I. MỤC TIÊU: Kiến thức: HD HS luyện tập các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỉ. Kĩ năng: Cộng, trừ, nhân, chia 2 số hữu tỉ, so sánh 2 số hữu tỉ. Thái độ: Nghiêm túc, tính cẩn thận, linh hoạt và sáng tạo.
Trang 1Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Câu 1 : a) Tính A =
3 2 2
1 3
2 2
1
−
−
+ + + b) So sánh : 2008 2009
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x,y,z,t biết rằng:
= +
−
101 4
3
21
2 2 2
2 2 2
z y x
t y x
Câu 4 :
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính AC và vẽ đờng tròn tâm K đờng kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai đờng tròn (M∈ (I),N∈ (K)) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn
a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất
Trang 22 3
2 4 2
2
−
−
+ +
+ ( Nh©n tö vµ mÉu víi 2)
=
3 3
2 3
3
2 )
1 3 ( 2
2 )
1 3 ( 2
2
−
+ +
=
−
−
+ +
= 2
3 9
) 3 3 3 3 (
−
+ +
Trang 3Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
1 2
1 2
x y
x y
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)
Câu 3 :
a) (1đ) ∆= (a-b-c)2 - 4bc = a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a2 + b2 +c2 - 2ab - 2ac - 2bc =
= a2 - a(b+c) + b2 - b(a+c) + c2 - c(a+b)
Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên :
0 <a<(b+c) ; suy ra a2 < a(b+c) ; do đó a2 - a(b+c) < 0
0 <b<(a+c) ; suy ra b2 < b(a+c) ; do đó b2 - b(a+c) < 0
0 <c<(a+b) ; suy ra c2 < c(a+b) ; do đó c2 - c(a+b) < 0
Từ đó suy ra ∆< 0 Vậy phơng trình vô nghiệm
Trang 4= +
−
(**) 101 4
3
*) ( 21
2 2 2
2 2 2
z y x
t y x
; cộng vế với vế ta đợc : 2(x2 + y2 + 2z2 + t2) - t2 = 122 ;
suy ra M=
2
61 2
1
y
x y
3
y
x y
x
y
x
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4 Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0
Câu 4 :
a)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có
QM=QC=QN ;
Từ đó suy ra ∆MCN vuông
Tứ giác DMCN có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật ;
Mà Q là trung điểm của MN , suy ra Q là trung điểm của DC
Vậy AM,BN,Cx đồng quy tại D
DC DB
DA
DC DB
DC DA
DC
.
2
2 2 2
2 3 3
a
a a
DC AB
m AC = 5 cm
O
N M
Trang 5Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
+ +
x
x x x x x x x
x x x x
x x
Trang 6§Ị tỉng hỵp kiÕn thøc häc sinh giái
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng :
4 SABC ≤ AM.BC + BM.CA + CM.AB
Trang 7
-* -Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Do : a4 – 1 M 5 vaứ b4 – 1 M 5Hỏi: Em hãy cho biết bạn đã dùng những kiến thức nào để làm bài tập trên?
Trang 9A' F
E M
C B
Trang 10Lấy (1) + (2) vế theo vế
Ta được : BE AM + CF AM ≤ BA’ AM + CA’ AM
Hay : ( BE + CF ) AM ≤ AM ( BA’ + CA’)
Nên : ( BE + CF ) AM ≤ AM BC
Do đó ta có tổng diện tích :
2 ( SABM + SACM ) ≤ BC AM ⇔ SABM + SACM 1
2
≤ BC AM (*) Tương tự ta chứng minh được : ⇔ SABM + SCBM 1
2
≤ AC BM (**) ⇔ SACM + SCBM 1
2
≤ AB CM (***)Cộng vế theo vế (*) , (**), (***) cho ta
2(SABM + SACM + SCBM) ≤ 12 ( BC AM + AC BM + AB CM )
x
+ +
=
+ Bµi 2
Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n : a+ b = 1 Chøng minh r»ng: ab(a + b) 2 ≤ 641 DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ?
Bàµi3: Cho biĨu thøc
P = ( ) ( ) 1 a32
2aa12
1a
12
a) Rĩt gän P
b) Tìm Min P
Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x2 + y = y2 + x
Tính gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : P =
1 -
xy
xy2y2
Trang 11Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai a x 2 +b x c + = 0 có hai nghiệm dơng
2 Cho các số thực dơng x; y; z thoả mãn: x3 +y3 + −z3 3xyz= 0
Tính giá trị của biểu thức: ( )27 ( ) (6 )2008
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O Lấy A và B là hai điểm
thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM không vuông góc với d đồng thời M không thuộc d Các đờng thẳng MA, Mo,
MB Cắt (O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M) Đờng thẳng PQ cắt d tại S
Trang 12Híng dÉn gi¶i
Trang 13Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Với x = 2 thay vào hệ ta đ
Với x = 2 thay vào hệ ta đợc y = 2ợc y = 2Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2
2 Đặt x - 2 = t, ta đợc phợc phơng trình ơng trình ( ) (4 )4
(1)(2)
Trang 14
−
21a
1:aa
11
aa
a) Rót gän P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 3 + 2 2
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho P < 0
§Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái
3
a x ax a
x ax
+ +
Trang 15Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng dA, dB, dC, dD sao cho dA⊥ OA, dB
⊥ OB, dC⊥ OC, dD ⊥ OD Các cặp đờng thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA
tơng ứng cắt nhau tại các điểm K, L, M, N
1) Chứng minh rằng ba điểm K, O, M thẳng hàng
2) Đặt OK = k, OL = l, OM = m Tính độ dài ON theo k, l, m
Hớng dẫn giải
Bài 1.1
Hỏi: Khi nào đựơc gọi là số chính phơng?
Học sinh: Số chính phơng là bình phơng của số tự nhiên
Học sinh len bảng làm
Giả sử tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phơng
thì n2 + 2006 = m2 với m là số tự nhiên => (m-n)(m+n) = 2006 (*)
Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia hết cho 4 Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n2 + 2006 là số chính phơng
Bài 1.2
Hỏi: Hãy nêu điêù kiện xác định của phơng trình?
Trang 16Học sinh:
ĐK: x3 + 1 ≥ 0 (*)
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=> 2(x2 + 2) = 5 (x+ 1 )(x2 − x+ 1 )
Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?
Thử và thấy các giá trị trên thoả mãn điều kiện (*)
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =
Trang 17Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm
Do phơng trình x2 - 3ax - a = 0 có hai nghiệm phân biệt là x 1 và x 2 nên ta có : 9a2 + 4a
> 0 (1) ; x1 - 3ax1 - a = x2 - 3ax2 - a = 0 ; x1 + x2 = 3a
=> x1 = 3ax1 + a ; x2 = 3ax2 + a (2)
2 1 2 2
2 1
3
a x ax a
x ax
+
2 2
4
a a a a
+Theo (1) thì 9a2 + 4a > 0 nên áp dụng BĐT Côsi, ta đợc A ≥ 2
A = 2 <=> 9a2 + 4a = a2 <=> a = -1/2
Dễ kiểm tra thấy với a = -1/2 thì x1 = -1 và x2 = -1/2
Vậy Anhỏ nhất = 2, đạt đợc khi a = -1/2 ; x1 = -1 và x2 = -1/2
4 1)
Học sinh lên bảng vẽ hình
Giáo viên gọi ý để học sinh trả lời từng ý một
Hỏi: Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta cần chứng minh điều gì?
Học sinh: để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta đi chứng minh góc tạo bởi 3 điểm đó bằng góc bẹt
Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này?
Học sinh: Lên bảng làm:
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ giác ABCD
Có ∠KOL + ∠LOM = π - ∠OKB - ∠OLB + π - ∠OLC - ∠OMC
= π - ∠BAO - ∠BCO + π - ∠CBO - ∠CDO
= 2π - ( ∠A + ∠B + ∠C + ∠D )/2 = 2π - π = π
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng
Trang 184 2
Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?
Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.
Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp Thật vậy, có:
∠NKL + ∠NML = ∠AKO + ∠OKB + ∠DMO + ∠OMC
Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi
Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab
Tính giá trị của biểu thức: P =
b a
b
a
+−
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá trị của biểu thức E = x x+−y y
xz x
yz
++
Trang 19Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
§Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái
Trang 201/ Chứng minh rằng nếu một đởng thẳng không đi qua gốc toạ độ, cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ bằng a, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b thì đờng thẳng đó
2/Cho đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất
Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a, ãAOH = α.a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và α
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2α Từ đó biểu diễn sin2α
, cos2α theo sinα , cosα .
Bài 7 :
Cho hình vuông ABCD O là một điểm thuọc miền trong hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 Tính số đo góc AOB ?
Hớng dẫn trả lời
Hỏi : Hãy nêu cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Học sinh : Ta phải chứng minh biểu thức đó lớn hơn hoặc bằng một hằng số
Học sinh lên bảng làm
Bài 1 Ta có: M = (x2 – 2x + 1) + (y2 + xy + 1) + xy – x – y + 1 + 2008 = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x – 1)(y – 1) + 2008 = (x – 1)2 +
2008 )
1 ( 4
3 2
1 ).
1 (
2
1 ( ) 1
2
≥ +
− +
− x y 1.
0 1
0 2
1 1
Trang 21Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
=
1 1 )
1 ( )
1 (
1
k k
k k
k
k k
k = − + + + 1
1 1
1
1 1
k k k
k k
< k − + = − + 1
1 1
2
2 1
1 1
k k k
k k
Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng làm
1 2 1
2
1
; < − 3
1 2
1 2 2 3
1
; + < − + 1
1 1
1 2 )
1 (
1
n n
n
1
1 1 2 )
1 (
1
1 3
1 1 2
1 + + + n+ n < − n+ < (đpcm)Bài 3 :
Giáo viên gợi ý học sinh làm bài Dùng tính chất đối nghịch để làm bài này
Ta chứng minh một vế không lớn hơn 4 một vế không nhỏ hơn 4
a) Ta có VT Không lớn hơn 4, VP không nhỏ hơn 4 , vậy pt trình có nghiệm khi và chỉ khi hai vế cùng bằng 4 Từ đó ta tìm đợc x = 3
Trang 220 y
0 x
y
t y z
x
; 0
; 0
; 0
; 0
−
) (
4
4 4 ) (
2
2 2 2
z y x t t
xy zt
z y x t
Q Lập luận tơng tự, ta suy ra: x, y ∈ Q
Bài 5
Giáo viên: Hãy nêu cách làm bài này?
1) Gọi đờng thẳng cần xác định là y = mx + n
Đờng thẳng đi qua điểm (0 ; b) nên : b = m.0 + n ⇒ n = b.
Đờng thẳng đi qua điểm (a ; 0) nên: 0 = m.a + b ⇒ m =
b
y a
x b
x a
b
a
x là tức
2a) Điều kiện cần và đủ để đờng thẳng (m – 2)x + (m – 1)y = 1 (1) đi qua điểm
= +
1
1
0 1 2
0
o
o o
o
o o
y
x y
x
y x
Vậy các đờng thẳng (1) luôn đi qua điểm cố định N (-1; 1)
Trang 23Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
b) Gọi A là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục tung Ta có: x = 0 ⇒ y =
1 ) 2
3 ( 2 5 6 2 ) 2 ( ) 1 ( 1 1
2 2
OB OA
a) Ta có BAK = AOH = α Từ tam giác vuông OHA, ta có AH = OAsinα =
asinα vậy AB = 2asinα , mặt khác trong tam giác vuông AKB thì AK = AB
cosα suy ra AK = 2a.sinα.cosα và BK = AB.sinα nên BK = 2a.sin2α
b) Với tam giác OKA : AK = OA sin AOK nên AK = asin2α OK =
OAcos AOK nên OK = acos2α
- Với tam giác AKB ta có : AK = asin2α mà BK = OB – OK= a – acos2α
hay BK = a(1 – cos2α)
Trang 24Theo Pitago thì AB2 = AK2 + BK2 = a2sin22α + a2(1 – cos2a2) = a2
[sin 2 2 α + ( 1 − 2 cos 2 α + cos 2 2 α )] Vì sin22α + cos22α = 1 nên AB2 = a2(1 + 1 – 2cos2α)
= 2a2(1 - cos2α)
- So sánh giá trị của AK, ta có asin2α = 2a.sinα cosα vậy sin2α = 2sinα.cosα
- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin2α = a(1 – cos2α) hay cos2α = 1 – 2sin2α
Hỏi: Em đa dùng kiến thức nào để làm bài này?
Bài 7
A
DO
xK
Dựng tia Bx nằm trên nửa mặt phẳng không chứa điểm O với bờ là đờng thẳng BC sao cho xBC = ABO Trên tia Bx lấy điểm K, sao cho BK = BO Do BOK là tam giác vuông cân nên BKO = 45o Từ ∆ ABO = ∆ CBK, suy ra KC = OA Đặt OA = a vì OA : OB : OC = 1 : 2 : 3 nên CK = a ; OB = BK = 2a, OC = 3a Trong tam giác vuông OBK ta có OK2 = OB2 + BK2 = 8a2 Vì vậy OK2 + CK2 = 8a2 + a2 = 9a2 Mặt khác OC2 = 9a2 nh vậy, OC2 = OK2 +KC2 Theo định lí Pitago đảo thì ∆OKC vuông tại K hay OKC = 90o Vì CBK= ABO và BCK = BAO, hơn nữa các góc này nhọn, nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song AB và CD.Từ
đó BKC = BKO + OKC = 45o + 90o = 135o Vì BKC = AOB suy ra AOB = 135o
Trang 25Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Hỏi: Hãy nêu những kiến thức đã dùng trong bài?
b b
a
1 1
a
1 : 1 a
a 1 P
Trang 261 : 1 a
a 1 P
a Ruựt goùn P b Cho a=19−8 3 Tớnh P
Giáo viên: hãy nêu điều kiện xác định của biểu thức?
Trang 27Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Giáo viên: Hãy dùng công thức tổng quát để tính tổng?
Em nào biến đổi đợc công thức tổng quát của bài này?
Học sinh lên bảng biến đổi công thức tổng quát và làm bài tập trên
Ta coự:
Trang 28A
Trang 29Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Vẽ AG // BC, DH // BC (G, H EF ∈ ) suy ra AG // DH
MAG
∆ có BF // AG nên MAMB =AGBF (hệ quả đlí Talet)
NDH
∆ có FC // DH nên NDNC =HDFC (hệ quả đlí Talet)
Xét ∆ EAG và ∆ EDH có:
AEG DEH, AE DE(gt), EAG EDH = = = (do AG // DH),
Do đó EAG EDH g.c.g( )
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P = a2007 + b2007
Trang 30Bµi 2: Cho + =1
b
y a
3
b
y a
Bµi 4: Cho
b a b
y a
2008
)(
2
b a b
y a
x
+
=+
§Ò tæng hîp kiÕn thøc häc sinh giái
Trang 31Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 23 5
1
x x y
Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau
E là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N
1 Chứng minh rằng tích OM ON
AM DNì là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
AM +DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định
vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất
Hớng dẫn trả lời
Bài 1
1.1
Giáo viên: Em nào làm đợc bài này?
Gợi ý: Các em đa phơng trình trên về phơng rình trị tuyệt đối
Trang 32Vậy tập nghiệm của pt (1) là: S =[1; 81]
Giáo viên: Hãy nhận xét bài làm của bạn.
Học sinh đứng tại chỗ nhận xét bài làm của bạn.
Trang 33Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Giáo viên: Gọi học ính lên bảng làm
Học sinh lên bảng làm: Nếu học sinh dùng cách đa về dạng quen thuộc đã làm thì giáo viên giới thiệu cách làm sau đây
Dùng công thức nghiệm của phơng trình bạc hai
Giáo viên: Hãy sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để làm
Để có nghiệm nguyên thì đen ta của phơng trình bậc hai phải nh thế nào?
Học sinh: Đen ta phải là số chính phơng
Trang 34Giáo viên cho học sinh lên bảng vẽ hình và ghi giả thiết kết luận của bài toán.
Học sinh lên bảng làm theo yêu cầu của giáo viên
Gợi ý: Các em dùng kiến thức về tâm giác đồng dạng để chứng minh
Trang 35Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
(1)
2 2
x y
x y xy
⇔ E là trung điểm của dây cung ằAD.
Nêú học sinh không làm đợc cho học sinh suy nghĩ trao đổi và tìm ra hớng giải của bài tốaêụhc sinh thảo luận theo nhóm hai ngời một để tìm ra lời giải
3.2
Trang 36Hỏi: Chi vi của tam giác GKH đợc tính theo công thức nào?
Hỏi: Chu vi đó lớn nhất khi nào?
(góc nội tiếp chắn cung nhỏ GHẳ cố định), do đó ãGNH
không đổi Vậy N chạy trên cung tròn (O') tập hợp các điểm nhìn đoạn GH dới góc
nhau) Khi đó, K là trung điểm của cung lớn GHẳ
Vậy: Chu vi của ∆GKH lớn nhất khi K là trung điểm của cung lớn GHẳ
Trang 37Tài Liệu Bồi Dưỡng HSG Bộ Đề
Giáo viên: Em hãy nêu những kiến thức đã dùng trong bài này?
( ) )(
( ) )(
(
2 2
2
a c b c
c a
b c b
b c
a b a
Trang 381 Xác định hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên và diện tích cũng là số nguyên gồm 4 chữ số, trong đó các chữ số hàng đơn vị, hàng chục và hàng trăm giống nhau.
2 A, B, C là một nhóm ba ngời thân thuộc Cha của A thuộc nhóm đó, cũng vậy con gái của B và ngời song sinh của C cũng ở trong nhóm đó Biết rằng C và ngời song sinh của C là hai ngời khác giới tính và C không phải là con của B Hỏi trong ba ngời A, B, C ai là ngời khác giới tính với hai ngời kia ?
Giáo viên: hãy nêu điều kiện để hệ phơng trình có nghiệm?
Học sinh đứng tại chỗ trả lời.
x y
Học sinh lên bảng làm