Bất đẳng thức và Bất phương trình

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 30 1. Tính chất 2. Một số bất đẳng thức thông dụng a) aa 2 0, ³" . abab 22 2 +³ . b) Bất đẳng thức Cô–si: + Với a, b ³ 0, ta có: ab ab 2 + ³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b. + Với a, b, c ³ 0, ta có: abc abc 3 3 ++ ³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b = c. Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất Û x = y. – Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất Û x = y. c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + abcab -<<+ ; bcabc -<<+ ; cabca -<<+ . e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki Với a, b, x, y Î R, ta có: axbyabxy 22222 ()()() +£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I. BẤT ĐẲNG THỨC Điều kiện Nội dung a < b Û a + c < b + c (1) c > 0 a < b Û ac < bc (2a) c < 0 a < b Û ac > bc (2b) a < b và c < d Þ a + c < b + d (3) a > 0, c > 0 a < b và c < d Þ ac < bd (4) a < b Û a 2n+1 < b 2n+1 (5a) n nguyên dương 0 < a < b Þ a 2n < b 2n (5b) a > 0 a < b Û ab < (6a) a < b Û 33 ab < (6b) Điều kiện Nội dung xxxxx 0,, ³³³- xaaxa £Û-££ a > 0 xa xa xa é £- ³Û ê ³ ë ababab -£+³+ Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 31 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản · Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết. – Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh. · Một số BĐT thường dùng: + A 2 0 ³ + AB 22 0 +³ + AB .0 ³ với A, B ³ 0. + ABAB 22 2 +³ Chú ý: – Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức. – Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) abcabbcca 222 ++³++ b) ababab 22 1 ++³++ c) abcabc 222 32() +++³++ d) abcabbcca 222 2() ++³+- e) abcaabac 4422 12(1) +++³-++ f) a bcabacbc 2 22 2 4 ++³-+ g) abbccaabc 222222 (1)(1)(1)6+++++³ h) abcdeabcde 22222 () ++++³+++ i) abc abbcca 111111 ++³++ với a, b, c > 0 k) abcabbcca ++³++ với a, b, c ³ 0 HD: a) Û abbcca 222 ()()()0 -+-+-³ b) Û abab 222 ()(1)(1)0 -+-+-³ c) Û abc 222 (1)(1)(1)0 -+-+-³ d) Û abc 2 ()0 -+³ e) Û abaca 22222 ()()(1)0 -+-+-³ f) Û a bc 2 ()0 2 æö ³ ç÷ èø g) Û abcbcacab 222 ()()()0 -+-+-³ h) Û aaaa bcde 2222 0 2222 æöæöæöæö -+-+-+-³ ç÷ç÷ç÷ç÷ èøèøèøèø i) Û abbcca 222 111111 0 æöæöæö -+-+-³ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø k) Û ( ) ( ) ( ) abbcca 222 0 -+-+-³ Bài 2. Cho a, b, c Î R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) abab 3 33 22 æö ++ ³ ç÷ èø ; với a, b ³ 0 b) ababab 4433 +³+ c) aa 4 34 +³ d) abcabc 333 3++³ , với a, b, c > 0. e) ab ab ba 66 44 22 +£+; với a, b ¹ 0. f) ab ab 22 112 1 11 +³ + ++ ; với ab ³ 1. g) a a 2 2 3 2 2 + > + h) abababab 554422 ()()()() ++³++; với ab > 0. HD: a) Û abab 2 3 ()()0 8 +-³ b) Û abab 33 ()()0 ³ Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 32 c) Û aaa 22 (1)(23)0 -++³ d) Sử dụng hằng đẳng thức abababab 33322 ()33+=+ BĐT Û abcabcabbcca 222 ()()0 éù ++++-++³ ëû . e) Û abaabb 2224224 ()()0 -++³ f) Û baab abab 2 22 ()(1) 0 (1)(1)(1) ³ +++ g) Û a 22 (1)0 +> h) Û ababab 33 ()()0 ³ . Bài 3. Cho a, b, c, d Î R. Chứng minh rằng abab 22 2 +³ (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abcdabcd 4444 4+++³ b) abcabc 222 (1)(1)(1)8+++³ c) abcdabcd 2222 (4)(4)(4)(4)256++++³ HD: a) ababcdcd 44222222 2;2+³+³ ; abcdabcd 2222 2+³ b) aabbcc 222 12;12;12 +³+³+³ c) aabbccdd 2222 44;44;44;44 +³+³+³+³ Bài 4. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng nếu a b 1 < thì aac bbc + < + (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abc abbcca 2 ++< +++ b) abcd abcbcdcdadab 12 <+++< ++++++++ c) abbccdda abcbcdcdadab 23 ++++ <+++< ++++++++ HD: BĐT (1) Û (a – b)c < 0. a) Sử dụng (1), ta được: aac ababc + < +++ , bba bcabc + < +++ , ccb caabc + < +++ . Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. b) Sử dụng tính chất phân số, ta có: aaa abcdabcac << ++++++ Tương tự, bbb abcdbcdbd << ++++++ ccc abcdcdaac << ++++++ ddd abcddabdb << ++++++ Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. c) Chứng minh tương tự câu b). Ta có: abababd abcdabcabcd ++++ << ++++++++ Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm. Bài 5. Cho a, b, c Î R. Chứng minh bất đẳng thức: abcabbcca 222 ++³++ (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abcabc 2222 ()3() ++£++ b) abcabc 2 222 33 æö ++++ ³ ç÷ èø c) abcabbcca 2 ()3() ++³++ d) abcabcabc 444 () ++³++ Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 33 e) abcabbcca 33 ++++ ³ với a,b,c>0. f) abcabc 444 ++³ nếu abc 1 ++= HD: Û abbcca 222 ()()()0 -+-+-³ . a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a) d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1) f) Sử dụng d) Bài 6. Cho a, b ³ 0 . Chứng minh bất đẳng thức: ababbaabab 3322 () +³+=+ (1). Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) abc ababcbcabccaabc 333333 1111 ++£ ++++++ ; với a, b, c > 0. b) abbcca 333333 111 1 111 ++£ ++++++ ; với a, b, c > 0 và abc = 1. c) abbcca 111 1 111 ++£ ++++++ ; với a, b, c > 0 và abc = 1. d) abbccaabc 333333 333 4()4()4()2() +++++³++ ; với a, b, c ³ 0 . e*) ABC ABC 333 333 sinsinsincoscoscos 222 ++£++ ; với ABC là một tam giác. HD: (1) Û abab 22 ()()0 ³ . a) Từ (1) Þ ababcababc 33 () ++³++ Þ ababc ababc 33 11 () £ ++ ++ . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b, c) Sử dụng a). d) Từ (1) Û ababab 3322 3()3() +³+ Û abab 333 4()() +³+ (2). Từ đó: VT ³ abbccaabc ()()()2() +++++=++ . e) Ta có: CABC AB sinsin2cos.cos2cos 222 - +=£. Sử dụng (2) ta được: abab 33 3 4() +£+. Þ CC ABAB 33 3 33 sinsin4(sinsin)4.2.cos2cos 22 +£+£= Tương tự, A BC 3 3 3 sinsin2cos 2 +£ , B CA 33 3 sinsin2cos 2 +£ Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. Bài 7. Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki): axbyabxy 222222 ()() +++³+++ (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau: a) Cho a, b ³ 0 thoả ab 1 += . Chứng minh: ab 22 115 +++³. b) Tìm GTNN của biểu thức P = ab ba 22 22 11 +++ . c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz 1 ++= . Chứng minh: xyz xyz 222 222 111 82 +++++³ . Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 34 d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz 3 ++= . Tìm GTNN của biểu thức: P = xyz 222 223223223 +++++ . HD: Bình phương 2 vế ta được: (1) Û abxyabxy 2222 ()() ++³+ (*) · Nếu abxy 0 +< thì (*) hiển nhiên đúng. · Nếu abxy 0 +³ thì bình phương 2 vế ta được: (*) Û bxay 2 ()0 -³ (đúng). a) Sử dụng (1). Ta có: abab 2222 11(11)()5 +++³+++=. b) Sử dụng (1). P ³ abab abab 22 22 114 ()()17 æöæö +++³++= ç÷ç÷ + èøèø Chú ý: abab 114 +³ + (với a, b > 0). c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: xyzxyz xyz xyz 2 2222 222 111111 () æö +++++³+++++ ç÷ èø ³ xyz xyz 2 2 9 ()82 æö +++= ç÷ ++ èø . Chú ý: xyzxyz 1119 ++³ ++ (với x, y, z > 0). d) Tương tự câu c). Ta có: P ³ ( ) xyz 2 2 3223()2010 +++= . Bài 8. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) abbccaabcabbcca 222 +<2() ++£+++ b) abcabcbcaacb ()()() ³+-+-+- c) abbccaabc 222222444 2220 ++ > d) abcbcacababc 222333 ()()() -+-++>++ HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: abcabbcc 222 2 >-Þ>-+ . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: aabcaabcabc 2222 ()()() > Þ>+ + . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c) Û abcabcbcacab ()()()()0 +++-+-+-> . d) Û abcbcacab ()()()0 +-+-+-> . Bài 9. a) Trn S Tựng Bt ng thc Bt phng trỡnh Trang 35 VN 2: Chng minh BT da vo BT Cụsi 1. Bt ng thc Cụsi: + Vi a, b 0, ta cú: ab ab 2 + . Du "=" xy ra a = b. + Vi a, b, c 0, ta cú: abc abc 3 3 ++ . Du "=" xy ra a = b = c. 2. H qu: + ab ab 2 2 ổử + ỗữ ốứ + abc abc 3 3 ổử ++ ỗữ ốứ 3. ng dng tỡm GTLN, GTNN: + Nu x, y > 0 cú S = x + y khụng i thỡ P = xy ln nht x = y. + Nu x, y > 0 cú P = x y khụng i thỡ S = x + y nh nht x = y. Bi 1. Cho a, b, c 0. Chng minh cỏc bt ng thc sau: a) abbccaabc ()()()8 +++ b) abcabcabc 222 ()()9++++ c) ( ) abcabc 3 3 (1)(1)(1)1++++ d) bccaab abc abc ++++ ; vi a, b, c > 0. e) abbccaabc 222222 (1)(1)(1)6+++++ f) abbccaabc abbcca 2 ++ ++Ê +++ ; vi a, b, c > 0. g) abc bccaab 3 2 ++ +++ ; vi a, b, c > 0. HD: a) ababbcbccaca 2;2;2+++ ị pcm. b) abcabcabcabc 3 222222 3 3;3++++ ị pcm. c) ã abcabcabbccaabc (1)(1)(1)1 +++=+++++++ ã abcabc 3 3++ ã abbccaabc 3 222 3++ ị ( ) abcabcabcabcabc 3 3 22233 (1)(1)(1)1331++++++=+ d) bccaabc c abab 2 22 += , caababc a bcbc 2 22 += , abbcabc b caac 2 22 += ị pcm e) VT abbcca 222 2() ++ abcabc 3 333 66=. f) Vỡ abab 2+ nờn ababab ab ab 2 2 Ê= + . Tng t: bcbccaca bcca ; 22 ÊÊ ++ . ị abbccaabbccaabc abbcca 22 ++++ ++ÊÊ +++ (vỡ abbccaabc ++Ê++ ) g) VT = abc bccaab 1113 ổửổửổử +++++- ỗữỗữỗữ +++ ốứốứốứ = [ ] abbcca bccaab 1111 ()()()3 2 ổử +++++++- ỗữ +++ ốứ 93 3 22 -= . ã Cỏch khỏc: t x =b + c, y = c + a, z = a + b. Khi ú, VT = xyzxzy yxxzyz 1 3 2 ộự ổửổửổử +++++- ờỳ ỗữ ỗữỗữ ốứ ốứốứ ởỷ 13 (2223) 22 ++-= . Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 36 Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) abcabc abc 3332 111 ()() æö ++++³++ ç÷ èø b) abcabcabc 333222 3()()() ++³++++ c) abcabc 3333 9()() ++³++ HD: a) VT = abbcca abc bacbac 333333 222 æöæöæö ++++++++ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø . Chú ý: ab abab ba 33 22 22 +³=. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. b) Û ( ) ( ) ( ) abcabbabcbccaca 333222222 2()++³+++++. Chú ý: ababab 33 () +³+ . Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm. c) Áp dụng b) ta có: abcabcabc 333222 9()3()() ++³++++ . Dễ chứng minh được: abcabc 2222 3()() ++³++ Þ đpcm. Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh abab 114 +³ + (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) abcabbcca 111111 2 æö ++³++ ç÷ +++ èø ; với a, b, c > 0. b) abbccaabcabcabc 111111 2 222 æö ++³++ ç÷ +++++++++ èø ; với a, b, c > 0. c) Cho a, b, c > 0 thoả abc 111 4 ++= . Chứng minh: abcabcabc 111 1 222 ++£ ++++++ d) abbccaabc abbcca 2 ++ ++£ +++ ; với a, b, c > 0. e) Cho x, y, z > 0 thoả xyz 2412 ++= . Chứng minh: xyyzxz xyyzzx 284 6 2244 ++£ +++ . f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: papbpcabc 111111 2 æö ++³++ ç÷ èø . HD: (1) Û ab ab 11 ()4 æö ++³ ç÷ èø . Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ba lần ta được: ababbcbccaca 114114114 ;;+³+³+³ +++ . Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). c) Áp dụng a) và b) ta được: abcabcabcabc 111111 4 222 æö ++³++ ç÷ ++++++ èø . d) Theo (1): abab 1111 4 æö £+ ç÷ + èø Û ab ab ab 1 () 4 £+ + . Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì abc 12 ++= Þ đpcm. f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c. Áp dụng (1) ta được: papbpapbc 1144 ()() +³= +- . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 37 Bài 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh abcabc 1119 ++³ ++ (1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau: a) abcabc abbcca 222 1113 ()() 2 æö ++++³++ ç÷ +++ èø . b) Cho x, y, z > 0 thoả xyz 1 ++= . Tìm GTLN của biểu thức: P = xyz xyz 111 ++ +++ . c) Cho a, b, c > 0 thoả abc 1 ++£ . Tìm GTNN của biểu thức: P = abcbaccab 222 111 222 ++ +++ . d) Cho a, b, c > 0 thoả abc 1 ++= . Chứng minh: abbcca abc 222 1111 30 +++³ ++ . e*) Cho tam giác ABC. Chứng minh: ABC 1116 2cos22cos22cos25 ++³ ++- . HD: Ta có: (1) Û abc abc 111 ()9 æö ++++³ ç÷ èø . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. a) Áp dụng (1) ta được: abbccaabc 1119 2() ++³ +++++ . Þ VT ³ abcabc abc abcabc 222222 9()33()3 .() 2()22 ++++ =³++ ++++ Chú ý: abcabc 2222 ()3() ++£++ . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: P = xyz xyz 111111 111 +-+-+- ++ +++ = xyz 111 3 111 æö -++ ç÷ +++ èø Ta có: xyzxyz 11199 11134 ++³= ++++++ . Suy ra: P £ 93 3 44 -= . Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau: Cho x, y, z > 0 thoả xyz 1 ++= và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN của biểu thức: P = xyz kxkykz 111 ++ +++ . c) Ta có: P ³ abcbcacababc 2222 99 9 222() =³ +++++++ . d) VT ³ abbcca abc 222 19 + ++ ++ = abbccaabbccaabbcca abc 222 1117 æö +++ ç÷ ++++++ ++ èø ³ abbcca abc 2 9797 30 1 1 () 3 +³+= ++ ++ Chú ý: abbccaabc 2 11 () 33 ++£++= . e) Áp dụng (1): ABCABC 1119 2cos22cos22cos26cos2cos2cos2 ++³ ++-++- Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng Trang 38 ³ 96 3 5 6 2 = + . Chú ý: ABC 3 cos2cos2cos2 2 +-£ . Bài 5. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: a) x yx x 18 ;0 2 =+> . b) x yx x 2 ;1 21 =+> - . c) x yx x 31 ;1 21 =+>- + . d) x yx x 51 ; 3212 =+> - e) x yx xx 5 ;01 1 =+<< - f) x yx x 3 2 1 ;0 + => g) xx yx x 2 44 ;0 ++ => h) yxx x 2 3 2 ;0 =+> HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = 3 2 khi x = 3 c) Miny = 3 6 2 - khi x = 6 1 3 - d) Miny = 301 3 + khi x = 301 2 + e) Miny = 255 + khi x 55 4 - = f) Miny = 3 3 4 khi x = 3 2 g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5 5 27 khi x = 5 3 Bài 6. Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) yxxx (3)(5);35 =+ ££ b) yxxx (6);06 =-££ c) yxxx 5 (3)(52);3 2 =+ ££ d) yxxx 5 (25)(5);5 2 =+ ££ e) yxxx 15 (63)(52); 22 =+ ££ f) x yx x 2 ;0 2 => + g) ( ) x y x 2 3 2 2 = + HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 c) Maxy = 121 8 khi x = 1 4 - d) Maxy = 625 8 khi x = 5 4 e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy = 1 22 khi x = 2 ( xx 2 222 +³ ) g) Ta có: xxx 3 222 2113+=++³ Û xx 232 (2)27 +³ Û x x 2 23 1 27 (2) £ + Þ Maxy = 1 27 khi x = ± 1. Bài 7. a) Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 39 VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki 1. Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B) · Với a, b, x, y Î R, ta có: axbyabxy 22222 ()()() +£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. · Với a, b, c, x, y, z Î R, ta có: axbyczabcxyz 2222222 ()()() ++£++++ Hệ quả: · abab 222 ()2() +£+ · abcabc 2222 ()3() ++£++ Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ab 22 347 +³ , với ab 347 += b) ab 22 735 35 47 +³ , với ab 237 -= c) ab 22 2464 711 137 +³ , với ab 358 -= d) ab 22 4 5 +³ , với ab 22 += e) ab 22 235 +³ , với ab 235 += f) xyxy 22 9 (21)(245) 5 -++-+³ HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số ab 3,4,3,4 . b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số ab 23 ,,3,5 35 - . c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số ab 35 ,,7,11 711 - . d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số ab 1,2,, . e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số ab 2,3,2,3 . f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT Û ab 22 9 5 +³ . Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm. Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ab 22 1 2 +³ , với ab 1 +³ . b) ab 33 1 4 +³ , với ab 1 +³ . c) ab 44 1 8 +³ , với ab 1 +³ . d) ab 44 2 +³ , với ab 2 += . HD: a) abab 22222 1(11)(11)() £+£++ Þ đpcm. b) abbabaaaa 3323 11(1)133 +³Þ³-Þ³-=-+- Þ baa 2 33 111 3 244 æö +³-+³ ç÷ èø . c) abab 2244222 1 (11)()() 4 ++³+³ Þ đpcm. d) abab 22222 (11)()()4 ++³+= Þ ab 22 2 +³ . abab 2244222 (11)()()4 ++³+³ Þ ab 44 2 +³ Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và xyz 1 ++= . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Pxyz 111 =-+-+- . HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P £ xyz 111.(1)(1)(1) ++-+-+- £ 6 [...]... , y = - 5 5 Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Điều kiện a>0 aBÛê ëA > B A - B = A + B Û AB £ 0 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình 2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn ì ï g( x ) ³ 0 · Dạng 1: f ( x ) = g( x ) Û í 2... + 1 < 0 d) mx 2 + 2(m - 1) x + 4 ³ 0 e) (3 - m ) x 2 - 2(2m - 5) x - 2m + 5 > 0 f) mx 2 - 4(m + 1) x + m - 5 < 0 Bài 4 a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ éì f ( x ) ³ 0 C1 ì g( x ) ³ 0 C2... - m ) - (m + 1)2 6 3 2 Bài 3 Tìm m để các bất phương trình sau vơ nghiệm: e) a) m2 x + 4m - 3 < x + m 2 b) m 2 x + 1 ³ m + (3m - 2) x c) mx - m 2 > mx - 4 d) 3 - mx < 2( x - m ) - (m + 1)2 Bài 4 a) Trang 42 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1 a) d) g) Bài 2 a) Bài 3 a) Giải các hệ bất phương trình sau: ì 4x - 5 ì ì4 15 x - 8 1 ï 7 x - 3 Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình. .. R \ { - 1} ë é m < 3 : S = (1; +¥) c) ê ë m ³ 3 : S = (m - 2; +¥) Bài 5 Giải các bất phương trình sau: a) Trang 44 é ỉ m -1 ư ; +¥ ÷ ê m < 0 : S = (-¥;1) È ç è m ø ê ỉ m -1 ư b) ê m > 0 : S = ç ;1 ÷ ê è m ø ê m = 0 : S = (-¥;1) ë Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1 Dấu của tam thức bậc hai D0 f(x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) a.f(x) > 0, "x Ỵ R ì bü a.f(x)... thu được 3 Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ¹ 0) ỉ bư x Ỵ ç -¥; - ÷ a.f(x) < 0 à è ỉ b ư a.f(x) > 0 x Ỵ ç - ; +¥ ÷ è a ø VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài 1 a) c) Bài 2 a) Giải các bất phương trình sau: 3 3 (2 x - 7) 2x +1 3 -2 x + > b) 3 > x+ 5 3 5 4 5( x - 1) 2( x + 1) 3( x + 1) x -1 -1 < d) 2 + < 36 3 8 4 Giải và biện luận các bất phương trình sau: m( x - m... suy ra tập nghiệm của (2) Q( x ) Chú ý: Khơng nên qui đồng và khử mẫu 3 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ · Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ ì g( x ) > 0 · Dạng 1: f ( x ) < g( x ) Û í ỵ- g( x ) < f ( x ) < g( x ) Trang 43 Bất đẳng thức – Bất phương trình · Dạng 2: Trần Sĩ Tùng é ì g( x ) < 0 ê í f ( x ) có... - m > 0 Bài 4 a) VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn 1 Bất phương trình tích · Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) · Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x) Từ đó suy ra tập nghiệm của (1) 2 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P( x ) · Dạng: > 0 (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) Q( x ) P( x ) · Cách giải: Lập bảng... · ax 2 + bx + c > 0, "x Ỵ R Û í ỵD < 0 ìa < 0 · ax 2 + bx + c < 0, "x Ỵ R Û í ỵD < 0 2 Bất phương trình bậc hai một ẩn ax 2 + bx + c > 0 (hoặc ³ 0; < 0; £ 0) Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn Bài 1 Xét dấu các biểu thức sau: a) 3 x 2 - 2 x + 1 b) - x 2 + 4 x + 5 c) -4 x 2 + 12 x - 9 d) 3 x 2 - 2 x - . mxmxm 2 4(1)50 -+ +-& lt; Bài 4. a) VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai 1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Để giải phương trình, bất phương trình. ABABAB 0 -= +Û£ Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 47 2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Bất đẳng thức – Bất phương trình Trang 43 VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau: a) x x xx 158 85 2 3 2(23)5 4 ì - -& gt; ï í ï -& gt ;- î