PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦNI.. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Giả sử u=u x ; v = vx có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: •d uv =udv+vdu⇔∫d uv =∫udv+∫vdu⇔uv=∫udv+∫vdu b a u
Trang 1BÀI 8 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử u=u x( ); v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có:
•d uv( )=udv+vdu⇔∫d uv( )=∫udv+∫vdu⇔uv=∫udv+∫vdu
b a
udv=uv− vdu⇒ udv= uv − vdu
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau
Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều
trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân)
Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời
tích phân ∫v d u đơn giản hơn tích phân udv∫
II CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv
1 Dạng 1:
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
P x
dv
+
+ +
+
=
+
+
2 Dạng 2:
( )
( )
m
m
arctg ax b
P x
u arc cotg ax b dx
arc cotg ax b
+
+
+
+
+
3 Dạng 3:
( )
( )
( ) ( )
k
a
a
ax b k
a
u cos ln x
u
dv
dv x dx
+ +
α + β
=
=
Trang 2III CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA:
1 Dạng 1: ∫P x sin ax + b ;cos ax + b ;e( ){ ( ) ( ) ax+b ; m ax+b}dx
1
A = x cos x dx
Cách làm chậm: Đặt
Khi đó ta có:
1
A =x sin x−3 x sin x dx∫ Đặt
dv sin x dx
= −
=
Khi đó ta có:
1
A =x sin x−3−x cos x+2 x cos x dx
⇒
1
A =x sin x 3x cos x 6 xsin x+ − −∫sin x dx =x sin x 3x cos x 6 xsin x cos x+ − + +c
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ∫P x L x dx = P x du ( ) ( ) ∫ ( )
1
A =∫x cos x dx=∫x d sin x =x sin x−∫sin x d x =x sin x−3 x sin x dx∫
x sin x 3x cos x 6 xsin x sin x dx x sin x 3x cos x 6 xsin x cos x c
2
( )
5x 1 5x 1
6
125
∫
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần
Trang 3x 0 π2/4
•
2
/ 4
∫
3
0
π
Đặt t= x⇒t2 = ⇒ x
2
0 3
2
0
π
π
2
0
π
6
0
π 6
2 4
0
π
6
2
0 0
π
∫
•
∫1 2 x
0
x e dx
A =
x + 2 Đặt
2
⇒
+
+
( )
2 x
5
1
0
+
∫
2 Dạng 2: ∫P x( ){arcsin u; arccos u; arctg u; arc cotg u ; ln u ; log u um =ax+b dx}
1
1
1
B = x ln x dx
( )
e
1
1
Trang 4• ( )
1 2
0
1 2
2
0
1+ x
1 x
2
2
2
1 2
0
+
0 0
3
0
2 0 2
0
+
+
∫
x ln x + 1 + x
1 + x
( )
1 1
0 0 1
2
0 1
0
dx x
∫
∫
∫
0
x ln x + 1 + x
2
2 2
x dx
Trang 51 ( 2)1 2 ( 2) 2 1 ( 2)3 2 3
( )3 2 ( ) 1 1 ( )3 2
5
2
2 2
+
∫
0
−
1
0
0
1
6
0
1 1
2
∫
t 0 π/4 Xét
1 2
2
0 1
x dx
I
x
=
+
2 π
dt cos t
2
tg t
du
π
Trang 6( ) ( )
( )
2 2
0
8
0
7
8
2
0 2 8
−
−
−
•
−
−
∫0
8
3
ln 1 x
t
−
2
•
2
ln
x x
x d x x
+
+
2
1
x ln x dx
B =
x + 1
( ) ( ) ( )
2
1
2 2
3 2 1
d ln x
+
+
+
Trang 73 Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi
1
1
∫
0
x
π
2
0
C = e sin x dx
π
2
0
2
x
J e cos x dx
π
0
π
0
2x 0
π
π
∫
1
e
π
e
3
1
C = cos ln x dx
π
π
e 1
e
1
1
2
π π
−
∫
1
e
e
π
e
2
4
1
C = cos ln x dx
π
π
Trang 8Xét ( )
1
2
e
I cos ln x dx
π
e 1
2sin 2lnx
x
π
π
e 1
2 cos 2 ln x
x
π
x
+
5
1 + sin x
1 + cos x
( )
x
2
+
1
Xét
1
x
e sin x dx
J
cos x
=
+
x x
sin x dx
1 cos x
⇒
+ +
⇒
5
• 6 ∫π x 2
0
sin x
0
2
x
J e cos x dx
π
−
0
π
0
x
π
Trang 92
x
π
−
−π
• ∫a 2 − 2 ;(a>0)
7
0
0 7
2
7
a
a
a
π
−
8
0
2
0 8
2
a
x
+
( )
8 0
0
2
a a
ln
∫
9
0
( 2 2)3
1
3
=
=
9
∫
Trang 10( ) ( ) ( )
2 4
• ∫a 2 2 − 2 ;(a>0)
10
0
( 2 2)3
1
3
=
=
⇒
−
10
−
2 2
a a a a
2a
11
a 2
2a 2a
a 2
a 2
11
dx
−
+
+
∫
2
cotg
sin
x
x
π 2
π 4
dx
C =
sin x
π
12
sin x
−
2
4
π
π
−
Trang 114 Dạng 4: Các bài toán tổng hợp
0
x + 2x
x + 1
2
x dx
+
Xét
3
0
1
I = ∫ x x x + dx Đặt
( )
2
3 2 2 2
1
=
=
⇒
3
5 2 2
0
Xét
3
2
2
x dx
x
=
+
2
2 2
x dx
=
0
0
3
1
1
x d
1
1 + x
x
( )
( ) ( )
( )
2 2
3
2
+
−
−
Trang 12• ( ) 2
2
0
1
4
x
π
=
π 2
3
0
0
0
−
2
3
ln 1 cosx d sinx
π
π
π 2
4
π 3
2 3
2 3
π π
π π
−
−
−
π
3 4
ln tgx d cosx cos ln tgx x cosx d ln tgx
π π
π 3
5
π 4
D = sin x ln tg x dx
3 3
2
4 4
π π
π π
+
−
−
∫
( )
2
tg 2
2
+
π 4
6
0
x + sin x
1 + cos x
xd x
+
∫
Trang 13• ( ) ( ) ( ) ( )
7
π 2
4 0
1
0
+
1
0
∫
2
−
π 4
2 0
tg x
cos x
1 2
2
1
2
1 1
u
12 2
π
−
∫
•
3
0
cos
dx
π
+
2 0
x dx
D =
x sin x + cos x
0
3
3 0 2
0
x sin x cos x
π
π
∫