QUY TRÌNH BÁN HÀNG - CHƯƠNG 5: MÔ HÌNH HÀNG CHỜ pptx

CHƯƠNG MƠ HÌNH HÀNG CHỜ Mục tiêu chương Sau hồn thành chương này, sinh viên có thể: Nắm thành phần hệ thống phục vụ; Có thể thực kiểm tra tính chất dòng vào hệ thống phục vụ; Nắm qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái; Hiểu giải hệ thống phục vụ phổ biến kinh tế; Hiểu khái niệm mơ hình hàng chờ Nội dung chương 5.1 Dạng toán thường gặp kinh tế phương hướng giải 5.2 Các khái niệm 5.3 Các điều kiện cần thiết để giải tốn 5.4 Qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái 5.5 Một số toán thường gặp kinh tế 148 Hãy nhớ lại lần phải đứng chờ quầy thu tiền siêu thị, đứng chờ mua xăng trạm xăng, chờ khám bệnh bệnh viện Những trường hợp trường hợp chờ khác, thời gian chờ điều mà không muốn Chúng ta phải xác định cách để tính thời gian chờ giới hạn cho phép Nhiều mơ hình phát triển nhằm giúp cho người quản trị hiểu đưa định tốt Thuật ngữ khoa học quản trị, hàng chờ biết hàng kiến thức sử dụng cho hàng chờ lý thuyết hàng chờ Những năm đầu kỷ 20, A K Erlang, kỹ sư điện thoại Đan Mạch, bắt đầu nghiên cứu tắc nghẽn thời gian chờ gọi điện thoại Từ đó, lý thuyết hàng chờ phát triển sử dụng rộng rãi cho tình hàng chờ Những mơ hình hàng chờ gồm biểu thức mối liên hệ dùng để xác định tiêu phản ảnh đặc trưng hệ thống Vài tiêu thường dùng mơ hình hàng chờ là: Xác suất hệ thống khơng có u cầu; Số u cầu trung bình hàng chờ; Số trung bình yêu cầu có hệ thống; Thời gian chờ trung bình yêu cầu hàng; Thời gian chờ trung bình yêu cầu hệ thống; Xác suất chờ yêu cầu Chương nghiên cứu số hệ thống đặc trưng hình thành hệ thống tiêu đánh giá tình hình hoạt động hệ thống 5.1 Dạng toán thường gặp kinh tế phương hướng giải 5.1.1 Bài toán Trong hoạt động sản xuất kinh doanh đời sống hàng ngày tồn hệ thống phục vụ như: Bến cảng, khách sạn, nhà hàng, trạm điện thoại, cửa hàng bán xăng dầu Trong hệ thống thường diễn trình: Quá trình nảy sinh yêu cầu trình phục vụ yêu cầu Trong trình hoạt động hệ thống nhiều nguyên nhân khác thường dẫn đến tình trạng: Khả phục vụ hệ thống không đáp ứng yêu cầu dẫn đến kết số yêu cầu không phục vụ phải chờ đợi để phục vụ Khả phục vụ hệ thống vượt yêu cầu dẫn đến kết hệ thống không sử dụng hết lực lao động, vật tư, thiết bị PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 149 Cả hai tình trạng gây nên thiệt hại mặt kinh tế nói chung Vì tốn đặt phân tích chất trình diễn hệ thống thiết lập mối quan hệ lượng đặc trưng trình Trên sở mối liên hệ xây dựng số liệu thu thập từ hệ thống, tính tốn, phân tích đưa định nhằm điều khiển hệ thống hoạt động có hiệu 5.1.2 Phương hướng chung để giải toán Để giải toán trên, người ta sử dụng hai phương pháp: Phương pháp mơ hình hóa máy tính điện tử phương pháp giải tích Trong đó, phương pháp giải tích phương pháp sử dụng phổ biến Đường lối chung phương pháp bao gồm bước: Bước 1: Phân tích hệ thống mà chủ yếu phân tích tính chất dòng vào trạng thái hệ thống; Bước 2: Thiết lập hệ phương trình trạng thái để giải xác suất trạng thái; Bước 3: Giải hệ phương trình để tìm xác suất trạng thái từ thiết lập mối quan hệ tiêu cần phân tích; Bước 4: Tính tốn, phân tích tiêu, sở đưa nhận xét kết luận 5.2 Các khái niệm a Dòng yêu cầu đến hệ thống (dòng vào) Dòng yêu cầu đến hệ thống dòng đối tượng đến hệ thống đòi hỏi thoả mãn u cầu Ví dụ: Dịng khách tới trung tâm bưu điện để gửi thư, gửi bưu kiện, dòng tàu biển đến cảng để bốc dỡ hàng hóa Dịng u cầu đến hệ thống dòng biến cố ngẫu nhiên tuân theo phân phối xác suất định, phân phối Poisson, phân phối Erlang, phân phối Trong đó, dịng Poisson phổ biến Với phạm vi tài liệu này, nghiên cứu dòng Poisson Dòng Poisson có tính chất sau: Tính khơng hậu Dịng u cầu có tính khơng hậu có nghĩa là: xác suất xuất số yêu cầu khoảng thời gian định khơng phụ thuộc vào việc có yêu cầu xuất trước khoảng thời gian Hay nói khác, số yêu cầu xuất trước sau thời điểm khơng chịu ảnh hưởng qua lại lẫn Tính đơn Dịng u cầu có tính chất đơn có nghĩa là: xét khoảng thời CHƯƠNG 5: MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 150 gian bé biến cố “có nhiều yêu cầu xuất hiện” không xảy Về mặt thời gian, xem dịng u cầu có tính chất đơn thời điểm xuất yêu cầu không trùng Tính dừng (tính theo thời gian) Dịng u cầu có tính chất dừng có nghĩa là: xác suất xuất k yêu cầu khoảng thời gian τ phụ thuộc vào giá trị τ k không phụ thuộc vào việc khoảng thời gian τ nằm vị trí dịng thời gian Điều có nghĩa với khoảng thời gian τ dài xác suất xuất k yêu cầu Nếu dòng vào dịng tối giản thì: p k ( τ) = Trong đó: e −a a k k! - pk(τ) xác suất để khoảng thời gian τ có k yêu cầu xuất hiện; - k số yêu cầu xuất khoảng thời gian quan sát τ; - a số yêu cầu trung bình xuất khoảng thời gian quan sát τ b Hàng yêu cầu chờ phục vụ (hàng chờ) Là tập hợp yêu cầu xếp theo trật tự để chờ phục vụ Tuy nhiên, thực tế có hệ thống khơng có hàng chờ c Kênh phục vụ Kênh phục vụ thiết bị kỹ thuật, người tổ hợp thiết bị kỹ thuật người mà hệ thống sử dụng để phục vụ yêu cầu đến hệ thống Một đặc trưng quan trọng kênh phục vụ thời gian phục vụ, thời gian kênh phải tiêu hao để phục vụ xong yêu cầu Thời gian phục vụ kênh đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật phân phối xác suất định, qui luật phân phối mũ phổ biến d Dòng yêu cầu khỏi hệ thống (dòng ra) Là dòng yêu cầu khỏi hệ thống bao gồm yêu cầu phục vụ yêu cầu bị từ chối Ở ý đến dòng yêu cầu phục vụ Nếu dịng vào dịng tối giản dịng phục vụ kênh dòng xấp xỉ tối giản e Nguyên tắc phục vụ hệ thống Đó cách thức nhận yêu cầu vào kênh phục vụ Nguyên tắc phục vụ cho biết trường hợp yêu cầu nhận vào phục vụ cách thức phân bố yêu cầu vào kênh Đồng thời nguyên tắc phục vụ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 151 cho biết trường hợp yêu cầu bị từ chối phải chờ giới hạn cho phép hàng chờ giới hạn thời gian chờ 5.3 Các điều kiện cần thiết để giải toán 5.3.1 Các điều kiện để tốn giải Điều kiện 1: Dòng vào hệ thống phải dòng tối giản xấp xỉ tối giản Điều kiện 2: Khoảng thời gian (T) lần xuất liên tiếp yêu cầu đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật hàm số mũ Như vậy, hàm mật độ xác suất có dạng f(t) = λe-λt Và hàm phân phối xác suất có dạng F(t) =1-e-λ t Với λ cường độ dịng vào, số yêu cầu trung bình xuất đơn vị thời gian Điều kiện 3: Thời gian phục vụ kênh đại lượng ngẫu nhiên tuân theo qui luật hàm số mũ Như vậy, hàm mật độ xác suất có dạng ϕ(t)=μ e-μt Và hàm phân phối xác suất có dạng Φ(t)=1-e-μt Với μ suất phục vụ kênh, số yêu cầu phục vụ tính bình qn đơn vị thời gian 5.3.2 Kiểm định dòng vào tiêu chuẩn χ2 Khi giải toán thực nghiệm trước tiên phải xác định dòng yêu cầu đến hệ thống tuân theo qui luật Muốn vậy, phải thành lập mẫu ngẫu nhiên cách quan sát theo thời gian dòng yêu cầu đến hệ thống khoảng thời gian Trên sở số liệu thu thập được, giả thiết dòng yêu cầu đến hệ thống dòng Poisson dùng tiêu chuẩn χ2 để kiểm định giả thuyết Q trình kiểm định giả thuyết tiến hành theo bước sau: Bước 1: Xây dựng cặp giả thuyết: H0: dòng vào dòng Poisson H1: dịng vào khơng phải dịng Poisson Bước 2: Phân khoảng thời gian dự định quan sát dòng yêu cầu đến hệ thống thành n khoảng thời gian nhỏ với n≥50 sau tiến hành quan sát số yêu cầu xuất khoảng thời gian nhỏ Số liệu thu thập trình bày dạng bảng phân phối thực nghiệm với đại lượng ngẫu nhiên số yêu cầu đến hệ thống khoảng thời gian CHƯƠNG 5: MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 152 Số yêu cầu xuất khoảng thời gian nhỏ (xi) x1 x2 x3 xm Số khoảng thời gian có số yêu cầu xuất tương ứng (ni) n1 n2 n3 nm Tính giá trị quan sát đại lượng ngẫu nhiên χ2 theo công thức: m′ (n i − n ′ ) i n′ i i =1 χ qs = ∑ Trong đó: n’i tần số lý thuyết tính theo cơng thức n ′ = n × p xi với pxi xác i suất xuất xi u cầu tính theo cơng thức Poisson: p xi e −a a x i = x i! Với a số yêu cầu trung bình xuất khoảng thời gian quan sát: a= ∑x n ∑n i i i Với m’ số giá trị quan sát điều chỉnh theo yêu cầu ni ≥5 nghĩa tính tốn có n’i χ2α(m’-2): Bác bỏ H0 tức dịng u cầu đến hệ thống khơng phải dòng Poisson với mức ý nghĩa α Nếu χ2qs ≤χ2α(m’-2): Không dủ bác bỏ H0, vậy: dòng yêu cầu đến hệ thống dòng Poisson với mức ý nghĩa α Ví dụ: Để kiểm định dịng khách đến cửa hàng có tn theo qui luật phân phối Poisson hay không, tiến hành quan sát số khách đến cửa hàng khoảng thời gian 300 phút theo khoảng thời gian nhỏ phút Số liệu quan sát cho Bảng 5-1 Bảng 5-1: Số liệu quan sát xi 10 11 ni 11 14 22 18 14 1 Trong đó: - xi số khách đến cửa hàng khoảng thời gian nhỏ, - ni số khoảng thời gian có số khách hàng tương ứng PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 153 Giải: Trước tiên tính số khách bình qn khoảng thời gian nhỏ: a= ∑x n ∑n i i = 4,62 i Căn vào số liệu, thực tính toán giá trị χ2 kết Bảng 5-2 Bảng 5-2: Kết tính tốn giá trị χ2 Bậc tự k=m’-2=8-2=6 Tra bảng phân phối χ2 với mức ý nghĩa α=0,05 bậc tự k=6, kết χ20,05(6)=12,59 Như vậy: χ qs=1,58< χ20,05(6)=12,59 Vậy: Dòng khách đến cửa hàng tuân theo qui luật poisson với mức ý nghĩa 5% 5.4 Qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái 5.4.1 Quá trình thay đổi trạng thái sơ đồ trạng thái Quá trình thay đổi trạng thái hệ thống phục vụ trình ngẫu nhiên đặc biệt Các trạng thái trình ký hiệu Xk (với k từ đến n) Quá trình thay đổi trạng thái hệ thống thể sơ đồ gọi sơ đồ trạng thái Sơ đồ trạng thái hệ thống phục vụ gồm hình chữ nhật tượng trưng cho trạng thái có hệ thống mũi tên nối CHƯƠNG 5: MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 154 hình chữ nhật tượng trưng cho trình chuyển từ trạng thái sang trạng thái khác hệ thống Trên mũi tên có ghi cường độ dịng u cầu tác động làm thay đổi trạng thái hệ thống Ví dụ: xét q trình thay đổi trạng thái cửa hàng có nhân viên bán hàng Q trình thay đổi trạng thái cửa hàng trình thay đổi số nhân viên bận việc Chúng ta thấy, trạng thái cửa hàng gồm có trạng thái: X0 trạng thái cửa hàng hai nhân viên rỗi X1 trạng thái cửa hàng có nhân viên bận X2 trạng thái cửa hàng có nhân viên bận Ký hiệu: - λ01(t), λ12(t) cường độ dòng khách vào cửa hàng - λ10(t), λ21(t) cường độ phục vụ cửa hàng Như vậy, sơ đồ trạng thái cửa hàng: λ01(t) X0 λ12(t) X1 λ10(t) X2 λ21(t) 5.4.2 Qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái Qui tắc: Đạo hàm bậc theo thời gian xác suất trạng thái tổng đại số tích cường độ dòng hướng theo mũi tên xác suất trạng thái mà mũi tên xuất phát Để biểu diễn qui tắc này, qui ước sau: Giả sử hệ thống có n kênh Gọi Xj Xk trạng thái liên tiếp hệ thống Xk trạng thái xét, qui ước sau: Việc chuyển từ trạng thái Xj sang Xk, đại lượng tích mang dấu dương (+); Việc chuyển từ trạng thái Xk sang Xj, đại lượng tích mang dấu âm (-) Khi đó, hệ phương trình trạng thái là: ⎧p ′k ( t ) = ∑ λ jk ( t )p j ( t ) − ∑ λ kj ( t )p k ( t ) ⎪ k≠ j j≠ k ⎨n ⎪∑ p k ( t ) = ⎩ k =0 5.4.3 Quá trình sinh tử Hầu hết hệ thống phục vụ mà nghiên cứu phạm vi chương có q trình thay đổi trạng thái đặc biệt sau gọi trình sinh tử Quá trình biểu diễn theo sơ đồ Hình 5-1 PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 155 Hình 5-1: Sơ đồ trình sinh tử λ0(t) X0 λ1(t) λk-1(t) X1 μ1(t) λk(t) μk(t) Xn Xn-1 Xk μ2(t) λn-1(t) λn-2(t) μk+1(t) μn-1(t) μn(t) Cần ý sơ đồ, tất trạng thái có mũi tên liên hệ trừ trạng thái biên có mũi tên liên hệ Từ sơ đồ trạng thái qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái, hệ phương trình trạng thái trình sinh tử viết sau: ⎧p ′ ( t ) = − λ ( t ).p ( t ) + μ1 ( t ).p1 ( t ) ⎪ M M ⎪M ⎪p ′ ( t ) = λ k −1 ( t ).p k −1 ( t ) − μ k ( t ).p k ( t ) − λ k ( t ).p k ( t ) + μ k +1 ( t ).p k +1 ( t ) ⎪ k ⎨M M M ⎪ = λ n −1 ( t ).p n −1 ( t ) − μ n ( t ).p n ( t ) ⎪p′n ( t ) n ⎪ ⎪∑ p k ( t ) = ⎩k = Nếu trình thay đổi trạng thái hệ thống diễn tác động dòng tối giản λk(t) = λk, μk(t) =μk Pk(t)=Pk Do đó, sơ đồ trạng thái là: Hình 5-2: Sơ đồ q trình sinh tử dịng tối giản λ0 X0 λ1 λk-1 X1 μ1 λk μk Xn Xn-1 Xk μ2 λn-1 λn-2 μk+1 μn-1 μn Từ sơ đồ trạng thái, sử dụng qui tắc thiết lập hệ phương trình trạng thái để xây dựng hệ phương trình trạng thái kết sau: ⎧0 ⎪M ⎪ ⎪0 ⎪ ⎨M ⎪ ⎪0 ⎪ n ⎪∑ k = p k ⎩ = M = M = − λ p + μ1 p1 M λ k −1 p k −1 − μ k p k − λ k p k + μ k +1 p k +1 k = 1, n − M λ n −1 p n −1 − μ n p n = Để giải hệ phương trình này, đặt Uk = -λk-1pk-1 + μkpk k = 1, n kết sẽ: CHƯƠNG 5: MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 156 ⎧0 ⎪M ⎪ ⎪0 ⎪ ⎨M ⎪ ⎪0 ⎪ n ⎪∑k =0 p k ⎩ = M = M = = U1 M − U k + U k +1 M − Un Qua hệ phương trình, Uk= ( k = 1, n ) hay -λk-1pk-1 + μkpk=0, vậy: pk = λ k −1 p k −1 ∀k = 1, n μk Thực truy toán sau: λ k −1 λ k −2 pk = p k −2 ⋅ μ k μ k −1 = L λ λ k −1 λ k −2 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ p0 μ k μ k −1 μ1 k −1 pk = ∏ i =0 λi p ∀k = 1, n μ i +1 Như để tính pk, cần thực tính tốn p0 Vì: n k =0 n k −1 n k =1 ∑ p k = = p + ∑ p k = p + ∑∏ k =1 i =0 n k −1 λi λ p = p (1 + ∑∏ i ) μ i+1 k =1 i =0 μ i +1 Nên, p0 xác định sau: p0 = n k −1 λ + ∑∏ i k =1 i = μ i +1 5.5 Một số toán thường gặp kinh tế 5.5.1 Hệ thống từ chối cổ điển Erlang (M/M/n) a Bài toán Một hệ thống gồm có n kênh phục vụ, suất μ (μ: số yêu cầu phục vụ đơn vị thời gian kênh) Dòng yêu cầu đến hệ thống dòng tối giản với cường độ λ (λ: số yêu cầu đến hệ thống đơn vị thời gian) Thời gian phục vụ kênh đại lượng ngẫu PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 162 Theo nguyên tắc hoạt động hệ thống, tác động dòng vào cường độ λ trạng thái hệ thống thay đổi trạng thái theo hướng X0 Xk X1 Xn Xn+1 Xn+s Ngược lại, tác động dòng phục vụ k kênh suất kμ ( k = 1, n ) trạng thái hệ thống thay đổi trạng thái theo hướng: Xn Xn+1 Xn+s Xk X0 X1 Từ việc phân tích trên, có sơ đồ trạng thái Hình 5-4 Hình 5-4: Sơ đồ trạng thái hệ thống thống chờ λ λ X0 λ λ X1 μ 2μ λ λ Xk Xn+1 nμ λ kμ Xn Xn-1 (k+1)μk (n-1)μ λ λ nμ Xn+s nμ nμ nμ Giải thích: - Ở trạng thái X0 tác động dòng vào cường độ λ hệ thống chuyển sang trạng thái X1 - Ở trạng thái Xk ( k = 1, n ), hệ thống chịu tác động hai dòng biến cố: + Dòng vào cường độ λ làm cho hệ thống chuyển sang trạng thái Xk+1 + Dòng phục vụ k kênh với suất kμ làm cho hệ thống chuyển trạng thái Xk-1 - Ở trạng thái Xn+s, hệ thống chịu tác động hai dòng biến cố: + Dòng vào cường độ λ làm cho hệ thống chuyển sang trạng thái Xn+s+1 + Dòng phục vụ n kênh với suất nμ làm cho hệ thống chuyển trạng thái Xn+s-1 Vậy, trình thay đổi trạng thái hệ thống trình sinh tử nên sử dụng biểu thức xác suất trạng thái trình sinh tử để tính: PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ 163 k −1 pk = ∏ i =0 p0 = λi p0 μ i +1 k −1 n + ∑∏ k =1 i = λi μ i +1 Với sơ đồ trạng thái xét, có: λi = λ ∀i = 0,1, ⎧(i + 1)μ ∀i = 0, n − μ i +1 = ⎨ ∀i = n, n + 1, ⎩ nμ Điều có nghĩa qui tắc tính xác suất trạng thái từ X0 đến Xn khác biệt so với trạng thái từ Xn+1 sau Vậy, công thức tương ứng sau: k −1 pk = ∏ i =0 αk λ p0 = p với α=λ/μ k = 1, n (i + 1)μ k! αk pk = p0 k! pn+s với s=0,1 tính sau: p n +s = n −1 λi λ p0 = ∏ i ∏μ i =0 i = μ i +1 i +1 n + s −1 n −1 λi λ n +s −1 λ αn αs p0 = ∏ p0 = × p0 ∏μ ∏ n! n s i =n i = (i + 1)μ i = n nμ i +1 n + s −1 α n +s p ∀s = 1,2 n!n s Để tính pn+s cần tính xác suất p0 Dựa vào cơng thức tính xác suất q trình sinh tử, p0 tính sau: 1 = = p0 = k −1 k ∞ k −1 ∞ n k −1 n λ λ λ α αn ∞ α s + ∑∏ i + ∑∏ i + ∑ ∏ i + 1+ ∑ ∑( ) n! s =1 n k = n +1 i = μ i +1 k =1 i =0 μ i +1 k =1 i = μ i +1 k =1 k! p n +s = Với α/n ≥1, mẫu số →∝, nên p0=0 Với α/n