Hình học OXY

bình phương hai vếVí dụ : ta được phương trình : phương trình : II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây aƯu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết ho

Hình oxy là một phần không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học,nó có đầy đủ các dạng và biến hoá theo ý đồ người ra đề làm cho chúng ta có thể thấy hơi mệt mỏi.Nhằm cho các bạn có một cách nhìn đầy đủ hơn mình xin giới thiệu phương pháp cần thiết và cách nhìn bài toán để có thể tìm ra

hướng giải nhanh nhất.Các định nghĩa cơ bản đã có sẵn trong sách giáo khoa

và các tài liệu tham khảo khác rồi ,các bạn hãy nắm vững nhé,ở đây để

không làm loãng ý tưởng mình sẽ không nêu lên nữa nhé.Thật tiếc là mình chưa thể vẽ hình để minh hoạ cho ý tưởng.Các bạn nên nắm kỹ phương pháp

vì đa số đều sẽ áp dụng cho hình oxyz sau này!

I/ Cách viết Phương trình đường thẳng:

1/Cách 1 :Chỉ một điểm và một vec tơ pháp tuyến của

a)Biết của đường thẳng

Thường cho song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước(song song thì chọn của là của ,vuông góc thì chọn của là của )

(thiếu )Phương trình giải tìm sẽ có dạng

b)Biết đường thẳng đi qua điểm

Gọi là

Lưu ý o tính chất phóng to thu nhỏ của vecto pháp tuyến nên mặc dù có hai ẩn là nhưng ta chỉ cần một phương trình để giải,ta cần tìm ra mối liên hệ giữa và rồi chọn hoặc bất kỳ là được

Phương trình giải tìm mối liên hệ giữa :nhân qua vế kia rồi

bình phương hai vế

Ví dụ : ta được phương trình :

phương trình :

II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây

a)Ưu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết hoặc có thể viết được

Toạ độ là nghiệm của hệ : (Bấm máy là ra)b) Ưu tiên 2: là giao điểm của đường thẳng (đường tròn) và đường tròn đã biết hoặc có thể viết được

Biết thì ẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính

Toạ độ là nghiệm của hệ : (rút theo hoặc theo từ thế xuống )

c)Ưu tiên 3 :Đặt ẩn giải ( ẩn cần phương trình để giải,sử dụng hết dữ liệu đề cho)

Một điểm tự do sẽ có hai ẩn :cần hai phương trình để giải

chỉ có một ẩn và cần phương trình để giảiLưu Ý : có ẩn và ẩn hay cũng được nhưng nên chọn sao cho dễ thương nhất

Lưu ý : nếu nằm trên thì ta nên sử dụng phương trình :

Trực tâm là giao điểm của hai đường cao,đưởng cao thứ cũng qua nhé

Lưu Ý :các vecto trên nên thay thế bằng các của đường thẳng chứa nó!2) Trọng tâm ,trung điểm

Ở đây mình ký hiệu theo điểm cho dễ nhìn

Lưu ý : Nếu ta rút ẩn của hai điểm (hai ẩn phải khác nhau)từ cùng môt

phương trình đường thẳng thì khi giải phương trình trung điểm hay hệ

phương trình hai vecto bằng nhau thì chỉ cần phương trình hoành độ

thôi,phương trình tung độ sẽ tự động thoã mãn ,sử dụng cả hai sẽ bị trùng lặp!

Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha

Ở đây cố định do đó nếu thì đương nhiện sẽ là trọng tâm tam giác ,nếu ta áp dụng tiếp hoặc bất cứ phương trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay cùng thuộc một đường thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã

chỉ nằm trên đường cao nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải

ép vuông góc (hoặc vuông góc ) thì mới là trực tâm được

và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)

Giải :

Dễ dàng tìm được

là trung điểm và vuông góc ta có hệ:

3/Sử dụng phương trình diện tích đề cho

Các công thức tính thường sử dụng :

( là nữa chu vi, :bk nội tiếp, :ngoại tiếp)

(thường sử dụng trong

*Chọn một đỉnh bất kỳ của tam giác sẽ được vecto

Lưu ý :Nếu trong đỉnh có chứa ẩn thì ta nên chọn trong đỉnh không chứa

ẩn để chẻ ra vecto(nhằm giảm bớt biểu thức chứa ẩn)

4/Các hướng suy nghĩ khi gặp dữ liệu bài toán :

a)Đường trung tuyến :

-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trọng tâm,trung điểm,đỉnh ứng với đường trung tuyến)

-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường trung tuyến

-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi

-Sử dụng phương trình trung điểm tương ứng

b)Đường cao :

-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trực tâm,chân đường cao,đỉnh ứng với đường cao)

-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường cao

- Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi

-Sử dụng phương trình tích vô hướng bằng 0 cùa vtcp và vecto vuông góc với đường thẳng

c)Đường trung trực :là tổng hợp của đường cao và đường trung tuyến

d)Đường phân giác trong:

-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(chân đường phân giác,đỉnh ứng với đường phân giác)

-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường phân giác

-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi

Tính chất quan trọng :Tìm một điểm bên cạnh này (cạnh này thường biết rồi,chờ lấy điểm này là viết được cạnh ) đối xứng với điểm bên cạnh kia (điểm này có rồi) qua đường phân giác

Giả sử lấy điểm đối xứng với qua đường phân giác trong góc

Ý tưởng :Trung điểm của thuộc

III.Tam giác :

-Trọng tâm là giao đường trung tuyến

-Trực tâm là giao đường cao

-Tâm của đường tròn ngoại tiếp là giao đường trung trực ,bán kính

-Tâm của đường tròn nội tiếp là giao đường phân giác ,bán kính

Cách viết phương trình đường phân giác trong góc khi biết đỉnh :

Gọi là chân đường phân giáctrong ta có :

Tìm tâm K :

a/Tam giác cân:

-tam giác cân tại : (ít sử dụng)

(thường sử dụng)-Đường thẳng qua một điểm bất kỳ và song song với cũng tao thành một tam giác cân,sử dụng tính chất trung điểm tam giác cân mới để viết đường cao trong tam giác (đa số sử dụng điều kiện này khi đề bài cho thêm một điểm nào đó)

-Đường cao đỉnh cân cũng là đường trung tuyến,đường trung trực,đường phân giác

b/Tam giác vuông ví dụ tại

- ta có :

-Nếu có ptrinh thì có và ngược lại

-Trung điểm cạnh huyền chính là tâm đường tròn ngoại tiếp (3 diểm A,B,C

sẽ nằm trên đường tròn này nếu ta viết được nó khi biết tâm và bán kính)c/ vuông cân :là tổng hợp giữa vuông và cân

d/tam giác đều:sử dụng điều kiện của hai tam giác cân.tại 2 đỉnh cùng lúc (hoặc tam giác cân có cạnh bên bằng cạnh đáy,tuỳ đề bài cho mà ta linh hoạt

sử dụng )

IV/tứ giác

a/Hình thang :

-ví dụ

-Hình thang cân có : ( lần lượt là hình chiếu vuông góc của xuống cạnh )

b/Hình bình hành :

c/Hình chữ nhật :Là hình bình hành có một góc vuông

d/Hình thoi : là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

e/Hình vuông:là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc hoặc là hình thoi có một góc vuông

:hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

:giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn ngoại tiếp

:giao điểm của hai đường chéo là tâm đường tròn nội tiếp

V/ BÀI TOÁN MIN,MAX :trong tất cả những câu sau đây đều sử dụng luôn cho

*Với các điểm và đường thẳng ,Các hằng số cho trước

Giải:

Chúng ta có thể xét xem nằm cùng phía hay khác phía so với đường thẳng rồi chuyển về khác phía để giải,tuy nhiên cách này hơi dài một xíu.

Hạn chế sử dụng trực tiếp bất đẳng thức mincopxki ,nếu sử dụng phải chứng minh.(ở đây chúng ta sẽ dụng bất đẳng thức vecto ,thực ra nó cũng là mincopxki thôi nhưng khỏi mất công chứng minh)

Để giải quyết hai vấn đề trên thì chúng ta nên sử dụng cách giải sau đây cho thuận tiện nhất

Đẳng thức xảy ra khi cùng phương cùng chiều hay:

Lưu ý: Nếu tồn tại thì chắc chắn rằng (

không vuông góc với )

Đẳng thức xảy ra khi cùng phương cùng chiều hay:

(GTTD:là giá trị tuyệt đối)

Nếu : ta sẽ tìm được min

Nếu ta sẽ tìm được max

Lưu ý :

Cách 2 : sử dụng luôn khi thuộc mặt phẳng trong hình

Ta cũng tìm điểm như câu trên

Mà là hằng số do đó :

là hình chiếu vuộng góc của xuống (hoặc xuống mặt phẳng )

Tương tự nếu thì tìm được

thì biểu thức trên sẽ là hằng số

PHẦN II/ ĐƯỜNG TRÒN :

Các em phải đọc kỹ để nắm nguyên tắc và đa số đều sẽ sử dụng cho bài toán mặt cầu trong hình

I/ Viết phương trình đường tròn:

Muốn viết được phương trình đường tròn ta phải xác định được tâm

Cắt đường thẳng tại cho

tiếp xúc ngoài với

tiếp xúc trong với

Chúng ta phải lưu ý chỗ này để khỏi phải xét từng trường hợp để phá giá trị tuyệt đối sẽ làm cho bài toán dài dòng không cần thiết:

Phải nhớ sẽ cùng dấu với sẽ cùng dấu với

có tâm và cắt có tâm bán kính theo một dây cung

Gọi là trung điểm vuông góc với

4/Một ví dụ :

Trích:

tròn có tâm thuộc có và tiếp xúc với

Dễ dàng thấy và không có điểm chung

Đẳng thức xảy ra khi hay

+Đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi tiếp xúc với tại

Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với

Phương trình đường tròn (C) cần cần tìm có tâm bán kính

II/ TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN :

Ở đây anh sẽ không xét xem trường hợp tiếp tuyến có dạng hay không rồi đặt tiếp tuyến là vì anh nhận thấy không cần thiết

Tiếp tuyến tại ta sẽ dùng phương pháp phân đôi toa độ

cho biết véc tơ pháp tuyến của tiếp tuyến :thường cho

song song hoặc vuông góc với đường thẳng nào cho trước

(thiếu )tiếp xúc

tiếp tuyến qua ( phải nằm ngoài đường tròn)

Gọi của là

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

a/Vị trí tương đối của hai đường tròn :

: có giao điểm có hai tiếp tuyến chung

:Tiếp xúc ngoài ,có giao điểm có tiếp tuyến chung trong

đó có một tiếp tuyến chung là trục đẳng phương (Thường gặp trường hợp này nhất)

:Không có giao điểm có tiếp tuyến chung

LƯU Ý : Trục đẵng phương (d) của hai đường tròn :

*Cho dễ nhớ ta cho hai phương trình đường tròn bằng nhau rút gọn sẽ đươc phương trình của trục đẳng phương

*Nếu hai đường tròn có giao điểm thì Trục đẳng phương chình là đường thẳng qua hai giao điểm này.Nếu tiếp xúc nhau thì Trục đẳng phương là một tiếp tuyến chung

*Trục đẳng phương sẽ vuông góc với đường thẳng nối hai tâm

Cách viết tiếp tuyến chung:

Anh chỉ trình bày cách viết các đường tiếp tuyến còn lại (trừ tiếp tuyến là trục đẳng phương mà ta đã có rồi nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau,nhớ kết luận có nó nữa nha)

Bước : Xét vị trí tương đối của hai đường tròn để kết luận số tiếp tuyến chung

Bước : Vẽ hình minh hoạ thôi

Bước

Trường hợp : nếu

Tiếp tuyến chung sẽ song song với nên đã có trở thành bài toán viết tiếp tuyến với một đường tròn khi biết (sử dụng tiếp xúc với đường tròn nào cũng được)

Trường hợp :nếu

Đến đây có hai trường hợp có thể xảy ra :

Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại thẳng hàng) và nằm ngoài

Ta sẽ có : qua nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến qua một điểm

Hai tiếp tuyến chung cắt nhau tại thẳng hàng) và nằm ở khoảng giữa (trường hợp có tiếp tuyến chung thì mới có trường hợp này)

Ta sẽ có : qua nên trở thành bài toán viết tiếp tuyến qua một điểm

Ví dụ :

Trích:

2)Cho hai đường tròn :

Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

nên tiếp xúc ngoài với nhau do đó chúng có tiếp tuyến chung trong đó có tiếp tuyến là trục đẳng phương của đường tròn

(Kéo dài sẽ cắt tiếp tuyến chung còn lại tại ,áp dụng hai tam giác đồng dạng)

Phương trình đường thẳng đi qua có dạng

với

tiếp xúc với

Vậy có tiếp tuyến chung là

III/ TỪ MỘT ĐIỂM KẺ HAI TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Không có giao điểm tiếp xúc (có giao điểm)

có hai giao điểm

Vị trí tương đối của một điểm và đường tròn

nằm ngoài nên vẽ được hai tiếp tuyến nằm trên nên vẽ được một tiếp tuyến nằm trong nên không vẽ được tiếp tuyến

Bài toán thường gặp:

Qua kẻ được hai tiếp tuyến hợp với nhau một góc Nếu

sẽ nằm chung với bài toán ở ý

Vẽ hình

sẽ nẳm trên đường tròn tâm bán kính

(Trong hai giá trị ở trên sẽ có một giá trị lớn và một giá trị nhỏ ,tạm gọi

Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán

không tìm được tìm được điểm

từ đó kẻ được tiếp tuyến tạo với nhau góc

Qua kẻ được hai tiếp tuyến sao cho nhau góc

Vẽ hình

sẽ nẳm trên đường tròn tâm bán kính

Các trường hợp có thể xảy ra tương ứng với yêu cầu bài toán

không tìm được tìm được điểm tiếp xúc tìm được điểm cắt tại điểm phân biệt )

Ví dụ :

Trích:

Tìm để trên tồn tại hai điểm mà từ kẽ được tiếp tuyến

với sao cho tam giác đều

Tam giác đều nên góc

có tâm bán kính

phải nằm trên đường tròn tâm bán kính

Để có điểm thì phải cắt tại điểm phân biệt

Trích:

điểm sao cho tam giác vuông cân tại

Vẽ hình: nẳm trên đường trung trực cùa cạnh nằm trong

góc

nằm trên đường tròn tâm bán kính

Toạ độ là nghiệm của hệ :

góc

nằm trên đường tròn tâm bán kính

Toạ độ là nghiệm của hệ :

Phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm

* Phương trình tiếp tuyến tại điểm là :

Do là hai tiếp điển nên toạ độ thoả do đó phương trình đường thẳng qua là :

Tìm hai tiếp điểm

*Lưu ý :Chúng ta nên sử dụng phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm rồi giao đường thẳng này với sẽ tìm được ngay ,ở đây anh nêu thêm một cách nhìn để chúng ta có thể linh hoạt sử dụng cho các bài toán khác

*Tương tự như trường hợp ở trên nhưng thay vì đi tính ta sẽ tính

Đề bài cho góc giữa hai tiếp tuyến là

nên sẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính

Đề bài không cho góc giữa hai tiếp tuyến

Lúc đó ta sẽ tính

Ví dụ :

Trích:

và điểm tìm toạ độ điểm trên trục tung sao cho

từ kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn với là hai tiếp điểm sao cho đường thẳng đi qua điểm

Phương trình đường thẳng qua và tiếp xúc với tại có dạng

(Ta đã sử dụng phân ly toạ độ sau đó thay toạ độ điểm vô luôn)

Do là hai tiếp điểm nên toạ độ thoả do đó phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm là :

Bài toán có liên quan đến

góc

phải nằm trên đường tròn tâm bán kính

Đến đây ta có thể tìm được hoặc định điều kiện để có

nằm trên đường tròn tâm bán kính

Toạ độ là nghiệm của hệ :

Viết phương trình đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt :

Cho độ dài dây cung

Ta sẽ định dạng đường thẳng tuỳ theo đề cho (thường qua một điểm hoặc cho biết ) rồi áp dụng công thức tính khoảng cách rồi sử dụng

Cho diện tích tam giác

Lưu ý : nếu thì

Đề bài cho qua và cho mối liên hệ giữa

lưu ý : nếu đề cho mối liên hệ giữa và thì ta cũng sẽ chuyển về để được mối liên hệ giữa (cách chuyển này là tương đương do vị trí tương đối của và hoàn toàn xác định)

Chúng ta sẽ sử dụng phương tích của điểm đối với để giải quyết bài toán lại này (nếu là trung điểm thì sử dụng cho tam giác ,thật ra cũng chỉ là hệ qủa của phương tích mà thôi)

Trong mp với hệ tọa độ , cho đường tròn và điểm

Lập pt đường thẳng đi qua cắt tại phân biệt sao cho

sẽ nằm trên đường tròn tâm bán kính

tọa độ là nghiệm của hệ:

(Do vai trò của là như nhau nên ta chỉ cần chọn một cặp nghiệm như trên là được)

phải nằm trên đường tròn tâm bán kính

Vậy