Logic mệnh đề toán học

Logic mệnh đề Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai. Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trị đúng) Câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai (mệnh đề có chân trị sai) Kí hiệu các mệnh đề: P, Q, R,. Kí hiệu chân trị đúng là 1(hay TTrue), chân trị sai là 0(hay FFalse)

Trang 1

CHƯƠNG 1

LOGIC MỆNH ĐỀ I- MENH DE

1.1- Khái niệm:

Mệnh để là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai

Câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng (mệnh đề có chân trị đúng)

Câu khẳng định sai gọi là mệnh để sai (mệnh đề có chân trị sai)

Kí hiệu các mệnh để: P, Q, R,

e Kí hiệu chân trị đúng là 1 (hay T — True), chan tri sai 14 0 (hay F — False)

Vi du 1:

a/ Hà Nội là thủ đô của nước Việt Nam Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mã: P

b/ Thượng Hải là thủ đô của Ấn Độ Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mđ: Q

c/5+5=10 Là mệnh đề đúng (1) Kí hiệu mã: R

d/ 43 chia hét cho 5 Là mệnh đề sai (0) Kí hiệu mổ: 'T

e/ Hôm nay trời đẹp quá ! Không phải là mệnh đề Câu cẳm thán

†/ Hôm nay trời có đẹp không? Không phải là mệnh đề Câu hỏi nghỉ vấn

g/ Hãy học bài đi! Không phải là mệnh đề Câu mệnh lệnh h/ n là một số nguyên tố Không phải là mệnh đề Là vị từ (mệnh đề

chứa biến).Nếu n=3 ta được mệnh đề đúng, n= 4 ta được mệnh đề sai

* Biến mệnh đề: p gọi là biến mệnh để nếu nó nhận giá trị là một mệnh để nào đó

Vi du 2: p là biến mệnh đề có thể nhận giá trị là các mệnh để P, Q, R, T ở trên

1.2- Các phép toán lôgic:

1.2.1: Phép phủ định (NOT):

Phủ định của mệnh để P kí hiệu là P Chân trị của P là 0 nếu P

chân trị của P là 1 và ngược lại

Ví dụ 3: mệnh đề P: “A/2 là số hữu tỉ”

P: “2/2 không phải là số hữu tỉ” (V2 là số vô /)

1.2.2 Phép hội (AND):

Phép hội của hai mệnh đề P, Q kí hiệu là PAQ (đọc là P và Q) chỉ đúng khi cả P và Q cùng đúng

Bảng chân trị của phép hội:

P

PAQ

¬

Poco

Vi du 4:

+ “Chiéu nay trời dep và trận bóng đá sẽ hấp dẫn”: PAQ

+ “Danh sách sinh viên nam và tuổi từ 20 trở lên”: PAQ

Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nam”) AND (Year(DateQ)-Year(NgaySinh)>=20)

Trang 2

+ “Danh sách sinh viên nữ có quê ở Long An”: PAQ

Điều kiện lọc danh sách là: (PHAI=”Nữ”) AND (QUEQUAN=”Long An”)

1.2.3 Phép tuyển (OR):

Phép tuyển của hai mệnh để P, Q kí hiệu là PvQ (đọc là P hoặc Q) chỉ sai khi cả P và Q cùng sai

Bảng chân trị của phép tuyển:

Vidu 5:

+ “Danh sách sinh viên quê ở Cần Thơ hoặc/hay/và Long An”: PVQ

Điều kiện lọc danh sách là: QUEQUAN=”Cần Thơ”) OR (QUEQUAN=”Long An”)

1.2.4 Phép tuyển loại (XOR):

Phép tuyển loại của hai mệnh để P, Q kí hiệu là Pv Q (đọc là hoặc P hoặc Q) chỉ đúng

khi chỉ một trong 2 mệnh để là đúng

Bảng chân trị của phép tuyển loại:

P

Ví dụ 6:

+ “Sinh viên An quê ở Cần Thơ hoặc Long An”: PvQ

+ “4/2 là số hữu t hoặc là số vô tỉ”: Pv Q

+ “5 giờ chiều nay Minh đi học thêm Anh văn hoặc đi dự đám cưới bạn Lan”: PvQ

12.5 Phép kéo theo:

Phép kéo theo của hai mệnh để P, Q kí hiệu là P => Q là một mệnh để chỉ sai khi P đúng Q sai

Bảng chân trị của phép kéo theo:

Vi du 7:

+ “Nếu An vượt đèn đỏ thì An sẽ vi phạm luật giao thông”: P—= Q

+ “Vì 50 chia hết cho 10 nên 50 chia hết cho 5” (P đúng, Q đúng: mệnh để đúng) + “202 là số chẵn suy ra 202 chia hết cho 4” (P đúng, Q sai: mệnh đề sai)

Luu ¥:

® _P gọi là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q gọi là diéu kiện cân để có P

® Q—P gọi là mệnh để đảo của mệnh để P > Q

Trang 3

1.2.6 Phép tương đương:

Phép tương đương của hai mệnh để P, Q kí hiệu là P © Q là một mệnh để chỉ đúng khi

cả P và Q cùng đúng hoặc cùng sai

Bảng chân trị của phép kéo theo:

P

CC

¬—cc-l†

Ví dụ 8:

+ “Tam giác ABC có ba góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng

nhau”

+ “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết cho12”

+P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”

Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”

Ta có P© Q

1.3 Phép toán bit (NOT, AND, OR, XOR: thực hiện trong máy tính)

¢ Bit 1a đơn vị thông tin nhỏ nhất ứng với một trong hai kí số nhị phân 0 hoặc 1

Cho 2 chuỗi 4 bit A = 0011; B = 0101 Ta thực hiện các phép toán bít như sau:

AANDB | 00 01

AXORB | 01 II- CÔNG THUC MENH DE

II.1 Các khái niệm

I.1.1 Công thức mệnh đề (biểu thức lôgic)

Công thức mệnh đề (còn gọi là biểu thức lôgic) là một biểu thức được xây dựng từ: e© Các mệnh để P, Q,R,

e _ Các phép toán trên các mệnh để và biến mệnh đề theo một trật tự nào đó

Ví dụ 9:

1 or

A=(paq) v (7 > q)

E=pv@an

F=@vq)Ar

Nhận xét: Lập bằng chân trị của E và F ta thấy E # E, suy ra thứ tự thực hiện phép toán

logic là rất quan trọng

11.1.2 Công thức tương đương

Hai công thức E và E gọi là tương đương logic nếu chúng có cùng bảng chân trị

Kí hiệu hai công thức tương đương logic là E = F hay đơn giản là E = E

Ví dụ 10: E= p => q và F= 7 v q là hai công thức tương đương (c/m bằng bảng chân trị)

Trang 4

@&) (F) (G) 11.1.3 Công thức mệnh đề hằng đúng, hằng sai

Công thức mệnh dé gọi là công thức hằng đúng nếu nó luôn nhận gía trị 1 (E= 1) Công thức mệnh để gọi là công thức hằng sai nếu nó luôn nhận gía trị 0 (=0)

Ví dụ 11:

G=(p=q)©(pvq) là công thức hằng đúng; G = 1 (suy ra từ ví dụ 9)

11.1.4 Qui tắc thay thế:

Qui tắc 1: Nếu trong công thức mệnh dé E ta thay thế một biểu thức con bởi một công

thức mệnh để tương đương thì được một công thức mệnh để mới tương đương logic với E

Vidu 12: p>(q>r) =p>(qvr)=pvgqvr

Qui tắc 2: Nếu E là công thức mệnh để hằng đúng thì khi ta thay bién ménh dé p trong

E bởi một công thức mệnh để tùy ý thì được một công thức mệnh đề mới vẫn là hằng đúng

Ví dụ 13:

G=(p=g)©(pvg) 5l (suy ra từ ví dụ 10) suy ra

G'=(rA£f)>q)©((ŒAr)vq) =1

1I.2 Các qui luật logic

Với p, q, r là các biến mệnh để, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương

logic sau:

1/ Phủ định của phủ định: P =p

2/ Qui tắc De Morgan: (pAg)=pV4 ; (pVvq)=pA^q

3/ Luật giao hoán:p Aq=qAp ; pvq=qvp

4/ Luật kết hợp: p A (q Ar)=(pAq)Ar ; pV(qvr)=(pvq)vr

5/ Luật phân phối: p A (q vr)=(p Aq) V(pAr); pv(qAr)=(pvq)^ (pvr)

6/ Luật lũy đẳng:pAp=p: pvp=p

7/ Luật trung hòa (luật đồng nhất):p Al=p; pv0=p

8/ Luật về phần tử bù: pA p =0 (Luật bài trung)

Pvp=l (Luật mâu thuẫn)

9/ Luật thống trị pA0=0 ; pvI=l

10/ Luat hap thu: p A (p vq) =p ; pV(pAq=p

* Chứng minh các công thức trên bằng cách lập bảng chân trị

Chẳng hạn ta chứng minh luật hấp thu 10/ bằng bảng sau:

p q pvyq_ | pag | paA(pvq)| pv(paq)

0 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1

Trang 5

II - QUI TẮC SUY LUẬN

TIL1 - Khái niệm:

Trong các chứng minh toán học, ta thường xuất phat tir tién đề là các khẳng định đúng

Pt, D2 - ‹ - Pn Va ấp các qui tắc suy luận toán học để khẳng định kết /uận q là đúng

Công thức tổng quát của qui tắc suy luận là: (p¡ ApzA ‹ A pn)>q

Hay viết theo mô hình là:

Pp p2

Tién dé

Pn

THI.2 - Các qui tắc suy luận thường dùng:

HHIL2.1— Qui tắc khẳng định (Modus Ponens)

Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c⁄n bằng cách lập bảng chân trị):

(p>qgap>q

hay dưới dạng sơ đồ

p>q

Pp

q

Vi du 14:

a/ Tam giác cân có hai cạnh bằng nhau (p> q)

KL: AB =AC (q)

b/ Mọi số chắn đều chia hết cho 2

mà 2006 là một số chấn

Suy ra số 2006 chia hết cho 2

c/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng

mà Lan đạt loại giỏi

Vậy Lan sẽ được thưởng

HIL2.2 — Qui tắc tam đoạn luận (Modus Syllogism) Chứng mình bắc cầu

Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (c⁄n bằng cách lập bảng chân trị):

(p>9^A(tq>r)>0>r)

hay dưới dạng sơ do

p>q q>r p>r

Vi du 15:

a/ Bình chơi Game Online thì Bình không học Toán ứng dụng

Bình không học Toán ứng dụng thì Bình thi rớt Toán ứng dụng

Mà Bình ham chơi Game Online nên Bình thi rớt Toán ứng dụng

Trang 6

b/ 75 chia hết cho 15; 15 chia hết cho 5 Vậy 75 chia hết cho 5

c/ Một con ngựa rẻ thì hiếm

Cái gì hiếm thì đắt

Suy ra một con rẻ thì đắt (!)

Suy luận trên là hợp logic Nhưng kết luận sai do dựa trên một tién dé sai

HIL2.3— Qui tắc phủ định (Modus Tollens) / Chứng mình phản đảo

Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (cn bằng cách lập bảng chân trị):

(p>qQaq)=> Pp

hay dưới dạng sơ đồ

P

Vi du 16:

a/ Nếu học giỏi sẽ được thưởng

mà An không được thưởng

Vậy An không học giỏi

b/ Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau Góc O¡ khác góc O; nên hai góc ấy không đối đỉnh

HIL2.4— Qui tắc tam đoạn luận rời/ Chứng mình loại trừ

Qui tắc này được thể hiện bởi công thức hằng đúng (cm bằng cách lập bảng chân trị):

(pvq^A7)>q

Ý nghĩa của qui tắc này là khi chỉ có đúng hai trường hợp có thể xảy ra và mộtt trường hợp đã được khẳng định là sai thì truơng hợp còn lại là đúng

Ví dụ 17:

a/ Sáng nay hai bạn An và Bình được phân công làm trực nhật

Nhưng bạn An ởi học trễ

Vậy bạn Bình làm trực nhật

b/ Tích a.b=0_ (suy ra a= 0 hoặc b=0)

mà a#0

Vậy b=0

TII.2.5 — Qui tắc mâu thuẫn / Chứng mình phản chứng

Qui tắc này được thể hiện bởi tương đương logic sau:

(p> 9 = (paq)=> 0)

Do đó, nếu chứng minh được công thức mệnh để bên phải là hằng đúng thì công thức bên trái cũng là hằng đúng Nghĩa là nếu ta giả sử q là sai và cùng với tiền đề dẫn đến điều

vô lí thì kết luận q là đúng Đó là cơ sở của phương pháp chứng minh phản chứng

Vi du 18: Chứng mình rằng V2 là số vô tỉ

Giả sử x2 là một số hữu tỉ Khi đó 2 = p/q với p/q là phân số tối giản

= 2= p?⁄q? = 2q? =p? => p?!2 = p!2 (vì nếu p-lẻ thì p” cũng lẻ mâu thuẫn với p`:2) = p= 2k Suy ra 2q = 4k? = qˆ = 2k? =q2:2 = q2

Do đó p, q có ước số chung là 2, trái với giả thiết p/q là phân số tối giản

Vậy v2 là một số vô tỉ

Trang 7

IV- VỊ TỪ - LƯỢNG TỪ

IY.1— Vị từ:

Vị từ là một khẳng định chứa biến dạng P(x) với xe A sao cho:

Vi du 18:

a/ P(x) = “x <5”;xe N voiN= (0, 1, 2,3,4,5, }

P(0) = “0< 5” là mệnh để đúng P(5) = “ 5 < 5” là mệnh để sai

P(1)= “1 <5” là mệnh dé đúng P(6) = “ 6< 5” là mệnh để sai

P(2) = “2 <5” là mệnh dé đúng P(7) = “7< 5” là mệnh để sai

P@) = “ 3< 5” là mệnh để đúng P(8) = “8 < 5” là mệnh để sai

P(4) = “ 4< 5” là mệnh để đúng

b/ P(n) = “n là số nguyên tố” ;ne N

(Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 va chính nó)

P(0) = “ 0 là số nguyên tố” : mệnh để sai

P(1) = “ 1 là số nguyên tố” : mệnh để sai

P(2) = “ 2 là số nguyên tố” : mệnh để đúng

P@) = “ 3 là số nguyên tố” : mệnh để đúng

P4) = * 4 là số nguyên tố” : mệnh để sai

P(5) = “5 1a số nguyên tố” : mệnh để đúng

c/ P(x, y) = “x + y là số nguyên chẵn” ; ne Z = {0, +1, +2, +3, +4, +5, }

Ta thấy P(2, 4) là mệnh đề đúng, còn P(5,2) là mệnh để sai,

IV.2 - Lượng từ:

e _ Để chỉ một phần tử bất kì thuộc tap A ta viết: VxeA (lượng từ với mọi)

e - Để chỉ ít nhất một phần tử thuộc tập A ta viết: 3xe A (lượng từ tôn tại)

e _ Để chỉ một phần tử duy nhất thuộc A ta viết: 3lxeA (lượng từ tôn tại duy nhất) + Ghép các lượng từ với vị từ ta được các mệnh để sau:

Vxe A, P(x)

dxe A, P(x)

dixe A, P(x)

+ Phủ định các mệnh để trên ta được các mệnh để tương logic sau:

(VxeA, P(x)) = đxe A, P(x)

(3xeA, P(x)) = VxeA, P(x)

Vi du 19:

P(n) = “n là số nguyên tố” ;ne N (Xem ví dụ 18b)

e©_ VneN, P(n) = “Mọi số tự nhiên n đều là số nguyên tố” : mởđ sai qd)

e 1neN,P(n) = “Có số tự nhiên n là số nguyên tố” :mđđúng (2) e©_ 3!neN,P(n) = “Có duy nhất 1 số tự nhiên n là số nguyên tố” : mđ sai Phủ định của (1) ta được:

3neN, P(n) = “Có số tự nhiên n không phải là số nguyên tố” : mởđ đúng

Phủ định của (2) ta được:

VneN, P(n) = “Mọi số tự nhiên n không phải là số nguyên tố”: mổ sai

Trang 8

V~ QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY

V.1- QUY NẠP

V.1.1— Nguyên lí quy nạp:

Nguyên lí quy nạp dựa trên mệnh để hằng đúng sau đây:

P(0) ^ [VneN, P(n) > P(n+1)] > VneN, P(n)

V.1.2— Các bước chứng mình quy nạp:

Như vậy, để chứng minh mệnh để P(n) là đúng VneN ta thực hiện các bước sau:

Bước 1! Khẳng định P(0) là đúng

Bước 2J Giả sử P(n) là đúng suy ra P(n+1) cũng đúng

Bước 3/ Kết luận: P(n) đúng ,VneN

Lưu ý: Nguyên lý quy nạp có thể bắt đầu từ nọc N Tức là P(n) đúng VneN, n > nọ Khi

đó mệnh để P(0) trong bước 1 được thay bởi P(nạ)

Ví dụ 20:

a/P(n): 0+1+2+ +n=n(n+l)/2; VneN

+ P(0) đúng vì 0 = 0(0+1)/2

+ Giả sử P(n) đúng, tức là 0+ 1+2+_ +n=n(n+1)/2

Suy ra0+14+2+ .+n+ (n+l) =n(n+1)/2 + (n+1)

= (n+1)(n+2)/2 =(n+1)[(n+1)+1]/2

Suy ra P(n+1) đúng Vậy, P(n) đúng VneN

b/ Chứng minh rằng P(n) = nỄ + ấn chia hết cho 6, VneN

+ Với P(0) ta có: 0 : 6 Suy ra P(0) đúng

+ Giả sử P(n) đúng, tức là n” + 5n : 6

Ta xét P(n+1): (n+l)Ÿ + 5(n+1) = (nÌ + 3n” + 3n + 1) + ấn + 5

= (n° + 5n) + 3(n? +n +2)

= (n° + 5n) + 6(n(n+1)/2 + 1) :6

Vậy (n+l)Ì + 5(n+1) : 6, tức là P(n+1) là đúng

+ Kết luận: n + 5n : 6, VneN

c/ Tương tự, hãy chứng minh rằng 2"*? > 2n + 5 ; Vne N,n> I

V.2 — Dé quy

V.2.1— Định nghĩa đệ quy (định nghĩa quy nạp):

Đôi khi rất khó định nghĩa một đối tượng một cách tường minh, nhưng lại dễ dàng

định nghĩa đối tượng này thông qua chính nó Định nghĩa như vậy gọi là định nghĩa đệ quy (hay định nghĩa quy nạp)

Vi du 21:

a/ Định nghĩa tập hợp số tự nhiên N đệ quy như sau:

e 0là sốtựnhiên

Khi đó ta có: N= {0, 1,2,3, 4,5, }

b/ Định nghĩa hàm số f đệ quy như sau:

Biên soạn: Grating Son

Trang 9

Khi đó ta có:

fd)=2f(0)+3 =2x3+3 =9

f2)=2fI)+3 =2x9+3 =21

f3)=2f2)+3 =2x21+3 =45

f4)=2f3)+3 =2x45+3 =93

V.2.2— Thuật toán đệ quy:

Một thuật toán được gọi là đệ quy nếu nó giải bài tóan bằng cách rút gọn liên tiếp bài

toán ban đầu tới chính bài toán ấy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn

Ví dụ 22:

a/ Tính giá trị a", với a là số thực khác 0, n là số tự nhiên:

Ta định nghĩa a" đệ quy như sau:

® Khin=0:a?=l

® Khin>0:a"=a.a"!

Như vậy để tinh a" ta quy về các trường hợp có số mũ n nhỏ hơn cho đến khi n = 0

thì dừng Ta có thuật toán đệ quy tính lũy thừa của a như sau (mã VB):

Function LuyThua(a, n) as Double

Ifn=0 then LuyThua = 1 else

LuyThua = a * LuyThua(a, n-1) End If

End Function

b/ Tinh gid tri n! = 1.2.3 .(n-1).n = (n-1)!.n nếun>0; 0!= 1

+ Thi tuc dé quy:

Function GiaiThua(n) as Long

Ifn=0 then GiaiThua = 1 else

GiaiThua = n * GiaiThua(n-1) End If

End Function

+ Thủ tục lặp (Không đệ quy):

Function GiaiThua(n) as Long

T=1 Fori=lton T=T*i Next

GiaiThua = T End Function

c/ Tính giá trị: S=1+2+3+ +n

Dùng cách tính tổng lặp (lặp lại đối với S):

S=0

Fori=1ton

S=S+i Next

Trang 10

BÀI TẬP CHƯƠNG 1 - LÔGIC MỆNH ĐỀ

1.1- Trong các câu sau, cho biết câu nào là mệnh đề:

a) Trần Hưng Đạo là một vị tướng tài

b) x + 1 là một số nguyên dương

c) 9 là một số chẵn

đ) Hôm nay trời đẹp làm sao !

e) Hãy học Toán ứng dụng

?) Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ đi xem bóng đá trước

1.2- Gọi P và Q là các mệnh đề:

P: "Minh giỏi Toán"

Q: "Minh yếu Anh văn" (Giả sử:không giỏi là yếu, không yếu là giỏi)

Hãy viết lại các mệnh để sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép toán

mệnh đề

a) Minh giỏi toán nhưng yếu Anh văn

b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn

đ) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn

e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh yếu Toán nhưng giỏi Anh văn

1.3- Gọi P, Q, R là các mệnh đề:

P: "Bình đang học Toán"

Q: "Bình đang học Tin học"

R: "Bình đang học Anh văn"

Hãy viết lại các mệnh để dưới đây dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép toán

a) Bình đang học Toán và Anh văn nhưng không học Tin học

b) Bình đang học Toán và Tin học nhưng không học cùng một lúc Tin học và Anh văn c) Không đúng là Bình đang học Anh văn mà không học Toán

d) Không đúng là Bình đang học Anh văn hay Tin học mà không học Toán

e) Bình không học Tin học lẫn Anh văn nhưng đang học Toán

1.4- Hãy lấy phủ định các mệnh đề sau:

a) Ngày mai nếu trời mưa hay trời lạnh thì tôi sẽ không ra ngoài

b) 15 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4

c) Hình tứ giác này không phải là hình chữ nhật mà cũng không phải là hình thoi đ) Nếu An không di làm ngày mai thì sẽ bị đuổi việc

e) Mọi tam giác đều có các góc bằng 60”

1.5- Cho biết chân trị của các mệnh dé sau:

a) =2 và tổng các góc của một tam gidc bing 180°

b) 2 = 3,1416 kéo theo tổng các góc của một tam giác bằng 170”

đ) Nếu 2 > 3 thì nước sôi ở 100°C

e) Nếu 3 < 4 thì 4< 3

Ð Nếu 4< 3 thì 3 < 4

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	4,91 MB