Chương II: Nguyên hàm và tích phân pdf

Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 210 BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử ( ) u u x = ; v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: • ( ) ( ) d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu = + ⇔ = + ⇔ = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ( ) b b b a a a udv uv vdu udv uv vdu = − ⇒ = − ∫ ∫ ∫ ∫ Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời tích phân vdu ∫ đơn giản hơn tích phân udv ∫ II. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv 1. Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax b ax b ax b ax b u P x sin ax b dx sin ax b dx cos ax b dx cos ax b dx P x dv e dx e dx m dx m dx + + + +  =  +   +   +  +  ⇒   =          ∫ (trong đó P(x) là đa thức) 2. Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m m dv P x dx arcsin ax b dx arcsin ax b arccos ax b dx arccos ax b arctg ax b dx arctg ax b P x u arc cotg ax b dx arc cotg ax b ln ax b dx ln ax b log ax b dx log ax b  =  +   +   +  +    +   + ⇒   =  +   +  +   +    +   +     ∫ (trong đó P(x) là đa thức) 3. Dạng 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ax b ax b ax b ax b k a ax b a a ax b k a sin lnx e sin x dx sin lnx dx e u cos ln x u cos ln x dx e cos x dx m sin log x x ; sin log x dx sin x dx m sin x dx cos log x dv cos log x dx cos x dx m cos x dx dv x dx + + + + + +    α +β     =    = α +β      ⇒ ⇒     α +β  α +β  =     α +β  α +β    =   ∫ ∫        Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 211 III. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 1. Dạng 1: ( ) ( ) ( ) { } ∫ ax+b ax+b P x sin ax + b ;cos ax + b ;e ; m dx • ∫ 3 1 A = x cos x dx . Cách làm chậm: Đặt 3 2 u x du 3x dx dv cos x dx v sin x   = =   ⇒   = =     . Khi đó ta có: 3 2 1 A x sin x 3 x sin x dx = − ∫ . Đặt 2 du 2x dx u x v cosx dv sin x dx  =  =   ⇒   = −  =    . Khi đó ta có: 3 2 1 A x sin x 3 x cos x 2 x cos x dx   = − − +   ∫ . Đặt u x du dx dv cos x dx v sin x = =     ⇒   = =     . ( ) ( ) 3 2 3 2 1 A x sin x 3x cosx 6 xsinx sinxdx x sinx 3x cosx 6 xsin x cosx c = + − − = + − + + ∫ Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ P x L x dx = P x du ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 1 A x cos x dx x d sin x x sin x sin x d x x sin x 3 x sin x dx = = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 2 3 2 x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x   = + = + −   = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 x sinx 3x cosx 6 xsin x sinxdx x sinx 3x cosx 6 xsin x cosx c = + − − = + − + + ∫ • ( ) ( ) 3 5 1 3 5 1 5 1 3 1 1 5 5 x x x x d e x e e d x − − − −   = = −   ∫ ∫ ∫ 3 5x 1 2 A = x e dx ( ) ( ) ( ) 3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1 1 1 3 x e 3 x e dx x e x d e 5 5 5 1 3 1 3 6 x e x e e d x x e x e xe dx 5 25 5 25 25 1 3 6 1 3 x e x e x d e x e x e 5 25 125 5 25 6 xe e dx 125 − − − − − − − − − − − − − − − − −     = − = −         = − − = − +   = − + = − +  + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 1 1 3 6 6 x e x e xe e c 5 25 125 625 − − − −  = − + − +   Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 212 x 0 π 2 /4 t 0 π /2 • 2 / 4 ∫ 3 0 A = x sin x dx π . Đặt 2 t x t x = ⇒ = ⇒ dx 2tdt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 3 2 0 3 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cost 2 cos td t 6 t cos t dt 3 3 6 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 tsin t dt 12 td cos t 2 2 π π π π π π π π π π = = − = − + = π π = = − = − = + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 3 3 12t cos t 12 cos t dt 12sin t 12 2 2 2 π π π π π π = + − = − = − ∫ • ( ) 6 6 6 3 3 3 0 0 0 1 cos 1 d cos cos dx 3 3 3 x x x x x = − = − + ∫ ∫ ∫ π 6 2 4 0 A = x sin x cos xdx π π π ( ) ( ) 6 6 3 2 0 0 3 1 3 1 sin x 11 3 1 sin x d sin x sin x 48 3 48 3 3 72 48 π π   π π π π = − + − = − + − = −     ∫ • ( ) ∫ 1 2 x 5 2 0 x e dx A = x + 2 . Đặt ( ) ( ) 2 x x 2 u x e du x x 2 e dx dx 1 dv v x 2 x 2  = = +   ⇒   = = −   +  +  ( ) 1 1 1 1 2 x x x x 5 0 0 0 0 1 1 1 x x x 0 0 0 x e e e A xe dx xe dx xd e x 2 3 3 e e e xe e dx e e 1 3 3 3 = − + = − + = − + + = − + − = − + − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Dạng 2: ( ) { } m P x arcsin u;arccos u; arctg u;arc cotg u ; ln u ;lo g u u ax b dx = + ∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 ln d ln ln 3 3 e e e x x x x x d x   = = −       ∫ ∫ ∫ e 2 2 1 1 B = x ln x dx ( ) e e e 3 3 3 2 3 3 1 1 1 1 dx 1 1 2 e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x 3 x 3 3 3       = − = − = −                   ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ee e 3 3 3 3 e 3 3 3 2 3 1 1 1 1 e 2 e 2 2 e 2 5e 2 x ln x x d ln x e x dx x 3 9 3 9 9 9 27 27 27   = − − = − + = + = −       ∫ ∫ Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 213 • ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 ln d ln ln 2 1 2 1 1 x x x x x x d x x x   + + +           = = −         − − − −             ∫ ∫ ∫ 1 2 2 0 1+ x B = x ln dx 1 x ( ) 1 2 1 2 2 2 2 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 1 2 0 1 1 x dx 1 x ln 3 x ln 3 dx 8 1 x 8 1 x 1 x 1 1 1 1 2 ln 3 1 dx ln 3 1 dx 8 1 x 8 1 x 1 x 1 1 ln 3 3 5 ln 3 x 2ln 1 x 2ln 8 1 x 8 2 6 −   = − ⋅ ⋅ = −   + +   −     = − − = − + −     + +   +     = − − − + = + −   +   ∫ ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 ln 1 ln 1x x x xd x x     = + + − + +     ∫ ∫ 1 2 3 0 B = ln x + 1 + x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 0 0 1 2 1 2 0 2 0 x dx x dx ln 1 2 x 1 ln 1 2 1 x x 1 x 1 x 1 d 1 x ln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1 2 1 x   = + − + = + −   + + + +   + = + − = + − + = + + − + ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 0 0 ln 1 1 x x d x = + + + ∫ ∫ 2 4 2 x ln x + 1 + x B = dx 1 + x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 0 1 0 1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x dx x 2 ln 1 2 1 x 1 1 x x 1 x 2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1   = + + + − + + +       = + − + +   + + +   = + − = + − ∫ ∫ ∫ • ( ) 1 0 ∫ 2 5 2 x ln x + 1 + x B = dx x + 1 + x . Đặt ( ) ( ) 2 2 2 u ln x 1 x x dx dv x 1 x x dx x 1 x  = + +   = = + −  + +  ( ) 2 2 2 x dx du 1 dx x 1 x 1 x 1 x   ⇒ = + + + =   + +   Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 214 ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 2 2 3 1 1 v 1 x d 1 x x dx 1 x x 2 3   = + + − = + −   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 3 5 2 0 0 1 1 dx B 1 x x ln x 1 x 1 x x 3 3 1 x       = + − + + − + −         + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 2 0 0 1 1 2 2 2 0 0 2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx 3 3 3 1 x 1 x 2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1 arctg x d 1 x 3 3 6 1 x − + = − + + + − + + − = − + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 2 0 2 2 1 ln 1 2 1 1 x 1 x d 1 x 3 12 6 − − + π   = − + + − + +   ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 1 2 2 2 0 2 2 1 ln 1 2 1 2 1 x 2 1 x 3 12 6 3 2 2 1 ln 1 2 2 2 3 12 9 − + π   = − + + − +     − + π − = − + • ( ) ( ) ( ) 1 2 2 0 1 ln 1 2 x x d x = + + ∫ ∫ 1 2 6 0 B = x ln x + 1 + x dx ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 2 2 2 2 2 0 0 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x 2 2 1 1 x dx 1 1 x dx ln 1 2 x 1 ln 1 2 2 2 2 2 1 x x 1 x 1 x   + +     = − + +         = + − + = + −   + + + +   ∫ ∫ ∫ x 0 1 t 0 π /4 Xét 1 2 2 0 1 x dx I x = + ∫ .Đặt x ) tg t ; t 0, 2 π  = ∈ ⇒   dx 2 dt cos t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 1 22 2 2 2 3 4 2 2 0 0 0 0 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 tg tx dx dt sin t sin t I dt d sin t cos t cos t cos t 1 x 1 tg t sin t d sin t u du 1 1 u 1 u du 4 1 u 1 u 1 sin t 1 u π π π π ⇒ = = ⋅ = = + +   + − − = = =   + −   − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 215 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 2 du du 4 1 u 1 u 4 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 u 2 2 ln ln 1 2 4 1 u 1 u 1 u 2     = − = + −     − +   − − +     + = − − = − +   − + −   ∫ ∫ ⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) 6 1 1 1 1 2 2 B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 2 2 2 2 2 2 4   = + − = + − − + = − + +     • ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 8 8 8 1 1 1 ln 1 d ln 1 ln 1 2 2 2 x x x x x d x − − − − − = − = − − − ∫ ∫ ∫ 0 7 8 B = x ln 1 xdx ( ) ( ) 0 0 2 2 8 8 0 0 2 8 8 0 2 8 1 1 dx 1 x dx 32ln 3 x 32ln 3 2 4 1 x 2 1 x 1 x 1 1 1 x 1 1 32ln 3 dx 32ln 3 1 x dx 4 1 x 4 1 x 1 1 l 63 32ln 3 ln 1 x x x 32 ln 3 6 ln 3 6 ln 3 4 2 2 2 − − − − − − = − − ⋅ ⋅ = − + − − − − −   = − + = − + − +   − −     = − + − − − − = − + + = −     ∫ ∫ ∫ ∫ x − 3 0 t 2 1 • ( ) − − − − ∫ 0 8 3 ln 1 x B = dx 1 x 1 x . Đặt 1 t x = − ⇒ dx − 2tdt Khi đó ta có: ( ) ( ) 1 2 2 8 3 2 2 1 1 ln t dt 1 B 2t dt 2 ln t 2 ln t d t t t − = − = = ∫ ∫ ∫ ( ) 2 22 2 2 1 1 1 1 2 ln t 1 dt 2 2 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2 t t t t − − = − = − + = − − = − ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 1 1 ln d 1 1 1 ln 2 2 1 1 x x x d x x + −   = =   +   + ∫ ∫ ∫ 3 9 2 2 1 x ln x dx B = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 3 2 1 ln x 1 1 ln 3 1 dx d ln x 2 20 2 x 1 2 x 1 x x 1 ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 x dx dx 20 2 20 2 x x 1 x x 1 ln 3 1 1 9 ln 3 ln x x 1 2 20 2 2 20 − − = + = + + + + − + − −   = + = + −   +   + −   = + − + = −     ∫ ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 216 3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 sin ln sin ln sin ln 3 3 3 = = − ∫ ∫ ∫ 2 1 C = x sin ln x dx x d x x x x d x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 1 1 1 dx 1 1 x sin lnx x cos lnx x sin ln x x cos ln x dx 3 3 x 3 3 1 1 1 1 1 x sin lnx cos ln x d x x sin lnx x cos lnx x d cos ln x 3 9 3 9 9 1 1 1 1 1 1 x sin lnx x cos lnx x sin ln x dx x sin ln x x cos lnx C 3 9 9 3 9 9 = − = − = − = − + = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 1 1 10 1 1 1 C x sin ln x x cos ln x C 3x sin ln x x cos ln x c 9 3 9 10   ⇒ = − ⇒ = − +   • ( ) 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 cos2 dx cos 2 dx 2 4 2 4 2 x x x e e e x e x J − = − = − = − ∫ ∫ ∫ π 2x 2 2 0 C = e sin x dx π π π π 2 0 2 x J e cos x dx π = ∫ ( ) ( ) 2x 2x 2x 0 0 0 1 1 1 e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e 2 2 2 ππ π = = − ∫ ∫ ( ) ( ) 2x 2x 2x 2x 0 0 0 0 2 2 2 2 2x 0 1 1 1 e sin 2x dx e d cos 2x e cos 2x cos 2x d e 2 2 2 e 1 e 1 e 1 e 1 e cos 2x dx J 2J J 2 2 2 4 ππ π π π π π π π = − = = − − − − − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ 2 2 2 2 2 e 1 1 e 1 e 1 e 1 C J 4 2 4 8 8 π π π π − − − − = − = − = • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 cos ln cos ln 1 sin ln dx e e e x x xd x e x= − = − + + ∫ ∫ ∫ π e 3 1 C = cos ln x dx π π π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e 1 1 1 e 3 3 3 1 e 1 sin ln x dx e 1 x sin ln x xd sin ln x 1 e 1 cos ln x dx e 1 C 2C e 1 C e 1 2 π π π π π π π π π π = − + + = − + + − − = − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = + ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cos 2ln dx cos 2ln 2 2 2 2 2 ee e e x x x dx I − = + = − = − ∫ ∫ ∫ π e 2 4 1 C = cos ln x dx ππ π π Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 217 Xét ( ) 1 2 e I cos ln x dx π = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) e e e 1 1 1 2sin 2lnx xcos 2lnx xd cos 2lnx e 1 x dx x π π π π = − = − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e e 1 1 1 e e 1 1 e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x 2 cos 2ln x e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I x π π π π π π π π π π = − + = − + − = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ ( ) 4 e 1 e 1 6 5I e 1 I C e 1 I e 1 e 1 5 5 5 π π π π π π − − = − ⇒ = ⇒ = − + = − + = − • ( ) ( ) 1 sin 1 sin 1 sin 1 cos 1 cos 1 cos x x x x x x d e e e d x x x + + + = = − + + + ∫ ∫ ∫ x 5 1 + sin x C = e dx 1 + cos x ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x 2 2 x x x 2 1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx e e dx e 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 sin x e dx e sin x dx e I J ; I ; J 1 cos x 1 cos x 1 cos x + + + + = − = − − + + + + + + = − − = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 Xét ( ) 2 1 x e sin x dx J cos x = + ∫ . Đặt ( ) ( ) ( ) x x 2 2 du e dx u e d 1 cos x 1 sin x dx dv v 1 cos x 1 cos x 1 cos x   = =   ⇒   − + = = =   + +  +  ∫ ⇒ x x x e e dx e J I 1 cos x 1 cos x 1 cos x = − = − + + + ∫ (2) . Thay (2) vào (1) ta có: ⇒ x x x x 5 1 sin x e 1 sin x e C e I I c e c 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x   + + = − − − + = − +   + + + +   • ∫ π 2 6 x 0 sin x C = dx e ( ) 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 π π π − − − = − = − ∫ ∫ ∫ x x x e cos x dx e dx e cos x dx 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 π π π − −π −π − − − − − = − = − = − ∫ ∫ x x x e e e e cos x dx e cos x dx J 0 2 x J e cos x dx π − = ∫ ( ) ( ) x x x 0 0 0 1 e sin 2x 1 e d sin 2x sin 2x d e 2 2 2 π π π − − − = = − ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 2 1 2 2 2 2 4 4 4 x x x x e cos x e sin x dx e d cos x cos x d e π π π π − − − − − = = = − + ∫ ∫ ∫ Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 218 0 1 1 1 1 5 1 1 2 4 4 4 4 4 4 5 x e e e e e cos x dx J J J π −π −π −π −π − − − − − = − = − ⇒ = ⇒ = ∫ ⇒ ( ) 6 1 1 1 1 2 1 2 2 2 10 5 e e e C J e −π −π −π −π − − − = − = − = − • ( ) ; 0 a − > ∫ a 2 2 7 0 C = a x dx ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 07 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 0 0 0 0 2 a a a a aa a a x dx a a x C x a x x d a x dx a x a x dx x a a a x dx a arcsin a x dx C a a x − − = − − − = = − − π = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ⇒ 2 2 7 7 2 2 4 a a C C π π = ⇒ = • ( ) ; 0 a > ∫ a 2 2 8 0 C = a + x dx ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 08 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 a a a a a a x C x a x xd a x a dx a x a x a dx a dx a a x dx a a x a x = + − + = − + + − = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8 0 0 2 2 2 8 8 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 a a a a ln x a x a x dx a a ln C ln C a a ln C a = + + + − + = + + − + + ⇒ = + + ⇒ = ∫ • ( ) ; 0 a > ∫ a 2 2 2 9 0 C = x a + x dx . Đặt ( ) 3 2 2 2 2 2 du dx u x 1 v a x dv x a x dx 3 =  =    ⇒   = +   = +   ( ) ( ) a a 3 3 2 2 2 2 2 2 9 0 0 a a 2 2 4 2 2 2 2 2 4 8 9 0 0 x 1 C a x a x dx 3 3 2 2 a 1 2 2 a 1 a a x dx x a x dx a C C 3 3 3 3 3 3 = + − + = − + − + = − − ∫ ∫ ∫ Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 219 ( ) ( ) ( ) 2 4 13 9 4 2 2 a 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 C a C 3 3 3 2 6 8 + + − + − + ⇒ = − ⋅ = ⇒ = • ( ) ; 0 a − > ∫ a 2 2 2 10 0 C = x a x dx . Đặt ( ) 3 2 2 2 2 2 du dx u x 1 v a x dv x a x dx 3 =  =    ⇒   − = −   = −   ( ) ( ) a a a a 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 0 0 0 0 2 2 4 4 7 10 10 7 10 x 1 1 C a x a x dx a a x dx x a x dx 3 3 3 a 1 2 a a a C C C C C 3 3 3 3 12 8   − = − + − = − + −       π π = + ⇒ = = ⇒ = ∫ ∫ ∫ • ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a x x a x d x a − = − − − ∫ ∫ 2a 2 2 11 a 2 C = x a dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2a 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2a 2a 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 2 2 11 x a x a 2 3 2 a x dx 2 3 2 a dx x a x a dx 2 3 2 a a x a dx x a 2 3 2 a a ln x x a x a dx 2 3 2 3 2 a a ln C 1 2 + − = − − = − − − − = − − − − − = − − + − − − + = − − − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 11 11 2 3 a 2 3 2C 2 3 2 a a ln C 2 3 2 ln 2 1 2 1 2   + + ⇒ = − − ⇒ = − −   + +   • ( ) ( ) 2 2 2 4 4 4 cotg1 1 cotg cotg sin sin sin x d x x d x x x = − = − + ∫ ∫ ∫ π 2 12 3 π 4 dx C = sin x π π π π π π 2 2 2 2 4 4 2 2 2 12 3 2 4 4 4 cos x 1 1 2 cotg x dx 2 1 dx sin x sin x sin x dx dx sin x dx 2 2 C sin x sin x 1 cos x π π π π π π π π π π   = − − = − − −     = − + − = − + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 12 12 4 1 1 cos x 2 ln 1 2 2C 2 ln 2 ln 1 2 C 2 1 cos x 2 π π + − + + ⇒ = − − = − + + ⇒ = − [...].. .Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương 4 D ng 4: Các bài toán t ng h p 3 • D1 = ∫ dx = x2 + 1 0 x3 ( x 2 + 2 ) 3 x 5 + 2x 3 ∫ x2 + 1 0 3 = ∫ 3 2 ∫x 2 x x x + 1 dx + 0 0 ∫x 2 2 x x + 1 dx 0 3 32 1 2 2 I = x... 2 =− ∫ 0 d (1 + cos x ) + 1 + cos x 3 ln 3 4 π 4 ∫ xd ( tg 2 ) x 0 x 4 π π x dx = ln + tg + 2 ln cos 2 2 2+ 2 4 8 π4 0 π ( 2 − 1) + ln 2 + 2 = π ( 2 − 1) + ln1 = π ( 2 − 1) 4 4 4 4 221 Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π2 π2 π2 • D7 = ∫ sin 2x cos ( sin x ) dx = 2 ∫ sin x cos x cos4 ( sin x) dx = 2 ∫ sin x cos4 ( sin x) d( sin x) 4 0 0 1 0 1 ∫ 4 = 2 t ( cos t ) dt = 0 1 1 1 ( 2 2 t (1... + du = 2x dx u = x 2   t  ⇒ 32 1 2 dv = x x 2 + 1 dx  v = ( x + 1)  3  3 Xét I = 2 x 3 ( x 2 + 1) 3 dx = du 2 −1 2 1 1 1  − +  ln + 2 ln (1 + 2 )  3 8 3 2  = 0 4 3 Bài 8 Phương pháp tích phân t ng ph n π 2 • D3 = ∫e sin 2 x 0 = 1 4 π2 ∫ 1 sin x cos x dx = 4 (1 + cos 2x ) d ( esin 2 x π2 ∫e sin 2 x 0 ∫ x ( 2 sin x cos x ) esin 2 2 x dx 0 2 π2 x − 4 0 1 1 sin 2x dx = − + 2 2 π 2 • D4 . Chương II: Nguyên hàm và tích phân − −− − Trần Phương 210 BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử ( ) u u x = ; v = v(x) có đạo hàm liên. Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần. khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời tích phân vdu ∫