BAI TAP HH10 CHUONG I VECTOR potx

CHƯƠNG I. VECTƠ I. LÝ THUYẾT 1. Hai vectơ bằng nhau Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng độ dài và cùng hướng. VD: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Khi đó: = uuur uur DA CB AB và CD không bằng nhau OA và OD không bằng nhau 2. Tổng của hai vectơ: Cho , r r a b . Từ một điểm A bất kỳ, ta dựng = uuur r AB a , bCD = . Khi đó: AC được gọi là tổng của hai vectơ r a và b . Kí hiệu: AC = r a + b 3. Hiệu của hai vectơ: + Vectơ đối của r a , kí hiệu là – r a , là một vectơ ngược hướng và cùng độ dài với r a . + Hiệu của 2 vectơ r a , b là tổng của r a với vectơ đối của b . Kí hiệu: r a – b = r a +(– b ). 4. Các quy tắc: + Quy tắc 3 điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta luôn có: ACBCAB =+ + Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: ACADAB =+ + Quy tắc hiệu: Với 3 điểm O, A, B bất kỳ, ta luôn có: ABOAOB =− + Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì: 0=+ IBIA + Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì: 0=++ GCGBGA 5. Tích của vectơ với 1 số: Tích của vectơ r a với số thực k là một vectơ, kí hiệu: k r a + Hướng: * Nếu k ≥ 0 thì k r a cùng hướng với r a * Nếu k ≤ 0 thì k r a ngược hướng với r a + Độ dài: | k r a | = |k|| r a | 6. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: + Nếu I là trung điểm của đoạn AB thì với mọi điểm M, ta luôn có: MIMBMA 2=+ + Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M, ta luôn có: MGMCMBMA 3=++ 7. Điều kiện để 2 vectơ cùng phương:  Vectơ b cùng phương với vectơ r a ( ) 0≠ r r a khi và chỉ khi có số k sao cho: = r r b ka  Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho = uuur uuur AB k AC 8. Hệ trục tọa độ: • 1 2 1 2 ( ; ) = ⇔ = + r r r r a a a a a i a j • M = (x; y) =⇔ OM (x; y) • );( ABAB yyxxAB −−= • 1 2 ( ; )= r a a a , );( 21 bbb = . Khi đó: * 1 1 2 2 ( ; )+ = + + r r a b a b a b * 1 1 2 2 ( ; )− = − − r r a b a b a b * k r a = (ka 1 ; ka 2 ) Chương 1 VECTƠ Trang 1 C A D B O * b cùng phương với r a ( ) 0≠ r r a khi và chỉ khi có số k sao cho:    = = 22 11 kab kab • Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:        + = + = 2 2 BA I BA I yy y xx x • Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì:        ++ = ++ = 3 3 CBA G CBA G yyy y xxx x PHẦN B. TỰ LUẬN Chứng minh đẳng thức vectơ. Áp dụng các quy tắc, hai vectơ bằng nhau. 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O, M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: a. MDMBMAMC +=+ b. MC MD AB− = uuuur uuuur uuur c. OBOCBABD −=− d. 0=+− BABDBC 2. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’có trọng tâm tương ứng là G và G’. Chứng minh rằng: GGCCBBAA ′ = ′ + ′ + ′ 3 3. Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ có giao điểm hai đường chéo tương ứng là O và O’. Chứng minh rằng: OODDCCBBAA ′ = ′ + ′ + ′ + ′ 4 4. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng: a. CBADCDAB +=+ b. BCADBDAC +=+ c. BDACCDAB −=− 5. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F tùy ý. Chứng minh rằng: CFEBADCDFBAE +−=+− 6. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng: a. EDCBEACDAB +=++ b. EDCAEACD +=+ 7. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng: AB AC AM AN+ = + uuur uuur uuuur uuur . Xác định vectơ tổng, hiệu dựa vào định nghĩa. Tính độ dài của vectơ. 8. Cho tam giác ABC. a. Xác định ACABu −= b. Xác định CAABt += c. Xác định CABCBAz −−= d. Xác định BCCAABv ++= e. Xác định M và N sao cho: BCBABM −= ; BCACABAN −+= 9. Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH. Tính độ dài các vectơ: a. ACAB − b. BHAB + c. ACAB + d. CBCA − 10. Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a. Tính độ dài các vectơ: a. ABAC − b. ADAB + c. BCAB + d. BCBA + e. OCOA + f. BCOB + g. ACAB + h. ODOA + Chứng minh đẳng thức vectơ. Áp dụng biểu thức trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác Chương 1 VECTƠ Trang 2 11. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: ( ) ( ) BDACBCADMN +=+= 2 1 2 1 12. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh rằng: Nếu 0= ′ + ′ + ′ CCBBAA thì: GG ′ ≡ 13. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD; I và J là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng: a. 2AD BC MN+ = uuur uuur uuuur b. 2AD CB IJ+ = uuur uuur uur c. 2AB CD IJ+ = uuur uuur uur 14. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD. Chứng minh rằng: a. 1 2 AM BN AC + = uuuur uuur uuur b. MCBMAPBNAM =+++ c. 0=++ CPBNAM d. OOPONOMOCOBOA ∀++=++ , 15. Cho tam giác ABC. Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. G là trọng tâm. Lấy M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: a. MIMCMB 2=+ b. MGMCMBMA 3=++ c. 0=++ GFGEGI d. MFMEMIMCMBMA ++=++ Xác định tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho )1;2(=a ; )0;3(=b ; )2;1(=c . Tìm m, n để: bnamc += 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3), C(-2; 4), D(2; -2). Tìm tọa độ của vectơ: CDABa 2 1 2 −= 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho )2;1( −=a ; )7;5( −=b . Tìm tọa độ của vectơ: a. ba + b. ba − c. ba 2 + d. ba − 2 e. ba 32 + f. ba 23 − 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 5), B(-1; -3). Tìm tọa độ của: a. A’ đối xứng với A qua B. b. B’ đối xứng với B qua A. 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5), D(4; -3). Tìm tọa độ trung điểm của: a. AB b. BC c. CD d. DA e. AC f. BD 21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(-2; 1), C(3; 5). Tìm tọa độ của: a. Trọng tâm tam giác ABC b. D sao cho ABCD là hình bình hành. 22. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC có A(1; 4), B(-1; 2), C(1; 5).Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tìm tọa độ của vectơ MN Biểu diễn 1 vectơ theo các vectơ cho trước 23. Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB và AC . Chương 1 VECTƠ Trang 3 24. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Hãy biểu diễn các vectơ ,AE ,AF AD , AG uuur , AI uur , theo hai vectơ AB , AC 25. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 3MC. Hãy biểu diễn vectơ AM theo hai vectơ AB , AC Chương 1 VECTƠ Trang 4 . v i r a * Nếu k ≤ 0 thì k r a ngược hướng v i r a + Độ d i: | k r a | = |k|| r a | 6. Trung i m của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác: + Nếu I là trung i m của đoạn AB thì v i m i i m. G i D, E, F lần lượt là trung i m của các cạnh BC, CA, AB và I là giao i m của AD và EF. Hãy biểu diễn các vectơ ,AE ,AF AD , AG uuur , AI uur , theo hai vectơ AB , AC 25. Cho tam giác. tam giác ABC. G i I, E, F lần lượt là trung i m của các cạnh BC, AB, AC. G là trọng tâm. Lấy M là i m bất kỳ. Chứng minh rằng: a. MIMCMB 2=+ b. MGMCMBMA 3=++ c. 0=++ GFGEGI d. MFMEMIMCMBMA