Mô hình hóa toán học sóng gió trong đại dương bất đồng nhất không gian ( Đại học quốc gia Hà Nội ) - Chương 1 pptx

tác ba sóng v tiêu tán lợng sóng liên quan tới đổ nho sóng nớc nông Cuốn chuyên khảo ny l tiếp tục lôgic công trình đà nêu cố gắng giải đáp loạt câu hỏi đặt trớc quan điểm tổng hợp việc mô tả sóng gió Đại dơng Thế giới điều kiện bất đồng không gian nó, ngụ ý dòng chảy quy mô lớn, bất đồng độ sâu đại dơng, ảnh hởng tính mặt cầu mặt Trái Đất Tác giả muốn nhấn mạnh chuyên khảo ny sóng gió đợc xét khuôn khổ cách phát biểu bi toán tổng quát nh l trình thủy động xác xuất với tính biến thiên không gian từ quy mô ton cầu, nh đại dơng với kích thớc sánh với bán kính Trái Đất, đến quy mô khu vực tiêu biểu l biển v quy mô địa phơng tiêu biểu l thủy vực hẹp hơn, nhng có gradient vận tốc dòng chảy hay độ sâu đáng kể đới ven bờ, sóng đại dơng sau du ngoạn hng nghìn kilômét kết thúc tồn phần - dẫn lập bi toán tổng quát, Những vấn đề v kết nghiên cứu sóng gió biển sâu Chơng bμi to¸n vỊ sù tiÕn triĨn phỉ sãng giã 1.1 Bi toán thủy động lực phát sinh chuyển động sóng chất lỏng dòng không khí Ta xét tiến triển sóng gió dới dạng giải bi toán chuyển động hệ thống nớc không khí với điều kiện động lực học v động học tơng ứng biên phân cách hai môi trờng đợc cho trớc Giả thiết chuyển động môi trờng tuân theo định luật bảo ton khối lợng v động lợng Định luật thứ (định luật bảo ton khối lợng) viết dới dạng  d i  i div (U i )  , (1.1) dt  ®ã  i  mật độ không khí ( i ) n−íc ( i  ), U i  vËn tốc di chuyển môi trờng Nếu mật độ chất lỏng không đổi, phơng trình (1.1) đơn giản vμ cã d¹ng 21 22  div(U i )  (1.2) Phơng trình bảo ton động lợng viết cho trục tọa độ gắn chặt với Trái Đất quay cã d¹ng      dU i i  i U i  grad( Pi )  i g  Fi (1.3) dt   Thμnh phần thứ l lực quán tính, liên quan tới gia tốc khối lợng Thnh phần thứ hai chứa vectơ quay hay hai lần tốc độ góc quay Trái Đất lực Coriolis Giá trị tuyệt đối cđa  vect¬ nμy   2 / 12 giê  1,46  10 4 s 1 Trong thμnh phần mô tả hiệu ứng trọng lực, vectơ g {0, 0, g} đặc trng cho gia  tèc träng tr−êng g  9,81 m/s Hớng vectơ g định phơng thẳng đứng địa phơng Thnh phần Fi vế phải phơng trình (1.3) l tổng tất lực tác dụng lên thể tích đơn vị chất lỏng, lực l nhớt phân tử Hầu nh tất trờng hợp có hiệu ứng nhít, ta cã thĨ xem n−íc lμ chÊt láng kh«ng nén đẳng hớng, tenxơ ứng suất đợc viÕt d−íi d¹ng Pij   p ij  2 eij , (1.4) ij tenxơ đơn vÞ ( ij  i  j , không ij ), hệ sè nhít cđa chÊt láng e ij   U i U j   x i  x j   ,   (1.5) ®ã eij tenxơ tốc độ biến dạng Do đó, thoả mÃn điều kiện không nén (1.2) lực ma sát đơn vị thể tích Fij    x ij  U ij  x ij (1.6) Ta chuyển sang xét mô hình hai lớp có gián đoạn mật độ v hệ số nhớt động học mặt phân cách di ®éng (r , t )   1,2.10 3 g / cm3 ;  a  w  1,0 g / cm ;   1,5  10 1 cm2 /s z  ;  a 2  w  1,0  10 cm /s z (1.7) Để xác định ta xem chất lỏng phía dới l bất động thời điểm ban đầu U (r , z, t  0)  0,  ( r , t  0) (1.8) hệ tọa độ Đecac r , t đợc chọn cho trục z x3 hớng thẳng đứng lên trên, mặt phẳng z trùng với mặt phân cách không nhiễu động (r {x, y}) Do đại lợng a , a v w , w khác nhau, phép đơn giản hóa thông thờng phơng trình (1.1)(1.3) z   vμ z   sÏ kh¸c V×  w  w /  a  a 100 , nên cho giai đoạn phát triển dòng không khí giống với lớp biên rối bình thờng bên mặt tờng cứng v dòng ny l chuyển động có xoáy Đối với lớp biên ny, giả thiết thông thờng lý thuyết lớp biên logarit bên tờng đợc coi l thoả mÃn, l cách xa mặt ®Ưm di ®éng cã thĨ g¸n cho líp nμy mét tốc độ ma sát xác định U * Với lớp chất lỏng phía dới (nớc) vấn đề khác Do cã sù kh¸c biƯt lín vỊ c¸c hƯ sè nhớt động lực học nớc v không khí, truyền xung ứng suất nhớt qua mặt phân cách tỏ tơng đối hiệu 23  eij 24   Ta biĨu diƠn tr−êng vËn tèc d−íi d¹ng U  grad   V ,   ®ã   thÕ cđa vËn tèc, V rot ( A) hợp phần solenoit (xoáy)   rot (U )   ( A)    Khi ®ã div(U )   ()  vμ (U )  (V ) , tøc lực nhớt đợc xác định hợp phần xoáy Thông thờng có vai trò lớp biên mỏng gần mặt nớc v gần đáy v đợc tính đến nhờ hiệu chỉnh nhá thªm vμo xÊp xØ thÕ  U  grad () Trong phÐp xÊp xØ nμy chun ®éng cđa nớc xem l chuyển động v phơng trình động lực học z có d¹ng  P   gz t  2  2        ;    z           z2     ,   (1.9) (1.10) ®ã v toán tử vi phân ngang vận tốc phơng trình (1.10) đợc xác chuyển động lý thuyết sóng mặt cổ điển ứng dụng vo mô tả sóng gió l cách xấp xỉ thô Khác với mô tả chuyển động nớc, phơng trình chuyển động lớp biên khí thnh phần nhớt v độ xoáy dòng tỏ có giá trị đáng kể v không nên bỏ qua chúng Trong trờng hợp ny phải giải phơng trình xuất phát (1.3), bi toán lớp biên ngời ta bỏ qua lực Coriolis Tốc độ dòng không khí U đợc biểu diễn thnh ba số hạng:     U  U1  U U ,   ®ã U  giá trị tốc độ dòng trung bình, U độ chênh lệch với U gây sóng mặt nớc, U thăng giáng rối ngẫu nhiên tốc độ, để xác định chúng phải sử dụng phơng trình khép kín [190] Bi toán chuyển động môi trờng hai lớp nớc không khí đợc giải nhờ điều kiện biên động học v điều kiện liên tục ứng suất pháp tuyến z    0, n (1.12) ®ã / n đạo hm theo phơng pháp tuyến với mặt với đáy H Tuy nhiên, ta lu ý quan niệm thông thờng tính có 25 (1.11) v đáy z  H ( x, y ) :   Pa  Pw     định cách giải bi toán biên phơng trình Laplace (1.10) với điều kiện biên mặt tự z  ( x, y, t ) :     2 n t    Ua U    t ;  (1.13)   ,   (1.14) ®ã  ~10 cm3/s2 hệ số ứng suất mặt biên n−íc  kh«ng khÝ chn hãa theo  Trong phơng trình (1.14) giá trị Pa (tại z ) phải đợc xác định nhờ giải phơng trình trờng thuỷ động lực ngẫu nhiên U a v Pa lớp khí sát mặt nớc, Pw (tại z ) trực tiếp biểu diễn qua đạo hm vận tốc (1.9) 26 Hệ phơng trình đầy đủ (1.3), (1.9)(1.14) để xác định tiến triển mặt với điều kiện ban đầu phơng trình (1.8) phức tạp cho việc phân tích Khác với lý thuyết sóng cổ điển bình thờng cho trớc phân bố áp suất Pa mặt cần tìm , lý thuyết sóng gió thân mặt vμ ¸p suÊt Pa lμ c¸c hμm ch−a biÕt vμ bi toán xác định mặt đòi hỏi giải đồng thời phơng trình (1.9) (1.12) nhiễu động sóng z v phơng trình phức tạp dòng chảy xoáy bên biên dao động sóng 1.2 Phép xấp xỉ quang hình học Vấn đề mô tả toán học sóng gió bị phức tạp đại dơng thực có bất đồng theo phơng ngang v phơng thẳng đứng khác nhau, ảnh hởng nhiều đến phân bố v phát sinh sóng trọng lực mặt Những bất đồng đặc trng số l: biến thiên không gian v thời gian dòng chảy trung bình, chuyển động rối, vùng đại dơng với độ sâu nhỏ kích thớc ngang đặc trng sóng địa hình đáy biến thiên lại l bất đồng Vì vậy, việc xem xét ảnh hởng bất đồng tới phân bố v phát sinh sóng đáng đợc quan tâm Trong cách dẫn lập tổng quát, bi toán ny phức tạp Vì vậy, trớc hết nên xét lan truyền sóng gió tơng đối ngắn, bớc sãng vμ chu kú nhá h¬n nhiỊu so víi quy mô biến thiên không gian v thời gian đặc trng môi trờng Nếu coi đại lợng ny có giá trị cỡ 1100 km v 110 giờ, điều ny đặc trng cho nhiều chuyển động đại dơng, ta xét bi toán ny phơng pháp quang hình học 27 Phơng pháp quang hình học dựa giả thiết tồn sóng phẳng Các sóng phẳng có tính chất l hớng truyền, bớc sóng v biên độ nh nơi Dĩ nhiên, sóng tính chất ny, nhng chúng đợc xem l sóng phẳng khoảng không gian nhỏ Muốn vậy, cần cho biên độ sóng a , vectơ sóng k v tần số gần nh không đổi đoạn di cỡ bớc sóng v khoảng thời gian cỡ chu kỳ sóng Những biến thiên tham số ny liên quan với biến đổi m sóng lan truyền Từ rút đòi hỏi tính bé biến thiên tham số phạm vi biến đổi Nền đợc hiểu l dòng chảy quy mô lớn v bất đồng địa hình đáy Thí dụ, quy mô ngang đặc trng biến thiên địa hình đáy M , quy mô không gian dòng chảy M v T quy mô thời gian dòng chảy, điều kiện cần để áp dụng phơng pháp quang hình học l phải thoả mÃn điều kiện: M k M k 1  T1  (1.15) Nếu thoả mÃn điều kiện ny, đa khái niệm gọi l mặt sóng, điểm pha sóng thời điểm xét l nh Trên vùng không gian kh«ng lín cã thĨ coi h−íng trun sãng vu«ng góc với mặt sóng Ta đa khái niệm đờng tia sóng m tiếp tuyến với chúng điểm trùng với hớng truyền sóng * Trong quang hình học truyền sóng đợc xem nh truyền tia sóng, ngời ta bỏ qua chất sóng Phép xấp xỉ * Định nghĩa ny ứng với trờng hợp truyền sóng môi trờng đẳng hớng [86] Các sóng trọng lực mặt dòng chảy bất đồng thuộc loại sóng tản mạn môi trờng bất đẳng hớng Sau ny đa định nghĩa xác tia sóng cho trờng hợp 28 k grad ( ) t cđa quang h×nh häc øng víi tr−êng hợp tham số bé (ở max{(M k ) 1 , ( M k ) 1 , (T) 1} ) Ta sÏ dÉn phơng trình quang hình học l phơng trình mô tả truyền tia sãng  Gi¶ sư ( r , t ) l lợng lệch mặt tự khỏi mặt cân Trong sóng phẳng đơn sắc có dạng   a ei  ( k r  t )  a ei ψ (1.16) Trong tr−êng hỵp sóng l sóng phẳng, nhng quang hình học đợc áp dụng, biên độ a l hm cđa  täa ®é vμ thêi gian a  a(r , t ) v pha có dạng phức tạp so với (1.16) Tuy nhiên, điều quan trọng l: pha l đại lợng đủ lớn biến đổi lợng khoảng bớc sóng Biểu thức (1.16) mô tả sóng hình sin cục Trên khoảng không gian v thời gian nhỏ, pha khai triển thnh chuỗi tới sè h¹ng bËc nhÊt      0  r   t  r t (1.17)  Nh− vËy, pha  lμ hμm liªn hƯ víi vectơ sóng cục k v tần số cục  :   k    grad ( ) ; r   t Tõ quan hÖ (1.18) trùc tiÕp suy r»ng  rot (k ) , (1.18) (1.19) (1.20) tức trờng vectơ sóng cục l không xoáy Từ (1.19) thu đợc 29 (1.21) Biểu thức ny l phơng trình động học bảo tồn mật độ sóng [190] Trong môi trờng sóng tồn sóng tự với giá trị tần số v số sóng bất kỳ, m sóng no có tham số thoả mÃn điều kiện định Trong trờng hợp ny, tần số l hm vectơ sãng   F (k ) D¹ng hμm tuú thc vμo kiĨu chun ®éng sãng ®ang xÐt vμ sù cân lực ứng với kiểu Tuy nhiên, môi trờng bất đồng v không dừng, tần số phụ thuộc không vo vectơ k mμ vμo täa ®é r vμ thêi gian t Quan hệ tản mạn trờng hợp tham số môi trờng biến đổi chậm mang tính chất cục v đợc viết dới dạng [86]      F (k , r , t ) , k  k (r , t ) (1.22) Nếu sử dụng phơng trình (1.18) v (1.19), quan hệ tản mạn cục ny viÕt l¹i thμnh      (1.23)  F   , r, t  t r Tuy nhiên, nội dung phơng trình xác định pha (1.23) khác với quan hệ tản mạn (1.22), không đơn giản l tơng quan đại số tần số v vectơ sóng, m l phơng trình vi phân đạo hm riêng hm cha biết Từ phơng trình (1.23) suy tơng tự lý thú quang hình học v học phần tử chất Phơng trình pha (1.23) hình dạng l phơng trình HamiltonJacobi [121] m học đợc giải so với tác động phần tử D Tác động D liên hệ với xung cđa phÇn tư P vμ hμm Hamilton H 30  P  grad( D ) , H  D t So sánh công thức ny với biểu thức (1.18) v (1.19), thấy rằng: tác động phần tử chất D học đóng vai trò pha quang hình học, xung phần tử P học đóng vai trò vectơ sãng k , cßn hμm Hamilton H  vai trß tần số Điều khẳng định ngợc lại [121] trờng dừng, tức quan hệ tản mạn (1.22) hon ton không phụ thuộc thời gian, tần số giữ nguyên không đổi dọc theo tia, tức const Tiếp tục áp dụng phép tơng tự nhận đợc biểu thức cho pha sóng dọc theo đờng đặc trng, sử dụng định nghĩa tác ®éng D nh− lμ tÝch ph©n cđa hμm Lagrange L t t  H D  D  L dt  D0  P  Hdt P t0 t0 Nh vậy, ta đà lm sáng tỏ tơng tự diễn biến phần tử chất v chùm sóng, tức sóng gồm tập sóng đơn sắc với tần số nằm khoảng bé no v chiếm vùng không gian hữu hạn Xung phần tử tơng ứng vectơ sóng, lợng tần số chùm sóng Các đặc trng phơng trình (1.9) đợc cho hệ phơng trình vi phân th−êng   dr F dk F d F   ;  ;  (1.24) r dt dt k dt t Các phơng trình (1.24) l phơng trình Hamilton Nghiệm {r (t ), t} phơng trình (1.24) định tia sóng không gian  thêi gian kh«ng gian ba chiỊu {x, y, t}   C¸c tia r  r (t ) l hình chiếu tia không gian thời gian lên không gian tọa độ r {x, y} Từ phơng trình (1.24) trực tiếp suy r»ng chïm sãng lan trun víi tèc ®é nhãm F  (1.25)   Cg dk Ph−¬ng trình thứ hai (1.24) đặc trng cho biến đổi vectơ sóng dọc theo tia, phơng trình thứ ba (1.24) mô tả biến đổi tần số, từ suy môi 31 Nh− vËy ®èi víi pha sãng ta cã biĨu thøc t       kC g   d t ,   (1.26) (1.27) t0 giá trị ban đầu pha Trong môi trờng không tản mạn, tốc ®é nhãm C g   trïng víi tèc ®é pha C  k  / k sè h¹ng thø hai biĨu thøc (1.27) b»ng kh«ng Trong tr−êng hợp ny tia không gian thời gian pha l đại lợng không đổi Trong môi trờng tản mạn, xuất tợng gọi l trễ nhóm [86] số hạng thứ hai biểu thức (1.27) định Trễ nhóm có nghĩa dịch chuyển tốc độ truyền chùm sóng so với tốc độ pha Nếu thân môi trờng trun sãng chun ®éng víi tèc  ®é V nμo ®ã, vμ tèc ®é biÕn ®ỉi ®đ chËm, th× tÊt nhận xét Có thể tách giá trị tốc độ V phơng trình nh sau Giả sử r vectơ không gian hệ quy chiếu, môi trờng chuyển động, r1 vectơ cục hệ tọa độ chuyển động với môi trờng, ®ã    r1  r  V t 32 Chuyển sang biến r1 phơng trình Hamilton Jacobi để xác định pha (1.23) đợc viết d−íi d¹ng    /  t  F1  /  r1 , r1 , t   , hm Hamilton F1 liên hệ với hμm F (1.22) bëi quan hÖ   F1  F  V   /  r  Tèc ®é nhãm hƯ täa ®é di ®éng c g đợc biểu diễn qua tốc độ nhóm hệ tọa độ không di động biểu thức  cg  Cg  V Nh− vËy ®Ĩ chuyển từ hệ tọa độ di động sang hệ không di động v ngợc lại cần sử dụng công thức đà dẫn 1.3 Nguyên tắc bảo tồn tác động sóng Những phơng trình động học nhận đợc mục trớc sở phơng pháp quang hình học, với điều kiện ban đầu v điều kiện biên tơng ứng quy định trờng không xoáy vectơ sóng k không gian v thời gian Để tìm phân bố đặc trng động lực học sóng, nh mật độ lợng, phải có liệu động lực sóng v tơng tác sóng với môi trờng sóng Cũng nh trớc đây, giả thiết bớc sóng v chu kỳ l nhỏ so với quy mô biến đổi tham số môi trờng, dùng phép xấp xỉ quang hình học để xem xét tiến triển biên độ sóng trọng lực lan truyền mặt đại dơng bối cảnh tồn dòng chảy bất đồng không gian v địa hình đáy biến đổi Ta nhận thấy bi toán tơng tự đà đợc xét sóng nội v sóng mặt ngắn công trình [25, 26, 283, 369], xét tới bất đồng trờng mật độ Ta trình by nghiệm bi toán thủy động lực lan truyền sóng mặt điều kiện dòng chảy v độ sâu bất 33 đồng theo không gian Khác với cách phát biểu bi toán tổng quát nh [25], ta không ý tới bất đồng trờng mật độ Giả sử đại dơng l chất lỏng nặng đồng không nén, phơng trình thủy động lực học đợc viết dới dạng (1.1)(1.3) Bỏ qua tác dụng lực Coriolis Vectơ vận tốc U biểu diễn thnh thnh phần theo phơng ngang V v thẳng đứng W Các điều kiện biên mặt tự z (r , t ) cã d¹ng   P  Pa  ; W  V  , (1.28) t Pa áp suất khí Điều kiện đáy z H (r , t ) W  V  H  (1.29)     Ta sÏ cho r»ng tham sè bÐ  đặc trng cho biến thiên chậm chuyển động theo tọa độ ngang v thời gian, theo tọa độ thẳng đứng ta không đặt giả thiết biến đổi chậm Ta biểu diễn tất trờng thủy động lực có mặt phơng trình thuỷ động dới dạng ~ r , z , t    re , z , t e   a  r , z , t  , (1.30) ~ ®ã đợc hiểu l hm thủy động lực bất kú;   tr−êng "nỊn" trung b×nh;   nhiễu động lan truyền nền; re  r vμ te   t  c¸c täa ®é ngang vμ thêi gian biÕn ®æi chËm;   a tham số biên độ bé Vì V0  V0 (re , z , t e ) , nên từ phơng trình liên tục (1.2) rút W0 V0 Giả thiết mặt đáy  H  H (re ) cịng biÕn ®ỉi chËm Thế biểu thức (1.30) vo phơng trình (1.1)(1.3), kết l ta tách đợc đại lợng liên quan với chuyển động "nền" 34  V0   V0 V0    r P0 ; te   V0  ;   g   (1.32)  P0 z (1.33) Những điều kiện biên hệ (1.31)(1.33) trùng lặp víi c¸c biĨu thøc (1.28), (1.29) nÕu g¸n chØ sè cho tất đại lợng Nghiệm phơng trình nhiễu động đợc tìm dới d¹ng khai triĨn      re , z , t e     re , z , t e     i  ( re , t e )  e (1.34) ThÕ biĨu thøc khai triĨn (1.34) vμo c¸c phơng trình nhiễu động v cho đại lợng bậc a khai triÓn (1.30) b»ng nhau, cã thÓ nhËn đợc phơng trình v điều kiện biên cho W1 vận tốc thẳng đứng nhiễu động bậc (sau ta bỏ qua không viết số (1)):    W      k2 W  ;       i k  W    i W  V0 V     ;  k     z  i  W  W P   , i  k (1.31) (1.38) Trong phơng trình v điều kiện biên ý tới biểu thức (1.30), (1.34) v tách thnh phần bậc a , sau số biến đổi phức tạp ta nhận đợc phơng trình v điều kiện biên W2 : W2   k  W2  Q ;       W2  g k   (1.39)       W2  Q1 z  0 ; z    W   V  H  Q2 z  H , ®ã Q, Q1 vμ Q hm đợc biểu diễn qua v (dạng tờng minh hm ny đợc cho công (1.35) trình [25]) Để tồn nghiệm bi toán biên bất đồng (1.39) cần cho hm Q, Q1 , Q2 trùc giao víi nh÷ng hμm   k2 W     g W z  0 ; W  z   H re  , (1.36)     ®ã     ( k , V )  tần số Dopler phụ thuộc vo z Dấu riêng bi toán biên đồng tơng ứng (điều kiện giải đợc) Điều ny dẫn tới điều kiện iW iW iW  (1.40)  Q k dz  k  Q1 z 0  k Q2 z H H phảy đạo hm theo z Bi toán biên (1.35), (1.36) cho tập hợp quan hệ tản mạn hi dao động (mode) khác  F k , re , t (1.37)   v hm riêng W W (re , z , t ) phô thuéc tham sè vμo re vμ t e Những giá trị khác đặc trng cho sóng đợc biểu thị qua W Nếu tính tới dạng tờng minh hm Q, Q1 , Q2 , sau nhiều biến đổi phức tạp, điều kiện (1.40) dẫn tới dạng định luật bảo ton bất biến đoạn nhiệt A re (C g A)  , (1.41)  te công thức: 35 36  g W 2d z     W z 0 ; 2 2 k   H  k   0      k   2V   W d z  C g A     V0 k   k 2k  z   H     g  V0 gk      V0    2  W z  0  2k  2k  z  k      A    (1.42) (1.43) Tõ c¸c tÝnh chÊt cđa bμi toán biên (1.35) tỷ số cđa c¸c biĨu thøc (1.42) vμ (1.43) thùc sù lμ vËn tèc nhãm   C g  F / k Lu ý định luật bảo ton bất biến đoạn nhiệt (1.41) tr−êng vËn tèc thđy ®éng lùc bÊt kú, mμ chØ trờng đợc mô tả phơng trình thủy động lực học (1.1)(1.3) Ta xét trờng hợp riêng: tốc độ dòng chảy trung bình không phụ thuộc vo tọa độ thẳng đứng z Từ tơng quan (1.35)(1.36) dễ dng nhận đợc  gk th( kH ) ,  ®ã tèc ®é di chun bÊt biÕn ®o¹n nhiƯt C g sÏ b»ng       k  g th kH    2kH   C g  V0    V0   1    2k k sh 2kH   k    Vμ tõ nh÷ng biĨu thøc (1.41)(1.44) rót E A ,  (1.44) (1.45) E mật độ lợng sóng Biểu thức (1.45) đợc biết rộng rÃi văn liệu với t cách l mật độ tác động sóng Định luật bảo ton mật độ tác động sóng (1.41) với (1.44) l biểu thức đơn giản v tổng quát 37 động lực học sóng Lần định luật ny đợc thiết lập dựa nguyên lý biến phân J Wisem [188, 385] v đợc phát triển công trình F Breterton v C Garrett [220, 221], A G Voronovich [25, 26] Lu ý phơng trình bảo ton bất biến đoạn nhiệt (1.41)(1.43) l định luật có tính chất tổng quát so với nguyên lý bảo ton tác động sóng, tính tới bất đồng thẳng đứng vận tốc dòng chảy trung bình Phơng trình (1.41) xác nhận thực tế tốc độ biến đổi cục tác động sóng cân với phân kỳ dòng tác động đại lợng di chuyển với tốc độ nhóm C g môi trờng chuyển động tơng đối Nếu tốc độ trung bình V không giữ nguyên không đổi theo biểu thức (1.24) vectơ sóng k v tần số riêng biến thiên kh«ng gian vμ thêi gian, thμnh thư bảo ton tác động sóng A mật độ lợng sóng không đợc bảo tồn Giữa sóng v dòng chảy trung bình diễn trao đổi lợng Hệ quan trọng rút từ nghiệm bi toán l chỗ đạc trng phơng trình (1.41) trùng với phơng trình (1.24), m phơng trình ny phần lại l đặc trng phơng trình pha (1.23) Ta xét bi toán với điều kiện ban đầu Để giải bi ~ toán ny phải xác định mặt xuất phát Q cho trớc ~ giá trị ban đầu Ta viết phơng trình mặt Q dới dạng tham số r  r0 (,  ) , ®ã  v tọa độ cong ~ ~ mặt Q Giả sử mặt Q (đại lợng l tham số biến đổi däc theo tia, thÝ dô: thêi gian, tøc   t ) cho tr−íc tr−êng sãng 0 (,  ) xác định giá trị ban đầu pha sóng 38  a (,  ) NÕu sù trun sãng x¶y xt hiƯn thõa sè bỉ sung J / liên quan với ảnh hởng ~ dọc theo tia điểm phát sinh tia r ( )  r0 (,  ) mặt Q dòng chảy bất đồng không gian, ta đà nhận đợc nghiệm phơng trình bảo ton mật độ tác động sóng (1.41) lợng ~ Q (, ) v biên độ a ~ Q l điều kiện ban đầu tự nhiên quỹ đạo tia sóng r r () Nghiệm phơng trình vi phân tia (1.24) thoả mÃn điều kiện ban đầu biĨu diƠn d−íi d¹ng    r  r (, , ) , k  k (, , ) tham số , "đánh số" ~ tia sóng khỏi mặt Q , tham số vị trí điểm tia xác định Tập hợp đại lợng , , gọi l tọa độ tia Trong trờng hợp tổng quát tọa độ không trực giao Phơng trình r r (, , ) xác định hä tia sinh bëi   ph©n bè cho trớc trờng mặt xuất phát r (0 ) r0 (, ) Phơng trình họ tia mô tả liên hệ tọa độ tia víi c¸c  ( x, y , z ) kh¸c không tọa độ Đêcac Nếu Jacobian J1 (, , ) miền xét, phơng tr×nh r  r ( ,  ,  ) giải đơn trị tọa độ tia , , tơng ứng với điểm quan trắc ®ang    xÐt   (r ),    (r ),   ( r ) Một hệ quan trọng nghiệm nhận đợc (1.46) l dọc theo đờng đặc trng thoả mÃn đẳng thøc [86]  C g A dl  const , (1.47) dl khoảng cách hai hình chiếu vô gần đặc trng không gian tọa độ {x, y} Từ phơng trình (1.24) suy tơng quan (1.47) thiết lập định luật không đổi dòng tác động sóng däc theo èng tia sãng Ta còng l−u ý mét hệ đơn giản rút từ (1.24) v (1.47) Nếu tính chất môi trờng không phụ thuộc thời gian t , tần số giữ nguyên Ngoi ra, trờng hợp "không gian hình trụ", tức tính chất môi trờng sóng phụ thuộc vo tọa độ, giả sử phụ thuộc vo y , dọc theo đờng đặc trng giữ nguyên độ lớn thnh phần vectơ sóng k x thân đờng đặc trng l Những kết dẫn chơng ny cho phép viết nghiệm bi toán với điều kiện ban đầu truyền sóng mặt nớc có dòng chảy bất đồng phơng ngang v đáy không phẳng dới dạng nh sau: / / i r , t   a0 J1 J2 e , (1.46) đờng song song (hình 1.1) Tơng quan (1.47) viết dới dạng đơn giản: C g y A  const Nh÷ng hƯ thøc kiểu ny đợc pha sóng theo (1.26) đợc xác định theo điều truyền sóng nớc nông, độ sâu biến đổi dọc theo sử dụng giải nhiều bi toán, thí dụ, mô tả hớng, tức đờng đẳng sâu song song hay có kiện ban đầu: mặt dòng chảy gián đoạn phơng ngang Về sau sÏ xÐt mét  t    r , t   r0    k C g d t loạt bi toán tơng tự nh Khác với trờng hợp cổ điển [86], biểu thức (1.46) 39 Những kết ®· dÉn ch−¬ng nμy cho phÐp xem xÐt mét cách thống truyền sóng đại dơng với 40 bất đồng trạng thái trung bình môi trờng biến thiên chậm theo thời gian v biến thiên yếu theo phơng ngang Cần phải lu ý phạm vi áp dụng lý thuyết vừa trình by Những phơng pháp mô tả hnh vi sóng nớc, m ta nói tới từ trớc tới bây giờ, dựa giả thiết sóng l sóng phẳng cục Nhng giả thiết ny luôn thoả mÃn Đôi xuất tình biến đổi trờng sóng nhỏ so với bớc sóng đợc tích luỹ dần Điều ny dẫn đến trờng sóng vùng no khác h¼n víi tr−êng sãng ph¼ng cơc bé VËy nÕu nghiƯm (1.46) mμ Jacobian tiÕn tíi b»ng kh«ng J , xuất tình đặc biệt  sù tơ tia (caustic), ®é réng cđa èng tia giảm tới số không Khi hệ thức (1.47) ®é réng cđa èng tia sÏ v« cïng hĐp tia giao v độ cao sóng trở nên lớn cách không thực Những biến đổi trờng sãng nh− vËy diƠn ë l©n cËn vïng tơ tia quan điểm tán xạ sóng Phơng pháp giải khác dựa quan điểm phổ trình by chuyên khảo ny Sử dụng phơng pháp ny có tính u việt chỗ họ tia sãng r  r (, , ) kh«ng gian vật lý có dạng phức tạp Điều nμy lμm cho viƯc lËp nghiƯm lμ tr¬n toμn không gian phức tạp Tuy nhiên kh«ng gian pha {k , r } sư dơng nghiệm phổ qua điểm có quỹ đạo pha qua, tức quỹ đạo pha kh«ng giao TÝnh chÊt nμy thùc chÊt lμ hệ định lý nghiệm hệ phơng trình vi phân thờng với điều kiện ban đầu cho trớc 1.4 Mô tả thống kê sóng gió Đặc điểm rõ rệt sóng gió l tính ngẫu nhiên Vì sóng gió l trình động lực xác suất dừng, nên để khảo sát lý thuyết v thực nghiệm ngời ta sử dụng rộng rÃi t tởng v phơng pháp lý thuyết trình ngẫu nhiên Đặc trng quan trắc sóng gió l di động mặt phân cách nớc không khí ( r , t ) , nên mô tả xác suất sãng giã  ph¶i xem ( r , t ) nh mặt chuyển động ngẫu nhiên Vậy đối tợng khảo sát l phân bố xác suất giá trị tập không gian v thời gian hữu hạn {rn , t n } ( n 1,2 ) Những liệu quan trắc chứng tỏ phân bố xác suất điểm cố định gần với phân bố Gauss, có nhiều bất đối xứng Việc mô tả lý thuyết sóng gió hm mật độ hữu hạn chiều liên quan tới nhiều khó khăn, buộc ngời ta phải giới hạn nghiên cứu đặc trng thống kê đơn giản Một đặc trng quan trọng số Hình 1.1 Các tia sóng dòng chảy bất đồng Những tợng ny đợc xét sau, phải sử dụng 41 42 l mômen bậc hai hay hμm t−¬ng quan    K r , t   r  r , t  t , kê độ cao cực đại v cực tiểu Rất nhiều kết loại ny (1.48) đà nhận đợc công trình W Pierson, Iu M cặp dấu < > lấy trung bình theo tập hợp thống kê Hm tơng quan không gian thời gian K (r , t ) liªn hƯ  víi phỉ S (k , t ) trình ngẫu nhiên biến đổi Fourie       i ( k r  t ) S (k , t )  d r d t (1.49)  K ( r ,  t ) e (2  ) Crlov v tác giả khác Những phơng pháp hình học thống Phơng sai sóng mặt < > tìm đợc cách tích phân S (k , t ) theo vect¬ sãng hai chiỊu k v tần số Phổ không gian hai chiều sóng S (k ) xác định từ phơng trình (1.49) theo công thức  S (k )   S (k , )d  K (  r ,0) e  ik  r d r ,  (2) cßn phỉ tần số S () theo công thức i  t S ()   S ( k , )dk   K 0, t e dt kê mặt ngẫu nhiên đà đợc phát triển cách triệt để công trình M C LonguetHiggins năm sáu mơi [127], v sau công trình V A Rogiơcov v Iu A Trapeznicov [168] Ngay ớc lợng thực nghiệm sóng gió đà dựa mối liên hệ đặc trng đơn giản cđa nã víi tèc ®é giã Thùc chÊt mơc ®Ých lý thuyết sóng gió l xác định mối liên hệ ny từ phơng trình động lực mô tả hệ thống nớc không khí Vì sóng gió vμ tr−êng vËn tèc giã cã (1.50) tÝnh chÊt ngÉu nhiên, nên phát biểu bi toán lý thuyết sóng gió cách xác định nh l bi toán tìm phổ sóng mặt thông qua đặc trng thống kê (1.51) Đợc biết mômen bậc hai hay phổ tơng ứng với chúng cung cấp thông tin thống kê đầy ®đ vỊ tr−êng ngÉu nhiªn nÕu tr−êng ®ã lμ tr−êng Gauss [46] Vậy thông tin đặc trng phổ sóng l quan trọng liệu thực nghiƯm vỊ hμm ph©n bè cho phÐp chóng ta coi trờng nhiễu động mực nớc gần với dạng Gauss Khi cho phổ, mô hình mặt Gauss l sở để nhận đợc thông tin thống kê đặc trng hình học mặt ngẫu nhiên di động: số lợng trung bình điểm dừng (các cực đại, cực tiểu, điểm hypecbôn ) đơn vị bề mặt, phân bố thống 43 tr−êng ngÉu nhiªn vËn tèc líp biªn rèi khÝ 1.5 Phơng trình động học tiến triển phổ sóng gió Trong mục 1.1 đà đa cách dẫn lập thuỷ động bi toán mô tả sóng gió Bên cạnh phức tạp việc giải bi toán ny, có thêm khó khăn việc mô hình hóa trờng sóng gió liên quan tới tính chát ngẫu nhiên Vì ý đồ giải bi toán tính sóng quy mô đại dơng thực cách tiếp cận tiên định l phi hiÖn thùc thùc tÕ Sè bËc tù hệ thực tế l vô tận Những thnh tựu lớn nghiên cứu sóng gió gắn liền với việc sử dụng phơng trình động học mô tả tiến triển 44 phổ sóng dới tác động trờng ngoại lực, số l trờng gió Cách viết hình thức phơng trình ny thực dựa lập luận sau Nếu cho ®Õn nay, tøc  môc 1.4, ta ®· xÐt mặt phân cách nớc không khí (r , t ) đồng thống kê theo tọa độ ngang r {x, y} v dừng, để mô tả tiến triể trờng ngẫu nhiên ta phải đa tọa độ v thời gian "chậm", quy mô biến đổi chúng lớn nhiều so với bớc v chu kỳ đặc trng sóng xét Ta đạt đợc tổng quát trờng đồng thống kê v dừng chuyển sang xem xét phổ cục phụ thuộc vo tọa độ chậm re , thời gian t e (sau ta bỏ qua số " e ")   S  S (k , , r , t ) T−¬ng tù cã thĨ viÕt phổ tác động sóng N N (k , , r , t )  S /  (1.52) (1.53) Bây phơng trình tổng quát tiến triển mật độ phổ tác động sóng viết cách hình thức dới dạng phơng trình vận chuyển    dN N      (1.54)    (N r )   (N k )  ( N )  G dt t r  k      Trong trờng hợp ny đạo hm r , k , biểu diễn dới dạng phơng tr×nh Hamilton:   dk H d H dr H   ;  (1.55)   ; dt r dt k dt t phơng trình (1.54) viết lại dới dạng đạo hm ton phần theo thời gian 45   dN N N dr N dk N d       G t r dt k dt dt dt (1.56) Phơng trình (1.54) hay (1.56) gọi l phơng trình động học, quen thuéc vËt lý lý thuyÕt vμ lμ tr−êng hợp tổng quát định lý J Louivill [121] bảo ton hm phân bố chất khí nói chung với t cách hệ phần tử hệ di chuyển không gian pha Đại lợng vế phải phơng trình (1.56) gọi l tích phân tơng tác Phơng trình vi phân tích phân (1.56) với tích phân tơng tác mô tả đụng độ phân tử không gian pha, gọi l phơng trình Bolzman, ông ny đề xuất năm 1872 Nh đà nhận xét mục 1.2, hệ thức (1.55) thể phơng trình chuyển động chïm sãng víi c¸c   biÕn r vμ k (tõ mơc 1.3 suy F  H ) Nh÷ng phơng trình ny trùng hợp dạng với phơng trình Hamilton, chiếm vị trí trung tâm học cổ điển [121, 124], đợc giải theo xung phần tử p v tọa độ q Những phơng trình Hamilton chuẩn tắc biểu diễn hệ gồm s (trong tr−êng hỵp nμy s  ) phơng trình vi phân cấp 2s hm Èn p (t ) vμ q(t ) thay thÕ cho s phơng trình cấp hai phơng pháp mô tả chuyển động theo Lagrange Đạo hm ton phần hm Hamilton H theo thời gian đợc viết nh sau dH H H H   qi     pi (1.57) dt t i qi i pi  Thế q i v p i từ phơng trình (1.55) vμo biĨu thøc (1.57), hai sè h¹ng ci triƯt tiªu lÉn vμ ta cã dH H  dt t 46 (1.58) Trờng hợp riêng hm Hamilton không phụ thuộc thời gian cách tờng minh H / t , tức ta có định luật bảo ton đại lợng H Còn nh hm Hamilton không phụ thuộc vo tọa độ thnh phần tơng ứng xung tổng quát giữ nguyên hệ chuyển động v viÕt H  pi    (1.59)  q HƯ täa ®é nh− vËy gäi lμ hƯ täa độ tuần hon Giả sử f l hm täa ®é q , xung p vμ thêi gian t thể viết điều kiện để đại lợng f l tích phân động lợng ( df / dt ) d−íi d¹ng  f  H f   t (1.63) Nếu tích phân động lợng không phụ thuộc thời gian cách tờng minh, Hf   , tøc dÊu ngc Poasson cđa nã với hm Hamilton phải không Tính chất quan trọng dấu ngoặc Poassion l chỗ f v g l hai tích phân động lợng, dấu ngoặc tạo từ chúng l tích phân động lợng { fg} (định lý Poasson) (1.62) Để lý giải hình học hnh vi hệ thống động lực, ngời ta thờng sử dụng khái niệm không gian pha nh l không gian 2s chiều, trục tọa độ ngời ta đặt giá trị s tọa độ tổng quát v s xung hệ Điểm pha biểu diễn hệ mô tả đờng tơng ứng không gian pha gọi l quỹ đạo pha Nếu ta hình dung điểm vùng xét không gian pha di chuyển với thời gian tuân theo phơng trình chuyển động hệ động lực học, tất vùng di chuyển Trong đà chứng minh [124] đợc thể tích giữ nguyên không đổi d const Điều khẳng định ny (định lý Louivill) trùc tiÕp BiĨu thøc (1.62) gäi lμ dÊu ngc Poasson đại lợng H v f Nh phơng trình động học (1.54) có rút tõ tÝnh bÊt biÕn cđa thĨ tÝch pha phép biến đổi chuẩn v từ chỗ thân biến đổi chuyển động xem nh biến đổi chuẩn Ta lập đạo hm ton phần cña nã theo thêi gian df f f f     qj  pj dt t j q j j p j   (1.60)   Thay thÕ nh÷ng biĨu thøc cđa q i vμ p i từ phơng trình Hamilton (1.55) vo đây, ta có df f   Hf  , dt t (1.61) dùng ký hiệu f H f  p j q j q j p j     Hf     H  j thể xem nh tổng thnh phần không dừng N / t với dấu ngoặc Poasson tơng ứng N v Các hm biến động lực học m giữ nguyên không đổi chuyển động hệ thống thờng đợc gọi l tích phân động lợng Từ biểu thức (1.61) thấy có 47 Trong mô hình hóa toán học sóng gió chuyển truyền thống từ phơng trình thủy động lực học (1.5)(1.13) sang phơng trình động học (1.54) nh sau [54, 192] Các trờng thủy động lực chấp nhận l hm ngẫu nhiên, hm ny biểu diễn dới dạng tích phân Fourier 48 (hay FourierStiltes) Từ phơng trình thủy động lực xấp xỉ trờng đồng viết phơng trình chuyển động cho thnh phần phổ trờng độ dâng mặt tự Giải phơng trình ny có dùng công thức khép kín mômen bậc cao dẫn tới phơng trình tiến triển phổ S trao đổi lợng tơng tác sóng với rối nớc; G6 tiêu tán lợng ma sát đáy G7 tiêu tán lợng đổ nho đỉnh sãng; G8  sù di chun phi tun u cđa trờng sóng gió Tuy nhiên thân cách đặt bi toán thủy động lực xuất phát không cho phép nhận đợc cách đắn dạng hon chỉnh chế vật lý khác hình thnh phổ sóng gió điều ny với trờng hợp tiêu tán liên quan với sập đổ c¸c ngän sãng Cã thĨ tiÕp tơc më réng danh sách chế hình thnh phổ sóng gió, ta xét thêm thí dụ nh tơng tác sóng với thảm băng G9 Trong mô hình đại tính sóng theo Phải lu ý việc nhận phơng trình động học nh l tơng tác sóng trờng sóng ngẫu nhiên đợc biết tới sau công trình K Hasselman [192, 260, 261] Trong công trình [260] ông đà dùng phơng pháp toán đồ Feiman để khái quát việc mô tả tơng tác phi tuyến phơng pháp toán lý cho trờng hợp sóng gió Các hm vế phải phơng trình (1.54) đợc gán cho ý nghĩa chế vật lý khác hình thnh phổ sóng gió Ngy vế phải phơng trình (1.54) gäi lμ hμm ngn vμ biĨu diƠn d−íi d¹ng tỉng cđa nhiỊu c¬ chÕ vËt lý G   Gi (1.64) Mặc dù công khảo sát chế vật lý hình thnh phổ sóng gió, đà đạt đợc thnh tựu định, vấn đề ny phức tạp v cha giải đến i Trên sở lý thuyết sóng giã cã thĨ h×nh dung r»ng hμm ngn Ýt phải bao gồm thnh phần sau [45]: G1 chế tính tới dòng lợng từ gió cho sóng tác động trờng thăng giáng áp suất; G , G3 , G dòng lợng tới lợng phổ sóng gió Đó l thnh phần hm nguồn, nhng chúng cha đợc nghiên cứu đầy đủ trờng gió, ngời ta tính tới thnh phần kể theo tổ hỵp G1 , G2 , G5 , G7 , G8 , tính sóng biển sâu G , G5 , G8 1.6 Bμi to¸n tỉng qu¸t xác định mật độ phổ tác động sóng đại dơng Theo truyền thống, mô tả sóng gió thờng sử dụng phơng trình động học viết hệ tọa độ phẳng vuông góc (1.54); nhng với khoảng cách lớn mặt đại dơng ton cầu không thích hợp đà phải tính tới tính mặt cầu mặt Trái Đất Vậy ta đề xuất phát biểu bi toán tổng quát Rõ rng nên thể bi toán ny hệ tọa độ cầu Để mô tả trờng sóng gió đại dơng ta sử dụng phơng trình viết hệ tọa độ cầu , , R đại lợng N no đó, sau ny ta xác định mối liên hệ với sóng: sóng tơng tác ( G2  tuyÕn tÝnh; G3  phi tuyÕn) cña sóng với dòng không khí trung bình v rối khÝ quyÓn ( G4 ); G5  49 50 N  ~  ~  ~  ( N)  ( N)  ( NR )   t   R (1.65)  ~  ~  ~  ~  G Nk   Nk   Nk R  N   k k k R ~ ®ã N  hμm phơ thc thêi gian t , vÜ ®é  , kinh ®é  ,         b¸n kÝnh R , giá trị tơng ứng xung tổng quát k , k , kR v tần số Giả thiết tồn toán tử Hamilton H cho phép viết phơng trình chuyển độngtrong hệ tọa độ cầu , , R dới dạng: dR H  ; dt k R dk R H  ; dt R d H  ; dt k dk dt  H ;  dH H  dt t d H  ; dt k (1.66) H dk  ; dt quang hình (xem mục 1.2 v 1.3), ta viết toán tử Hamilton chuyển động chùm sãng d−íi d¹ng   H  gk thkH   V k (1.70) Mét nh©n tư bỉ sung cần tính đến hm Hamilton với t cách nhân tố ảnh hởng tới lan truyền chùm sóng l hiệu ứng liên quan tới quay Trái Đất Tuy nhiên, nh đà thấy công trình [201], nhân tử ny nhỏ đến mức hoμn toμn bá qua Cho r»ng chun ®éng diƠn mặt cầu, ta thể phơng trình chuyển động d−íi d¹ng: k V d  cg  ; (1.71) k R dt (1.67) d V k  cg ;  dt k R cos   k H V k V k V k sin     cg  f      ;   R dt  R cos  R cos    k dk (1.68) NÕu nhí r»ng chun động diễn theo mặt cầu, viết dR / dt  dk R / dt  Nếu biểu thức (1.66)(1.68) vo phơng trình (1.65), viết lại phơng trình ny nh sau: ~ ~ ~ ~ ~ ~ N N N  N  N  N      k  k    G (1.69) k t k Ta thử xác định mối liên hệ phơng trình (1.65) hay (1.69) với bi toán tính sóng đại dơng Ta rút phơng trình chuyển động chùm sóng mặt đại dơng, xem độ sâu H v tốc độ dòng chảy V phụ thuộc vĩ độ vμ   kinh ®é  , tøc H  H (, ) , V  V (, , t ) XuÊt ph¸t tõ xÊp xØ 51 (1.72) (1.73)  H V k V k  dk   f   ;  R cos   dt    R (1.74) dH d k  V k V    dt dt R t R cos  t (1.75) ®ã k ngoμi ra: 52 k R2  k , R cos2  (1.76) k k  , k  kR k tg k ;   kR cos2  cg  k k  2 ; k R cos  f  gk k ; th kH  ch kH  (1.77) (1.78) nh− t¸c ®éng sãng øng víi mét nguyªn tè thĨ tÝch pha ~ dk x dk y dxdy Còn độ lớn N phơng trình động học g th kH   2kH  1    k sh 2kH V , V thnh phần vĩ hớng v kinh hớng tốc độ dòng chảy Các phơng trình (1.71)(1.75) mô tả chuyển động chùm sóng mặt cầu dới ảnh hởng tốc độ dòng chảy bất đống V (, , t ) v độ sâu H (, ) Trong bμi to¸n tÝnh sãng giã th−êng sư dơng thnh phần xung tổng quát, m lμ sè sãng k  k (hay tÇn sè  ) v góc hớng vectơ sóng v vĩ tuyến (trục Ox hệ tọa độ vuông góc địa phơng) Số sóng k liên hệ với biến trớc k v k tơng quan (1.76), góc xác định tg k cos k (1.79) Nhờ tơng quan (1.73)(1.74) cã thĨ chøng minh r»ng biÕn thiªn thêi gian biến k v liên hệ với biến cũ bng tơng quan: k k    k  k k     ;  cos   kR     (1.80)     cos  cos  k k  k k      k ~ Ta sÏ xác định mối liên hệ đại lợng N , đà đa đây, với mật độ phổ tác động sóng N (k ) , thờng đợc dùng hệ tọa độ phẳng vuông góc địa phơng x, y Nhớ lại mật độ phổ đợc dùng theo truyền thống N (k ) đợc xác định (1.81) 53 xuất phát (1.65) ứng với nguyên tè thÓ tÝch pha dk dk d d Nh− vậy, muốn sử dụng phơng trình động học (1.65) hay (1.69) để xác định mật độ phổ tác động sóng N , ta cho đại lợng tơng ứng nhau, có tính đến thể tích pha chúng Kết nhận đợc mối liên hệ sau ~ N k , k , ,   J kN k , , x, y  , (1.82) ~ J toán tử Jacobian chuyển từ N sang N J  k , , x, y   k , k , ,  (1.83) §Ĩ tính đợc Jacobian J phải tính định thức bâc bốn Nhê mèi liªn hƯ d x d y  R cos  d  d  vμ t−¬ng quan (1.76), bá qua mét sè biÕn ®ỉi trung gian, cã thÓ chøng minh r»ng Jacobian b»ng J  / k (®iỊu nμy cịng cã thĨ nhËn thÊy tõ định lý Louivill [121]) Nh vậy, phơng trình (1.69) mô tả tiến triển mật độ phổ tác động sóng N (k , , , ) Phơng trình nμy, sau chun sang c¸c biÕn míi nhê sư dụng tơng quan (1.76)(1.82) v bỏ qua biến ®ỉi trung gian, cã thĨ ®−a vỊ d¹ng N N N  N  N  N   G    k  (1.84) t   k   54 ®ã N ®· lμ hμm cđa vÜ ®é  , kinh ®é  , sè sãng k vμ    V sin    góc hớng vectơ sóng v vĩ tuyến (hớng phía đông), nh tần số v thời gian t H cos  H   f sin   (1.88) ; R   cos    d k cos   V tg cos   cg  kV cos    cos     dt R R   NÕu S  S (, )  lμ mËt ®é phổ lợng sóng truyền thống, phụ thuộc vo tần số riêng (đợc đo hệ quy chiếu gắn liền với dòng chảy) v góc , liên hệ với mật độ tác động sóng N (k , ) đợc xác định S ,    N k ,  k k    cos   V    cos    V sin            cos        V sin     (1.85)    k sin   V      cos    V sin          R cos     H sin  H  f  cos   ;  cos     d V   k cos     kV sin     dt t t ®ã V  V cos ; V  V sin   VËy, nÕu t×m đợc nghiệm phơng trình (1.84), tơng quan (1.85) cho phép xác định mật độ phổ lợng Một đặc điểm quan trọng phơng trình (1.84) l: vế trái biểu diễn dới dạng đạo hμm toμn phÇn theo thêi R (1.89) , (1.90) gian, điều m tác giả mô hình WAM [303] đà không nhận Từ suy mặt cầu, giống nh mặt phẳng, trờng hợp tác động hm nguồn G , dọc đờng đặc trng bảo ton mật độ tác động sóng Với biến mới, ta viết phơng trình chuyển động (1.71)(1.75) dới dạng sau: d sin  V sin   cg  ; dt R R (1.86) d V cos  cos   cg  ; dt R cos  R cos  (1.87) tg cos  1 dk  V  k cos    V sin      k sin   dt R R  55 Nh vậy, bi toán xác định mật độ phổ tác động sóng đà quy việc giải hệ phơng trình (1.84), (1.86)(1.90) với điều kiện ban đầu (hoặc biên) cho trớc Nhận thấy tham gia vo hệ phơng trình với t cách tham số biến thiên có hm đợc cho trớc: trờng độ sâu H ( ,  ) , tr−êng tèc ®é  V dòng chảy V (, , t ),V (, , t ) v trờng tốc độ giã  U    (, , t ),U (, , t ) Đại lợng cuối ny có mặt hm U nguồn G v định cung cấp lợng từ gió cho sóng Trong trờng hợp tổng quát, giải bi toán (1.84)(1.90) l vấn đề phức tạp, đòi hỏi ti nguyên máy tính lớn Sự đa dạng nhân tố vật lý, quy mô không gian, thời gian khác cđa chóng lμm cho viƯc hiƯn thùc sè bμi to¸n ny phức tạp 56 1.7 tính tới quy mô không gian thời gian phân tích nghiệm bi toán Việc đánh giá thnh phần vế phải hệ phơng trình (1.84), (1.86)(1.90) cho thấy chế vật lý định diễn biến trờng sãng giã thĨ hiƯn víi nhiỊu quy m« kh«ng gian  thêi gian Ph¶i nhËn thÊy r»ng sù biÕn thiên độ lớn số sóng phơng trình (1.86)(1.90) liên quan với diện dòng chảy v ảnh hởng độ sâu, hơn, với biến thiên không gian v thời gian dòng chảy v bất đồng độ sâu thủy vực nông Đồng thời tính mặt cầu mặt đại dơng ảnh hởng tới biến thiên góc Để nhận đợc ớc lợng định lợng nhân tố khác nhau, ta đa hm vế phải phơng trình (1.86)(1.90) dạng phi thứ nguyên  ~   ~     R /  c  ;   R /  c ; g ~    k  kR /  cg  ; g  ~      R /  cg ,  víi c g ớc lợng trung bình tốc độ nhóm vế phải phơng trình có dạng phi thứ nguyên, xuất tham số phi thứ nguyên định: V / cg tỷ số tốc độ dòng chảy trung bình v tốc độ truyền sóng; V  /  k V   tû sè gradient tốc độ dòng chảy v trị số trung bình nó, k ớc lợng số sóng trung bình; k  H     k  H e tham số đặc trng cho bậc hiệu ứng tán xạ nớc nông Hon ton rõ tơng quan so sánh trị 57 số tham số phi thứ nguyên , , định mức ý nghĩa định lợng chế no Thí dụ, với sóng chu s đới nớc nông với kH v gradient độ sâu H / L 10 3 tham sè  cã bËc 10  10 Tham số có trị số nhỏ mét Ýt Víi H / L  10 4 s trị số 102 , tức tăng đáng kể hiệu ứng liên quan tới tính cầu mặt đại dơng (trong trờng hợp ny chúng có độ lớn cỡ đơn vị) hay liên quan tới hiệu chỉnh cộng thêm tốc độ dòng chảy không đổi vo tèc ®é lan trun sãng (   1) Nh− vậy, chí ớc lợng thô đà cho thấy rằng: khoảng cách tơng đối nhỏ, hiệu ứng nớc nông v hiệu ứng liên quan tới diện dòng chảy với gradient có ảnh hởng đến biến thiên yếu tố sóng Để mô tả hiệu ứng ny tính mặt cầu thực tế ý nghĩa Nó biểu lộ khoảng cách ton cầu Khi ny dòng hải lu với gradient nhỏ nhng quy mô ton cầu thể vai trò [298] Việc khảo sát ảnh hởng hiệu ứng khác lên nghiệm bi toán nên thực cách tách riêng quy mô không gian  thêi gian biĨu hiƯn cđa c¸c hiƯu øng Điều ny giúp giản tiện việc phân tích nghiệm bi toán v phát chế hữu hiệu nhÊt h×nh thμnh phỉ sãng giã, cã tÝnh tíi quy mô không gian thời gian phát triển sóng vùng địa lý cụ thể Thấy phân tích phơng diện hình học nghiệm bi toán (tức mô tả lan truyền chùm sóng không gian pha) Hình học chùm sóng đợc mô tả không vế phải, m vế trái phơng trình động học Vậy tiến hnh khảo sát nghiệm bi toán quy mô không gian thời gian sau đây: 58 1) Quy mô ton cÇu (víi L1  10  10 m vμ T1  106 s ): ë quy m« nμy mô hình sóng gió phải tính đến độ cong mặt Trái Đất v diện hải lu ton cầu chế hữu hiệu l chế điển hình hình thnh phổ điều kiện n−íc s©u ( G2 , G5 , G8 ), quy mô bất đồng trờng sóng theo không gian bị quy định quy mô đặc trng nhiễu khí (các xoáy thuận) Thí dụ mô hình loại ny dẫn chơng 2) Quy mô khu vùc I ( L2  10  10 m , T2  10 s ): ë mô sóng gió nớc sâu, hồ, hồ chứa nớc lớn Những chế hữu hiÖu vÉn lμ ( G2 , G5 , G8 ), độ cong mặt nớc vai trò (xem chơng v 8) 3) Quy mô khu vực II ( L3  10  10 m , T3  10  10 s )  quy mô điển hình có tính tới bất đồng không gian môi trờng: diện dòng biển (chơng 5) v địa hình đáy (chơng 6) Đây l trờng hợp phức tạp cả, chế hữu hiệu gồm chế điển hình với điều kiện nớc sâu, lẫn chế liên quan tới biến dạng dòng biển bất đồng v nớc nông, kể tiêu tán đáy ( G6 ) chế tán xạ, biến dạng v ma sát đáy vợt trội so với trình tơng tác phi tuyến yếu c¸c sãng phỉ ( G8 ) vμ sù cung ứng lợng từ gió cho sóng ( G2 ) Thí dụ trờng hợp ny dẫn chơng 5, v 5) Quy mô nhỏ l quy mô biến dạng sóng đới sóng lăn v sát mép băng ( L5 10 10 m , T5  10  10 s ), nơi chế chủ đạo l tiêu tán sóng mạnh mẽ sóng đổ nớc nông dải sát viền băng Sự phân hóa hiệu ứng theo quy mô nh có tính tới nhân tố vật lý đà mô tả không loại trừ việc giải bi toán cách ton diện, tức thnh lập tổ hợp mô hình thống nhất, thực chúng (khi mô hình quy mô nhỏ dùng kết tính mô hình quy mô lớn lm liệu ban đầu hay liệu biên xuất phát) cho phép tối u v đủ xác mô tả tất chi tiết biến thiên trờng sóng Những mô hình loại ny mô tả diễn biến sóng biển nông v có triều, thủy vực trải di thềm lục địa, số vùng khơi đại dơng nơi có hải lu mạnh Những mô hình, xét tới chế tơng tác sóng v trờng băng ( G9 ), thuộc loại ny 4) Quy mô địa phơng quy mô không gian thời gian biến dạng sóng dòng biển bất đồng có gradient tốc độ lớn v vùng nớc nông ven bờ (quy mô địa phơng điển hình đới gần bê L4  10  10 m , quy mô thời gian đặc trng biến thiên sóng T4 10 s ) Trong trờng hợp nμy c¬ 59 60 ... t (1 .1 7)  Nh− vËy, pha  l hm liên hệ với vectơ sóng cục k vμ tÇn sè cơc bé  :   k    grad (? ?? ) ; r   t Tõ quan hÖ (1 .1 8) trùc tiÕp suy r»ng  rot (k )  , (1 .1 8) (1 .1 9) (1 .2 0). .. thøc (1 .4 1) ? ? ? (1 .4 4) rót E A ,  (1 .4 4) (1 .4 5) ®ã E  mËt ®é lợng sóng Biểu thức (1 .4 5) đợc biết rộng rÃi văn liệu với t cách l mật độ tác động sóng Định luật bảo ton mật độ tác động sóng (1 .4 1) . .. phơng trình động học Vậy tiến hnh khảo sát nghiệm bi toán quy mô không gian thời gian sau đây: 58 1) Quy mô ton cầu (với L1 10  10 m vμ T1  10 6 s ): quy mô ny mô hình sóng gió phải tính đến