1 1 TÌM GTLN VÀ GTNN A. Kiến thức cơ bản: Công cụ để tìm GTLN - GTNN của một hàm số (hay một biểu thức) thường là: 1) Sử dụng các bất đẳng thức có tên gọi đã biết. 2) Sử dụng một số bđt đơn giản để đánh giá. 3) Đặt ẩn phụ, đưa về các dạng quen thuộc. 4) Qui về một biến để sử dụng phương pháp dùng đạo hàm. 5) Lượng giác hóa. 6) Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. B. Một số ví dụ VD 1 : Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa: x + y + z = 1. Tìm GTNN của xyz yx P Giải: Ta có: 4 1 )( 2 1 )()(2)(1 zyxzyxzyxzyx 16 16)2.(4)(4)()(41 22 xyz yx xyzzxyzyxyxzyx Suy ra minP = 16 đạt được 2/1 4/1 1 z yx zyx yx zyx VD 2 : Tìm GTLN của biểu thức xyz zxyyzxxyz p 321 Giải: ĐK: 3,2,1 zyx (1) Viết lại : z z y y x x P 3 2 1 Cách 1. Ta có: 32 13 )3(323)3( 22 1 2 )2(222)2( 3 11 121)1( z z zzz y y yyy x x xxx Suy ra 32 1 22 1 2 1 P , với mọi x,y,z thỏa (1). 2 2 Nên MaxP = 12 32236 32 1 22 1 2 1 đạt được khi x = 2, y = 4, z = 6. Cách 2: Xét hàm số: ;1, 1 )( x x x xf Tính )( / xf , giải phương trình )( / xf = 0, lập BBT suy ra Maxf(x) = 1/2. Tương tự cho hai biểu thức còn lại … VD 3 : Cho ba số thực dương x, y, z thỏa: 2 zyx . Tìm GTLN của biểu thức: 1tantan1tantan1tan.tan xzzyyxP Giải: Từ: 2 zyx , ta có: zyx 2 tan)tan( 1tan.tantan.tantan.tan xzzyyx (1) Đặt a = tanx, b = tany, c = tanz. Ta có )1)(1()1)(1()1)(1(23 111 2 abcacabcbcabcabcabP cabcabP 12 2 8 .24 2 11 2 11 2 11 24 2 abcacabcbcab P 3/13232 cabcabMaxPP * Chú ý: ba số thực x, y, z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A/2, B/2, C/2 của tam giác một tam giác ABC nào đó. VD 4 : Tìm GTNN của hàm số: )1(log)3(log 2 3 2 1 22 xxy xx Giải: TXĐ: 0;2\3;3 D Đặt: )3(log 2 1 2 xt x . Ta có 2 11 t t t ty Suy ra miny = 2 đạt được 1 t VD 5 : Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa: x+y+z = 4 Tìm GTLN của biểu thức: 141312 zyxP Giải: Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có: 4 183 )4/13/12/1)(432(4/1.23/1.32/1.2 2 2 zyxzyxP 3 3 Suy ra MaxP = 2 183 x VD 6 : Cho hai số thực x, y thỏa: x 2 + y 2 = 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức 2 2 221 )6(2 yxy xyx P Giải: Cách 1. * Nếu: y = 0, ta có x = 1 2 P . (1) * Nếu: y 0 2 2 22 1 11 yy x yx (2) Chia cả tử và mẫu của P cho y 2 ta được: 2.2 1 .62 2 2 2 y x y y x y x P (3) Từ (2) và (3), đặt y x t , ta có: )( 3 2 )6(2 2 2 tf t t tt P Xét hàm số f(t), tính f’(x), lập BBT, tìm GTLN, NN của f(t), ta được Maxf(t) = 3 , min(t) = - 6 (4). Kết hợp với (1), suy ra GTLN, NN của P. * Chú ý: có thể dùng phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, NN của f(t). Cách khác (Phương pháp lượng giác hóa): Đặt x = cos; y = sin (0 < 2) P = 2 2 2(cos 6sin cos ) 1 2sin cos 2sin = 1 cos2 6sin 2 2 sin 2 cos2 (P – 6)sin2 - (P + 1)cos2 = 1 – 2P (1) (1) cú nghiệm (P – 6) 2 + (P + 1) 2 (1 – 2P) 2 P 2 + 3P – 18 0 6 P 3 max P = 3 và min P = 6. VD 7 . Cho hai số x, y thỏa: x > y và x.y = 2008. Tìm GTNN của biểu thức yx yx P 22 HD: Ta có yx yx yx xy yx yx xyyx P 401622)( 2 Vì x – y > 0, áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta có 251840162 P Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2514 4016 yx yx yx , kết hợp x.y = 2008 để tìm x,y. C. Bài tập 4 4 Bài 1. Cho hai số thực x, y thỏa: x+y = 1. Tìm GTLN của. )(3)(3 2233 yxyxyxP Bài 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa x + y = 5/4. Tìm GTNN của biểu thức; yx A 4 14 Bài 3. Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. a) Tìm GTLN của 2 sin 2 sin 2 sin CBA P b) Tìm GTLN của: 2 sin 1 2 sin 1 2 sin 1 CBA Q Bài 4. Cho ba số thực a, b, c thỏa 0 < a, b, c < 1 và ab + bc + ca = 1. Tìm GTNN của biểu thức 222 1 1 1 c c b b a a P Bài 5. Cho hai số thực không âm x, y. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: 22 )1()1( )1)(( yx xyyx P Bài 6. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa abc = 1. Tìm GTNN của )1)(1()1)(1()1)(1( 333 ba c ac b cb a P Bài 7. Cho ba số x, y, z thỏa: 7)1()3()1( 222 zyx . Tìm GTLN của biểu thức: zyxP Hướng dẫn giải (GTLN,GTNN) Bài 1. Từ x+y=1 suy ra y = 1-x. Thay vào P, dùng đạohàm. Bài 2. Cách 1. Đưa A về 1 biến, Dùng đạo hàm. Cách 2. 4 5 4 14 4 5 4 14 y y x x yx yx A Bài 3. 5 5 a) Chứng minh 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA P b) Áp dung bđt Cauchy và câu a. Bài 4. Đặt 2 tan, 2 tan, 2 tan z c y b x a , 2 ,,0 zyx Ta có: 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan zxzxyxzzyyx 222222 tan 22 tan 2 cot 2 tan 1 2 tan 2 tan1 2 tan 2 tan zyxyzxy yzx zx Suy ra x, y, z là ba góc của một tam giác nhọn. Nên: 2 tan1 2 tan2 2 2 x x P 2 tan1 2 tan2 2 y y 2 tan1 2 tan2 2 z z z y x tan tan tan áp dụng đẳng thức: z y x tan tan tan z y x tan tan tan và bđt Cauchy, ta có 2 33 2 p Bài 5. Đặt x = tgu, y = tgv với u, v [0; ) 2 . 2 2 (tgu tgv)(1 tgutgv) P (1 tgu) (1 tgv) = 2 2 sin(u v)cos(u v) (sinu cosu) (sinv cosv) = 1 sin2u sin2v 2 (1 sin2u)(1 sin2v) = 1 1 1 2 1 sin2v 1 sin2u P max = 1 1 1 1 khi 2 1 0 1 1 4 u 4 và v = 0 x = 1 và y = 0, P min = 1 1 1 1 khi 2 1 1 1 0 4 u = 0 và v 4 x = 0 và y = 1 Cỏch khỏc : P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y xy x(1 y ) y(1 x ) x(1 2y y ) y(1 2x x ) (1 x) (1 y) (1 x) (1 y) (1 x) (1 y) = 2 2 x y (1 x) (1 y) , mà 2 a 1 0 ( a 0) (1 a) 4 nờn : P max 1 4 khi x = 1 ; y = 0 và P min = 1 4 khi x = 0 ; y = 1. Bài 6. Ta có: 4 3 3 8 1 8 1 )1)(1( 3 3 acb cb a Tương tự: 4 3 3 8 1 8 1 )1)(1( 3 3 bac ac b 4 3 3 8 1 8 1 )1)(1( 3 3 cba ba c Cộng ba bđt ta được: 4 3 4 3 .3 2 1 4 3 )( 2 1 3 abccbaP ………………………………………………………………… 6 6 Một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi TSĐH gần đây. Bài 1(A-2006) . Cho hai số thực x, y khác 0, thay đổi thỏa điều kiện (x+y)xy = x 2 + y 2 – xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 33 11 yx P Bài 2(B-2006) Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm GTNN của biểu thức 2)1()1( 2222 yyxyxP Bài 3 (B-2008) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa x 2 + y 2 = 1. Tìm GTLN- GTNN của biểu thức: 2 2 221 )6(2 yxy xyx P Bài 4 (D-2008) cho các số thực không âm thay đổi, tìm GTLN-GTNN của biểu thức: )1)(1( )1)(( 22 yx xyyx P Bài 5 (B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi thỏa (x + y) 3 + 4xy 2. Tìm GTNN của biểu thức: 1)(2)(3 222244 yxyxyxA Bài 6(D-2009) cho các số thực không âm thay đổi thỏa x + y = 1. Tìm GTLN- GTNN của biểu thức: xyxyyxS 25)34)(34( 22 …………………………………………………………………………………………… …………… . 6 Một số bài toán về cực trị đại số trong các đề thi TSĐH gần đây. Bài 1(A-2006) . Cho hai số thực x, y khác 0, thay đổi thỏa điều kiện (x+y)xy = x 2 + y 2 – xy Tìm giá trị lớn. cabcabMaxPP * Chú ý: ba số thực x, y, z cho trong bài toán có thể thay bằng ba góc A/2, B/2, C/2 của tam giác một tam giác ABC nào đó. VD 4 : Tìm GTNN của hàm số: )1(log)3(log 2 3 2 1 22 xxy xx . Cauchy cho hai số dương, ta có 251840162 P Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2514 4016 yx yx yx , kết hợp x.y = 2008 để tìm x,y. C. Bài tập 4 4 Bài 1. Cho hai số thực x, y