1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bài tập Toán cho Vật Lý (Ôn thi Cao Học) doc

60 1,1K 12

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 60
Dung lượng 475 KB

Nội dung

Bi tp Toỏn cho Vt Lý (ễn thi Cao Hc) Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) = 2 )(4 l xlx (0 x l) còn vận tốc ban đầu bằng 0. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t. Ta có phơng trình dao động của dây : 2 2 2 2 2 x u a t u (1) Theo bài ra, ta có : điều kiện ban đầu : 0 4 0 2 0 t t x u l xlx u (2) và điều kiện biên : 0 0 x u 0 lx u (3) Theo lý thuyết, ta có nghiệm riêng của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng : u(x,t) = l xk l atk b l atk atxu k k k k k sin).sincos(),( 11 (4) Ta xác định a k , b k sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2) Thay (4) vào (2) : 2 1 0 )(4 sin l xlx l xk au k k t (5) 0sin 1 0 l xk l ak b t u k k t (6) Giải (5) : Nhận thấy a k là hệ số trong khai triển 2 )(4 l xlx thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l). Nhân 2 vế của (5) với l xk sin rồi lấy tích phân 2 vế từ 0 l ta có : dx l xk l xlx dx l xk a ll k sin )(4 sin 0 2 2 0 (7) VT = l k l k l k l xk k l x a dx l xk adx l xk a 0 0 2 0 sin 222 cos1 sin = 2 l a k VT = 2 l a k (8) nếu nk 2 nếu 12 nk VP = l l dx l xk xdx l xk xl l 0 0 2 2 sin.sin 4 Ta có : I 1 = k k l l xk k l l xk x k l dx l xk x l o l o l cossincos sin. 2 22 2 0 I 2 = dx l xk x k l l xk x k l dx l xk x l l o l cos. 2 cos sin. 0 2 0 2 I 2 = - 33 3 33 33 2 cos 2 cos k l k k l k k l Nên VP = 33 33 33 33 2 2 coscos 2 cos 4 k l k k l k k l k k l l VP = k k l k l l cos 224 33 3 33 3 2 (9) Thay (8) (9) vào (7) ta có : a k = )cos1( 2 . 8 33 3 3 k k l l = 3 3 33 12 32 0 )cos1( 16 n k k (n=0,1,2 ) Từ (6) b k = 0 do đó, nghiệm của bài toán đã cho : u(x,t) = l xn l atn n n )12( sin )12( cos 12 132 0 33 . Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x= 0 x = 1 biết độ lệch ban đầu bằng 0, vận tốc ban đầu đợc cho bởi : 0 )cos( )0,( 0 cxv x t u với v 0 là hằng số dơng và /2 c l - /2. Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của dây có hoành độ x ở thời điểm t .Ta có phơng trình dao động của dây : 2 2 2 2 2 x u a t u trong miền (0<x<l , 0<tT) (1) thoả mãn điều kiện biên: 0 0 x u 0 lx u (0 tT) (2) và thoả mãn điều kiện ban đầu : nếu cx /2 nếu cx /2 0 cos 0 0 0 0 cxv t u u t t (0 x l) (3) Tơng tự bài 1) ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : u(x,t) = l xk t l ak bt l ak a k kk sinsincos 1 (4) Từ điều kiện ban đầu ta có : 00sin 1 0 k k k t a l xk au (5) xF l xk l ak b t u k k t sin 1 0 Nhận thấy b k là hệ số trong khai triển F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong khoảng (0, l) dx l xk xFdx l xk l ak b ll k sinsin 00 2 k b 2/ 2/ sin)cos( 2 c c o dx l xk cx ak v = 2/ 2/ 2/ 2/ 0 .1sin.1sin c c c c dxcx l k dxcx l k ak v = 2/ 2/ 2/ 2/ 0 1cos 1 1 1cos 1 1 c c c c cx l k l k cx l k l k ak v = cc l k cc l k l k ak v 2 1cos 2 1cos 1 1 0 cc l k cc l k l k 2 1cos 2 1cos 1 1 = 22 cos 22 cos 1 1 22 0 l k l ck l k l ck l k ak v 22 cos 22 cos 1 1 22 l k l ck l k l ck l k nếu cx /2 nếu cx /2 l k l ck l k l ck l k l k l ck l k l ck l k ak v 2 sin 2 sin 1 1 2 sin 2 sin 1 1 2222 0 = l k l ck l k l k ak v 2 cossin2 1 1 1 1 2 0 = l k l ck l k ak v 2 cos.sin 1 1 . 4 2 2 22 0 b k = l k l ck l k ak v 2 cos.sin. 1 4 2 2 22 0 Do đó nghiệm của bài toán đã cho là : u(x,t) = .sinsin 1 2 cos.sin . 4 1 2 22 2 0 l xk l atk l k k l k l ck a v k Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh nếu 1 mút gắn chặt còn 1 mút tự do, biết các điều kiện ban đầu : )( 0 xfu t , )( 0 xF t u t Giải : Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t Phơng trình : 2 2 2 2 2 x u a t u (1) Thoả mãn điều kiện đầu : )( 0 xfu t , )( 0 xF t u t (2) Thoả mãn điều kiện biên : 0 0 x u , 0 lx x u (3) Nghiệm của phơng trình có dạng : U(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (1) và (4) ta có : )6(0" )5(0" 2 TaT XX Từ (3)&(4) X(0) = 0 ; X(l) = 0 (7) Giải (5) : * = - c 2 X(x) = c 1 .e -cx + c 2 .e cx nên theo (7) : X(x) = c 1 + c 2 = 0 c 1 + c 2 = 0 c 1 = 0 X(l) = -c.c 1 .e -cl + c.c 2 .e cl = 0 c 2 .e cl c 1 e -cl = 0 c 2 = 0 (loại) * = 0 X(x) = c 1 + c 2 x Theo (7) : 0' 00 2 1 clX cX (loại) * = c 2 X(x) = c 1 cos cx + c 2 sin cx Từ (7) 0cos)(' 0)0( 2 1 clcclX cX Để c 2 = A k cos cl = 0 kcl 2 l k c 2 12 = 2 2 12 l k Nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện biên (7) là : l xk AxX kk 2 12 sin Giải (6) : l atk D l atk BtT kkk 2 12 sin 2 12 cos Nên nghiệm riêng của phơng trình (1) là : l xk l atk b l atk atxu k kk 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos),( 0 (8) Từ (2) ta có : )( 2 12 sin 0 0 xf l xk au k k t (9) )( 2 12 sin 2 12 0 0 xF l xk l ak b t u k k t (10) Nhận thấy a k là hệ số trong khai triển chuỗi Fourier nhân 2 vế của (8) với sin l xk 2 12 nên : dx l xk xfdx l xk a l o l o k 2 12 sin)( 2 12 sin 2 l a l xk k l x a dx l xk a k l k l o k 2 12 sin 122 12 cos1 2 0 dx l xk xf l a l o k 2 12 sin)( 2 (11) (10) dx l xk xF l xk l ak b l o l o k 2 12 sin)( 2 12 sin 2 12 2 )( 4 12 2 12 cos1 2 12 xF ka bdx l xk l ak b k l o k dx l xk xF ak b l o k 2 12 sin)( 12 4 (12) Vậy (8) là nghiệm của bài toán trong đó a k và b k đợc xác định từ (11),(12) Bài 4 : Cũng nh bài 3 nhng cả 2 mút đều tự do 000 000 DAa BAb Giải : Ta có phơng trình dao động của dây 2 2 2 2 2 x u a t u (1) Thoả mãn điều kiện đầu : )( 0 xfu t , )( 0 xF t u t (2) Thoả mãn điều kiện biên : 0 0 x u , 0 lx x u (3) Nghiệm của (1) có dạng : U(x,t) = X(x).T(t) Nên )5(0 )4(0" 2'' TaT XX Giải(4) : * =-c 2 X(x)= c 1 .e -cx +c 2 .e cx 0 0 0 0 2 1 21 21 0 c c eccecc x u cccc x u clcl lx x * = 0 X(x) = c 1 .x + c 2 0 0 0 0 1 2 21 21 0 c c cccc x u cccc x u lx x c 2 = A 0 ứng với trị riêng = 0 thì ta có hàm riêng tơng ứng X 0 (x) = A 0 (5) có nghiệm : T 0 (t) = B 0 .t + D 0 u 0 (x,t) = a 0 + b 0 t * =c 2 X(x) = c 1 cos cx + sin cx 0. 2 0 cc x u x 0sin 1 clcc x u lx Để có nghiệm không tầm thờng thì sin cl = 0 cl = k c = l k khi đó c 1 =A k nên l xk AxX k cos)( và l atk D l atk BtT kk sincos)( do đó nghiệm riêng của phơng trình (1) : l xk l atk b l atk atxu kkk cossincos, nghiệm của pt (1) : 1 00 cossincos),( k kk l xk l atk b l atk atbatxu Từ (2) )(cos 0 0 0 xf l xk aau k k t (6) )(cos 0 0 0 xF l xk l ak bb t u k k t (7) Nhận thấy a 0 , a k và b 0 , b k l ak là các hằng số trong khai triển f(x),F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm cosin trong khoảng (0,l). Từ (6) ll k l dxxfdx l xk adxa 000 0 )(cos (7) ll k l dxxFdx l xk l ak bdxb 000 0 )(cos Vì u 0 (x,t) là 1 nghiệm riêng của (1) nên )(0, )(0, 0 0 xFx t u xfxu ll dxxfdxa 00 0 )( l dxxf l a 0 0 )( 1 (8) ll l dxxF l bdxxFdxb 0 0 0 0 0 )( 1 )( (9) Tơng tự u k (x,t) là nghiệm riêng của (1) )(0, 0, xFx t u xfxu k k ll k dx x xk xfdx x xk a 00 2 cos)(cos l k dx l xk xf l a 0 cos)( 2 (10) l l l kk dx l xk xF ak bdx l xk xFdx l xk l ak b 0 0 0 2 cos)( 2 cos)(cos (11) Vậy nghiệm của bài toán : u(x,t) = a 0 + b 0 t + l xk l atk b l atk a k kk cossincos 1 . Trong đó : a 0 , b 0 , a k , b k đợc xác định bởi (8) , (19) , (10) , (11) Bài 5 : Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn lại là 2l(1-). Lúc t = 0, ngời ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch của thiết diện có hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi: l atn l xn n l txu n n )12( cos )12( sin )12( )1(8 ),( 0 2 1 2 nếu gốc hoành độ đặt ở tâm của thanh. Giải: Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh . Trục ox dọc theo thanh Theo bài ra, thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén thì độ dài còn lại của nó là 2l(1-) Do đó khi trục dịch chuyển 1 đoạn là x thì thanh bị nén x(1-) độ lệch u(x,0) = x(1-) x = - x Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt x ở thời điểm t Xét tiết diện có hoành độ x, do thanh đồng chất nên ở thời điểm t nó bị nén đến vị trí x(1 - ) và có độ lệch u(x,0) = - .x = f(x). Phơng trình dao động của thanh : 2 2 2 2 2 x u a t u (1) Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ngời ta buông ra tức vận tốc ban đầu = 0 chứng tỏ hai đầu mút của thanh đều tự do ta có điều kiện biên : 0 0 x x u ; 0 lx x u (2) và điều kiện ban đầu : )(. 0 xfxu t ; 0 0 t t u (3) Tìm nghiệm của phơng trình (1) dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) (4) Từ (4) và (1) ta có : )6(0)(" )5(0)(" 2 tTatT xXxX Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện : X(-l) = 0 ; X(l) = 0 (7) Giải (5) : Đặt X = e rx ta có phơng trình đặc trng của (5) : r 2 + = 0 = -c 2 X(x) = c 1 e -cx + c 2 e cx Từ (7) c 1 = c 2 = 0 (loại) = 0 X(x) = c 1 x + c 2 Theo (7) : 0)(' 0)(' 1 1 clX clX c 2 0 và c 2 = A 0 Nên X 0 (x) = A 0 ứng với trị riêng = 0 thì (6) có nghiệm : T 0 (t) = B 0 t + D 0 nên ta có nghiệm riêng của (1) u 0 (x,t) = a 0 + b 0 t (a 0 = A 0 D 0 ; b 0 = A 0 B 0 ) (8) = c 2 X(x) = c 1 cos cx + c 2 sin cx Theo (7) : 0cos 0sin 0cossin 0cossin 0)cos()sin( 0)cos()sin( 2 1 21 21 21 21 clc clc clcclc clcclc clccclccc x u clccclccc x u lx lx Để (4) có nghiệm không tầm thờng thì sincl = 0 hoặc coscl = 0 + Xét sincl = 0 cl = k c = l k và c 1 = A k phơng trình (5) có nghiệm : l xk AxX kk sin ứng với 2 l k k phơng trình (6) có nghiệm tổng quát : l atk D l atk BtT kkk sincos Ta có nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : l xk l atk b l atk atxu kkk cossincos, kkk kkk DAb BAa (9) + Xét coscl = 0 2 )12( n cl l n c 2 )12( l xn AxX nn 2 )12( sin và l atn D l atn BtT nnn 2 12 sin 2 12 cos Nên nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) : l xn l atn b l atn atxu nnn 2 )12( sin 2 )12( sin 2 )12( cos, nnn nnn DAb BAa (10) Từ (8),(9),(10) ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2) chính là tổng của các nghiệm riêng của u(x,t) : l xn l atn b l atn a l xk l atk b l atk atbatxu n nn k kk 2 12 sin 2 12 sin 2 12 cos cossincos),( 0 1 00 Từ điều kiện ban đầu (3) : x l xn a l xk aau n n k k t . 2 )12( sincos 01 0 0 (11) 0 2 )12( sin 2 )12( cos 01 0 0 l xn l an b l xk b l ak b t u n nk k t (12) Từ (12) b 0 = b k = b n = 0 (13) Lấy tích phân 2 vế của (11) theo x cận từ (-l l) dxxdx l xn adx l xk adxa l l l l n l l k l l . 2 )12( sincos 0 dx l xk x l l      cos.     l l l l dx l xk k l l xk x k l     sinsin      l l dx l xn x 2 12 sin  v× b 0 = 0  u 0 (x,t) = a 0 v× u 0 (x,t) lµ 1 nghiÖm riªng nªn u 0 (x,o) = -x  a 0 = -x  lÊy tÝch ph©n 2 vÕ dxxdxa l l l l     0  l l l l x xa    2 2 0   2a 0 l = 2  (l 2 - l 2 ) = 0  a 0 = 0 (14) v× b k = 0  u k (x,t) = a k cos l atk  cos l xk  v× u k (x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn u k (x,0) = - x Nh©n 2 vÕ víi cos l xk  vµ lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cËn tõ (-l  l) dx l xk xdx l xk a l l l l k    cos.cos 2    VT = la l k k l x a dx l xk a k l l k l l k               2 sin 22 ) 2 cos1( 2 VP = =   00coscoscos 22 2 22 2   k l l akk k l l xk k l     (15) V× b n = 0        l xn l atn atxu nn 2 12 sin 2 12 cos,      V× u n (x,t) lµ 1 nghiÖm riªng cña (1) nªn u n (x,0) = - .x  dx l xn xdx l xn a l l l l n 2 )12( sin. 2 )12( sin 2         VT = l l n l l n l xn n l x a dx l xn a                     2 )12( sin )12(22 )12( cos1 2                   )12sin( )12( )12sin( )12(2 n n l ln n l l a n [...]... 2 b b (17) 2 p 12 2q 12 Từ (12), (14), (17) ta có nghiệm của bài toán đã cho : U ( x, t ) 64 Ab 6 4 p 0 q 0 sin (2 p 1) x (2q 1) x sin a b b cos (2 p 1) 2 (2q 1) 2 t 3 3 b (2 p 1) (2q 1) Bài 2 : Một màng hình chữ nhật 0 x l , 0 y m , gắn chặt ở mép , lúc t = 0 bị một xung lượng tập trung tại tâm của màng sao cho : lim v0 dxdy A 0 Với : A là hằng số , vo là vận tốc ban đầu... 1 3 cos 2n 1at sin 2n 1x l n 0 (20) l Từ (4) ,(17) ,(20) ta có nghiệm của bài toán : u ( x, t ) 4 gl 2 3a 2 1 2n 1 3 n 0 2n 1at sin 2n 1x 1 cos l l Hay Dạng 2 : u ( x, t ) 4l 2 3 1 2n 1 3 n 0 8l 2 3M 2 g M a 2 1 2n 1 3 cos 2n 1at sin 2n 1x n 0 l l 2n 1at g sin 2n 1x cos l l a2 Bài toán có điều kiện biên khác 0 2u 2u a 2 2 (2.1) trong miền ( 0 . Bi tp Toỏn cho Vt Lý (ễn thi Cao Hc) Bài 1 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0 và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) = 2 )(4 l xlx . 3 3 33 12 32 0 )cos1( 16 n k k (n=0,1,2 ) Từ (6) b k = 0 do đó, nghiệm của bài toán đã cho : u(x,t) = l xn l atn n n )12( sin )12( cos 12 132 0 33 . Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn. l k l ck l k ak v 2 cos.sin. 1 4 2 2 22 0 Do đó nghiệm của bài toán đã cho là : u(x,t) = .sinsin 1 2 cos.sin . 4 1 2 22 2 0 l xk l atk l k k l k l ck a v k Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh

Ngày đăng: 27/07/2014, 16:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w