1_Mệnh đề toán học

1_Mệnh đề toán học (Đại số 10)

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa” BÀI GIẢNG QUA MẠNG ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ − TẬP HỢP §1 Mệnh đề  Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả” Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Đọc lần 2 toàn bộ: • Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí. • Định hướng thực hiện các hoạt động • Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu 3. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự: • Đọc − Hiểu − Ghi nhớ các định nghĩa, định lí • Chép lại các chú ý, nhận xét • Thực hiện các hoạt động vào vở 4. Thực hiện bài tập lần 1 5. Viết thu hoạch sáng tạo Phần: Bài giảng nâng cao 1. Đọc lần 1 chậm và kĩ • Đánh dấu nội dung chưa hiểu 2. Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ 3. Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy” 4. Thực hiện bài tập lần 2 5. Viết thu hoạch sáng tạo Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu: • Nôi dung chưa hiểu • Hoạt động chưa làm được • Bài tập lần 1 chưa làm được • Bài tập lần 2 chưa làm được • Thảo luận xây dựng bài giảng gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon68@gmail.com để nhận được giải đáp. 2 Ch Ch ơng I ơng I mệnh đề mệnh đề tập hợp tập hợp Chơng này sẽ cung cấp những kiến thức mở đầu về lôgic toán và tập hợp. Các khái niệm và các phép toán về mệnh đề và tập hợp sẽ giúp chúng ta diễn đạt các kiến thức toán học trêm rõ ràng và chính xác, đồng thời giúp chúng ta hiểu đầy đủ hơn về suy luận và chứng minh trong toán học. Bởi vây, chơng này có ý nghĩa quan trọng đối với việc học tập môn Toán. Chơng này gồm hai bài học: 1. Mệnh đề và mệnh đề chứa biến. 2. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp. 3. Sai số gần đúng và sai số 3 Đ1 mệnh đề bài giảng theo ch bài giảng theo ch ơng trình chuẩn ơng trình chuẩn 1. mệnh đề là gì ? Định nghĩa 1 (Mệnh đề): Mệnh đề là một câu khẳng định đúng (khi đó nó đợc gọi là một mệnh đề đúng) hoặc một câu khẳng định sai (khi đó nó đợc gọi là một mệnh đề sai). Thí dụ 1: Với các câu sau: a. Hà Nội đã đợc công nhận là thành phố vì hoà bình; 2 + 9 = 11 Là những mệnh đề đúng. b. 9 6 = 4; Trái đất hình lập phơng Là những mệnh đề sai. c. 8 có chia hết cho 3 không ? Không là một mệnh đề vì nó không phải câu khẳng định. d. Các em học sinh hãy gắng học tập chăm chỉ! Không là một mệnh đề vì cho dù nó là câu khẳng định những không có tính đúng sai. Nhận xét: Nh vây, câu không phải là câu khẳng định hoặc câu khẳng định những không có tính đúng sai thì không phải là mệnh đề. Hoạt động: H y cho ví dụ về mệnh đề và không phải mệnh đề.ã 2. mệnh đề phủ định Thí dụ 2: Quay lại với thí dụ 1, ta phủ nhận: a. Hà Nội cha đợc công nhận là thành phố vì hoà bình; 2 + 9 11 Là những mệnh đề sai và nó phủ nhận những mệnh đề trong câu a) thí dụ 1. b. 9 6 4; Trái đất không có hình lập phơng Là những mệnh đề đúng và nó phủ nhận những mệnh đề trong câu b) thí dụ 1. Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2 (Mệnh đề phủ định): Cho mệnh đề P. Mệnh đề "không phải P" gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . Chú ý: Nh vây, mệnh đề P và mệnh đề P là hai câu khẳng định trái ngợc nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Hoạt động: H y nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xemã mệnh đề phủ định đó đúng hay sai: 1. 2006 là số nguyên tố. 2. Nếu ABC vuông tại A thì BC 2 = AB 2 + AC 2 . 4 3. mệnh đề kéo theo Thí dụ 3:Quay lại với mệnh đề trong câu b) của hoạt động trên, ta nhận thấy nó có dạng "Nếu P thì Q", trong đó: P là mệnh đề "ABC vuông tại A". Q là mệnh đề " BC 2 = AB 2 + AC 2 ". Khi đó, ta gọi mệnh đề trong câu b) của hoạt động trên là mệnh đề kéo theo. Định nghĩa 3 (Mệnh đề kéo theo): Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng "Nếu P thì Q" đợc gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q. Hoạt động: 1. H y khẳng định vì sao các mệnh đề sau là những mệnh đề kéo theo và xácã định xem mệnh đề đó đúng hay sai: a. Nếu số a chia hết cho 2 thì số a + 1 không chia hết cho 2. b. Nếu ABC cân tại A thì BC 2 = AB 2 + AC 2 . 2. Cho hai mệnh đề P và Q nh sau: a. P = "ABCD là hình chữ nhật" và Q = "AC = BD". b. P = "ABCD là hình vuông" và Q = "5 chia hết cho 2". c. P = "4 2 = 3" và Q = "2.2 = 4". d. P = "4 2 = 3" và Q = "2.2 = 3". Hỏi "Nếu P thì Q" có đợc gọi là mệnh đề kéo theo hay không ? Vì sao ? Chú ý: Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Chúng ta thờng gặp các tính huống sau: Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P Q là mệnh đề đúng. Mệnh đề P đúng và mệng đề Q sai. Khi đó P Q là mệnh đề sai. Hoạt động: H y cho ví dụ về mệnh đề kéo theo là mệnh đề đúng, là mệnh đề sai.ã 4. mệnh đề tơng đơng Thí dụ 4:Quay lại thí dụ 3 ta thấy các mệnh đề P Q và Q P đều là những là mệnh đề đúng. Trong trờng hợp này ta viết P Q đọc là "P nếu và chỉ nếu Q" và đó là một mệnh đề tơng đơng. Định nghĩa 4 (Mệnh đề tơng đơng): Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng " P nếu và chỉ nếu Q" đợc gọi là mệnh đề tơng đơng và kí hiệu là P Q. Chú ý: Mệnh đề P Q đôi khi còn đợc đọc là "P khi và chỉ khi Q" Mệnh đề P Q đúng nếu của hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Mệnh đề P Q đúng có nghĩa là cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng. Hoạt động: H y cho ví dụ về mệnh đề tã ơng đơng. 5 5. Khái niệm mệnh đề chứa biến Thí dụ 5: Xét các câu có tính khẳng định nhng cha phải là một mệnh đề (vì ta cha thể xác định đợc tính đúng sai của chúng) sau: a. "x > 3", với x là số thực Kí hiệu là P(x). b. "x + y = 8", với x và y là hai số thực Kí hiệu là Q(x, y). Tuy nhiên, nếu cho các biến những giá trị cụ thể thì chúng ta sẽ nhận đợc các mệnh đề. Chẳng hạn: P(4) là mệnh đề "4 > 3" đó là mệnh đề đúng. Q(1, 6) là mệnh đề "1 + 6 > 3" đó là mệnh đề sai. Các câu kiểu (a) và câu (b) đợc gọi là mệnh đề chứa biến. Hoạt động: 1. H y cho ví dụ về mệnh chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến.ã 2. Một mệnh đề chứa biến có thể chứa ít nhất và nhiều nhất bao nhiêu biến ? 6. Các kí hiệu và Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , 6.1. Kí hiệu Với mệnh đề chứa biến P(x): "x 2 0" với x là số thực. Gắn kí hiệu vào P(x) ta đợc mệnh đề: "x R, P(x)" Đọc là "Với mọi số thực x thì x 2 0" và thấy ngay rằng đây là mệnh đề đúng. Hoạt động: 1. Cho mệnh đề chứa biến P(x): "4x 2 4x + 1 0" với x là số thực. Phát biểu mệnh đề "x R, P(x)". Mệnh đề này đúng hay sai ? 2. Cho mệnh đề chứa biến P(n): "n 2 4" với n là số nguyên. Phát biểu mệnh đề "n Z, P(n)". Mệnh đề này đúng hay sai ? 6.2. Kí hiệu Với mệnh đề chứa biến P(x): "x 2 3x + 2 = 0" với x là số thực. Gắn kí hiệu vào P(x) ta đợc mệnh đề: "x R, P(x)" Đọc là "Tồn lại số thực x để x 2 3x + 2 = 0" và thấy ngay rằng đây là mệnh đề đúng thí dụ với x = 1. Hoạt động: 1. Cho mệnh đề chứa biến P(n): "n 2 80" với n là số nguyên. Phát biểu mệnh đề "n Z, P(n)". Mệnh đề này đúng hay sai ? 2. Cho mệnh đề chứa biến P(x): "x 2 x + 2 = 0" với x là số thực. Phát biểu mệnh đề "x R, P(x)". Mệnh đề này đúng hay sai ? 6 6.3. Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x R, P(x)" là "x R, )x(P ". Thí dụ 6: Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x R, x 2 + 1 > 0" là: "x R, x 2 + 1 0" Hoạt động: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề "Mọi học sinh lớp 10 đều biết cách cộng hai phân số". 6.4. Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x R, P(x)" là "x R, )x(P ". Thí dụ 7: Mệnh đề phủ định của mệnh đề "n N, 2n 2 + 1 chia hết cho 2" là: "n N, 2n 2 + 1 không chia hết cho 2". Hoạt động: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề "Tồn tại những số thực không phải là số hữu tỉ". bài tập lần 1 bài tập lần 1 Bài tập 1. Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì hãy nói nó đúng hay sai: a. Hãy đi nhanh lên ! b. 5 + 7 + 4 = 15. c. Năm 2002 là năm nhuận. Bài tập 2. Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì hãy nói nó đúng hay sai: a. x 2 + 2y > 8. b. x + y và xy. Bài tập 3. Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề. Nếu là mệnh đề thì nó thuộc loại mệnh đề gì và hãy nói nó đúng hay sai: a. Nếu số a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3. b. Nếu ABC đều thì ABC có AB = BC = CA. c. 36 chia hết cho 24 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 6. Bài tập 4. Cho tứ giác ABCD. Xét xem hai mệnh đề: P: "Tứ giác ABCD là hình vuông". Q: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc". Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Bài tập 5. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai: a. Phơng trình x 2 3x + 2 = 0 có nghiệm. b. 2 10 1 chia hết cho 11. c. Có vô số số nguyên tố. Bài tập 6. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau: 7 a. n Ơ * , n 2 1 là bội của 3. b. x Ă , x 2 x + 1 > 0. c. x Ô , x 2 = 3. d. n Ơ , 2 n + 1 là số nguyên tố. d. n Ơ , 2 n n + 2. Bài tập 7. Xét chân trị các mệnh đề sau: a. (2 > 1) (1 < 3). b. (2 > 3) (3 + 1 < 3). c. (3 2 = 1) (1 + 1 = 3). d. (2 = 1) (3 = 2). Bài tập 8. Xác định x để mệnh đề (x 2 = 4 x = 2) là đúng. Bài tập 9. Cho (P Q) đúng. Chứng minh rằng: [(Q R) (P R)] đúng. Bài tập 10. Sử dụng thuật ngữ: a. "Điều kiện đủ" để phát biểu định lí "Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ". b. "Điều kiện cần" để phát biểu định lí "Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5". c. "Điều kiện cần và đủ" để phát biểu định lí "Một tứ giác nội tiếp đợc trong một đờng tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối diện của nó là 180 0 ". Bài tập 11.Chứng minh rằng a + b 2 ab với a, b là hai số dơng. Bài tập 12.Chứng minh định lí sau bằng phản chứng: "Nếu n là số tự nhiên và n 2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5". Bài tập 13. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dơng thì 13 n 1 chia hết cho 12. bài giảng nâng cao bài giảng nâng cao A. Tóm tắt lí thuyết 1. mệnh đề Định nghĩa 1 (Mệnh đề): Mệnh đề là một câu khẳng định đúng (khi đó nó đợc gọi là một mệnh đề đúng) hoặc một câu khẳng định sai (khi đó nó đợc gọi là một mệnh đề sai). Định nghĩa 2 (Mệnh đề phủ định): Cho mệnh đề P. Mệnh đề "không phải P" gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là P . Chú ý: Nh vây, mệnh đề P và mệnh đề P là hai câu khẳng định trái ngợc nhau. Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng. Định nghĩa 3 (Mệnh đề kéo theo): Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng "Nếu P thì Q" đợc gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P Q. Chú ý: Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Chúng ta thờng gặp các tính huống sau: 8 Cả hai mệnh đề P và Q đều đúng. Khi đó P Q là mệnh đề đúng. Mệnh đề P đúng và mệng đề Q sai. Khi đó P Q là mệnh đề sai. Định nghĩa 4 (Mệnh đề tơng đơng): Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề dạng "P nếu và chỉ nếu Q" đợc gọi là mệnh đề tơng đơng và kí hiệu là P Q. Chú ý: Mệnh đề P Q đôi khi còn đợc đọc là "P khi và chỉ khi Q" Mệnh đề P Q đúng nếu của hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai. Mệnh đề P Q đúng có nghĩa là cả hai mệnh đề P Q và Q P đều đúng. 2. Các kí hiệu và Mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu , Kí hiệu : Với mệnh đề chứa biến P(x): "x 2 0" với x là số thực. Gắn kí hiệu vào P(x) ta đợc mệnh đề: "x Ă , P(x)" Đọc là "Với mọi số thực x thì x 2 0" và thấy ngay rằng đây là mệnh đề đúng. Kí hiệu : Với mệnh đề chứa biến P(x): "x 2 3x + 2 = 0" với x là số thực. Gắn kí hiệu vào P(x) ta đợc mệnh đề: "x Ă , P(x)" Đọc là "Tồn lại số thực x để x 2 3x + 2 = 0" và thấy ngay rằng đây là mệnh đề đúng thí dụ với x = 1. Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x Ă , P(x)" là "x Ă , )x(P ". Mệnh đề phủ định của mệnh đề "x Ă , P(x)" là "x Ă , )x(P ". B. phơng pháp giải toán Bài toán 1: Xây dựng mệnh đề. Phơng pháp thực hiện Dựa vào định nghĩa các mệnh đề P , P Q, P Q. V í d ụ 1 : V í d ụ 1 : Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì hãy nói nó đúng hay sai: a. Hãy đi nhanh lên ! b. 5 + 7 + 4 = 15. c. Năm 2002 là năm nhuận. Giải a. Không là mệnh đề. b. Mệnh đề sai. c. Mệnh đề sai. V í d ụ 2 : V í d ụ 2 : Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề ? Nếu là mệnh đề thì hãy nói nó đúng hay sai: a. x 2 + 2y > 8. b. x + y và xy. Giải 9 a. Đó là câu khẳng định nhng cha phải là một mệnh đề vì ta cha thể xác định đợc tính đúng sai của chúng nó (mệnh đề chứa biến). b. Đó không là câu khẳng định nên không phải là một mệnh. V í d ụ 3 : V í d ụ 3 : Trong các câu dới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề. Nếu là mệnh đề thì nó thuộc loại mệnh đề gì và hãy nói nó đúng hay sai: a. Nếu số a chia hết cho 6 thì a chia hết cho 3. b. Nếu ABC đều thì ABC có AB = BC = CA. c. 36 chia hết cho 24 nếu và chỉ nếu 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 6. Giải a. Là mệnh đề kéo theo (P Q) và là mệnh đề đúng, trong đó: P: " a chia hết cho 6" và Q:" a chia hết cho 3". b. Là mệnh đề kéo theo (P Q) và là mệnh đề đúng, trong đó: P: "ABC đều " và Q:" ABC có AB = BC = CA". Nhận xét: Mệnh đề này có thể viết dới dạng tơng đơng "ABC đều khi và chỉ khi AB = BC = CA". c. Là mệnh đề tơng đơng (P Q) và là mệnh đề sai, bởi trong đó: P: "36 chia hết cho 24" là mệnh đề sai Q:" 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 6". V í d ụ 4 : V í d ụ 4 : Cho tứ giác ABCD. Xét xem hai mệnh đề: P: "Tứ giác ABCD là hình vuông". Q: "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc". Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai. Giải Mệnh đề P Q: "Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc". "Tứ giác ABCD là hình vuông nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc". Mệnh đề P Q đúng. V í d ụ 5 : V í d ụ 5 : Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề phủ định đó đúng hay sai: a. Phơng trình x 2 3x + 2 = 0 có nghiệm. b. 2 10 1 chia hết cho 11. c. Có vô số số nguyên tố. Giải 10 . minh (13 k + 1 1) 12 , thật vậy: 13 k + 1 1 = 13 k + 1 13 k + 13 k 1 = 12 . 13 k + (13 k 1) suy ra (13 k + 1 1) 12 bởi 12 . 13 k 12 và (13 k 1) 12 .. dơng thì 13 n 1 chia hết cho 12 . 13 Giải Với n = 1, ta đợc 13 n 1 = 13 1 = 12 12 mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là (13 k 1) 12 . Ta