Bài giảng PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRONG KINH TẾ Mô hình mạng ppsx

– Cây bao trùm của đồ thị G N,A là một cây trong G có chứa tất cả các nút của G còn số cung có thể ít hơn... Vậy, bài toán đường ngắn nhất là bài toán tìm đường ngắn nhất từ mọi nút i ∈N

MÔ HÌNH MẠNG

Kết thúc chương này, sinh viên có thể:

1 Nắm được những khái niệm cơ bản của mô hình mạng

2 Hiểu được bài toán đường đi ngắn nhất và vận dụng vào kinh tế

3 Hiểu được bài toán cây bao trùm tối thiểu và vận dụng vào kinh tế

Chương 3

3.1 Các khái niệm cơ bản

3.2 Bài toán đường ngắn nhất

3.3 Bài toán cây bao trùm tối thiểu

Mục lục

Trong đồ thị vô hướng, cung (i,j) = cung (j,i).

– Một đường đi từ nút i1 đến nút it là bộ gồm t nút khác nhau i1,…,

it sao cho (ik, ik+1)∈A

– Chu trình là bộ gồm t nút i1,…,it sao cho i1,…, it-1 là một đường đivới it=i1 và có ít nhất ba nút khác nhau

– Đồ thị vô hướng được gọi là liên thông nếu ứng với mỗi cặp

3.1 Các khái niệm cơ bản

3.1 Các khái niệm cơ bản

– Đồ thị G (N,A) là đồ thị có hướng nếu mỗi cung là một cặp có thứ tự Trong đồ thị có hướng, (i,j) ≠ (j,i).

– Trong đồ thị có hướng có thể chứa cả hai cung (i,j) và (j,i), nên để xác định một đường đi phải nói rõ cả dãy nút i1,…,it và dãy cung a1,…,at-1

– Đồ thị có hướng là liên thông nếu đồ thị vô hướng tương ứng là liên thông.

– Cây là một đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình.

– Cây bao trùm của đồ thị G (N,A) là một cây trong G có chứa tất cả các nút của G còn số cung có thể ít hơn Do vậy, cây bao trùm là cây Gs(Ns, As) có Ns=N và As⊂ A

3.2 Bài toán đường ngắn nhất

Shortest path problem

3.2.1 Đặt vấn đề

3.2.2 Mô tả dạng toán học

3.2.3 Thuật toán đặt nhãn

3.2.1 Đặt vấn đề

Công ty ABC có một vài dự án xây dựng nằm khắp nơi trong địa

bàn tỉnh Hàng ngày công ty có nhiều chuyến xe đưa công nhân, chuyên chở thiết bị và vật tư đi lại giữa trụ sở công ty và các công

trường xây dựng

Công ty muốn xác định các tuyến đường ngắn nhất nhằm tối thiểu

khoảng cách di chuyển từ văn phòng công ty đến các công

trường

Các tuyến đường mà phương tiện của công ty đi lại hằng ngày có

thể được mô tả bằng sơ đồ mạng như sau:

3.2.2 Mô tả dạng toán học của bài toán

– Cho một đồ thị có hướng G (N,A) Mỗi cung có độ dài cij> 0

và cũng chính là khoảng cách giữa hai nút

– Để tìm đường ngắn nhất từ một nút i đến nút k bất kỳ (k∈N)

chính là tìm đường ngắn nhất từ nhiều hoặc thậm chí mọi nút

khác nút i đến nút k

Vậy, bài toán đường ngắn nhất là bài toán tìm đường

ngắn nhất từ mọi nút i ∈N đến một nút k∈N cho trước

trên đồ thị G(N,A).

3.2.3 Các bước của thuật toán đặt nhãn

Bước 1: Đầu tiên, giả sử nút 1 có nhãn cố định [0,S].

Bước 2: Đặt nhãn tạm thời cho các nút liên thông trực tiếp từ nút 1.

Gọi N1 là tập các nút có nhãn tạm thời với nút 1

Giả sử nút i ∈ N1 là nút liên thông trực tiếp với nút 1 sẽ cónhãn tạm thời là [c1i, 1].

Tiến hành đặt nhãn cố định cho nút k∈N1 thỏa mãn điềukiện c1k= min {c1i}, i∈N1

Loại nút k ra khỏi nút có nhãn tạm thời

3.2.3 Các bước…

Bước 3: Xét các nút liên thông với nút k:

Đặt nhãn tạm thời cho những nút liên thông với nút k vàchưa đặt nhãn

Điều chỉnh nhãn tạm thời cho tất cả các nút theo nguyên tắc: giả sử nút j đang xét, liên thông với nút k bằng cung (k,j) thì thay thế giá trị khoảng cách của nhãn nút j bằng min {c1j, c1k + ckj}

Gọi Ntt là tập các nút có nhãn tạm thời

Xét các c1j với ∀j ∈ Ntt giả sử c1m= min {c1j}

Như vậy, đặt nhãn cố định cho nút m

Tiếp tục qui trình này cho đến khi tất cả các nút có nhãn cố định

Tiếp tục di chuyển ngược chiều qua mạng sẽ tìm thấy đường ngắn nhất từ nút 1 đến nút đang đề cập.

128Ứng dụng thuật toán cho mạng công ty ABC

[0,S]

129Ứng dụng…

Bước 2: Tập các nút liên thông với nút 1 là nút 2 và 3 Đặt nhãn

tạm thời cho các nút 2, 3 lần lượt là [15,1], [10,1] Nút 3

[0,S]

[15,1]

Ứng dụng…

Bước 3: Các nút liên thông với nút 3 là 2 và 5 Đặt nhãn tạm thời

cho nút 5 [14,3]; Điều chỉnh nhãn tạm thời cho nút 2 thành

[0,S]

[13,3]

[14,3]

Ứng dụng…

– Xét các nút liên thông với nút 5 Đặt nhãn tạm thời cho nút 6

[16,5], Điều chỉnh nhãn tạm thời cho nút 4 [18,5] Xét 3 nút

5

2

64

Ứng dụng…

Cuối cùng, chỉ có nút 7 liên thông với nút 4 Vì

c14+5=18+5=23>22 nên không điều chỉnh nhãn của nút 7 Nút

3.2.3 Thuật toán đặt nhãnĐường ngắn nhất từ nút 1 đến các nút khác

22 1-3-5-6-7

7

16 1-3-5-6

6

14 1-3-5

5

18 1-3-5-4

4

10 1-3

3

13 1-3-2

2

Khoảng cách bằng km Đường ngắn nhất từ nút 1

Nút

3.3 Bài toán cây bao trùm tối thiểu

(Spanning Tree Problem)

3.2.1 Đặt vấn đề

3.2.2 Mô tả dạng toán học của bài toán

3.2.3 Thuật toán cây bao trùm tối thiểu

3.3.1 Đặt vấn đề

Trung tâm máy tính khu vực phải lắp đặt đường cáp truyền

thông để liên kết 5 người sử dụng máy tính với một máy chủ

trung tâm Việc lắp đặt là một công việc tốn kém Nhằm giảm

chi phí, nhóm quản trị mạng trung tâm muốn tổng chiều dài

đường cáp truyền thông càng ngắn càng tốt

Trong mạng, máy tính trung tâm có thể được kết nối trực tiếp

với từng người sử dụng và cho phép những người sử dụng khác

tham gia vào hệ thống bằng cách liên kết với những người sử

dụng đã kết nối với hệ thống

Mạng truyền thông của Trung tâm máy tính khu vựcnhư sau:

40

3.3.2 Mô tả dạng toán học của bài toán

Một đồ thị vô hướng G (N,A) Mỗi cung có độ dài cij>0, độ

dài của mỗi cung chính là khoảng cách

Để tìm cây bao trùm tối thiểu của đồ thị G là tìm một cây Gs

(Ns, As) thỏa mãn min ∑ cij, ∀(i,j) ∈As, As ⊂ A

Vậy, bài toán cây bao trùm tổi thiểu là bài toán tìm tập

các cung liên thông tất cả các nút với tổng khoảng cách

trên cung nhỏ nhất.

3.3.3 Thuật toán cây bao trùm tối thiểu

Tư tưởng của thuật toán là xem xét các nút và đưa từng nút vào

tập các nút Ns

Thuật toán cây bao trùm tối thiểu gồm các bước sau:

Gọi NC là tập các nút đã được chọn để đưa vào NS và NU là tập

các nút còn lại

(i,k) với k∈NU Chọn cung nhỏ nhất, giả sử cij=min(cik), bổ

Cung (i,j) ∈A

3.3.3 Thuật toán cây bao trùm tối thiểu

(m,k) với m ∈NC và k∈NU có giá trị cung nhỏ nhất Do đó,

cung (m,k) sẽ thuộc cây bao trùm tối thiểu Nếu có hai hoặc

nhiều cung có giá trị cung đều nhỏ bằng nhau thì tùy ý chọn

Ứng dụng thuật toán Bước 1:

cung (1,2) thuộc cây

bao trùm tối thiểu

40

cung (1,4) thuộc cây

bao trùm tối thiểu

40

40

40

40

40

3.4 Bài toán dòng cực đại

(Maximum flow problem)

3.4.1 Đặt vấn đề

3.4.2 Mô tả dạng toán học của bài toán

3.4.3 Thuật toán dòng cực đại

3.4.1 Đặt vấn đề: Mạng giao thông

Chúng ta cùng xem xét hệ thống đường cao tốc liên tỉnh Bắc

Nam đi qua Thành phố A Dòng phương tiện di chuyển Bắc

Nam đạt mức 1500 phương tiện/giờ vào thời gian cao điểm Để

thực hiện chương trình duy tu bảo dưỡng đường cao tốc vào

mùa hè, theo đó cần thiết phải tạm thời đóng một số làn xe và

giới hạn tốc độ thấp hơn Các tuyến đường thay thế tùy chọn

bao gồm các đường cao tốc khác và các đường nội thị Do sự

khác biệt về giới hạn tốc độ và mô hình giao thông, tải năng

trên dòng sẽ khác nhau, phụ thuộc vào các con đường nội thị và

tuyến đường sử dụng Mạng giao thông đề xuất với tải năng

trên dòng của mỗi cung được giới thiệu ở Slide sau

2 3

0 0

3

0 0

3.4.1 Đặt vấn đề

– Xem xét một mạng có một nút nguồn (nút cung) và một nút

hút (nút cầu) Bài toán dòng cực đại đưa ra vấn đề: Lượng

dòng cực đại như phương tiện vận tải, dữ liệu, chất lỏng,…

có thể đi vào và đi ra mạng này trong một thời gian nhất

định

– Lượng dòng phụ thuộc vào ràng buộc tải năng trên tất cả

các cung của mạng Đó là giới hạn tối đa hay giới hạn tải

năng trên dòng của mỗi cung

– Kỹ thuật dòng cực đại cho phép chúng ta xác định lượng tối

đa có thể di chuyển qua một mạng

3.4.2 Mô tả dạng toán học của bài toán

– Một đồ thị có hướng G (N,A) có tải năng tối đa trên các cung

là uij , (i,j)∈A, có thể bằng +∞ Dòng thực tế trên các cung

là xij, 0≤ xij ≤ uij, (i,j)∈A Giả sử so và si là hai nút đặc biệt,

gọi tương ứng là nút nguồn và nút hút

– Bài toán dòng cực đại là đi tìm xij thỏa mãn max ∑xi,si, i∈N

Chính vì vậy, bài toán dòng cực đại là bài toán đi tìm dòng

thực tế trên cung sao cho tổng dòng đi vào nút hút là cực

3.4.3 Thuật toán dòng cực đại

Bước 1: Tìm bất kỳ một đường đi từ nút nguồn đến nút hút có các

tải năng trên dòng lớn hơn 0 đối với tất cả các cung theo

đường đi Nếu không có đường đi nào như vậy, phương án tối

ưu đã đạt được

Bước 2: Tìm tải năng nhỏ nhất của cung theo đường đi lựa chọn

theo bước 1: Pf

Bước 3: Đối với đường đi lựa chọn ở bước 1, giảm tải năng dòng

trên tất cả cung theo hướng đi bằng một lượng Pf và tăng tải

năng dòng trên tất cả cung theo hướng đi ngược bằng một

lượng Pf

Quay lại bước 1

Bước 4: So sánh tải năng cuối và đầu tiên để xác định dòng di

chuyển và lập mô hình mạng cuối cùng

2 3

0 0

3

0 0

¶

¶

Pf=5

2 Giảm 5 Tăng 5

0 5

2 3

0 3

3

0 5

2 0

3 3

3

0 5

2 0

3 3

3

0 5

2 0

3 3

3

0 5

Tối ưu

2 0

3 3

3

0 5

2

2 3

0 0

3

0 0

3

1

7