Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:.
Trang 1Bài tập Toỏn cho Vật Lý (ễn thi Cao Học)
Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x
= l, biết độ lệch ban đầu được cho bởi u(x,0) = 4 ( 2 )
l
x l
x
(0 x l) còn vận tốc ban đầu bằng 0
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t
Ta có phương trình dao động của dây : 2
2 2 2 2
x
u a t
điều kiện ban đầu :
0
2 0
t
t
x u
l
x l x u
l
x k l
at k b l
at k a t
x
k k k
sin cos
( ) , (
1 1
) ( 4 sin
l
x l x l
x k a u
k k t
1 0
a k b t
u
k k t
x
thành chuỗi Fourier theo
hàm sin trong khoảng (0, l)
x k l
x l x dx
k
sin ) ( 4 sin
0 2 2
l k l
k
l
x k k
l x
a dx l
x k a
dx l
x k a
0 0
2 0
sin 2 2
2
cos 1
Trang 2x k x l
l l
x k k
l l
x k x k
l dx l
x k x
l o l
o
l
cos sin
cos sin
.
2 2
2 2 0
l l
x k x k
l dx l
x k x
l l
2 cos
sin
.
0 2
3
3 3
2 cos
2 cos
k
l k
3 3
3 3
2
2 cos
cos
2 cos
k
l k k
l k
k
l l
l
2 2
4
3 3 3 3 3 3
2 (9) Thay (8) (9) vào (7) ta có :
3
1 2 32
0 ) cos 1 ( 16
at n
1 32
0
3 3
Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x= 0
x = 1 biết độ lệch ban đầu bằng 0, vận tốc ban đầu được cho bởi :
) 0 ,
x
u a t
Trang 30 0
0
c x v t
u u
a k b t l
a k a
k
k k
sin sin
l
x k a
a k b t
u
k k t
l
x k x F dx l
x k l
a k b
l l
0 0
2 /
sin ) cos(
o
dx l
x k c x a
2 /
2 /
2 /
0
1 sin
1 sin
c c
dx c x l
k dx
c x l
k a
2 /
2 /
2 /
0
1 cos
1
1 1
cos 1
c
c x l k l
k c
x l
k l
k a
l
k c
c l
k l
k a
k
v
2 1
cos 2
1 cos
c l
k l
cos 2
2
cos 1
c k l
k l
c k l
cos 2
2
cos 1
k l
c k l
k l
c k l
k
nÕu x c /2 nÕu x c /2
Trang 4c k l
k l
c k l
k l
k l
c k l
k l
c k l
sin 1
1 2
sin 2
sin 1
c k l
k l
2 1
1 1
c k
l
k a k
v
2 cos
sin 1
1
2
2 2
c k
l
k a k
v
2 cos
sin 1
2
2 2
Do đó nghiệm của bài toán đã cho là :
1
2 cos
sin 4
1
2
2 2
2 0
l
x k l
at k
l
k k
l
k l
c k a
Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh nếu 1 mút gắn chặt còn 1 mút tự do, biết
các điều kiện ban đầu : u t 0 f(x)
0
x F t
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t
2 2 2 2
x
u a t
0
x F t
"
) 5 ( 0
"
2
T a T
X X
Trang 5
0 0
2
1
c l X
c X
( '
0 )
0 (
2
1
cl c c l X
c X
x
2
1 2
D l
at k
B t
2
1 2 sin 2
1 2
at k
b l
at k
a t
x u
k
k k
2
1 2 sin 2
1 2 sin 2
1 2 cos )
, (
1 2 sin
0
l
x k a
1 2 sin 2
1 2
0 0
x F l
x k l
a k b t
u
k k t
x k x
f dx l
x k a
l o l
o k
2
1 2 sin ) ( 2
1 2
x k k
l x
a dx l
x k
1 2 cos
x k x
(11)
dx l
x k x
F l
x k l
a k b
l o l
o k
2
1 2 sin ) ( 2
1 2 sin 2
1 2 2
1 2 cos 1 2
1
2
x F k
a b dx l
x k l
a k
l o
x k x
F a k
b
l o k
2
1 2 sin ) ( 1
Bài 4 : Cũng như bài 3 nhưng cả 2 mút đều tự do
Trang 60 0 0
D A a
B A b
Giải :
Ta có phương trình dao động của dây 2
2 2 2 2
x
u a t
0
x F t
) 4 ( 0
"
2 ''
T a T
X X
0
2 1
2 1
2 1 0
c c e
c c e c c x
u
c c c c x
u
cl cl
l x x
0
1 2
2 1
2 1
0
c c c
c c c x
u
c c c c x
u
l x x
u
x
0 sin
u
l x
Để có nghiệm không tầm thường thì sin cl = 0 cl = k c =
cos )
và
l
at k D l
at k B t
sin cos
at k b l
at k a t x
cos sin
Trang 7) , (
k
k k
l
x k l
at k b l
at k a t
b a t x
0 0
l
x k a a
u
k k
x F l
x k l
a k b b
t
u
k k t
k
l
dx x f dx l
x k a dx a
0 0
0
l l
k
l
dx x F dx l
x k l
a k b dx b
0 0
) ( 0 ,
0 0
x F x t u
x f x u
b
0 0
0 ( ) 1 ( ) (9) Tương tự uk(x,t) là nghiệm riêng của (1)
0 ,
x F x t u
x f x u
k k
l l
x
x k x f dx x
x k
a
0 0
2
cos ) (
a
0
cos ) (
x k x F dx l
x k l
2 cos
) (
at k b l
at k a
k
k k
cos sin
Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là
2l(1-) Lúc t = 0, người ta buông ra Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có
hoành độ x ở thời điểm t được cho bởi:
Trang 8at n
l
x n n
) 1 ( 8
Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh Trục ox dọc theo thanh
Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén
thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-) Do đó khi trục
dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-)
độ lệch u(x,0) = x(1-) – x = - x
Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t
Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất
nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - ) và
có độ lệch u(x,0) = - .x = f(x)
Phương trình dao động của thanh : 2
2 2 2 2
x
u a t
hai đầu mút của thanh đều tự do
ta có điều kiện biên : 0
) (
"
) 5 ( 0
) (
"
2
t T a t T
x X x X
( '
0 )
( '
1
1
c l X
c l X
c2 0 và c2 = A0 Nên X0(x) = A0
ứng với trị riêng = 0 thì (6) có nghiệm : T0(t) = B0t + D0
nên ta có nghiệm riêng của (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8)
= c2
X(x) = c1cos cx + c2sin cx
Theo (7) :
Trang 90 sin 0
cos sin
0 cos sin
0 ) cos(
) sin(
0 ) cos(
) sin(
2 1 2
1
2 1
2 1
2 1
cl c
cl c cl
c cl c
cl c cl c cl
cc cl c
cc
x
u
cl cc
cl cc
at k B t
at k b l
at k a t
x
cos sin
k k k
D A b
B A a
(9)
+ Xét coscl = 0
2
) 1 2
2
) 1 2
x
2
) 1 2 (
l
at n
D l
at n
B t
2
1 2 sin 2
1 2
at n b
l
at n
a t
x
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
n n n
D A b
B A a
(10)
Từ (8),(9),(10) ta có nghiệm của phương trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2)
chính là tổng của các nghiệm riêng của u(x,t) :
l
x n l
at n b
l
at n
a l
x k l
at k b l
at k a t
k
k k
2
1 2 sin 2
1 2 sin 2
1 2 cos
cos sin
cos )
,
(
0
1 0 0
x n a
l
x k a a
u
n n k
k
2
) 1 2 ( sin cos
0 1
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
0 1
a n b l
x k b l
a k b
t
u
n n k
l
x n a
dx l
x k a
dx
a
l l
n l
Trang 10dx l
x k x
l
dx l
x k k
l l
x k x k
x n x
2
1 2
l
l
x x
x k x dx
l x
a dx l
x k a
k l l k
)
2 cos 1
l
a k
k k
l l
x k k
at n
a t x
2
1 2 sin 2
1 2 cos
dx l
x n a
l l l
l
n
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 (
l x
a dx l
x n a
) 1 2 ( cos 1
1 2
(
l l
n n
l l
a n
Trang 11=> VT = an.l
VP =
dx l
x n n
l l
x n x
n
l VP
l l l
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
2 2
) 1 2 ( cos ) 1 2
l
x n n
l n
l
n l
1 2 (
4 2
) 1 2 ( cos 2
) 1 2 ( cos )
1 2 (
8 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin )
n n
l
2
) 1 2 (
8 1
) 1 2
(
8
2 2
8 1
at n
n
l t
x u
n
n
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
) 1 ( 8 ) , (
0
2 1 2
2 2 0 2 2 0
l x x
l x x
x u x u u u
0 0
t
t
t u
x l Ax u
Giải :
Ta tìm nghiệm của phương trình : 4 0
4 2 2
(1)
Trang 12thoả mãn các điều kiện biên :
2 2 0 2 2 0
l x x
l x x
x u x u u u
0 0
t
t
t u
x l Ax u
(3)
dưới dạng : u(x,t) = X(x).T(t) (4) Thay (4) vào (1) : T”(t).X(x) + a2X(4)(x).T(t) = 0
) (
) ( )
(
) (
" (4)
2
x X
x X t
T
a
t T
) 6 (
) 5 ( 0
) ( ) (
0 ) ( )
(
"
) 4 (
t T a t T
"
) 0 (
"
0 ) ( ) 0 (
l X X
l X X
(7) Giải (6) : Đặt X(x) = erx thì phương trình (6) r4 – = 0 r4 =
"
0 2 ) 0 (
"
0 ) (
) (
0 )
0 (
1 2
3 2 2 1 4
l c l X
c X
c l c l c l l X
c X
Trang 13
x c
x c
e c e
c x
X
x c
x c
e c e
c x
X
x c
x c
e c e
c
x
X
x x
x x
x x
)
(
"
cos sin
sin cos
4 2 3
2 2
2 1
2
4 3
2 1
'
4 3
2 1
)
(
"
0 )
0
(
"
0 sin cos
)
(
0 X(0)
4 2 3
2 2
2 1
2
3 2 2 2 1 2
4 3
2 1
3 2 1
cl c cl c e
c e
c
l
X
c c
c
X
cl c cl c e c e
c
l
X
c c
c
l l
l l
0
4
3 2
1
cl
c
c c
l
a k t
2 2 2
2 2
sin cos
l
at k D l
at k B t
(9) Thay (8), (9) vµo (4) ta cã :
l
x k l
at k b l
at k a t
x
u
k
k k
sin sin
cos )
, (
1
2
2 2 2
2 2
1
l
x k a u
k k
2
2 2 1 0
a k b t
u
k k t
(12) NhËn thÊy ak lµ hÖ sè trong khai triÓn Ax(l - x) thµnh chuçi Fourier theo hµm sin
l
x k x l x A dx l
x k
sin ) ( sin
0 0
2
Trang 14nếu k=2n nếu k=2n+1
l
x k x l x A dx l
x k
sin ) ( sin
0 0
l l
x k x
lx k
l dx l
x k x l x
) (
sin ) (
0 0
l
x k k
l l
x k x l k
l
0 2
2 2 0
cos
2 sin
) 2
3 3
3
3
1 2 4
0 1 cos 2
2 2 3
2
) 1 2 (
) 1 2 ( sin )
1 2 ( cos 8
) , (
l
x n l
at n
A l t x u
Bài 7 : Xét dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x = 0, x = l trong 1 môi
trường có sức cản tỷ lệ với vận tốc, biết các điều kiện ban đầu :
( )
0 f x u
t
0
x F t
Gọi u(x,t) là độ lệch của thanh có hoành độ x tại thời điểm t Do dây gắn chặt tại 2 mút chịu 1 lực tác dụng g(x,t) nên phương trình dao động của dây có dạng:
2 ( , )
2 2 2
2
t x g x
u a t
2 2 2
2
2
t
u a t
u h t
l x
Trang 15Tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu : ( )
0 f x u
t
0
x F t
) (
) (
"
) (
) ( ' 2 ) (
) (
x X
x X a t T
t T h t T
t T
) (
) (
"
) (
) ( ' 2 ) (
) (
"
2 2
x X
x X t T
t T a
h t T
a
t T
) 6 (
) 5 ( 0
) ( ) (
"
0 ) ( )
( ' 2 ) (
t T a t hT t
) (
0 )
(
2 1 2
1
2 1
c
c e
c e c l X
c c x X
) (
0 )
0 (
2 1 1
2
c
c l
c l X
c X
sin )
(
0 )
c l X
sin )
a k
a k
e t
x
k
ht k
sinsin
cos,
Trang 16Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu sin ( )
1
l
x k a u
k k
x F l
x k q b ha t
u
k
k k k t
x k a
l l
k
sin ) ( sin
0 2
x k
sin ) (
2 cos
x k k
l x
2 sin 2
2 0 0
l
x k x f
x k q
b ha
l l
k k k
sin ) ( sin
0 2
l q b
ha
l k k
k
sin ) (
l k k k
sin ) ( 2
ha
b
l
k k
k
k
sin ) ( 2
q b
t q a
e t x u
k
k k
k k
sinsin
cos)
,(
Trang 17Trong đó : W(x,t) thoả mãn phương trình 2 2
2
x
W a t
V shx a
b x
( ) 2 shx c1x c2
a
b x
b c
c l
c shl a
b V
1 2
2
0 0
t
t
t V
shx shl l
x a
b V
at k b l
at k a t
x W
k
k k
sin sin
cos )
, (
0
t
t t
t W
shx shl l
x a
b V
x a
b l
x k a
a k
(12)
Trang 18Ta cã 2 1 2
0 0
2
2 sin
sin
.
2
I I la
b dx
l
x k shx dx
l
x k shl l
x la
x I
k
l l
x k k
l l
x k x k
l
I
k l
0 2
2 2 0 1
) 1 ( cos sin
cos
k 1 21
x k shx
0
k
l k shl k
l dx l
x k chx k
l l
x k shx k
k
l dx l
x k shx k
l l
x k chx
k
l I
k
l shl
1 (
1 2
2 2 2 2
2 2
2 2
) 1 (
k l
k shl l I
2 2 2
2 1 2
1 2
2 2
1 1
2
2 ) 1 ( 2 ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2
a
shl b k
l
k shl l k
shl l l
a
b a
k k
k k
x k l
at k k
l a
k shl b k
a
b t
x
W
k k
,
1 1
at k k
l
k a
shl b l
x k l
at k k
a
b shx shl l
sin cos
) 1 ( 2 )
,
(
1
2 2 2 1 2
1 2
Trang 19Bài 9: Tìm nghiệm của phương trình 2 2 2 bx(x l)
x
u a t
2
l x bx x
u a t
2
l x bx t
2 2 2
x
W t
) ( ' )
6 12
1
4 4 2
12
0 6
12 ) (
0 )
0 (
l
b c
l c
bl l
b l
V
c V
V x b x bl x bl x
12 6
12
)
(
3 3 4
12
0
3 3
4 0
t
t
t V
x l
b x
bl x
b V
at k b l
at k a t
x w
k
k k
sin sin
cos ,
( 12
3 2 3 0
t
t W
l lx x x
b V
W
(10)
Trang 20nÕu k=2n nÕu k=2n+1
sin
) 2
( 12 sin
1
3 2 3 1
k k
k
k k
b l
x k b l
a k
l lx x x b l
x k a
6 sin
2
b dx l
x k x l lx x l
x
sin 2
0
3 3 4
1
l
x k l
l x x k
l l
x k x l l x x
3 3 4
l x x
k
3 2 3
k
l l
x k l l x x k
3 2 3
l
x k xl x
k
0 12 12 sin
2 2
l l
x k xl x k
l k
12
0 0
2 2
l
x k k
l l
x k l x
k
l
0 2
2 2 0 3
3
3
cos
2 sin
n l
4
) 1 2
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 8
) , (
n
l
x n l
at n
bl t x W
Trang 21Từ (2), (7), (12) ta có nghiệm của bài toán đã cho :
4 3
2 3
) 1 2 (
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( cos 8
) 2
( 12 ) , (
l
x n l
at n
bl l
lx x x
b t
Bài 10 : Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại 2 mút biết dạng của sợi dây ban
đầu là cung parabol f(x) =
M
x l
t
u M
x l x
x
w a t
x l x
w (10)
Trang 22Trước hết ta giải phương trình (5) thoả mãn điều kiện (6) :
Nghiệm của phương trình (5) được tìm dưới dạng :
l
x k t T t
x V
k k
sin ) ( )
, (
a k t T
k k
x k k
g f
l k
k
g t T l
a k t
2 2 2
k
a k
gl l
at k B l
at k A t
Trang 23k 0 k 23 3 2 1 1k 0 k 23 3 2 1k 1
a k
gl A
a k
gl A
gl l
at k a
k
gl t
2 2
3 3
1 2
1 2 cos 1 4
at n
a
gl t
T n
(16) Thay (16) vµo (11) ta cã :
at n
n a
gl t
2 cos 1 1 2
1 4
) , (
0
3 2
at k b l
at k a t
x W
k
k k
sin sin
cos )
, (
x k a w
k
k t
a k t
w
k k
dx l
x k a
l l
0
2 2
k
l
x k x l k
l l
x k x lx k
l M
Trang 24l l
x k x l k
l Ml
a
0 2
2 2 0
cos
2 sin
4
3 3
1 2
at n
n M
2 cos 1 2
1 8
0
3 3
at n n
M l l
x n l
at n n
1 8
1 2 sin 1
2 cos 1 1 2
1 4
3 2
g l
at n
a
g M n
l t x
2 cos 2
1 2
1 4
) ,
0
3 3
x
u a t
trong đó , hàm V(x,t) thoả mãn phương trình : 2
2 2 2 2
x
v a t
x
w a t
Trang 25miền (0<x<l,0<tT) , thoả mãn các điều kiện biên :
v t
u t
w
x f v u w
t t
t
t t t
1 0 0
0
1 0 0 0
(2.10) ( 0xl )
Việc giải phương trình (2.8) thoả mãn điều kiện biên (2.9) hoàn toàn giống phương pháp của dạng 1 ở phần 1.1
Sau đây là một số bài tập :
Bài 1 : Xác định dao động của 1 dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút x = l chuyển
động theo quy luật Asint, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0
x
u a t
l x
0 0
Thoả mãn điều kiện biên : 0 0
x
w a t
2 2 2 2
x
v a t
0
l x
x x
x
v
w u
0 0
0 0
t t
t t
t t
t
w t
w t
u t
v
w v
(9)
Ta tìm nghiệm w(x,t) của phương trình (5) dưới dạng : W(x,t) = X(x).T(t) (10) Thay (10) vào (5) ta có :
Trang 26
) 12 (
) 11 ( 0 ) ( )
(
"
0 ) ( ) (
x X x X
Thay (14) vµo (12) : 2sin 2 sin t 0
B
A a t B
§Æt X ( x ) erx 0
2 2
a
x c
a
x c
x
sin cos
l c
)
(
0 )
B c
sin
2
a x a
l
B x
sin
l
B t
x
a t a
l
A t
x
. sin .sinsin
) ,
x A
t W W
t
t
sin
sin 0
at k b l
at k a t
x V
k
k k
sin sin
cos )
, (
Trang 27Tõ (9) vµ (17) ta cã ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña (7) :
x A
t V V
t
t
sin
sin 0
k k
a l a
x A
l
x k l
a k b
k k
sin
sin sin
l
A dx
l
x k l
a k b
l l
sin
0 2
a l
A l
l
a k
sin
k a
x l
k a
dx l
x k a
x
I
l l
cos cos
2
1 sin
x l
k a
l l
cos cos
x l
k a l
k a
x l
k a l
k
a
0 0
sin
1 sin
k a l
l
k a
k a l
2
sin ) 1 ( 2
sin ) 1 ( 2
l
k a l
l
k a
a l
1 2
2 1
.
2 ) 1 ( sin
) 1 ( sin
2
l
k a
l a
A
l
k a
l
a
l k
a l
A a
k
b
k k
at k
l
k a
l a
A t
x V
) 1 (
2 ) , (
Trang 28Từ (4), (16), (24) ta có nghiệm của bài toán đẵ cho :
l
x k l
at k
l
a k l
Aa a
l
t x a
A t
) 1 ( 2
sin
sin sin )
,
(
1
2 2
Bài 2 : Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất mà 1 mút cố định, còn mút kia
chịu tác dụng của lực Q(lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng 0
Giải :
Ta có phương trình dao động của thanh : 2
2 2 2 2
x
u a t
l x
u
l x
(3)
Ta tìm nghiệm dưới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) (4)
Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phương trình thuần nhất : 2
2 2 2 2
x
v a t
v
l x
(6) còn hàm w(x,t) thoả mãn phương trình : 2
2 2 2 2
x
w a t
) 11 ( 0 ) ( )
(
"
0 ) ( ) (
x X x X
Q (l).T(t) X'
0 X(0).T(t)
Để hệ có nghiệm không đồng nhất bằng 0 thì T(t) 0
Trang 29 X' (l) B
E B
Q t T
)
X'
0 c X(0)
1
2 X(x) Bx là nghiệm của (11)
Nghiệm riêng của (5) : x
E
Q t x
0 0
t
t
t V
x E
at k
b l
at k
a
k
k k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos
2
) 1 2 ( sin
k k
E
Q l
x k a
0 0
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 (
k
k k
t
b l
x k l
a k b t
E
Q dx l
x k
) 1 2 (
sin
0 2
l x
a dx l
x k
o
k l
k
2
) 1 2 ( sin ) 1 2 ( 2
) 1 2 ( cos 1
x k x
VP =
l
x k k
l k
l l
x k k
x
2
)12(sin)12(
2)
12(
22
)12(cos)12(
.2
2
2 2
12
412
)12(sin)
12(
42
)12(cos)12(
k k
l x
k k
1 2
1 2
1 8
Ql
a
k k
(17)
Từ (16) và (17) ta có nghiệm của phương trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là:
Trang 30
l
x k l
at k
k E
QL t
x
W
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
) 1 ( 8
at k
k E
QL x
E
Q t x U
k
k
2
) 1 2 ( sin 2
) 1 2 ( cos ) 1 2 (
) 1 ( 8
) , (
0
2 1 2
2 2 2 2
y
u x
u a t
u
(3.1) trong miền (x,y)G , 0<tT thoả mãn các điều kiện ban đầu :
x y
t
u y x u
) 5 3 ( 0 ) ( )
( '
2 2 2 2
2
v y
v x
v
t T a t T
"
) 9 3 ( 0 ) ( ) (
"
y Y y Y
x X x X
với
Giải (3.9) ,(3.10) và kết hợp điều kiện (3.7) ta tìm được nghiệm V(x,y)
ứng với trị riêng ta hoàn toàn tìm được nghiệm của phương trình (3.5)
Sau đây là một số bài toán cụ thể :
Bài 1: Một màng hình vuông đồng chất lúc t = 0 có độ lệch được xác định bởi
) )(
Trang 312 2 2 2
y
u x
u a t
b y
b x
0 0
0 0
t
t
t u
x b Axy u
2 2
t T y
v x
v a
y x V t
T a
t T
) (
) (
) 5 ( 0
0 ) ( )
) (
"
) (
) (
y Y x X
x X
) 9 (
) 8 ( 0 ) ( )
(
"
0 ) ( )
Y
x X x
0 ) 0 ( 0
) ( ) (
0 ) ( ).
0 (
b X
X y
Y b X
y Y X
0 ) 0 ( 0
) ( ) (
0 ) 0 ( ).
(
b Y
Y b
Y x X
Y x X
(11) Gi¶i (8) : X(x)c1coscxc2sincx