http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRƯ NG THPT CHUYÊN THI TH I H C – CAO NG L N III - 2011 LÊ QUÝ ÔN MÔN: TOÁN – KH I A, B T TOÁN – TIN Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao ) A PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) 2x + (C) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y = x −2 Kh o sát s bi n thiên v th (C) Tìm t t c giá tr c a m ng th ng y = m(x – 2) +2 c t cho o n AB có dài ng n nh t Câu II (2,0 i m) 2(cos x − s inx) = t anx + cot 2x cot x − 3 (xy + 1) = 2y (9 − 5xy ) Gi i h phương trình: x, y ∈ R xy(5y − 1) = + 3y th (C) t i hai i m phân bi t A,B Gi i phương trình: ( ) π Câu III (1,0 i m) Tính tích phân: I = ∫ sinx.(sin x + e cos x )dx Câu IV (1,0 i m) Cho hình h p ng ABCDA’B’C’D’ có áy hình thoi c nh a, ABC = 600 ,góc gi a m t ph ng (A’BD) m t áy b ng 600 Tính th tích hình h p tính kho ng cách gi a ng th ng CD’ m t ph ng (A’BD) Câu V (1,0 i m)Ch ng minh r ng v i m i s dương x,y,z th a mãn: xy + yz + zx = ta có b t ng th c + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) B PH N RI NG (3,0 i m): Thí sinh ch I Theo chương trình Chu n Câu VIa (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h t a c làm m t hai ph n (ph n I ho c II ) Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC = 2BD i m M(0; ) thu c ng th ng AB, i m N(0;7) thu c ng th ng CD Tìm t a nh B bi t B có hồnh dương x −1 y +1 z −1 Trong không gian v i h t a Oxyz cho ng th ng (d): = = m t c u −2 (S) : x + y + z − 8x − 4y − 2z + 12 = L p phương trình m t ph ng (P) i qua (d) ti p xúc v i m t c u (S) Câu VIIa (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn: z = ( + i )2 (1 − 2.i ) Tìm mơ un c a s ph c z + iz II Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 i m) x y2 Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho elip (E): + = Tính di n tích tam giác u ABC n i 16 ti p elip (E), bi t nh A(0;2) BC vng góc v i tr c tung Trong khơng gian v i h t a Oxyz cho m t ph ng (P):3x + 2y – z + = i m I(2;2;0) Xác nh t a i m K cho KI vng góc v i m t ph ng (P), ng th i K cách u g c t a O m t ph ng (P) Câu VIIb (1,0 i m) Tính t ng: S = (1 + i )2011 + (1 − i )2011 .H t…Thí sinh khơng c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích thêm http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ÁP ÁN Câ u I Ý THI TH L N 3-KH I A-B N i dung i m 2,0 Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s (1,0 i m) R\{2} −5 y' = < ∀x ≠ Suy hàm s ngh ch bi n kho ng xác ( x − 2) lim y = ±∞ → x = ti m c n x → 2± nh c a hàm s 0.25 ng 0.25 lim y = → y = ti m c n ngang x →±∞ -B ng bi n thiên x y' 0.25 y th i qua (0;-1/2), (-1/2; 0) v úng 0.25 Tìm m … (1,0 i m) t y = m(x-2) + c t (C) t i i m p.bi t + ⇔ pt 2x + = m( x − 2) + có 2nghi x−2 ⇔ pt mx − 4mx + 4m − = 0(*) có nghi m ≠ ⇔ ∆ ' = 4m − m(4m − 5) > ⇔ m > 4m − 8m + 4m − ≠ + m p.bi t 0.25 m p.bi t khác 0.25 +Gi s A(x1;y1),B(x2;y2) ó x1,x2 nghi m c a (*).Khi ó y1= mx1-2m+2; y2= mx2-2m+2 Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )2 = ( x2 − x1 ) (m + 1) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 (m + 1) 0.25 4(4m − 5) 20(m + 1) 20.2m = 16 − ≥ = 40 ∀m > (m + 1) = m m m + ng th c x y ch m = V y v i m = AB ng n nh t b ng II 40 0.25 2,0 Phương trình lư ng giác …(1,00 i m) 2(cos x − s inx) = t anx + cot 2x cot x − k: sin x(tan x + cot x) ≠ ;cot x ≠ Bi n i ta có: s inx cos2 x + cos x sin x = 2(cos x − s inx) cos x.sin x ⇔ = 2.s inx cos x cos x −1 s inx 0.25 0.25 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ⇔ 2sin x.cos x = 2.s inx ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ » K t h p v i k ta c h nghi m c a PT: x = − π + k 2π 0.25 ;k ∈ » 0,25 Gi i h phương trình….(1,00 i m) + y = không nghi m c a h + y ≠0 H tương ương v i : xy +13 = 2(9 − 5xy) (5xy − 3) = 2(9 − 5xy) (1) y ⇔ xy +1 5xy − = (2) xy +1 y 5xy − = y Gi i PT(1) 0.5 t t = 5xy – PT(1) tr thành : t + 2t − 12 = ⇔ (t − 2)(t + 2t + 6) = ⇔ t = V y 5xy – = ⇔ xy = 0.25 Th xy = vào (2) ta c y = 1, x = V©y hƯ cã nghiƯm (x;y) = (1;1) III 0.25 Tính tích phân 1,0 π π ∫ ∫ Ta c ó I = sin x.dx + sinx.e cos x dx 0.25 π π 2 0 I1 = ∫ sin x.dx ; I = ∫ sinx.ecos x dx π π 2 ∫ ∫ π 2 ∫ 2 + I1 = sin x.dx = − (1 − cos x ) d (cos x ) = − (1 − 2cos x + cos x).d (cos x ) 0 = −(cos x − cos3 x + cos5 x) π = 0.25 15 π ∫ + I2 = − e cos x d (cos x) = −ecos x π 0.25 = e −1 V y I= e − IV 15 0.25 Hình khơng gian 1,0 G i O tâm hình thoi ⇒ AO ⊥ BD ,k t h p v i AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ A ' O ⊥ BD ⇒ A ' OA góc 0.5 gi a m t (A’BD) v i m t áy ⇒ A ' OA = 60 Do ABC = 60 nên tam giác ABC u ⇒ AO = a http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! D' A' C' B' H A D O Trong tam giác vng A’AO ,ta có AA ' = AO.tan 60 = a 2 a a 3a Do ó th tích hình h p : V=S ABCD AA ' = = 2 C B Theo c/m ta có : BD ⊥ ( A ' AO ) ⇒ ( A ' BD) ⊥ ( A ' AO ) Trong tam giác vuông A’AO, d ng ng cao AH, ta có AH ⊥ ( A ' BD ) ,hay AH = d(A,(A’BD)) Do CD’// BA’ nên CD’// (A’BD) suy d(CD’,(A’BD)) = d(C,(A’BD)) = d(A,(A’BD)) (vì AO=CO) = AH = AO.sin 60 = V t P= + xyz ( x + y )( y + z )( z + x) + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2( xy + yz + zx) Mà ( xy + yz )( yz + zx)( zx + xy ) ≤ = ⇒ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 3 Nên Q ≥ ⇒ P = Q + ≥ xyz D u “=” x y x = y = z = Theo chương trình Chu n VI a a 1,0 Áp d ng B T Cauchy cho s dương ta có: = xy + yz + zx ≥ 3 ( xyz ) ⇒ xyz ≤ Ta có : Q = 0,5 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! G i N’ i m i x ng c a N qua I N’ thu c AB, ta có 0,25 B M N' A C I x N ' = xI − x N = y N ' = y I − y N = −5 PT c a ng th ng AB: 4x + 3y -1 = Kho ng cách t I D 4.2 + 3.1 − =2 + 32 t BI = x, AI = 2x ,Trong tam giác vng ABI có: n ng th ng AB: d = AC = 2.BD nên AI = BI, 1 = + ⇒ x = ⇒ BI = d x 4x i m B giao i m c a ng th ng 4x + 3y – = v i ng trịn tâm I bán kính 4 x + y − = B nghi m c a h : T a 2 ( x − 2) + ( y − 1) = B có hồnh dương nên B(1;-1) N 0.25 0.25 M t c u (S) có tâm I(4;2;1),bán kính R= 3;có ud = ( 2; −2;1) Gi s n p = ( a; b; c ) ;(a + b + c ≠ 0) n p ⊥ ud ⇒ 2a − 2b + c = (1) i m A(1;-1;1) ∈ d ⇒ A ∈ ( P ) ó PT (P): a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = (P) ti p xúc v i (S) d(I;(P)) = ⇔ 2ab = c (2) a = a = T (1) (2) ta c PT : 2a − 5ab + 2b = , ch n c c p nghi m c a PT : ; b = b = VI Ia 0.25 Có m t ph ng t/mãn ycbt : (P1): 2x + y -2z + = ; (P2): x + 2y + 2z – = 0.25 0.25 0.5 1.0 Ta có z = (1 + 2.i )(1 − 2.i ) = + 2.i ⇒ z = − 2.i 0.5 z + iz = + + (5 + 2)i 0.25 V y z + iz =2+5 0.25 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! Theo chương trình Nâng cao VI b T gt suy tam giác u ABC nh n tr c Oy làm tr c i x ng.Gi s B(m;n) ⇒ C(-m;n) ⇒ AB = m + (n − 2)2 ; BC = 4m m n 2 + =1 m + 4n = 16 Tam giác u ABC n i ti p elip (E) ch : 16 ⇔ 4m = m + (n − 2)2 3m = n − 4n + 22 Gi i h ta c : n = − (n = loai ) A trùng B C 13 ⇒m = 16 13 hoac m = − 16 3 768 ⇒ S ABC = (2m )2 = ( vdt) 13 169 x−2 y−2 z = = −1 chân ng vng góc h t I xu ng m t ph ng (P) H(-1;0;1) 2.0 0.25 0.25 0.25 0.25 Phương trình c a ng th ng KI : 0.25 T a 0.25 Gi s K(x0;y0;z0) Khi ó KH = KH = ( x0 + 1)2 + y0 + ( z0 − 1)2 ; KO = x0 + y0 + z0 Ta có h : x0 = − x0 − y0 − z0 1 = = −1 ⇔ y0 = ⇒ K (− ; ; ) 4 ( x + 1) + y + ( z − 1)2 = x + y + z 0 0 0 z0 = VI Ib 0.25 0.25 1.0 Ta có + i = 2(cos π π + i sin ) ⇒ (1 + i )2011 = ( 2) 2011 (cos 4 2011.π 2011.π 3π 3π + i sin ) = ( 2) 2011 (cos + i sin ) 4 4 π π 3π 3π − i = 2(cos(- ) + i sin(− )) ⇒ (1 − i ) 2011 = ( 2)2011 (cos(- ) + i sin(− )) 4 4 3π Do ó S = ( 2) 2011 2cos = −21006 0,5 0,5 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRƯ NG THPT CHUYÊN THI TH I H C – CAO NG L N III - 2011 LÊ QUÝ ÔN MƠN: TỐN – KH I D T TỐN – TIN Th i gian làm bài: 180 phút (không k th i gian giao ) A PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 i m) 2x + (C) Câu I (2,0 i m) Cho hàm s y = x −2 Kh o sát s bi n thiên v th (C) Tìm t t c giá tr c a m ng th ng y = m(x – 2) +2 c t cho AB = 10 Câu II (2,0 i m) 2(cos x − s inx) = t anx + cot 2x cot x − x + 6y = y + Gi i h phương trình: x, y ∈ R x +y + x −y = th (C) t i hai i m phân bi t A,B Gi i phương trình: ( ) π Câu III (1,0 i m) Tính tích phân: I = ∫ sinx.(sin x + e cos x )dx Câu IV (1,0 i m) Cho hình chóp S.ABCD có áy hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a C nh bên SA vng góc v i áy SA = a G i H hình chi u vng góc c a A SB Ch ng minh tam giác SCD vng tính (theo a) kho ng cách t H n m t ph ng (SCD) Câu V (1,0 i m) Ch ng minh r ng v i m i s dương x, y, z th a mãn : xy + yz + zx = ta có b t ng th c + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) B PH N RI NG (3,0 i m): Thí sinh ch c làm m t hai ph n (ph n I ho c II ) I Theo chương trình Chu n Câu VIa (2,0 i m) Trong m t ph ng v i h to Oxy,cho tam giác ABC có C(1;2), hai ng cao xu t phát t A B l n lư t có phương trình x + y = 2x – y + = Tính di n tích tam giác ABC x −1 y +1 z −1 Trong không gian v i h t a Oxyz cho ng th ng (d): = = m t c u −2 (S) : x + y + z − 8x − 4y − 2z + 12 = L p phương trình m t ph ng (P) i qua (d) ti p xúc v i m t c u (S) Câu VIIa (1,0 i m) Cho s ph c z th a mãn: z = ( + i )2 (1 − 2.i ) Tìm mơ un c a s ph c z + iz II Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 i m) x y2 Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho elip (E): + = Tính di n tích tam giác u ABC n i 16 ti p elip (E), bi t nh A(0;2) BC vng góc v i tr c tung Trong không gian v i h t a Oxyz cho m t ph ng (P):3x + 2y – z + = i m I(2;2;0) Xác nh t a i m K cho KI vuông góc v i m t ph ng (P), ng th i K cách u g c t a O m t ph ng (P) 2011 Câu VIIb (1,0 i m) Tính t ng: S = 1.C 2011 22010 + 2.C 2011 22009 + 3.C 2011 22008 + + 2011.C 2011 20 .H t… Thí sinh không c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích thêm http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ÁP ÁN Câu I THI TH L N 3-KH I D N i dung Ý Kh o sát s bi n thiên v th (C) c a hàm s (1,0 i m) R\{2} −5 y' = < ∀x ≠ Suy hàm s ngh ch bi n kho ng xác ( x − 2) lim y = ±∞ → x = ti m c n x → 2± i m 2,0 nh c a hàm s 0.25 ng 0.25 lim y = → y = ti m c n ngang x →±∞ -B ng bi n thiên x y' 0.25 y - th i qua (0;-1/2), (-1/2; 0) v úng 0.25 Tìm m … (1,0 i m) t y = m(x-2) + c t (C) t i i m p.bi t + ⇔ pt 2x + = m( x − 2) + có 2nghi x−2 ⇔ pt mx − 4mx + 4m − = 0(*) có nghi m ≠ ⇔ ∆ ' = 4m − m(4m − 5) > ⇔ m > 4m − 8m + 4m − ≠ + m p.bi t 0.25 m p.bi t khác 0.25 +Gi s A(x1;y1),B(x2;y2) ó x1,x2 nghi m c a (*).Khi ó y1= mx1-2m+2; y2= mx2-2m+2 Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 )2 = ( x2 − x1 ) (m + 1) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 (m + 1) 4(4m − 5) 20(m + 1) = 16 − (m + 1) = = 40 ⇔ m − 2m + = ⇔ m = m m II 0.5 2,0 Phương trình lư ng giác …(1,00 i m) 2(cos x − s inx) = t anx + cot 2x cot x − k: sin x(tan x + cot x) ≠ ;cot x ≠ Bi n i ta có: s inx cos2 x + cos x sin x = 2(cos x − s inx) cos x.sin x ⇔ = 2.s inx cos x cos x −1 s inx 0.25 0.25 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ⇔ 2sin x.cos x = 2.s inx ⇔ cos x = π ⇔ x = ± + k 2π ; k ∈ » K t h p v i k ta c h nghi m c a PT: x = − π + k 2π 0.25 0,25 ;k ∈ » Gi i h phương trình….(1,00 i m) H PT ã cho tương ương v i y ≥ −3 y ≥ −3 2 x + 6y = ( y + 3) ⇔ (x + y)(x − y) = x+ y + x− y =4 x+ y + x− y =4 0.25 t u = x + y ; v = x − y (u, v ≥ 0) u = x = u v = uv = v = ⇔ y = Ta c h ⇔ ⇔ u = x = u + v = u + v = v = y = −4 t h p v i k: y ≥ −3 h ã cho có nghi m (x;y) = (5;4) Tính tích phân III 0.5 π 0.25 1,0 π ∫ ∫ Ta c ó I = sin x.dx + sinx.e cos x 0.25 dx π π 2 I1 = ∫ sin x.dx ; I = ∫ sinx.ecos x dx 0 π π 2 ∫ ∫ π 2 ∫ 2 + I1 = sin x.dx = − (1 − cos x ) d (cos x ) = − (1 − 2cos x + cos x).d (cos x ) 0 = −(cos x − cos3 x + cos5 x) 0.25 π = 15 π ∫ + I2 = − e cos x d (cos x) = −ecos x π = e −1 0.25 V y I= e − IV 15 0.25 Hình khơng gian 1,0 G i I trung i m c a AD.Ta có IA=ID=IC=a ⇒ CD ⊥ AC M tkhác CD ⊥ SA Suy CD ⊥ SC nên tam giác SCD vuông t i C 0.5 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! S H I A B D C SH SA2 SA2 2a 2 = = = = 2 SB SB SA + AB 2a + a d SH 2 G i d1,d2 l n lư t kho ng cách t B H n m t ph ng (SCD) = = ⇒ d = d1 d1 SB 3 3V SA.S BCD 1 d1 = B.SCD = ; S BCD = AB.BC = a S SCD S SCD 2 Trong tam giác vng SAB ta có : Ta có S SCD Suy d1= 1 = SC.CD = SA2 + AB + BC IC + ID = a 2 2 a V y kho ng cách t H 0,5 n m t ph ng (SCD) a d1 = 3 t P= + xyz ( x + y )( y + z )( z + x) d2 = V 1,0 Áp d ng B T Cauchy cho s dương ta có: = xy + yz + zx ≥ 3 ( xyz ) ⇒ xyz ≤ Ta có : Q = + ≥ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2 xyz ( x + y )( y + z )( z + x) 2( xy + yz + zx) Mà ( xy + yz )( yz + zx)( zx + xy ) ≤ = ⇒ xyz ( x + y )( y + z )( z + x) ≤ 3 Nên Q ≥ ⇒ P = Q + ≥ xyz D u “=” x y x = y = z = Theo chương trình Chu n VIa 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ng th ng BC có véc tơ ch phương u véc tơ pháp n c a t’ x + y =0, nên u =(1;1) x = + t Phương trình c a BC: Suy B(1+t;2+t) B thu c /cao xu t phát t B nên t a th a y = + t mãn PT: 2(1+t) – – t +1 = ⇒ t = -1.V y B(0;1) x = + 2t A(-5;5) Tương t , PT c a AC: y = − t Ta có BC = ng th ng BC vi t d ng t ng quát : x – y + = −5 − + = G i AH /cao ,ta có AH = 2 V y S ABC = AH BC = 2 0.5 0.5 M t c u (S) có tâm I(4;2;1),bán kính R= 3;có u = ( 2; −2;1) Gi s d n p = ( a; b; c ) ;(a + b + c ≠ 0) n p ⊥ ud ⇒ 2a − 2b + c = (1) i m A(1;-1;1) ∈ d ⇒ A ∈ ( P ) ó PT (P): a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = (P) ti p xúc v i (S) d(I;(P)) = ⇔ 2ab = c 0.25 (2) a = a = T (1) (2) ta c PT : 2a − 5ab + 2b = , ch n c c p nghi m c a PT : ; b = b = VIIa 0.25 Có m t ph ng t/mãn ycbt : (P1): 2x + y -2z + = ; (P2): x + 2y + 2z – = 0.5 Ta có z = (1 + 2.i )(1 − 2.i ) = + 2.i ⇒ z = − 2.i 1.0 0.5 z + iz = + + (5 + 2)i 0.25 V y z + iz =2+5 0.25 Theo chương trình Nâng cao VIb T gt suy tam giác u ABC nh n tr c Oy làm tr c ⇒ AB = m + (n − 2)2 ; BC = 4m i x ng.Gi s B(m;n) ⇒ C(-m;n) m n 2 + =1 m + 4n = 16 Tam giác u ABC n i ti p elip (E) ch : 16 ⇔ 4m = m + (n − 2)2 3m = n − 4n + 22 Gi i h ta c : n = − (n = loai ) A trùng B C 13 2.0 0.25 0.25 0.25 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! ⇒m = 16 13 hoac m = − 16 3 768 ⇒ S ABC = (2m )2 = ( vdt) 13 169 x−2 y−2 z = = −1 chân ng vng góc h t I xu ng m t ph ng (P) H(-1;0;1) 0.25 Phương trình c a ng th ng KI : 0.25 T a 0.25 Gi s K(x0;y0;z0) Khi ó KH = KH = ( x0 + 1)2 + y0 + ( z0 − 1)2 ; KO = x0 + y0 + z0 Ta có h : x0 = − x0 − y0 − z0 1 = = −1 ⇔ y0 = ⇒ K (− ; ; ) 4 ( x + 1) + y + ( z − 1)2 = x + y + z 0 0 0 z0 = VIIb 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011 Ta th y (2 + x) = C + C x + + C x L y o hàm theo x ta c 2011 2011(2 + x) 2010 = 1.C2011 22010 + 2.C2011 2009.x + + 2011.C2011 x 2010 (*) Thay x = vào (*) ta c t ng S = 2011.32010 0.25 0.25 1.0 0.25 0.5 0.25 ... z0 = VIIb 2011 2011 2011 2011 2010 2011 2011 2011 Ta th y (2 + x) = C + C x + + C x L y o hàm theo x ta c 2011 2011(2 + x) 2010 = 1.C2011 22010 + 2.C2011 2009.x + + 2011. C2011 x 2010 (*)... ó S = ( 2) 2011 2cos = −21006 0,5 0,5 http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi ! TRƯ NG THPT CHUYÊN THI TH I H C – CAO NG L N III - 2011 LÊ Q ƠN MƠN: TỐN – KH I D T TOÁN – TIN... a O m t ph ng (P) 2011 Câu VIIb (1,0 i m) Tính t ng: S = 1.C 2011 22010 + 2.C 2011 22009 + 3.C 2011 22008 + + 2011. C 2011 20 .H t… Thí sinh khơng c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích