CHƯƠNG I : ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT docx

CHƯƠNG I: ĐA THỨC VÀ TÍNH CHẤT A. ĐA THỨC MỘT BIẾN. Một hàm số dạng gọi là một đơn thức với là một số bất kì ( trường hợp chung nhất là một số phức). x là một biến độc lập và k là một số nguyên không âm .Số k gọi là bậc của đơn thức và kí hiệu là k=deg. Hai đơn thức gọi là đồng bậc nếu bậc của chúng bằng nhau , nghĩa là và là đồng bậc nếu dễ thấy tổng của hai đơn thức đồng bậc. tích của hai đơn thức bất kì là một đơn thức. tổng của hai đơn thức đồng bậc không phải là một I. Định nghĩa 1.1 Những đơn thức trong cách viết trên không đồng bậc vì nếu đồng bậc thì ta tách chúng thành nhóm các đơn thức. Đa thức P(x) bậc n là một đa thức nếu nó có thể biểu diễn như tổng hữu hạn những đơn thức, nghĩa là : ( ) 1 1 1 0 n n n n P x a x a x a x a − − = + + + + Với 0 1 , , , n a a a là hằng số (trong trừong hợp tổng quát là số phức )cho trước và 0 n a ≠ Khi đó 0 1 , , , n a a a được gọi là những hệ số của đa thức ( 1 a là hệ số ứng với 1 x ). Người ta dùng deg P(x) để kí hiệu bậc của đa thức P(x). Với đa thức bậc n thì degP(x)=n. + nếu i a là các số nguyên với mọi i= 0,1, ,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số nguyên. + Nếu i a là các số hữu tỉ với mọi i= 0,1, ,n thì P(x) gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ + Số 0 x được gọi là nghiệm của đa thức P (x) , nếu P( 0 x )=0 Nói cách khác bậc của đa thức là bậc lớn nhất của đơn thức trong tổng. trong một số trường hợp bằng không vì ta không đòi hỏi bắt buộc những đơn thức vó bậc nhỏ hơn n tham gia vào đa thức.: nếu hai đa thức có cùng một dạng chuẩn tắc thì bằng nhau. Ta không thể nói dạng chuẩn tắc của đa thức là duy nhất. Chú ý: những số khác không cũng là các đa thức ( tổng của những đa thức bậc 0). Gọi là đa thức bậc 0. ta có deg0= −∞ N là số nguyên bất kì. Ta luôn có công thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) deg . deg degP x Q x P x Q x= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) deg max deg .deg ( ))P x Q x P x Q x− = Những đa thức cũng có thể cộng trừ nhân chia cho nhau P(x),Q(x) là những đa thức thì hàm P(x)-Q(x), P(x)+Q(x), P(x).Q(x) cũng là những đa thức. Đặc biệt: ( ) ( )P x Q x không là đa thức Ví dụ: x và 2 x +1 là những đa thức, nhưng thương của chúng không là những đa thức. II.Các tính chất cơ bản: 2.1. Tính chất 1: Gọi f(x) và g(x) là hai đa thức của vành A , thì bao giờ cũng tồn tại hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) sao cho f(x)=g(x)q(x)+r(x) với deg r (x)< deg g (x). Nếu r(x)=0 ta nói f(x) chia hết cho g(x). Giả sử a là phần tử tùy ý là đa thức của vành A, là đa thức tùy ý của vành, phần tử ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a a a a a a a − − = + + + + có đựoc bằng cách thay x bởi a gọi là giá trị của tai a. Nếu thì f(x)=0 ta gọi là nghiệm của f(x). bài toán tìm cua trong gọi là giải phưong trình đại số bậc n 1 1 1 0 n n n n a a a a a a a − − + + + + , 0 0a ≠ 2.2 Tính chất 2: Giả sự A là một trừong , [ ] , ( )a A f x A x∈ ∈ . Dư số của phép chia f(x) cho (x-a) chính là f(a) 2.3 Tính chất 3: Số a là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x-a). Giả sử A là một trường và m là một số tự nhiên lớn hơn và bằng 1. Khi đó a là nghiệm bội cấp m của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho ( ) m x a− và f(x) không chia hết cho ( ) 1m x a + − . Trong trường hợp m=1 thì ta gọi a là nghiệm đơn còn khi m=2 thì a được gọi là nghiệm kép. Số nghiệm của đa thức là tổng số nghiệm lẫn bội của các nghiệm nếu có.  đa thức có một nghiệm bội cấp m như một đa thức có m nghiệm trùng nhau. + Lược đồ horner: Giả sử: ( ) [ ] 1 1 1 0 n n n n f x a a a a a a a A x − − = + + + + ∈ Với A là một trường.Khi đó thương gần đúng của f(x) cho (x-a) là một đa thức có bậc n-1, có dạng ( ) 1 1 0 n n q x b x b x b − = + + + , 1 1 1 , , 0,1, , 1 n n k k k b a b ab a k n − + + = = + = − Và dư số 0 0 r ab a= + 2.4. Tính chất 4 (Định lý Viete). a) Giả sử phương trình: 1 1 1 0 0 n n n n a x a x a x a − − + + + + = có n nghiệm ( thực hay phức) thì 1 2 , , , n x x x thì: 1 1 1 2 ( ) : n n n a E x x x x a − − = + + + = 2 2 1 2 1 3 1 ( ) : n n n n a E x x x x x x x a − − = + + + = 0 1 2 ( ) : ( 1) n n n n a E x x x x a = = − b) Ngược lại nếu các số thoả mãn hệ trên thì chúng là nghiệm của (1). Hệ 2 có n thành phần và ở vế trái của thành phần thứ k có số hạng. c) các hàm được gọi là hàm đối xứng sơ cấp Viete bậc 1 2 n tưong ứng. 2.5.Tính chất 5 Mỗi đa thức bậc n đều không quá n nghiệm Hệ quả 1: Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không. Hệ quả 2: Nếu đa thức có bậc mà nhận cùng 1 giá trị tại n+1 điểm như nhau của đối só thì đa thức đó là đa thức hằng. Hệ quả 3: Hai đa thức bậc mà nhận giá trị thỏa mãn bằng nhau giá tri khác nhau của đối số thì đồng nhất bằng nhau. 2.6 . Tính chất 6 Mọi đa thức bậc n có đúng n nghệim( tính cả bậc của nghiệm) 2.7. Tính chất 7 Mọi đa thức bậc n và có hệ số chính ( hệ số bậc nhất) 0 n a ≠ đều có thế phân tích ( duy nhất) thành nhân tử ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 , , , 2 , 4 0, , * m s n i k k i k i k k k k f x a x d x b x c d b c R s m n b c m n N = = = − + + ∈ + = − < ∈ ∏ ∏ Biên của nghiệm 1) mọi nghiệm của đa thức 2) thỏa mãn bất đẳng thức 2)nếu là hệ số âm đầu tuên của đa thức thì số cận trên của cácnghiệm dương của đa thức đã cho, trongđó b là giá trị lớn nhất của môđun các hệ số âm. B.ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT 1.1. Định nghĩa: Khi đa thức ( ) n P x dạng (3) viết được dứơi dạng: ( ) ( ) ( ) n P x g x q x= với degg>0, degq>0 Thì ta nói g là ước của ( ) n P x và ta viết hay Nếu P(x) chia hết g(x) và Q(x) chia hết g(x) thì ta nói g(x) là ước chung của P(x) và Q(x) Nếu hai đa thức và chỉ có ước chung là các đa thức bậc 0 thì ta nói rằng chúng nguyên tố cùng nhau và viết (P(x),Q(x))=1. 1.2. Tính chất Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau là tồn tại cặp đa thức và sao cho P(x)U(x)+Q(x) ∨ (x) ≡ 1 Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) có ước chung d(x) là đa thức chia hết cho tất cả ứơc chung khác thì d(x) được gọi là ước chung lớn nhất của P(x) và Q(x). Cũng như vậy ta có ước chung lớn nhất của bộ nhiều đa thức/ 1.3 Một số tính chất cơ bản a. Nếu các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cùng nhau và các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cừng nhau thì các đa thức f(x) và g(x)h(x) cũng nguyên tố cùng nhau. b. Nếu các đa thức f(x),g(x),h(x) thỏa mãn điều kiện f(x)h(x) chia hết cho g(x),h(x)và nguyên tố cùng nhau thì f(x) chia hết cho g(x) c. Nếu đa thức f(x) chia hết cho các đa thức g(x) và h(x) với nguyên tố cùng nhau thì chia hết cho d. Nếu các đa thức f(x) và g(x) nguyên tố cùng nhau thì ( ) m f x    và ( ) n g x    sẽ nguyên tố cùng nhau với mọi m,n nguyên dương. C. PHÉP CHIA ĐA THỨC I. Phép chia hết a. Định nghĩa: Ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x). nếu tồn tại một đa thức S(x) sao cho P(x) =Q(x).S(x). Ta kí hiệu P(x) chia hết cho Q(x) bằng P(x) Q(x) Nếu P(x) chia hết cho Q(x) thì deg ( ) deg ( )P x Q x≥ , có những tính chất sau: + Với mọi đa thức P(x) và với mọi .(Trong trường hợp này theo định nghĩa ta lấy) +Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và ngược lại thì P(x)=a.Q(x), với là một số. Thật vậy, ta có giả thiết và . Ta có và, nghĩa là .Khi đó tha có đẳng thức ta nhận được, suy ra , nghĩa là S(x) là một hằng số khác không). +Nếu P(x) chia hết cho Q(x) và Q(x) chia hết cho S(x) thì P(x) chia hết cho S(x). +Nếu và là những đa thức bất kì thì b. Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi giá trị , đa thức chia hết cho đa thức Giải Ta chứng minh theo qui nạp - Với n=1 thì - Giả sử khẳng định đúng với n=k tức - Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n=k+1 II . P hép chia có dư a. Định lí 1.2 Chứng minh rằng với hai đa thức bất kì P(x) và Q(x) tồn tại duy nhất những đa thức S(x) và R(x) thỏa mãn những điều kiện sau: b. Ví dụ: 1/Hãy tìm thương và số dư của phép chia đa thức cho đa thức 2/ Cho n và m là những số tự nhiên, .Chứng minh rằng đa thức số dư trong phép chia đa thức cho, là, ở đây t là số dư trong phép chia số n cho m III. Sơ đồ Horner Đặc biệt thực hiện phép chia Q(x) là đa thức tuyến tính có dạng Q(x)=x-a. trường hợp này ta có: P(x)=(x-a).S(x)+R(x) ở đây degR(x) nghĩa là R(x) là hằng số. Nếu trong đằng thức cuối cùng thay x=a, ta nhận được R(x)=P(x) nghĩa là số dư r(x) bang92 giá trị của P(x) tại x=a. ta tìm hệ số của thương S(n) theo sơ đồ Horner. Định lí 1.3. nếu và . Chứng minh rằng những hệ số của thương và số dư tính được từ các công thức sau trong phép chia P(x) cho Q(x) Chứng minh Bằng cách áp dụng phương pháp định lí 1.2 ta nhận được Nghĩa là và ở đây và tiếp tục quá trình nà y đến công thức ta cần ta có thể viết lại các công thức theo sơ đồ Horner 0 a 1 a 1n a − n a a 0 0 b a= 1 1 0 b a b α = + 1 1 2 1 7 6 4 2 ( ) 2 3 4 3 2 112 ( ) n n n n n b a b r a b P x x x x x x x α α ω − − − − = + = + = + − + − − 1n n r a b α − = + Ví dụ : Tìm kết quả chia đa thức 7 6 4 2 ( ) 2 3 4 3 2 112P x x x x x x= + − + − − lần lượt cho x+1, x-1,x+2, x-2 Giải Ta lập sơ đồ Horner 2 3 0 -4 0 3 -2 112 -1 2 1 -1 -3 3 0 -2 114 1 2 2 5 1 1 4 2 114 -2 2 -1 2 16 16 -29 56 0 2 2 7 14 48 48 99 196 504 1.1 Đa thức đồng dư Định nghĩa 1.4: Cho là một đa thức khác không. Ta nói rằng những đa thức P(x) và Q(x) là đồng dư theo mô đun đa thức , nếu P(x)-Q(x) chia hết cho ( )x ω Nếu P(x) và Q(x) đồng dư theo mô đun , thì ta kí hiệu là . Định lí 1.1.4: Cho là một đa thức khác không. Chứng minh rằng nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức thì ( khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho Định lí 1.2.4: Cho là một đa thức khác không. - Với mọi đa thức P(x), - Với hai đa thức P(x) và Q(x) bất kì . nếu thì - Với mọi ba đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu và, thì - Với mọi ba đa thức P(x), Q(x), R(x), nếu thì - Cho những đa thức bất kì - Với ba đa thức bất kì P(x), Q(x), R(x) , nếu - Cho những đa thức bất kì - Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t nếu thì - Với hai đa thức P(x), Q(x) bất kì và đa thức F(x), nếu D . ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT. I. Ứớc chung lớn nhất Định nghĩa: Cho P(x) và Q(x) là hai đa thức, ít nhất một trong hcung1 khác không, đa thức D(x) gọi là ước chung lớn nhất của P(x), Q(x) nếu 1. P(x) chia hết cho D(x) và Q(x) chia hết cho D(x) 2. Nếu P(x) chia hết cho D’(x) và Q(x) chia hết cho D(x) thì D(x) chia hết cho D’(x). Kí hiệu: D(x) = (P(x),Q(x)) là ước chung lớn nhất. Tính chất: a. Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x) chia hết cho Q(x) thì chúng có ước chung lớn nhất là (P(x),Q(x))=Q(x) b. Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất và là số bất kì thì c. (P(x).Q(x))= ( ( ), ( ) ( ( ), ( ))P x Q x P x Q x α α = Định lí 1.1 Cho những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất D(x)=(P(x).Q(x)) và R(x) là số dư trong phép chia P(x) cho Q(x), thì những đa thức P(x) và Q(x) có ước chung lớn nhất và (P(x),Q(x))=(Q(x),R(x)) Định lí 1.2 Hai đa thức bất kì đều có ước chung lớn nhất. Đẳng thức BEZOUT D(x)=(P(x),Q(x)), thì tồn tại những đẳng thức U(x) và V(x) sao cho D(x)=U(x).P(x)+V(x).Q(x) Định nghĩa 1.2.1. Hai đa thức P(x) và Q(x) gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN cúa chúng là một đa thức hằng số. Định lí 1.2.1.1 Những đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại những đa thức U(x) và V(x) sao cho U(x)P(x)+V(x)Q(x)=1 Định lí 1.2.1.2 Nếu P(x),Q(x), S(x) là ba đa thức sao cho (P(x),Q(x))=1 và S(x),Q(x) chia hết cho P(x)thì S(x) chia hết cho P(x) Định lí 1.2.1.3 Cho hai đa thức P(x) và Q(x) nguyên tố cùng nhau . tồn tại duy nhất những đa thức U(x) và V(x) sao cho U(x)P(x)+V(x)Q(x)=1 và degU(x)<degQ(x) và degV(x)<degP(x) Định lí 1.2.1.4 Cho P(x),Q(x),S(x) là ba đa thức . tồn tại những đa thức ( ), ( )x x α ω sao cho S(x)= ( )x α .P(x)+ ( )x ω Q(x) Khi và chỉ khi đa thức S(x) chia hết cho U7CLN của những đa thức P(x) và Q(x) 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 2 ( ) , ( ) ( ) 2 à ( ) 2 2 2 1 ( ) 2 5 10 6, ( ) 7 18 x x P x x x x x v Q x x x x x P x x x x x Q x x x α ω = − − + − = − + − + = − − − − = − − Ví dụ: 1/ Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức. P(x)= 4 3 2 3 4 1x x x x+ − − − và Q(x)= 3 2 1x x x+ − − 2/ Hãy tìm ước chung lớn nhất của những đa thức 1n x − và 1m x − , ở đây n và m là những số tự nhiên bất kì. Giải: Bài 1: UCLN của P(x) và Q(x) có thể tìm theo thuật toán Euclid. Đầu tiên chia P(x) cho Q(x) 4 3 2 3 4 1x x x x+ − − − 3 2 1x x x+ − − 4 3 2 x x x x+ − − x = S’(x) R(x)= 2 2 3 1x x− − − Tương tự ta chia 2Q(x) cho –R(x) ta được 3 3 '( ) 2 2 R x− − = Ta chia –R(x) cho - 2 3 R’(x)=x+1 2 2 3 1x x+ + 2 1 '( ) 3 x R x − + = 2 2 2x x+ 2 1 ''( )x S x+ = x+1 x+1 O => UCLN=( 4 3 2 x x x x+ − − , 2 2 3 1x x+ + )=x+1 Bài 2: Không mất tính tổng quát, giả sử m n≤ . Ta có thể tính được: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 k k k k k k k n mq r m rq r r r q r r r q − − − + = + = + = + = ở đây 1 2 k n m r r r≥ > > > > , khi đó như ta đã biết (n,m)= k r số dư của phép chia 1n x − cho 1m x − là 1m x − chia số dư phép chia 1m x − cho 1 1 r x − là 2 1 r x − và bằng 1 k r x − => ( 1 1 , n m x x − − )= 1 d x − , d =(m,n) 1.1 BỘI CHUNG NHỎ NHẤT: Định nghĩa: BCNN của hai đa thức P(x) và Q(x) gọi là một đa thức M(x) sao cho 1/ M(x) chia hết cho P(x) và M(x) chia hết cho Q(x) 2/ Nếu M’(x) chia hết cho P(x) và M’(x) chia hết cho Q(x) thì M’(x) chia hết cho M(x) Kí hiệu: M(x)= [ ] ( ), ( )P x Q x Định lí 1.2.1 a/ Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức sao cho P(x) chia hết cho Q(x) thì chúng có BCNN là [ ] [ ] [ ] ( ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( )P x Q x P x Q x P x Q x α α = = b/ Nếu những đa thức P(x) và Q(x) có BCNN và là số bất kì thì Định lí 1.2.2 Với hai đa thức bất kì khác 0 P(x) và Q(x) đều thỏa mãn đằng thức: ( ) [ ] ( ), ( ) ( ), ( ) ( ). ( )P x Q x P x Q x P x Q x= Ví dụ: Tìm BCNN của những đa thức P(x) và Q(x) a/ 4 3 2 4 3 2 ( ) 2 à ( ) 2 2 2 1P x x x x x v Q x x x x x= − − + − = − + − + b/ 4 3 2 4 2 ( ) 2 5 10 6, ( ) 7 18P x x x x x Q x x x= − − − − = − − CHƯƠNG II. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC I.Định lý nghiệm của đa thức: Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.Một số α gọi là nghiệm của đa thức nếu P(α)=0.Nhiều khi người ta còn gọi nghiệm là số không của đa thức P(x),tương tự người ta cũng gọi α là nghiệm của phương trình P(x)=0. • Định lý d’Alembert:Mọi đa thức bậc khác 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. • Định lý Bézout:Cho P [x],α là một nghiệm thực của P khi và chỉ khi P(x) (x-α) Chứng minh: Xét 2 đa thức P,g [x] với g(x)=x-α thì tồn tại duy nhất cặp đa thức q(x),r(x) sao cho P(x)=(x-α)q(x)+r(x) ở đây r(x)=P(α). Từ đây dễ thấy rằng P(α)=0 khi và chỉ khi P(x) (x-α). ☺ • Định lý 1: Chứng minh rằng mọi đa thức P(x)=α 0 x n +α 1 x n-1 + +α n-1 x+α n Có thể biểu diễn dưới dạng P(x)=α 0 (x-α 1 )(x-α 2 ) (x-α n ) ở đây α 1 ,α 2 , ,α n à nghiệm của đa thức. Chứng minh: Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n.Nếu n=1 thì P(x)=α 0 x+α 1 có duy nhất nghiệm α 1 = và dễ thấy P(x)= α 0 (x+ ) = α 0 (x-α 1 ) Giả sử mệnh đề đúng với đa thức bậc n-1 và cho deg P(x)=n.Cho thêm α 1 là nghiệm của P(x) (tồn tại α 1 do định lý d’Alembert).Khi đó: P(x)=(x-α 1 )Q(x) Dễ thấy deg Q(x)=n-1 và hệ số trước bậc cao nhất của Q(x) trùng với hệ số α 0 .Khi đó,nghiệm của P(x) là nghiệm α 1 và các nghiệm của Q(x).Theo giả thiết quy nạp,ta có: Q(x)=α 0 (x-α 2 )(x-α 3 ) (x-α n ). ở đây α 2 ,α 3 , ,α n là những nghiệm của đa thức Q(x).Khi đó,tất cả các nghiệm của P(x) là α 1 ,α 2 , ,α n và: P(x)= α 0 (x-α 1 )(x-α 2 ) (x-α n ). ☺ Ví dụ: Giả sử đa thức P(x).Q(x),R(x) và S(x) thỏa mãn đẳng thức: P(x 5 )+xQ(x 5 )+x 2 R(x 5 )=(x 4 +x 3 +x 2 +x+1)S(x). Chứng minh rằng:đa thức P(x) chia hết cho đa thức x-1. Giả sử S(x)=s 0 +s 1 x+ +s n x n .Nhân hai vế của đẳng thức đã cho với (x-1),ta có: (x-1)[P(x 5 )+xQ(x 5 )+x 2 R(x 5 )]=(x 5 -1)S(x) Hay P(x 5 )+(x 5 -1)S 1 (x)=-(x 5 -1)S 2 (x)+xP(x 5 )+(x 2 -x)Q(x 5 )+(x 3 -x 2 )R(x 5 ) Với S 1 (x)=s 0 +s 5 x 5 +s 10 x 10 + +s 5m x 5m và S 2 (x)=S(x)-S 1 (x). Vì vế trái của đẳng thức cuối cùng của biến số x chỉ có mặt với lũy thừa là bội của 5,còn vế phải với lũy thừa không là bội của 5,nên cả 2 vế cửa đẳng thức bằng 0(nguyên lý so sánh hệ số của hai đa thức)từ đó suy ra: P(x 5 )=-(x 5 -1)S 1 (x) Thay x=1vào đẳng thức cuối cùng,ta có P(1)=0 nên theo định lý Bézout đa thức P(x) (x-1) II.Công thức Viéte: • Định lý thuận: Cho P(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 + +a n-1 x+a n là một đa thức bất kì và P(x)=a 0 (x-α 1 ) (x-α 2 ) (x-α n ),ở đây α 1 ,α 2 , ,α n là những nghiệm của đa thức.Sau khi ta nhân các thừa số theo dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức P(x),ta nhận được: α 1 +α 2 + +α n = α 1 α 2 +α 1 α 3 + +α n-1 α n = α 1 α 2 α n =(-1) n Ta kí hiệu:S 1 = = ; S k = =(-1) k S 2 = = Với S k là tổng các tích chập k của n số α i .Gọi S k là các đa thức đối xứng cơ bản của các nghiệm. Chứng minh: Dựa vào so sánh hệ số của 2 cách khai triển: P(x)=a 0 x n +a 1 x n-1 + +a n-1 x+a n Và P(x)=a 0 (x-α 1 )(x-α 2 ) (x-α n ) P(x)=a 0 x n -a 0 (α 1 +α 2 + +α n )x n-1 + +(-1) n a 0 α 1 α 2 α n . Đặc biệt: (1):Gọi α 1 và α 2 là 2 nghiệm của P(x)=ax 2 +bx+c, a≠0 thì: α 1 +α 2 = ; α 1 α 2 = (2):Gọi α 1 ,α 2 , α 3 là 3 nghiệm của P(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d , a≠0 thì: α 1 +α 2 +α 3 = ; α 1 α 2 + α 1 α 3 + α 2 α 3 = ; α 1 α 2 α 3 = [...]... nguyên liên tiếp thì chia hết cho n! và do đó b i toán được gi i quyết Chú ý : Từ b i toán trên, v i n ≥ 2 cho ta kết quả sau : Tồn t i đa thức nhận giá trị nguyên v i các hệ số có thể không bắt buộc là những số nguyên.V i n ≥ 2, tồn t i một đa thức v i các hệ số đều hữu tỉ không nguyên nhưng nhận giá trị nguyên t i các i m nguyên B i tập 2: Chứng minh đa thức P(x) bậc n nhận giá trị nguyên (t i m i i m... đa thức hệ số đ i xứng theo giả thiết quy nạp nó thỏa macn i u kiện trên.Cu i cùng ta thấy rắng P(x) nhận được nghiệm từ những nghiệm của Q(x) và thêm vào những nghiệm α và P(x) cũng thỏa mãn i u kiện đề b i như vậy • Định lý 7: Chứng minh rằng nếu P(x) là đa thức hệ số đ i xứng bậc 2m thì P(x)=xmQ(y) ở đây y=x+ v i x≠0,còn Q(y) là đa thức bậc m Chứng minh: Khi P(x) là đa thức hệ số đ i xứng th :. .. liên tiếp chia hết cho k! • Định lý 3:Chứng minh rằng nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau và số hữu tỉ α= là nghiệm của đa thức v i hệ số nguyên P(x)= α0 xn+α1 xn-1+ + αn-1x+ αn thì αn chia hết cho u và α0 chia hết chi v Chứng minh:Từ i u kiện đề b i ta suy ra Từ đây v i i u kiện (u,v)=1 ta nhận được ngay αn chia hết cho u và α0 chia hết chi v • Định lý 4:Chứng minh rằng nếu số hữu tỉ α= (u và. .. khác 0 thì đa thức: (x)=(x-α)(x- )=x2+(α+ )x+1 Là đa thức hệ số đ i xứng.Suy ra nếu một đa thức P(x)thỏa macn i u kiện trên ,nó biểu diễn như một tích những đa thức hệ số đ i xứng dạng trên và dễ thấy nó cũng là đa thức hệ số đ i xứng Ngược l i, nếu P(x) là đa thức hệ số đ i xứng,thì ta chứng minh nó thỏa mãn i u kiện trên.Ta sẽ chứng minh băngg phương pháp quy nạp toán học theo bậc của đa thức. Nếu... có i u ph i chứng minh(vì tích của n số nguyên liên tiếp thì chia hết cho k!) Chú ý : Thực ra, ta chỉ cần i u kiện P(x) là đa thức nhận giá trị nguyên khi P(x) nhận các giá trị nguyên t i x=0,1,…,n là đủ B i tập 3: Chứng minh rằng a)M i đa thức bậc n đều có thể biểu diễn được dư i dạng  x  x  x Pn ( x ) = b0 + b1 1 + + bn −1  n−1 ÷+ bn  ÷ (1) n÷     b )Đa thức Pn ( x ) là đa thức nhận giá... bằng phương trình: x+ , x+ Cu i cùng ta nhận được: e1.2= , e3.4= ) CHƯƠNG III ĐA THỨC NGUYÊN VÀ ĐA THỨC NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN A ĐA THỨC NGUYÊN I Định nghĩa: _ Nếu đafffffffffff f( x )= a n x n + a n @1 x n @1 + …+ a 1 x + a 0 , a n ≠ 0 có các hệ số thức a 1 2 N , i = 0,n thì ta n i f( x ) là đa thức hệ số nguyên @A _Ta kí hiệu các đa thức hệ số nguyên là Z x II Các định l : • • ` b ` a nguyên f x = a... TỈ A ĐA THỨC V I HỆ SỐ HỮU TỈ I Định nghĩa : n n −1 Cho đa thức bậc n : P ( x ) = a0 x + a1 x + + an −1 x + an trong đó : a0 , a1 , , an là các hằng số cho trước, a0 ≠ 0 Khi đó a0 , a1 , , an được g i là các hệ số của P(x) Đa thức P ( x ) được g i là đa thức v i hệ số hữu tỉ khi ai là số hữu tỉ v i m i i = 0,1, , n II Định lí : Giả sử P ( x ) = h( x).Q( x) , trong đó P ( x ) , Q( x) là các đa thức. .. bất định ta có thể chứng minh f ( x) bất khả qui trên Z[ x ] và từ Suy ra : đó f ( x) bất khả qui trên ¤ [ x ] Vậy đa thức f ( x) xác định như trên là đa thức cần tìm  B i toán 6 Cho f ( x) là đa thức v i hệ số thực nhận giá trị số hữu tỉ v i m i số x hữu tỉ và nhận giá trị vô tỉ v i m i số x vô tỉ Chứng minh rằng f ( x) là đa thức bậc nhất v i hệ số hữu tỉ Gi i: 1 Ta chứng minh rằng các hệ số của f... 2:Giả sử m là 1 tham số để phương trình: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=m (1) có 4 nghiệm khác nhau .Tính giá trị của biểu thức: P= Ta c : (1) theo m (x2-5x+4)(x2-5x+6)=m Đặt: y=x2-5x (y+4)(y+6)=m y2+10y+24-m=0.G i y1,y2 là 2 nghiệm,ta c : Giả sử x1,x2 là nghiệm của phương trình: x2-5x-y1=0 x3,x4 là nghiệm của phương trình: x2-5x-y2=0 ta c : x1+x2=5 , x1x2=-y1 , x3+x4=5 , x3x4=-y2 Vậy: P= III.Nghiệm của đa thức. .. thể ph i thực hiện nhiều lần 2 Ta có thể mở rộng thành b i toán xác định một số a là số vô tỉ hay số hữu tỉ Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Lập một đa thức v i hệ số nguyện nhận x=a làm nghiệm Bước 2: Chứng minh rằng hoặc là đa thức tìm được không có nghiệm nguyên, hoặc là trong số tất cả các nghiệm nguyên có thể có của đa thức không có nghiệm nào bằng a III/ B i tập áp dụng C Đa thức nhận giá trị . lí 1.2. 4: Cho là một đa thức khác không. - V i m i đa thức P(x), - V i hai đa thức P(x) và Q(x) bất kì . nếu thì - V i m i ba đa thức P(x), Q(x) và R(x), nếu và, thì - V i m i ba đa thức P(x),. = − − CHƯƠNG II. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC I. Định lý nghiệm của đa thức: Cho đa thức P(x) có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.Một số α g i là nghiệm của đa thức nếu P(α)=0.Nhiều khi ngư i ta còn g i nghiệm là. 1: B i toán liên quan đến tính chia hết: B i toán 1: Tồn t i hay không v i một đa thức hệ số nguyên mà f(26)=1931 và f(3)=1995? Gi i Giả sử tồn t i một đa thức v i hệ số nguyên thỏa i u kiện