CHƯƠNG I : ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT docx

tổng của hai đơn thức đồng bậc không phải là một Khi đó được gọi là những hệ số của đa thức là hệ số ứng với.. Với đa thức bậc + Số được gọi là nghiệm của đa thức P x , nếu P =0 Nói cá

CHƯƠNG I: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT

A ĐA THỨC MỘT BIẾN.

Một hàm số dạng gọi là một đơn thức với là một số bất kì ( trường hợp chung nhất là một

số phức) x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm Số k gọi là bậc của đơn

thức và kí hiệu là k=deg Hai đơn thức gọi là đồng bậc nếu bậc của chúng bằng nhau , nghĩa là và là đồng bậc nếu dễ thấy tổng của hai đơn thức đồng bậc tích của hai đơn thứcbất kì là một đơn thức tổng của hai đơn thức đồng bậc không phải là một

Khi đó được gọi là những hệ số của đa thức ( là hệ số ứng

với ) Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x) Với đa thức bậc

+ Số được gọi là nghiệm của đa thức P (x) , nếu P( )=0

Nói cách khác bậc của đa thức là bậc lớn nhất của đơn thức trong tổng

trong một số trường hợp bằng không vì ta không đòi hỏi bắt buộc những đơn thức vó bậc nhỏ hơn n tham gia vào đa thức.:

nếu hai đa thức có cùng một dạng chuẩn tắc thì bằng nhau Ta không thể nói dạng chuẩn tắc của đa thức là duy nhất

Chú ý: những số khác không cũng là các đa thức ( tổng của những đa thức bậc 0) Gọi là

Đặc biệt: không là đa thức

Ví dụ: x và +1 là những đa thức, nhưng thương của chúng không là những đa thức.

II.Các tính chất cơ bản:

2.1 Tính chất 1:

Gọi f(x) và g(x) là hai đa thức của vành A , thì bao giờ cũng tồn tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) sao cho

f(x)=g(x)q(x)+r(x) với deg r (x)< deg g (x).

Nếu r(x)=0 ta nói f(x) chia hết cho g(x).

Giả sử a là phần tử tùy ý là đa thức của vành A,

là đa thức tùy ý của vành, phần tử có đựoc bằng cách thay x bởi a gọi là giá trị của tai a

Nếu thì f(x)=0 ta gọi là nghiệm của f(x) bài toán tìm cua trong gọi là giải phưong trình

Số a là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x-a).

Giả sử A là một trường và m là một số tự nhiên lớn hơn và bằng 1 Khi đó a là nghiệm

bội cấp m của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho và f(x) không chia hết cho

Trong trường hợp m=1 thì ta gọi a là nghiệm đơn còn khi m=2 thì a được gọi là nghiệm kép

Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm lẫn bội của các nghiệm nếu có

 đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau.+ Lược đồ horner:

b) Ngược lại nếu các số thoả mãn hệ trên thì chúng là nghiệm của (1)

Biên của nghiệm

1) mọi nghiệm của đa thức

Khi đa thức dạng (3) viết được dứơi dạng:

với degg>0, degq>0

Thì ta nói g là ước của và ta viết hay

Nếu P(x) chia hết g(x) và Q(x) chia hết g(x)

thì ta nói g(x) là ước chung của P(x) và Q(x)

Nếu hai đa thức và chỉ có ước chung là các đa thức bậc 0 thì ta nói rằng chúng

nguyên tố cùng nhau và viết (P(x),Q(x))=1.

1.2 Tính chất

Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau là tồn tại

cặp đa thức và sao cho

P(x)U(x)+Q(x) (x) 1 Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) có ước chung d(x) là đa thức chia hết cho tất cả ứơc chung khác thì d(x) được gọi là ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x) Cũng như vậy ta có ước

chung lớn nhất của bộ nhiều đa thức/

d Nếu các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cùng nhau thì và sẽ nguyên

tố cùng nhau với mọi m,n nguyên dương

+Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và ngược lại thì P(x)=a.Q(x), với là một số.

Thật vậy, ta có giả thiết và Ta có và, nghĩa là Khi đó tha có đẳng

thức ta nhận được, suy ra , nghĩa là S(x) là một hằng số khác không).

+Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và Q(x) chia hết cho S(x) thì P(x) chia hết cho S(x).

Chứng minh rằng với hai đa thức bất kì P(x) và Q(x) tồn tại duy nhất những

đa thức S(x) và R(x) thỏa mãn những điều kiện sau:

b Ví dụ:

1/Hãy tìm thương và số dư của phép chia đa thức cho đa thức

2/ Cho n và m là những số tự nhiên, Chứng minh rằng đa thức số dư trong phép chia đa thức cho, là, ở đây t là số dư trong phép chia số n cho m

III Sơ đồ Horner

Đặc biệt thực hiện phép chia Q(x) là đa thức tuyến tính có dạng Q(x)=x-a trường

hợp này ta có:

P(x)=(x-a).S(x)+R(x)

ở đây degR(x) nghĩa là R(x) là hằng số Nếu trong đằng thức cuối cùng thay x=a,

ta nhận được R(x)=P(x) nghĩa là số dư r(x) bang92 giá trị của P(x) tại x=a ta tìm

hệ số của thương S(n) theo sơ đồ Horner

Định lí 1.3 nếu và Chứng minh rằng những hệ số của thương và số dư tính

được từ các công thức sau trong phép chia P(x) cho Q(x)

Chứng minhBằng cách áp dụng phương pháp định lí 1.2 ta nhận được

Cho là một đa thức khác không Chứng minh rằng nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức thì ( khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho

Định lí 1.2.4:

Cho là một đa thức khác không

- Với mọi đa thức P(x),

- Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kì nếu thì

- Với mọi ba đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu và, thì

- Với mọi ba đa thức P(x), Q(x), R(x), nếu thì

- Cho những đa thức bất kì

- Với ba đa thức bất kì P(x), Q(x), R(x) , nếu

- Cho những đa thức bất kì

- Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t nếu thì

- Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và đa thức F(x), nếu

D

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT.

I Ứớc chung lớn nhất

Định nghĩa:

Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức, ít nhất một trong hcung1 khác không, đa thức D(x)

gọi là ước chung lớn nhất của P(x), Q(x) nếu

1 P(x) chia hết cho D(x) và Q(x) chia hết cho D(x)

2 Nếu P(x) chia hết cho D’(x) và Q(x) chia hết cho D(x) thì D(x) chia hết cho D’(x).

Kí hiệu: D(x) = (P(x),Q(x)) là ước chung lớn nhất.

Cho những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất D(x)=(P(x).Q(x)) và R(x)

là số dư trong phép chia P(x) cho Q(x), thì những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn

Nếu P(x),Q(x), S(x) là ba đa thức sao cho (P(x),Q(x))=1 và S(x),Q(x) chia hết cho P(x)thì S(x) chia hết cho P(x)

Định lí 1.2.1.3

Cho hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau tồn tại duy nhất những đa thức U(x)

và V(x) sao cho U(x)P(x)+V(x)Q(x)=1 và degU(x)<degQ(x) và degV(x)<degP(x)

Tương tự ta chia 2Q(x) cho –R(x) ta được

Không mất tính tổng quát, giả sử Ta có thể tính được:

ở đây , khi đó như ta đã biết (n,m)=

số dư của phép chia cho là chia số dư phép chia cho là

và bằng

=> ( )= , d =(m,n)

1.1 BỘI CHUNG NHỎ NHẤT:

Định nghĩa:

BCNN của hai đa thức P(x) và Q(x) gọi là một đa thức M(x) sao cho

1/ M(x) chia hết cho P(x) và M(x) chia hết cho Q(x) 2/ Nếu M’(x) chia hết cho P(x) và M’(x) chia hết cho Q(x) thì M’(x) chia hết cho M(x)

CHƯƠNG II NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

I.Định lý nghiệm của đa thức:

Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.Một số α gọi là nghiệm của

đa thức nếu P(α)=0.Nhiều khi người ta còn gọi nghiệm là số không của đa thức P(x),tương tự người ta cũng gọi α là nghiệm của phương trình P(x)=0.

 Định lý d’Alembert:Mọi đa thức bậc khác 0 với hệ số phức có ít nhất một

Từ đây dễ thấy rằng P(α)=0 khi và chỉ khi P(x) (x-α) ☺

 Định lý 1: Chứng minh rằng mọi đa thức

P(x)=α0xn+α1xn-1+ +αn-1x+αn

Có thể biểu diễn dưới dạng

P(x)=α0(x-α1)(x-α2) (x-αn)

ở đây α1,α2, ,αn à nghiệm của đa thức

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n.Nếu n=1 thì P(x)=α0x+α1 có duy nhất nghiệm α1= và dễ thấy P(x)= α0(x+ ) = α0(x-α1)

Giả sử mệnh đề đúng với đa thức bậc n-1 và cho deg P(x)=n.Cho thêm α1 là

nghiệm của P(x) (tồn tại α1 do định lý d’Alembert).Khi đó:

P(x)=(x-α1)Q(x)

Dễ thấy deg Q(x)=n-1 và hệ số trước bậc cao nhất của Q(x) trùng với hệ

số α0.Khi đó,nghiệm của P(x) là nghiệm α1 và các nghiệm của Q(x).Theo giả thiết

Chứng minh rằng:đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-1.

Giả sử S(x)=s0+s1x+ +s n x n.Nhân hai vế của đẳng thức đã cho với

(x-1),ta có:

Hay

P(x5)+(x5-1)S1(x)=-(x5-1)S2(x)+xP(x5)+(x2-x)Q(x5)+(x3-x2)R(x5)

Với S1(x)=s0+s5x5+s10x10+ +s 5m x 5m và S2(x)=S(x)-S1(x).

Vì vế trái của đẳng thức cuối cùng của biến số x chỉ có mặt với lũy thừa là

bội của 5,còn vế phải với lũy thừa không là bội của 5,nên cả 2 vế cửa đẳng thức bằng 0(nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức)từ đó suy ra:

P(x5)=-(x5-1)S1(x) Thay x=1vào đẳng thức cuối cùng,ta có P(1)=0 nên theo định lý Bézout đa thức P(x) (x-1)

II.Công thức Viéte:

 Định lý thuận:

Cho P(x)=a0x n +a1x n-1 + +a n-1 x+a n là một đa thức bất kì và P(x)=a0(x-α1)

(x-α2) (x-α n ),ở đây α1,α2, ,α n là những nghiệm của đa thức.Sau khi ta nhân các

thừa số theo dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức P(x),ta nhận

Chứng minh: Dựa vào so sánh hệ số của 2 cách khai triển:

P(x)=a0x n +a1x n-1 + +a n-1 x+a n

Và P(x)=a0(x-α1)(x-α2) (x-α n)

P(x)=a0x n -a0(α1+α2+ +α n )x n-1 + +(-1) n a0α1α2 α n

Đặc biệt:

(1):Gọi α 1 và α2 là 2 nghiệm của P(x)=ax2+bx+c, a≠0 thì:

α1+α2= ; α1α2= (2):Gọi α 1 ,α2, α3 là 3 nghiệm của P(x)=ax3+bx2+cx+d , a≠0 thì:

Ví dụ 1:Chứng minh điều kiện cần và đủ để phương trình bậc 2:

ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là kb2=(k+1)2c , k

Ta có: (1) (x2-5x+4)(x2-5x+6)=m Đặt: y=x2-5x (y+4)(y+6)=m y2+10y+24-m=0.Gọi y1,y2 là 2 nghiệm,ta

có:

Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình: x2-5x-y1=0

x3,x4 là nghiệm của phương trình: x2-5x-y2=0

ta có: x1+x2=5 , x1x2=-y1 , x3+x4=5 , x3x4=-y2

Vậy: P=

III.Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên:

Đa thức hệ số nguyên: Cho P(x) [x] như sau:

P(x)=a0xn+a1xn-1+ +an-1x+an , a0 ≠ 0

Với các hệ số a0,a1, ,an nguyên và x nguyên.

 Các kết quả:

(1): Nếu P(x) có nghiệm nguyên x≡a thì phân tích a)Q[x] là đa thứ hệ nguyên.

được:P(x)=(x-(2): Nếu a,b nguyên và a≠b thì P(a)-P(b) chia hết cho a-b.

(3): Nếu x= là một nghiệm của P(x) thì p là ước của hệ số tự do an

và q là ước của hệ số cao nhất a0.Đặc biệt a0=±1 thì nghiệm hữu tỉ

2) Từ công thức tổ hợp suy ra tích k số nguyên liên tiếp chia hết cho k!

 Định lý 3:Chứng minh rằng nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau

và số hữu tỉ α= là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

P(x)= α0 x n +α1 x n-1 + + α n-1 x+ α n

thì α n chia hết cho u và α0 chia hết chi v.

Chứng minh:Từ điều kiện đề bài ta suy ra

Từ đây với điều kiện (u,v)=1 ta nhận được ngay α n chia hết cho u và α0 chia hết chi v.

 Định lý 4:Chứng minh rằng nếu số hữu tỉ α= (u và v là những số nguyên

tố cùng nhau) là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

P(x)= α0 x n +α1 x n-1 + + α n-1 x+ α n =0 Thì với mọi số nguyên m số P(m) chia hết cho (u-m.v).Trường hợp đặc biệt u+v là ước số của P(-1),còn u-v là ước số của P(1).

u-Chú ý:từ cách giải của bài toán này thấy rằng nếu u-mv=0 thì

P(m)=0,nghĩa là m là nghiệm của đa thức P(x) (tất nhiên là nghiệm).

 Sơ đồ Horner:Để tìm thương và số dư:

P(x)=a0xn+a1xn-1+ +an-1x+an a0≠0 cho g(x)=x-a

Ví dụ:cho P(x) đa thức với hệ số nguyên.Chứng minh rằng nếu số P(0) và

P(1) là số lẻ thì phương trình P(x)=0 không có nghiệm nguyên.

Giả sử số hữu tỉ ,(u,v)=1là nghiệm của phương trình P(x)=0.Khi đó P(0) chia hết chi u còn P(1) chia hết cho u-v.Từ đây suy ra được u và u-v là những số lẻ,điều đó có khả năng chỉ khi v là số chẵn.Suy ra v ≠ ±1 nghĩa là không thể là

số nguyên

IV.Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng:

Định nghĩa 4.1:Một đa thức P(x)=a0x n +a1x n-1 + +a n-1 x+a n gọi là đa thức

hệ số đối xứng nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách hệ số đâu và hệ

số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau,có nghĩa là:

a0=a n a1=a n-1 a k =a n-k

 Định lý 5:chúng minh răng đa thức P(x) là hệ thức đối xứng bậc n khi và

chỉ khi x≠0:

P(x)=x n P( ) Chứng minh: Cho P(x)=a0x n +a1x n-1 + +a n-1 x+a n Với x≠0,ta có:

x n P( )=x n (a0 +a1 + +a n-1 +a n)

=a n x n +a n-1 x n-1 + +a1x+a0 Nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng thì a0=a n a1=a n-1 a k =a n-k nghĩa là P(x)=x n P( )

Ngược lại,nếu P(x)=x n P( ) thì cho những hệ số của những bậc tương ứng của x bằng nhau trong những đẳng thức trên,ta nhận được kết quả cần chứng

minh

 Định lý 6: Chứung minh rằng đa thức P(x) là một đa thức hệ số đối xứng

khi và chỉ khi điều kiện sau thỏa mãn: Một số α là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi số cũng là nghiệm.

Chứng minh: Nếu α là 1 số bất kì khác 0 thì đa thức:

(x)=(x-α)(x- )=x2+(α+ )x+1.

Là đa thức hệ số đối xứng.Suy ra nếu một đa thức P(x)thỏa macn điều

kiện trên ,nó biểu diễn như một tích những đa thức hệ số đối xứng dạng trên và dễthấy nó cũng là đa thức hệ số đối xứng

Ngược lại,nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng,thì ta chứng minh nó thỏa

mãn điều kiện trên.Ta sẽ chứng minh băngg phương pháp quy nạp toán học theo

bậc của đa thức.Nếu degP(x)=2 thì P(x)=ax2+bx+a và theo công thức Viéte

α1α2= =1 ở đây α 1 và α2 là nghiệm của P(x).Nhưng khi đó α1= nghĩa là P(x)

thỏa mãn điều kiện đề bài.Giả sử tất cả những đa thức hệ số đối xứng có bậc nhỏ

hơn n.Cho α là một nghiệm của nó.Từ đẳng thức P(x)=x n P( ) suy ra ngay số

cũng là nghiệm của nó.Suy ra:

P(x)=(x-α)(x- )Q(x)=(x2-(α+ )x+1)Q(x)

ở đây Q(x) là đa thức bậc n-2.Nhưng từ đẳng thức:

P(x) =(x2-(α+ )x+1)Q(x)

x2P( )=x n (x2-(α+ )x+1)Q( )

=( x2-(α+ )x+1)x n-2 Q( ) P(x)=x n P( )

Suy ra Q(x)=x n-2 Q( ) nghĩa là Q(x) là đa thức hệ số đối xứng theo giả thiết quy nạp nó thỏa macn điều kiện trên.Cuối cùng ta thấy rắng P(x) nhận được nghiệm từ những nghiệm của Q(x) và thêm vào những nghiệm α và như vậy P(x) cũng thỏa mãn điều kiện đề bài.

 Định lý 7: Chứng minh rằng nếu P(x) là đa thức hệ số đối xứng bậc 2m thì

P(x)=x m Q(y) ở đây y=x+ với x≠0,còn Q(y) là đa thức bậc m.

Chứng minh: Khi P(x) là đa thức hệ số đối xứng thì:

P(x)=a0x 2m +a1x 2m-1 + +a m-1 x m+1 +a m x m +a m-1 x m-1 + +a1x+a0

Ta sử dụng kết quả của định lý 7,nhận thấy rằng đa thức đã cho là đa thức

hệ số đối xứng.Nghiệm đầu tiwwn là x=-1 và:

P(x)=(x+1)(x6-x5-6x4-7x3-6x2+x+1) Đặt Q(x)=x6-x5-6x4-7x3-6x2+x+1=0 cũng là đa thức hệ số đối xứng bậc chẵn.Khi đó đặt y=x+ và sử dụng những đẳng thức sau:

từ y3+y2-9y-9=y2(y+1)-9(y+1)=(y+1)(y2-9) suy ra những nghiệm của nó là

y1=-1,y2=3,y3=-3.Khi đó nghiệm của Q(x) tính được bằng cách gỉai các phương

trình:

x+ nghĩa là x2+x+1=0 x+ nghĩa là x2-3x+1=0 x+ nghĩa là x2+3x+1=0

Ta nhận được tất cả các nghiệm là

V.Nghiệm của phương trình nhị thức:

Phương trình nhị thức dạng x2-a=0,a là một số bất kỳ,gọi là phương trình nhị thức.Những nghiệm của phương trình nhị thức x n -1=0 gọi là những nghiệm của nhị thức đơn vị bậc n.Những nghiệm này là công thức Moivre:

e k =cos , k=0,1,2, ,n-1.

Nếu ta đặt: ,thì tất cả những nghiệm của phương

trình x n -1=0 có thể viết dưới dạng e0=1= ,e1= ,e2= , ,en-1=

 Định lý 8: Chứng minh rằng nếu α là nghiệm bất kỳ của phương trình nhị

thức x n -a=0,còn e0,e1, ,en-1 là những nghiệm của nhị thức đơ vị bậc n,thì

tất cả nghiệm của phương trình nhị thức là :

ae0,αe1, ,αen-1

Chứng minh: Khẳng định suy ra từ phương trình x n -a=0 có đúng n nghiệm

là ae0,αe1, ,αen-1 đôi 1 khác nhau và

e0=1 còn e1,e2,e3,e4 là nghiệm của phương trình:

x4+x3+x2+x+1=0 x=0 không là nghiệm của phương trình nên x2+x+1+ hay

.Đặt y=x+ ,ta nhận được y2+y-1=0.Nghiệm của phương

thì ta nói f( ) là đa thức hệ số nguyên

_Ta kí hiệu các đa thức hệ số nguyên là

*Dạng 1: Bài toán liên quan đến tính chia hết:

Bài toán 1: Tồn tại hay không với một đa thức hệ số nguyên mà f(26)=1931 và

Bài toán 2: Cho hai đa thức có hệ số a,b,c,d nguyên và d không chia hết cho 5 Giả sử f(m) chia hết cho 5, m Chứng minh rằng cóthể tìm được n, n , sao cho g(n) chia hết cho 5.

Giải

Ta có và d không chia hết cho 5 m 5

Do đó tồn tại số nguyên n sao cho

Ta có:

Vậy số nguyên n thỏa (mod 5) thì

mất hệ số tự do (a hoặc d) để xuất hiện nhân tử chung Nhân f(m) với rồi trừ cho g(n),

ta có Lại có m 5 nên tồn tại số nguyên n để Từ đó đi đến đpcm

Bài toán 3: Cho đa thức P(x) bậc 4 có các hệ số nguyên và P(x) chia hết cho 7 với mọi x

nguyên Chứng minh rằng các hệ số của đa thức P(x) đều chia hết cho 7.

2) Vấy nếu bậc P(x) bé hơn 4 kết luận đó có đúng không? Câu trả lời là có Khi

với mọi x nguyên luôn kéo theo các hệ số của P(x) chia

hết cho 7

3) Số 7 là số nguyên tố Nếu tat hay 7 là một số khác thì sẽ được kết quả là gì? Cho số nguyên tố p lớn hơn hoặc bằng 5 và đa thức

Thì a,b,c,d,e p

Dạng 2: Bài toán xác định đa thức

Bài toán 1: Tìm a và b sao cho đa thức chia hết cho đa thức

Giải

Viết lại đa thức P(x) dưới dạng sau:

1 Bài toán trên sử dụng tính chất vế bâc của đa thức để có được

2 P(x) là đa thức bậc nhỏ (degP = 3) nên ta có thể giải bài toán này bằng cách

đồng nhất hệ số Giả sử Qua các bước nhân, rút gọn rồi đồng nhất ta vẫn được a=-50, b=-10,c=5

Bài toán 2: Tìm đa thức f(x) không đồng nhất 0 với hệ số nguyên nhận số

 Nhận xét:

1 Ta lập phương số a để mất căn việc lũy thừa số a có thể phải thực hiện nhiều lần

2 Ta có thể mở rộng thành bài toán xác định một số a là số vô tỉ hay số hữu tỉ

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Lập một đa thức với hệ số nguyện nhận x=a làm nghiệm

Bước 2: Chứng minh rằng hoặc là đa thức tìm được không có nghiệm nguyên, hoặc là trong số tất cả các nghiệm nguyên có thể có của đa thức không có nghiệm nào bằng a

nhận giá trị nguyên ứng với mọi x nguyên được gọi là đa thức nhận giá trị nguyên

Hiển nhiên rằng mọi đa thức với hệ số nguyên là đa thức nhận giá trị nguyên.Tuy nhiên, lớp hàm số nhận giá trị nguyên rộng hơn rất nhiều Chẳng hạn, các hàm số sau đây

Từ bài toán trên, với n 2 cho ta kết quả sau :

Tồn tại đa thức nhận giá trị nguyên với các hệ số có thể không bắt buộc là những số nguyên.Với n 2, tồn tại một đa thức với các hệ số đều hữu tỉ không nguyên nhưng nhận giá trị nguyên tại các điểm nguyên

Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ: Sử dụng công thức khai triển Abel với

Thực ra, ta chỉ cần điều kiện P(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi P(x) nhận các

giá trị nguyên tại x=0,1,…,n là đủ

Bài tập 3:

Chứng minh rằng a)Mọi đa thức bậc n đều có thể biểu diễn được dưới dạng

(1)

b)Đa thức là đa thức nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi tất cả các hệ số

Giả sử (1) đúng với mọi n k Khi đó ta có

Theo giả thuyết quy nạp thì

Do đó

với

Do đó (1) đúng với k+1

b)Điều kiện cần

Giả sử là đa thức nhận giá trị nguyên với x Khi đó

Vì P(0),P(1),……,P(n) và các hệ số của khai triển nhị thức Newton đều

Điều kiện đủ

Giả sử là các số nguyên Khi đó P(0),P(1),……,P(n) cũng là các số

nguyên nên theo bài 2 thì là đa thức nhận giá trị nguyên

Bài tập 4 : Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) bậc n là đa thức nhận giá trị nguyên thì đa thức Q(x)=n!P(x) [x]

2)Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) ,bậc 2n+1, nhận các giá trị tại 2n+1 giá trị

nguyên khác nhau của đối số thì P(x) bất khả quy trên Z[x].

3)Chứng minh rằng với mọi bộ n số nguyên đôi một khác nhau thì đa thức

luôn khả quy trên Z[x]

p,q là các số nguyên tố ,là khả quy trên Z[x]

5)Tìm đa thức thuộc Z[x] bậc nhỏ nhất và nhận hai số và là nghiệm.6)Tìm đa thức thuộc Z[x] bậc nhỏ nhất nhận số là nghiệm

7)Cho a ;a không chia hết cho 5 Chứng minh rằng đa thức bất khả quy trên Z[x]

8)Chứng minh rằng đa thức khả quy trên Z[x] khi và chỉ khi n chia hết cho 4

9)Cho đa thức

Chứng tỏ tồn tại sao cho P(x) Z (tức P(x) không phải là một đa thức nhận giá trị

nguyên )

CHƯƠNG IV ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ VÀ PHÂN THỨC HỮU TỈ

A ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ HỮU TỈ

I Định nghĩa :

Cho đa thức bậc n :

trong đó : là các hằng số cho trước,

Khi đó được gọi là các hệ số của P(x).

Đa thức được gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ khi là số hữu tỉ với mọi

II Định lí :

Giả sử , trong đó , là các đa thức với hệ số hữu tỉ và

0, thì cũng là đa thức với hệ số hữu tỉ

Chứng minh:

Đặt :

, ,

Ta có : deg = deg = , vì thế giả sử

.Nhân hai đa thức và , ta có :

Đồng nhất hệ số tương ứng của hai đa thức và , ta có :

Do nên suy ra :

Vì , là các số hữu tỉ nên hữu tỉ Ta cũng có :

Vì hữu tỉ và hữu tỉ nên hữu tỉ

Lập luận hoàn toàn tương tự ta suy ra hữu tỉ , tức là là đa thức với hệ số hữu tỉ (đpcm)

Nhận xét : Từ định lí trên ta suy ra nếu , trong đó , là các đa thức với hệ số hữu tỉ, thì thương trong phép chia cho cũng là đa thứcvới hệ số hữu tỉ

III Bài tập :

Suy ra :

Bằng phương pháp hệ số bất định ta có thể chứng minh bất khả qui trên và từ

đó bất khả qui trên

Vậy đa thức xác định như trên là đa thức cần tìm 

Bài toán 6.

Cho là đa thức với hệ số thực nhận giá trị số hữu tỉ với mọi số x hữu tỉ

và nhận giá trị vô tỉ với mọi số x vô tỉ Chứng minh rằng là đa thức bậc nhất với hệ

Theo đề bài ta có hữu tỉ với x hữu tỉ và hữu tỉ nên hữu tỉ với x hữu tỉ

Theo giả thiết ta có hữu tỉ ( ) nên các hệ số của là hữu tỉ.không thể là hằng số vì do nếu như vậy thì sẽ lad hữu tỉ với mọi x ( trái

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi số nguyên đủ lớn m, phương trình = m có nghiệm Thật vậy, lấy m > h(0) và Khi đó và

Vì thế phương trình hay = m có nghiệm dương Lấy m = p là số nguyên tố đủ lớn, ta có Từ giả thiết là số hữu tỉ và vì hệ

số cao nhất của là 1, thì nguyên và ngoài ra được chia hết bởi số hạng tự

do của hoặc là ước số của p Nghĩa là = 1 hoặc = p Nhưng đẳng thức = 1 chỉ có khả năng nhiều nhất với một p, nghĩa là = p cho tất cả số nguyên tố đủ lớn p Nói cách khác, ta đã nhận được = p với tất cả số nguyên tố đủ

lớn Điều này chỉ xảy ra với và nghĩa là ( đpcm) 

Giả sử hai đa thức và có dạng :

Gọi nghiệm chung vô tỉ của hai đa thức là , hai nghiệm chung hữu tỉ của chúng là Ta có :

(2)

Do (1) và hữu tỉ nên từ (4) ta suy ra:

Lập luận tương tự đối với đa thức Q(x) ta được:

Mặt khác ta có :

Vì là số hữu tỉ, vô tỉ mà nên = 0 ( vì nếu 0 thì

là số hữu tỉ là vô lí ) Từ đó suy ra

Vậy và còn có một nghiệm chung khác nữa.

CHƯƠNG IV:PHÂN THỨC HỮU TỈ

Bài toán 1.

Cho hàm phân thức hữu tỉ

với mọi Chứng minh

Giải

với mọi

CHƯƠNG V BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

I.Xác định đa thức theo các đặc trưng số học

Bài toán 1: Tìm a,b sao cho chia hết cho

Bài toán 3: cho đa thức có dạng

Biết rằng P(x) chia hết cho Tìm P(x).

Vậy khi và chỉ khi không chia hết cho 3

Bài toán 5: xác định đa thức P(x) biết rằng

chia hết cho và khi chia cho thì

được số dư là x.

Giải Theo giả thiết ta có

Suy ra

III Phương trình hàm đa thức dạng P(f)P(g)=P(h)

Bài toán 1: Tìm P(x) thỏa

(1)

Tiếp tục quá trình này ta thấy P(x) = 1 hoặc P với n nguyên dương.

Bài toán 3: Tìm mọi đa thức P(x) thỏa

Giải

Bài toán được đưa về

Tìm những đa thức Q(x) sao cho

Khi đó

Suy ra

Giả sử tồn tại với

trái với giả thiết

Ta được

Thử lại ta thấy thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy

Bài toán 4: Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa (Nam Tư 1982)

Trường hợp 3: khi đó theo (2) thì nên

Thay lại vào giả thiết thì

III Một số bài toán xác định đa thức khác

Bài toán 1: Tìm mọi đa thức thỏa

(1)Giải

Trong (1) lần lượt thay

Vậy là nghiệm nên P(x) có dạng

Thay lại vào (1) ta có:

Khi ta được tức là P(x) là đa thức hằng.

Khi , ta xét các trường hợp sau

Nếu thì đều là nghiệm của đa thức Vậy

P(x) có vô số nghiệm nên

Thay vào (1) ta được Q(x-a)=Q(x) với mọi x thuộc Do đó Q(x) = c = const Vậy

trong trường hợp này ta được

Từ đó

Từ các kết quả trên suy ra

Do mỗi vế của đẳng thức trên là một đa thức của biến x nên