Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tìm tọa độ điểm M thuộc C, biết rằng tiếp tuyến của C tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M và điểm I1; 1.. Tính theo a thể tí
Trang 11
x
x -
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với
đường thẳng đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Câu II: (2,0 điểm)
cos cos
2 1 sin sin cos
x
-
+
2. Giải hệ phương trình:
2
ï
í
ï
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân:
1
ln
1 ln
e
x
dx
x + x
ò
Câu IV: (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân đỉnh C;
đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 60 0 và AB = AA’ = a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CC’, BC và Q là một điểm trên cạnh AB sao cho BQ =
4
a
. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh rằng (MAC)^ (NPQ) .
Câu V: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện
3
ab bc+ +ca = , ta có: 21 21 2 1 1
a + +b + +c + £
Câu VI: (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M (0; ) 1
3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương.
2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng :
1 : 4
1 2
x t
=
ì
ï
= -
í
ï = - +
î
; d 2 : 2
x y- z
x+ y- z +
= = . Viết phương trình đường
thẳng D, biết D cắt ba đường thẳng d1 , d2 , d3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB = BC.
Câu VII: (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn : z2 +2 z z+ z 2 = 8 và z+ = z 2
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Trang 2CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2010 – 2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
TXĐ : D = R\{1}
y’ = 1 2 0
(x 1)
- <
-
0,25
lim ( ) lim ( ) 1
®+¥ = ®-¥ = nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
lim ( ) , lim
f x
= +¥ = -¥ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 0,25
Bảng biến thiên
1 +¥
¥
1
y y'
Hàm số nghịch biến trên (-¥ và (1;;1) +¥ )
Hàm số không có cực trị
0,25
I1
(1 điểm) Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng
10
8
6
4
2
2
4
6
8
0,25
Với x ¹ , tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0 1 0 ; 0
0 1
x
x - ) có phương trình :
0
0
2
1 ( )
x
2
0
1
0
x
x y
0,25
I2
(1 điểm)
(d) có vec – tơ chỉ phương ( 1; 1 2 )
( 1)
u
x
= -
-
r
0,25
Trang 30
1
1
IM x
x
= -
- uuur
Để (d) vuông góc IM điều kiện là :
0
0
0
2
x
x
=
é
=
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0)
Khi đó PT Û( 1 sin- 2 x) ( cosx-1) =2 1 sin( + x)( sinx+ cos x )
( 1 sinx)( 1 cosx sinx sin cosx x ) 0
( 1 sinx)( 1 cosx)( 1 sinx ) 0
0,25
sin 1 cos 1
x
x
= -
é
Û ê = -
ë
II1
(1 điểm)
2
2
2
p
p
é
= - +
ê
Û
ê
= +
ë
( k m Î Z , )
2
x p k
p
= - + và x=p + m 2 p ( k m Î Z , )
0,25
Với x = 0 không nghiệm đúng phương trình
Với x ¹ , ta có: 0
2
2 2
2
1
4
1 4
y
x y
x y
x
ì +
+ + =
ï
Û
ï
0,25
Đặt
2
1
,
y
x
+
+) Với v=3,u = ta có hệ: 1
2, 5
y x
= =
í + = í = - í = - ê = -ë =
.
0,25
II2
(1 điểm)
+) Với v= -5,u = ta có hệ: 9
2
1 9
5
x y
ì + =
í + = -
î
, hệ này vô nghiệm.
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ; )x y =(2; 1), ( ; )x y =(5; 2). -
0,25
Đặt t = 1 ln x + có 2tdt = 1 dx
x
x = 1 thì t = 1; x = e thì t = 2
0,25
2 2
2
1 ln
e
t
-
+
III
(1 điểm)
2
3 2( )
3
t
t
Trang 42(2 2 )
3
-
Gọi I là trung điểm A’B’ thì
' ' '
' ( ' ') ' AA '
C I A B
C I ABA B
C I
^ ü
ý
^ þ suy ra góc giữa BC’ và mp(ABB’A’) chính
là góc C BI . · '
Suy ra · C BI = ' 60 0
' tan '
2
a
C I =BI C BI =
Q
P
K
M
I
N
C
A
B
B'
0,25
3 ' ' ' ' ' '
.
AA ' AA ' ' '
a
/ / '
( ) / /( ' )
/ / '
NP BC
NPQ C BI
PQ C I
ü
Þ
ý
þ
IV
(1 điểm)
· ·
ABM BB I c g c suy ra AMB BIB
suy ra AMB B BI
. Mặt khác theo chứng minh trên C’I ^ AM nên AM ^ ( 'C BI )
Suy ra (AMC) ^ ( 'C BI ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (MAC)^ (NPQ)
0,25
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4
a b +b c +c a +a b c ³
0,25 Đặt x = ab, y = bc, z = ca ta cần chứng minh x2+y2+z2 +xyz ³ 4 với mọi x, y, z
không âm thỏa mãn: x + y + z = 3
Không làm mất tính tổng quát giả sử x £ y; x £ z thì x £ 1 ta có:
0,25
4
x +y +z +xyz- = x + y+z +yz x- - ³x + y+z + y+z x - - = 0,25
V
(1 điểm)
(3 ) 4 ( 1) ( 2) 0
x
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
N
D
I
B N'
M
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’
thuộc AB, ta có : '
'
ì
í
= - = -
VI.1
(1 điểm)
Phương trình đường thẳng AB:
Trang 52 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d = + - =
+
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
4
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ:
4x 3y – 1 0 (x 2) (y 1) 5
ì
í
î
B có hoành độ dương nên B( 1; 1)
0,25
Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳngd1 , d2 , d3
Ta có A (t, 4 – t, 1 +2t) ; B (u, 2 – 3u, 3u) ; C (1 + 5v, 1 + 2v, 1 +v) 0,25
A, B, C thẳng hàng và AB = BC Û B là trung điểm của AC
( 1 5 ) 2
4 (1 2 ) 2.(2 3 )
1 2 ( 1 ) 2( 3 )
+ - + =
ì
ï
Ûí - + + = -
ï - + + - + = -
î
0,25
Giải hệ trên được: t = 1; u = 0; v = 0
VI 2
(1 điểm)
Đường thẳngD đi qua A, B, C có phương trình 2
x y- z
Gọi z = x + iy ta có z=x iy z- ; 2 = z2 =z z=x2+ y 2 0,25
2
VII
(1 điểm)
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = ± 1