b- Nếu (A n ) là dãy các biến cố độc lập và = + thì 1 Chứng minh. a- Ta có Suy ra Theo giả thiết nên số hạng dư 0 khi n . Vậy P(A ) = 0. b- Ta có . Để chứng minh P(A ) = 1 ta cần chứng minh hay ta phải chứng minh P( ) = 0 với mọi n. Với N > n ta có P( ) < P( ) = = vì 1 - x < e -x với mọi 0 < x < 1. Do = + ta suy ra ) khi N . Vậy 0 khi N . Do đó , nghĩa là P(A ) = 1. Bổ đề được chứng minh. Định lí 3.3. (Bất đẳng thức Côn môgôrốp) Giả sử X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, với > 0 cho trước tuỳ ý ta có (6) Chứng minh. Đặt ; , k = 1, 2,…, n và Rõ ràng A 0 , A 1 ,…, A k là xung khắc từng đôi, trong đó , k = 1, 2,…, n.Ta có và Vì E(S n /A k ) = 0 nên Theo giả thiết A k độc lập với các , j > k.Vì vậy với j > k với h ¹ j, h, j > k > 1 và với k > 1 Tóm lại . Từ đó suy ra Định lí 3.4. (Định lí Côn môgôrốp 1) Nếu X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện (7) thì dãy X 1 , X 2 , , X n tuân theo luật số lớn. Chứng minh . Đặt và . Xét xác suất Theo bất đẳng thức Cônmôgôrốp ta có: Vậy Đổi thứ tự lấy tổng ta có Do các số hạng ở vế phải của bất đẳng thức trên có thể ước lượng bởi , trong đó p là số sao cho 2 p < j < 2 p + 1 .Vậy , hay chuỗi hội tụ. Từ đó suy ra P m 0 khi m . Theo Định lí 1.6 ta có . Định lí được chứng minh. Hệ quả 3.5. Gọi m A là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli và p là xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử. Khi đó Hệ quả 3.6. Nếu dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập và có cùng phân phối với kì vọng và phương sai DX 1 = DX n = s 2 hữu hạn thì Ví dụ 3.7. Cho X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất: X k - 1 0 1 P a. Chứng minh rằng khi n . b. X 1 , X 2 , , X n có tuân theo luật mạnh số lớn không? Tại sao? Giải. a. Ta có Theo Hệ quả 2.1 thì khi n . b. Do X 1 , X 2 , , X n độc lập, có cùng phân phối với EX k = 0 và DX k = với mọi k =1, , n. Theo Hệ quả 3.6 ta có Vậy X 1 ,…, X n tuân theo luật mạnh số lớn. Ví dụ 3.8. Cho X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm mật độ: a. Chứng minh rằng khi n . b. Dãy X 1 , X 2 , , X n có tuân theo luật mạnh số lớn không ? Tại sao? Giải. Với mọi k = 1, 2, , n thì Đặt Þ . Từ đó EX k = Tương tự, Vậy a. Do dãy X 1 ,…,X n độc lập có EX 1 = … = EX n = và phương sai DX 1 = … = DX n = 2 Theo Hệ quả 2.1 ta có: khi n . b. Ta có . Theo Định lí 3.4, dãy X 1 ,…,X n tuân theo luật số lớn. . luật mạnh số lớn. Ví dụ 3.8. Cho X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng hàm mật độ: a. Chứng minh rằng khi n . b. Dãy X 1 , X 2 , , X n có tuân theo luật mạnh số lớn. môgôrốp 1) Nếu X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập thoả mãn điều kiện (7) thì dãy X 1 , X 2 , , X n tuân theo luật số lớn. Chứng minh . Đặt và . Xét xác suất Theo bất đẳng. DX n = s 2 hữu hạn thì Ví dụ 3.7. Cho X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối xác suất: X k - 1 0 1 P a. Chứng minh rằng khi n . b. X 1 , X 2 , , X n