Bài tập thể tích khối đa diện khối cầu, khối trụ, khối nón - phần 4 pptx

http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến B A S C M a 3 2a S∆ABC = 2 1 o aa 60sin.3.3 = 4 33 2 3 2 3 2 2 a a  VSABC = 3 1 SA.S∆ABC = 2 3 3 a . Gọi M là trung điểm BC AM  BC BC  SA ⇒BC  SM AM = 2 3 2 3.3 a a  ∆SAM vuông tại A có SM 2 = SA 2 + AM 2 = 4a 2 + 4 9 a 2 = 4 25 a 2 ⇒ SM = 2 5 a S ∆SBC = 2 1 SM.BC = 2 35 a 2 d(A, (SBC)) = 5 3 . 3 3 2 2 35 3 2 3   a a S V SBC SABC a Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AD b (ABC); AC = AD = 4; AB = 3, BC = 5. Tính d(A, (BCD)) ? GIẢI C A B D 4 5 3 M 5 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến Dễ thấy ∆ABC vuông tại A .S∆ABC = 2 1 AB.AC = 6. VDABC = 3 1 S∆ABC.DA = 8 ∆DAC có DC = 4 2 . ∆DAB có DB = 5 ∆DBC có BC = BD = 5 ⇒ ∆DBC cân tại B, gọi M là trung điểm DC ⇒BM  DC BM = 17825  . S∆DBC = 2 1 BM.DC = 2 1 . 17 .4 2 = 2 34 d(A, (DBC)) = 34 12 3  DBC DABC S V a Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AB = a; CD = b, các cạnh còn lại bằng c. Tính d(A, (BCD)) GIẢI A N B C D M a ∆ACD = ∆BCD. Gọi M là trung điểm CD ⇒AM = BM, DC  (ABM) G ọi N là trung điểm AB ⇒ MN  AB MN 2 = BM 2 - BN 2 = c 2 + 4 4 44 22222 abcab   S∆AMN = 222 42 4 2 4. 222 abc aabca   VABCD = 2 VBCMA = 2. 3 1 CM.S(∆ABM) = 222 12 222 423 2 44 abcabc abab  V∆BCD = BM.CD = 4 2 2 1 2 b c  .b = 4 b 22 4 bc  d(A, (BCD)) = 22 222 22 4 222 4 4 4 4. 4 3 bc abc bc abc S V a b ab BCD ABCB       Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1. a) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x b)Tính d(A, (BCD)) Tương tự bài 4 Đáp số: VABCD = 6 2 x http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến d(A, (BCD)) = x 2 2 4 2 4 4 x x x    Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = = 2a, AA 1 = 2a 5 và BAC = 120 o . Gọi m là trung điểm của cạnh CC 1 . Ch ứng minh rằng MB  MA 1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM) GIẢI B A C 2a y x z M C 1 A1 B1 Đưa và hệ trục toạ độ A 1 xyz vuông góc như hình vẽ: gốc toạ độ A 1 . trục A 1 Z hướng theo AA 1 Tr ục A 1 y hướng theo 11 CA Trục A 1 x tạo với trục Oy góc 90 o và nằm trong MP (A 1 B 1 C 1 ). To ạ độ các điểm: A 1 (0 ; 0; 0), B 1 ( )0;; 22 3 a a  , C 1 (0; 2a; 0) A(0 ; 0; 2a 5 ), B( )52a;; 22 3 a a  , C(0; 2a; 2a 5 ) M(0; 2a; a 5 ) BM ( ;; 2 5 2 3 a a  -a 5 ) MA 1 (0; 2a; a 5 ), AB ( ;; 22 3 a a  0) MABM 1 . = 0+5a 2 - 5a 2 = 0 (BM  MA 1 ) Th ể tích khối chóp AA 1 BM bằng V = 6 1 | AB [ MABM 1 , ]| MABM 1 . = 5 2 a -a 5 3 2 a  -a 5 3 2 a  5 2 a 2a a 5 ; 0 a 5 ; 0 2a http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến =   3;; 2 2 15 2 59 22 a aa  ⇒VAA 1 BM = 3 15 2 15 22 59 2 3 6 1 222 0 aa a aa  S∆BMA 1 = 6 1 .   MABM 1 . = 3a 2 3 ⇒ Khoảng cách từ A tới (BMA 1 ) bằng h = 3 5 3 a S V  Bài 7: Cho tứ diện OABC. Lấy M nằm trong tam giác ABC, các đường thẳng qua M // với OA, OB. OC cắt các mặt OBC, OCA, OAB lần lượt tại A 1 , B 1 , C 1 . Ch ứng minh rằng: 1 111  OC MC OB MB OA MA GIẢI H B C A O K A 1 M Nối M với các đỉnh O,A,B,C. Khi đó VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA 1= OABC MOCA OABC MOBC OABC MOAB V V V V V V  Xét OABC MOAB V V Kẻ AH b (OBC), MK b (OBC) AH //MK ∆OAH ∾ A 1 MK ⇒ MK AH MA OA  1 OA MA AH MK V V OABC MOBC 1  Tương tự ta có OC MC V V OABC MOAB 1  OB MB V V OABC MOCA 1  Vậy 1 111  OC MC OB MB OA MA http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến S A B C D C 1 D1 A1 B1 M H K A 1 A B C D Bài 8: Giả sử M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt các mặt đối diện tại A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Ch ứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 1 1  DD MD CC MC BB MB AA MA GIẢI Nối M với bốn đỉnh của tứ diện ABCD ta có: V = V MBCD + VMACD + VMABD+ VMABC 1= V V V V V V V V MABC MABD MACDMBCD  Xét V V MBCD Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, M lên (BCD) ⇒ MK//AH ⇒ 1 1 AA MA AH MK  1 1 AA MA AH MK V V MBCD  Tương tự: 1 1 BB MB V V MACD  ; 1 1 CC MC V V MABD  ; 1 1 DD MD V V MABC  Bài 9: Cho hình chóp tứ gíc đều SABCD trên các cạnh SA, SB, SC ta lấy các điểm A 1 , B 1 , C 1 sao cho 3 2 1  SA SA ; 2 1 1  SB SB ; 3 1 1  SC SC Mặt phẳng qua A 1 , B 1 , C 1 cắt SD tại D 1 . Chứng minh rằng 5 2 1  SD SD GIẢI Ta có VSABC = VSBCD + VSCDA = VSDAB = 2 V 9 1 111111  SC SC SB SB SA SA VSABC V CBSA (1) SD SD SC SC SD SD SA SA VSADC V CDSA 1111111 9 2  (2) C ộng vế với vế (1) và (2) ta được SD SD V V DCBSA 1 2 1 1111 . 9 2 9 1  Tương tự: SD SD SD SD SB SB SA SA VSABD V DBSA 1111111 3 1  (4) SD SD SD SD SC SC SB SB VSBCD V DCSB 1111111 6 1  (5) C ộng vế với vế (4) và (5) ta được SD SD V V DCBSA 1 2 1 1111 . 2 1  T ừ (3) và (6) ta có SD SD SD SD 11 9 2 9 1 2 1  ⇒ 5 2 1  SD SD http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến PHẦN 2 THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN A. LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: -Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44) -Th ể tích khối trụ (Sgk HH12 – Trang 50) -Th ể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56) 2.Các công th ức: a)Thể tích khối cầu V = 3 3 4 R  , R: bán kính mặt cầu b)Thể tích khối trụ V = S đáy .h , h: chiều cao c)Thể tích khối nón V = 3 1 S đáy .h , h: chiều cao B. CÁC DẠNG BÀI TẬP Ở đây chủ yếu là bài tập tính thể tích khối cầu, trụn nón dựa vào các công thức trên. Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên b ằng b. Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ GIẢI a C C' O O' A 1 A1' B' B I A' -Gọi O và O’ là tâm ∆ABC và ∆A’B’C’ thì OO’ là trục của các đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A’B’C’ -Gọi I là trung điểm OO’ thì IA = IB =IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ -Bán kính mặt cầu là R = IA Tam giác vuông AOI có: AO = 3 3 2 3 3 2 1 3 2 aa AA  http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến OI = 22 1 2 1 '' b AAOO   ⇒AI 2 = OA 2 +OI 2 = 12 7 43 222 aba  ⇒ AI = 32 7 a V= 54 .21 3 7 18 7 3 7 72 28. 3 7 3 7 83 4 3 3 4 3 333 . a aaa R    AI 2 = RAI ba ba    32 34 12 34 22 22 V= 3 3 3 2 2 2 2 4 4 1 1 2 2 3 3 8.3 3 18 3 (4 3 ) .(4 3 ) R a b a b       Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30 o . Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. GIẢI a O S M D C B A I Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Ta có SO b (ABCD), SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30 o Gọi M là trung điểm SA Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA ⇒ SI = SO SASM . Với AO = 2 2 a , AS = 3 2 2 2 3 2 30cos aa AO o  , SO = SA sin30 o = 6 a ⇒SI = 6 3 2 6 a a a = a 3 2 ⇒ V Mcầu = 3 3 2 9 8 3 2 3 2 3 3 4 aa   Các bài tập về xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối chóp, khối lăng trụ, đều hỏi thêm thể tích mặt cầu http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến A J B M' C' D O' O A' B' B A D C Bài 3: Cho hình trụ có đáy là tâm đường tròn tâm O và O’ tứ giác ABCD là hình vuông n ội tiếp trong đường tròn tâm O. AA’, BB’ là các đường sinh của khối trụ. Biết góc của mặt phẳng (A’B”CD) và đáy hình trụ bằng 60 o . Tính thể tích khối trụ GIẢI      DCDA DCAD ' ⇒ADA’ là góc của (A’B’CD) và đáy Do đó: ADA’ = 60 o ∆OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2 ∆ADA’ có h = AA’ = ADtan60 o = R 6 V = R 2 h = R 3 6 Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đường tr òn đáy thứ nhất và C, D thuộc đường tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 45 o . Tính thể tích khối trụ. GIẢI Gọi I, J là trung điểm của AB và CD Ta có: OI AB; IJ c ắt OO’ tại ttrung điểm M của OO’ MIO = 45 o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó: O’I = 22 a ; R = 8 3 48 222 aaa  h = 2OM = 2 a Vậy V = R 2 h =  3 3 3. . 2 3 8 16 2 . a a a   Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6. Xác định các kích thước của khối trụ để thể tích của khối trụ n ày lớn nhất. GIẢI S TP = 2Rh +2R 2 =2R(R+h) = 6 ⇔R(h+R) = 3 ⇔ Rh + R 2 = 3 V = R 2 h = R(3-R 2 ) = -R 3 +3R http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến V’ = -3R 2 + 3; V’ =0 ⇔ R = 1 D ựa vào bảng biến thiên ta có V Max ⇔R = 1 và h = 2 Bài 6: Một mặt phẳng (P) qua đỉnh hình nón cắt đường tròn đáy một cung ỏ và (P) tạo với đáy một góc õ. Cho khoảng cách từ tâm O của đáy đến (P) bằng a. Tính thể tích của khối nón. GIẢI O A E B S M Gọi E là trung điểm AB ta có OES= õ ; AOB= ỏ Vẽ OM (SAB) thì SOM= ta có: SO=  cos a và OE=  sin a Bán kính đáy R=OA= 2 cossin 2 cos    aOE  Thể tích khối nón là:V= 3 2 2 1 . 3 3sin .cos .cos 2 a R h       Bài 7: Cho hình nốn đỉnh S, đường cao SO = h, bán kính đáy = R. M ∈ SO là đường tròn (C). 1.Tính th ể tích khối nón có đỉnh S và đáy là (C). 2.Tìm x để thể tích này lớn nhát GIẢI http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến S (C) M O Ta có )( ' '' xh h R R R R h xh R R SO SM    Thể tích khối nón V= )2( 3 1 .)( 3 1 . 3 1 223 2 2 2 2 2 2' xhhxx h R xxh h R SMR   V ’ =   ,43 3 1 22 2 2 hhxx h R   V’ = 0 ⇔      hx x h 3 x= h (loại) Dựa vào bảng biến thiên ta có: V Max ⇔x = 3 h Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2  .Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V. GIẢI Ta có S tp =S xq +2S đ= )(222 22 xxyxxy   Theo giả thiết ta có 2 (xy+x 2 )=2 ⇔xy+x 2 =1 ⇔ y = x x 2 1 .Hình trụ tồn tại y>0 ⇔1-x 2 > 0 ⇔0 < x < 1 Khi đó V = x 2 y = x(1-x 2 ) = -x 3 +x Kh ảo sát hàm số trên với x (0,1) ta được giá trị lớn nhất của V= 3 1 33 2  x  Bài 9: Cho hình nón tròn xoay đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O.Trên đường tròn đó lấy một điểm A cố định và một điểm M di động.Biết AOM= ỏ ,nhị diện cạnh AM có số đo bằng õ và khoảng cách tư O đến (SAM) bằng a. Tính thể tích khối nón theo a, ỏ, õ. GIẢI [...]... tròn (C) +Tính thể tích khối nón đỉnh A và đáy là (C) +Xác định vị trí điểm I để thể tích trên đạt giá trị lớn nhất GIẢI O E I F B Gọi EFlà 1 đường kính cua (C) ta có : IE2 = IA.IB = h(2R-h) ⇒ R = IE = h(2 R  h) 1 3 Thể tích cần tính là:V= r 2 h   2 V = 3 (4 Rh  3h ’ , V’ = 0  h  Vmax  h  4R hay AI = 3 h 2 (2r  h) với 0 < h < 2R 3 4R 3 4R 3 http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc... nhị diện cạnh AM ⇒ SIO = õ Kẻ OH  (SAM) (SOI)  (SAM) ⇒ H ∈ SI và OH = a OH a OI a a   ; SO  IO tan   ; OM    cos  sin  sin  cos cos sin  2 2 2 1  a a  a3 2 V= SO. OM   3 3 cos  cos2  sin 2  3sin 2  cos  cos 2  2 2 Ta có OI= Bài 10: Cho mặt cầu đường kính AB=2R Gọi I là điểm trên AB sao cho AI=h Một mặt phẳng vuông góc với AB tại I cắt mặt cầu theo đường tròn (C) +Tính thể tích . ⇒ 5 2 1  SD SD http://ebook.here.vn Thư viện Bài giảng, Đề thi trắc nghiệm trực tuyến PHẦN 2 THỂ TÍCH KHỐI CẦU, KHỐI TRỤ, KHỐI NÓN A. LÝ THUYẾT 1.Định nghĩa: -Thể tích khối cầu (Sgk HH12 – Trang 44 ) -Th ể tích khối trụ (Sgk. Trang 50) -Th ể tích khối nón (Sgk HH12 – Trang 56) 2.Các công th ức: a )Thể tích khối cầu V = 3 3 4 R  , R: bán kính mặt cầu b )Thể tích khối trụ V = S đáy .h , h: chiều cao c )Thể tích khối nón V. 4 b 22 4 bc  d(A, (BCD)) = 22 222 22 4 222 4 4 4 4. 4 3 bc abc bc abc S V a b ab BCD ABCB       Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = x các cạnh còn lại bằng 1. a) Tính thể tích tứ diện