tích phân kinh điển (13)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

1  1  1

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

ể Tích phân kinh điển (14)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

Cách 2: i1   i2 i3 0

1

0 1

0 1

ể Tích phân kinh điển (15)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

Cách 2:

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

1

0 1

 

  

1 0

ể Tích phân kinh điển (16)

VD2

E1 = 120 V; E2 = 40 V; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω;

L 1 H C 1 F T i hời điể 0 kh á K h ể ừ 1

Cách 3:

L = 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

1 0

LC R R p R R R R R R C L p R R

Tích phân kinh điển (17)

Mạch điện sau khi đóng/mở

Mạch điện không nguồn

Triệt tiêu nguồn

ể Tích phân kinh điển (18)

= 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

1 ( ) //( )

10 301

ể Tích phân kinh điển (19)

VD3

E = 120 V; J = 12 A; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; R3 = 30 Ω; L

= 1 H; C = 1 mF Tại thời điểm t = 0 khoá K chuyển từ 1

sang 2 Tìm phương trình đặc trưng & nghiệm đặc trưng.

 2 3 1

1 ( ) //

Tích phân kinh điển (20)

1 Tính nghiệm xác lập

2 Lập phương trình đặc trưng

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

4 Viết dạng tổng quát của nghiệm tự do

5 Tính sơ kiện

6 Từ sơ kiện tính các hằng số tích phân

7 Tổng hợp kết quả

Tích phân kinh điển (21)

• PTĐT có nghiệm thực p PTĐT có nghiệm thực p11, p , p22

t p t

p

2 1

) ( t  Ae   t  

ể Tích phân kinh điển (22)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

ể Tích phân kinh điển (23)

VD4

E = 120 V; J = 10 A; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi kh á ở ị t í 1 h ở t thái á lậ T i thời điể t 0

Cần 2 sơ kiện: uC(0) & u’C(0)

(0) ( 0) 10 A

i i J (0) ( 0) R J 20 10 200 V

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

1 Tính nghiệm xác lập

1

1 1 2

0 '

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

ể Tích phân kinh điển (24)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0

khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

ể Tích phân kinh điển (25)

VD5

E = 120 V; J = 10sin10t A; R1 = 10 Ω; R2= 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

ể Tích phân kinh điển (26)

VD5

E = 120 V; J = 10sin10t A; R1 = 10 Ω; R2= 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

10 ( 100)

2

L

j I

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

ể Tích phân kinh điển (27)

VD5

E = 120 V; J = 10sin10t A; R1 = 10 Ω; R2= 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

ể Tích phân kinh điển (28)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

ể Tích phân kinh điển (29)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

60,5 100(20 10)

ể Tích phân kinh điển (30)

VD6

E = 120sin10t V; J = 10 A; R1= 10 Ω; R2 = 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t 0 khoá

Cần 2 sơ kiện: uC(0) & u’C(0)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

ể Tích phân kinh điển (31)

Khi khoá ở vị trí 1, mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t = 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

ể Tích phân kinh điển (32)

VD7

E = 120sin10t V; J = 10sin10t A; R1 = 10 Ω; R2= 20 Ω; L = 1 H;

C 1 mF Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm

t = 0 khoá K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

ể Tích phân kinh điển (33)

VD8

E = 120e –25t V; J = 10 A; R1 = 10 Ω; R2 = 20 Ω; L = 1 H; C = 1 mF

Khi khoá ở vị trí 1 mạch ở trạng thái xác lập Tại thời điểm t 0 khoá

K chuyển từ 1 sang 2 Tìm điện áp quá độ trên tụ điện.

?

Cxl

Tích phân kinh điển (34)

1 Tính nghiệm xác lập

2 Lập phương trình đặc trưng

3 Giải phương trình đặc trưng để tìm nghiệm đặc trưng

4 Viết dạng tổng quát của nghiệm tự do

5 Tính sơ kiện

6 Từ sơ kiện tính các hằng số tích phân

7 Tổng hợp kết quả

Nội dung

• Giới thiệuệ

• Phương pháp tích phân kinh điểng p p p

'

R t L

(1 )

R t L R

u  E  e

L td

RL (3)

sin( )

e E  t  sin( )

i  I  t 

2 2 ; ( )

m m

E I

RL (5)

sin( ) sin

R t L

0 200 400 600 800 1000 1200 -1

RL (6)

sin( ) sin

R t L

-1.5 1

0 200 400 600 800 1000 1200 -2

RL (7)

sin( ) sin

R t L

-0.8 -0.6 -0.4

0 200 400 600 800 1000 1200 -1

RL (8)

Nội dung

• Giới thiệuệ

• Phương pháp tích phân kinh điểng p p p

; 1

m m

; 1

m m

E U

-0.8 -0.6 -0.4 0.2

-1

-0.5 0

-1

RC (7)

Nội dung

• Giới thiệuệ

• Phương pháp tích phân kinh điểng p p p

i  Ae  t 

2 / :

R  L C u Ctd  Bet sin( t  )



   



0.5 1

0

40 50 60

20 30 40

10

1.5 2

0.5 1

0

80 90 100

50 60 70

20 30 40

0 10

60 80 100

20 40 60

0

; 1

m m

-1 -0.5

-15

0.4 0.6 0.8

-0.2 0 0.2

-0.8 -0.6 -0.4

-1

• Mạch chỉ có 1 L & 1 C → tính sơ kiện cấp 0 & 1ạ ệ p

• Mạch có m L và/hoặc C → tính sơ kiện đến cấp n – 1

(vấn đề 1)

• Phương trình đặc trưng có n bậc → cần tìm n hằng số tích phân → giải hệ n phương trình n ẩn (vấn đề 2)

Nội dung

Phương pháp toán tử (1)

• Khắc phục các nhược điểm của p/p tích phân kinh điểnKhắc phục các nhược điểm của p/p tích phân kinh điển

• Biến đổi hai chiều: gốc thời gian ↔ ảnh toán tử

• Có nhiều phép biến đổi (Laplace, Fourier, …) cho nhiều kiểu ứng dụng, có những ưu nhược điểm khác nhau

• Đối với kỹ thuật điện thì biến đổi Laplace đủ dùngĐối với kỹ thuật điện thì biến đổi Laplace đủ dùng

• Phép biến đổi Laplace làm cho một số phép toán trở nên đơn giản hơn

Phương pháp toán tử (2)

khó

(Hệ) phương trình trong miền thời gian

(Bộ) nghiệm trong miền thời gian

Phương pháp toán tử (3)

• Biến đổi thuận LaplaceBiến đổi thuận Laplace

• Tính chất cơ bản của biến đổi thuận Laplace

• Tìm ảnh Laplace từ gốc thời gian

• Biến đổi ngược Laplace

• Tính chất cơ bản của biến đổi ngược Laplace

• Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace

Sơ đồ t á tử

• Sơ đồ toán tử

• Giải bài toán quá độ bằng phương pháp toán tử

ế ổ Biến đổi thuận Laplace (1)

) ( )

( ) (

1 t x t  X p

) ( )

( ) (

1 t x t  X p

     

)(li

)()

()

)(lim

)()

()

( p L x t x t e dt x t e dt

p = σ + jω; p : toán tử Laplace

ế ổ

Biến đổi thuận Laplace (2)

) ( )

( ) (

• Đây là biến đổi một phía, chỉ từ – 0 → ∞

) ( )

( )

• X(p) hội tụ thì x(t) mới có ảnh

• x(t)e -pt hội tụ khi x(t) ≤ Me αt với α > 0 → x(t) phải tăng

chậm hơn một hàm mũ

• Phần lớn các hàm trong thiết bị điện đều có ảnh Laplace

ấ ế ổ

Tính chất cơ bản của biến đổi Laplace (2)

• Ảnh của tích phân của gốc:Ảnh của tích phân của gốc:

x at( )  X ( )p



Tìm ảnh Laplace (1)

• Dùng bảngDùng bảng

1 )

(t 



a p

sin ) (

p

t) 1(

cos )

t

2

1 )

Tìm ảnh Laplace (2)

• Dùng tính chấtDùng tính chất

te

t e

d

t p

p

t p t

0

) 2 ( 3

0

) 2 (

) 2 (

4 )

2 (

4 )

2 (

4 )

(

p p

(

D C

tdt

e p

e

t p

de

t p

0

) 2 ( 2 2 0

) 2 ( 2 2

) 2 (

24 )

2 (

12 )

2 (

12 0

tde p

0

) 2 ( 3 0

) 2 (

24 )

2 (

24 )

2 (

) 2 (

24 )

2 (

4 ) 2 (

24 )

Phương pháp toán tử

• Biến đổi thuận LaplaceBiến đổi thuận Laplace

• Tính chất cơ bản của biến đổi thuận Laplace

• Tìm ảnh Laplace từ gốc thời gian

• Biến đổi ngược Laplace

• Tính chất cơ bản của biến đổi ngược Laplace

• Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace

Sơ đồ t á tử

• Sơ đồ toán tử

• Giải bài toán quá độ bằng phương pháp toán tử

ế ổ Biến đổi ngược Laplace

ptdp e

p

X j

t x p

X

2

1 )

( )

ấ ế ổ

Tính chất cơ bản của biến đổi ngược Laplace

• Vi phân của ảnh:Vi phân của ảnh:

) ( )

( p tx t

X dp



• Dịch ảnh:

) ( )

( p a e x t

Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace (1)

• 4 cách: bảng tính sẵn, tính chất, khai triển phân thức hữu4 cách: bảng tính sẵn, tính chất, khai triển phân thức hữu

tỉ, hoặc định nghĩa

• Cách thứ ba thường gặp nhất, do ảnh thường có dạng g gặp , g ạ g

phân thức hữu tỉ:

0 1

1

1

)

( )

X

n n

1

1

) (

)

(

b p

b p

b p

b p

• m ≤ n → X(p) không chính tắc → chia đa thức

• Chỉ khai triển khi X(p) chính tắc Chỉ khai triển khi X(p) chính tắc

ố Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace (2)

2

8 )

2

) 4 )(

2 (

p

X

4 )

4 (

p p

N hiệ h hâ biệ

– Nghiệm thực phân biệt

– Nghiệm thực lặp (kép)

– Nghiệm phức phân biệt

– Nghiệm phức lặp (kép)

Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace (3)

• Nghiệm thực phân biệt

) 8 )(

4 (

640 300

25 )

p

p

p p

X

8 4

3 2

K p

Tìm gốc thời gian từ ảnh Laplace (4)

• Nghiệm thực phân biệt

) 8 )(

4 (

640 300

25 )

p

p

p p

X

8 4

3 2

K p

K

2

3

2 1

K