[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 5 docx

Từ tính chất 10 suy ra rằng nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì với mọi số tự nhiên m và n ta cũng có am và bn nguyên tố cùng nhau.. Nếu a chia hết cho một trong các số nguyên tố không vư

78

(2) Nếu c là một ước chung của a và b, thì UCLN( a b,

c c ) =

d c

Chứng minh:

(1) Nếu trong thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của a và b ta nhân cả hai vế của mỗi đẳng thức với k thì được thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của ka và kb Số dư khác

0 cuối cùng của thuật toán này là krn Vậy UCLN(ka, kb) = kUCLN(a, b)

(2) Bây giờ, ta chứng minh nếu c là ước chung của a và b thì UCLN(a b,

c c ) =

d

c Thật vậy ta đặt a a

c

′ = và b b

c

′ = và d' = UCLN(a', b') Suy ra cd' = UCLN(ca', cb') = UCLN(a, b) = d

Vậy d' =d

c

Định lí 3.4. Cho a, b, c là ba số tự nhiên sao cho UCLN(a, b) = 1

Khi đó UCLN(ac, b) = UCLN(c, b)

Chứng minh:

Giả sử d là một ước chung của ac và b Khi đó d là ước chung của ac và bc

Vì vậy d là ước của UCLN(ac, bc) Nhưng UCLN(ac, bc) = c.UCLN(a, b) = c.1 = c Vậy d là ước chung của b và c, do đó d là ước của UCLN(b, c)

Đảo lại, nếu d' là một ước chung của b và c thì d' cũng là ước chung của ac và b Do vậy d' là ước của UCLN(ac, b)

Vậy UCLN(ac, b) = UCLN(c, b)

Ta định nghĩa ước chung lớn nhất của n số tự nhiên như sau:

2.3.2.4 Định nghĩa

Số tự nhiên d được gọi là ước chung lớn nhất của các số tự nhiên a1, a2, …, an nếu d là số lớn nhất trong các ước chung của các ai, i = 1, 2, …, n

Chú ý. Cho các số tự nhiên khác không: a1, a2, …, an bao giờ cũng tồn tại ước chung lớn nhất của chúng

2.3.2.5 Các số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa 3.2. Hai số tự nhiên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN(a, b) = 1

Các số tự nhiên a1, a2, …, an được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng là 1 Các số a1, a2, …, an được gọi là nguyên tố sánh đôi nếu các số này đôi một nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 3.3:

Các số 3, 6, 16 là ba số nguyên tố cùng nhau nhưng không nguyên tố sánh đôi

Các số 3, 8, 25 là ba số nguyên tố sánh đôi

Tính chất 3.2

Cho ba số tự nhiên a, b và c

10) Nếu a nguyên tố cùng nhau với b và nguyên tố cùng nhau với c thì a nguyên tố cùng nhau với bc

Từ tính chất 10) suy ra rằng nếu a và b nguyên tố cùng nhau thì với mọi số tự nhiên m và n ta cũng có am và bn nguyên tố cùng nhau

20) Nếu a nguyên tố cùng nhau với b, và a là ước của bc thì a là ước c

30) Giả sử d là một ước chung của hai số tự nhiên a và b khác 0, d = UCLN(a, b) khi và chỉ khi UCLN(a b,

d d) = 1

2.3.3 Bội chung nhỏ nhất

2.3.3.1 Định nghĩa

Cho a là một số tự nhiên khác 0 Tập hợp các bội của a là tất cả các số tự nhiên có dạng

ma, m ∈ N

Giả sử a1, a2, …, an là những số tự nhiên khác 0 Số tự nhiên b được gọi là bội chung của các

ai, i = 1, 2, …, n nếu b là bội của ai với mọi i = 1, 2, …, n

Đặt B là tập hợp các bội chung của a1, a2, …, an Do đó B có số bé nhất khác 0 Số bé nhất đó

được gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, …, an Kí hiệu là BCNN(a1, a2, …, an)

Ví dụ 3.4:

BCNN(2, 7, 16) = 112

2.3.3.2 Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Định lí 3.5.Với hai số tự nhiên a, b khác 0 ta có: BCNN(a, b) =

( , )

ab UCLN a b

Chứng minh:

Đặt d = UCLN(a, b) Ta có a = da1; b = db1 Khi đó a1 và b1 nguyên tố cùng nhau

Đặt m = ab

d Ta cần chứng minh m = BCNN(a, b) Trước hết m =

ab

d =

1 adb

d = ab1 và

m = ab

d =

1

da b

d = a1b Từ đó suy ra m là bội chung của a và b

80

Giả sử M là một bội chung bất kì của a và b Như vậy M = ac Vì M chia hết cho b nên

d Μ

chia hết cho b

d Từ đó suy ra a1c chia hết cho b1 Vì a1 và b1 nguyên tố cùng nhau nên c chia hết cho b1 Đặt c = b1q Như vậy M = ac = ab1q = ab

d q = mq Từ đó suy ra m ≤ M với mọi bội chung M của a và b

Vậy m = BCNN(a, b)

Hệ quả 1 Hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi BCNN(a, b) = ab

Hệ quả 2 BCNN(a, b) là ước của mọi bội chung a và b

Ví dụ 3.5:

BCNN(36, 15) = 36 15

3

× = 180

2.3.3.3 Các tính chất của bội chung nhỏ nhất

Cho a và b là hai số tự nhiên khác 0 Khi đó:

10) Với mọi số tự nhiên c ≠ 0 ta có BCNN(ca, cb) = c.BCNN(a, b)

Thật vậy, theo công thức tìm bội chung nhỏ nhất ta có

BCNN(ca, cb) = ( )( )ca cb

UCLN(ca, cb) = UCLN a, bcab( ) = cUCLN a, bab( ) = c.BCNN(a, b)

20) Nếu d là một ước chung của a và b thì

d,

b

d) =

( )

BCNN a, b

Thật vậy, ta có BCNN(a, b) = BCNN(d a

d, d

b

d) = d.BCNN (

a

d,

b

d)

Vậy BCNN(a

d,

b

d) =

( )

BCNN a, b

30) Cho m là một bội chung của a và b, m = BCNN(a, b) khi và chỉ khi m

a và

m

b nguyên tố cùng nhau

Thật vậy, giả sử m = BCNN(a, b) Khi đó đặt d = UCLN(m

a ,

m

b ) Nếu d ≠1 thì m

d sẽ là một bội chung của a và b, đồng thời bé hơn m Trái với giả thiết Vậy d = 1 tức là m

a và

m d nguyên tố cùng nhau

Đảo lại, nếu UCLN(m

a ,

m

b ) = 1 và m1 = BCNN(a, b) Khi đó m1 là một ước của m Giả sử

m = m1d Từ đó suy ra:

1 = UCLN (m

a ,

m

b ) = UCLN (

1 m d

a ,

1 m d

b ) = d.UCLN (

1 m

a , 1 m

b )

Điều này chứng tỏ d =1 Vậy m = m1 = BCNN(a, b)

2.3.4 Số nguyên tố và hợp số

2.3.4.1 Định nghĩa

Số tự nhiên p được gọi là một số nguyên tố nếu p > 1 và p chỉ có hai ước số (tự nhiên) là 1 và p

Số a > 1 không là số nguyên tố được gọi là hợp số

Ví dụ 3.6:

Các số 2, 3, 5, 7, 11, 13 là những số nguyên tố Các số 4, 6, 8, 9, 10 là những hợp số

Định lí 3.6.Mọi số lớn hơn 1 đều có một ước số nguyên tố

Chứng minh:

Cho số tự nhiên a > 1 Nếu a là số nguyên tố thì a chính là ước số nguyên tố của a Nếu a không là số nguyên tố thì a là một hợp số Gọi p là số bé nhất trong tập các ước lớn hơn 1 của a Khi đó p là một số nguyên tố, vì nếu p là hợp số thì p có một ước số p1 > 1 và p1 < p Khi đó

p1 là ước số lớn hơn 1 bé hơn p của a, trái với giả thiết về p Vậy p là một số nguyên tố

Từ định lí 3.6 ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1. Với mọi hợp số a bao giờ cũng có một ước số nguyên tố không vượt quá a

Chứng minh:

Theo chứng minh định lí 3.6, hợp số a có thể phân tích được a = pq, p q≤ , p là số nguyên tố

Từ đẳng thức p q≤ suy ra p2≤pq = a hay p≤ a

Từ hệ quả 1 cho ta một cách để kiểm tra xem một số tự nhiên a đã cho có là một số nguyên tố hay không Cho số tự nhiên a > 1 Nếu a chia hết cho một trong các số nguyên tố không vượt

82

quá a thì a là hợp số Nếu a không chia hết cho bất kì số nguyên tố nào không vượt quá a thì a là số nguyên tố

Ví dụ 3.7:

a = 101 Ta có 101 < 11 và 101 không chia hết cho các số nguyên tố bé hơn 101 là 2, 3, 5, 7 nên 101 là một số nguyên tố

Hệ quả 2 Tập các số nguyên tố là vô hạn

Chứng minh:

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là {p , p , , p1 2 n} Đặt p p p p= 1 2 n + 1

Khi đó p > pi, i = 1, 2, , n nên p không là số nguyên tố Theo định lí 3.6, p có một ước số nguyên tố là pi nào đó, như vậy pi là ước của p và pi là ước của p p p nên pi là ước của 1 2 n

1 = p – pp p , vô lí Vậy tập các số nguyên tố là vô hạn 1 n

Định lí 3.7. Cho p là một số nguyên tố Với mọi số tự nhiên a, hoặc a chia hết cho p hoặc a và p nguyên tố cùng nhau

Chứng minh:

Gọi d là ước chung lớn nhất của a và p Vì p là số nguyên tố nên hoặc d = p, khi đó a chia hết cho p, hoặc d = 1, khi đó a và p nguyên tố cùng nhau

Định lí 3.8. Cho p là một số nguyên tố, a, b là hai số tự nhiên Nếu p là ước của ab thì p là ước của a hoặc p là ước của b

Chứng minh:

Giả sử p là ước của tích ab nhưng p không là ước của a và cũng không là ước của b Theo định lí 3.7, p nguyên tố cùng nhau với a và nguyên tố cùng nhau với b Theo tính chất của các

số nguyên tố cùng nhau thì p và ab nguyên tố cùng nhau, trái với giả thiết p là ước của ab Vậy hoặc p là ước của a, hoặc p là ước của b

2.3.4.2 Định lí cơ bản của số học

Định lí 3.9.Mỗi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành tích những số nguyên tố Sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số

Chứng minh:

Trước hết, ta chứng minh mọi số tự nhiên a > 1 đều phân tích được thành một tích những thừa

số nguyên tố Do a > 1 nên a có ít nhất một ước số nguyên tố p1 và ta có a = p1a1

Nếu a1 = 1 thì a = p1 là sự phân tích của a thành một thừa số nguyên tố

Nếu a1 > 1 thì a1 có một ước số nguyên tố p2 và ta có a1 = p2a2

Nếu a2 = 1 thì a1 = p2 và a = p1p2 là sự phân tích của a thành một tích những thừa số nguyên

tố

Nếu a2 > 1 thì tiếp tục lí luận như đối với a1 ở trên, a2 có ước số nguyên tố p3,…

Quá trình này cho ta một dãy giảm những số tự nhiên, dãy này dừng

Nên sau một số hữu hạn bước, cuối cùng ta có: a = p1p2…pn là sự phân tích của a thành một tích những thừa số nguyên tố

Bây giờ ta chứng minh tính duy nhất của sự phân tích

Giả sử a có hai sự phân tích thành một tích những thừa số nguyên tố là a = p1p2…pn và

a = q1q2…qm Suy ra p1p2…pn = q1q2…qm Đẳng thức này chứng tỏ rằng p1 là ước của

q1q2…qm Do p1 là số nguyên tố nên tồn tại qi sao cho p1 là ước của qi Vì qi là số nguyên tố nên suy ra p1 = qi Bằng cách đánh số lại các chỉ số (nếu cần) ta có thể giả thiết p1 = q1

Từ đó suy ra p2p3…pn = q2q3…qm

Nếu n > m thì bằng lập luận như trên cuối cùng ta có p2 = q2, …, pn = qm và pm+1…pn = 1 Nhưng vì pi là những số nguyên tố nên đẳng thức cuối cùng không thể xảy ra

Nếu m > n thì ta lại có 1 = qn+1…qm đẳng thức này cũng không xảy ra

Vậy m = n và ta có: p1 = q1, p2 = q2, …, pn = qn

Ví dụ 3.8:

Phân tích a = 3500 thành một tích những thừa số nguyên tố Trong thực hành ta phân tích a thành một tích những thừa số nguyên tố từ bé đến lớn Ta có bảng sau:

2940 2

1470 2

735 3

245 5

49 7

7 7 Vậy 2940 = 2.2.3.5.7.7

Dạng phân tích tiêu chuẩn

Trong sự phân tích số tự nhiên a > 1 thành một tích những thừa số nguyên tố có thể có nhiều thừa số bằng nhau Giả sử p1, p2, …, pk là các thừa số nguyên tố đôi một khác nhau của a Và

84

i

α , α ≥ 1 (i = 1, 2, …, k) là số các thừa số cùng là pi trong sự phân tích của a Khi đó, i

a = 1 2 k

1 2 k

p p pα α α được gọi là dạng phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên a

Ví dụ 3.9:

2940 = 22 31 51 72 là sự phân tích tiêu chuẩn của 2940

Chú ý Cho hai số tự nhiên lớn hơn 1, a và b bao giờ ta cũng viết được a = 1 2 n

1 2 n

p p pα α α và

b = 1 2 n

1 2 n

p p pβ β β trong đó p1, p2, …, pn là những số nguyên tố đôi một khác nhau, α β là i, i những số tự nhiên (có thể bằng 0), i = 1, 2, …, n

Ví dụ 3.10:

Cho a = 3500; b = 2940 Ta có a = 22.30.53.71; b = 22.31.51.72

2.3.4.3 Một số ứng dụng của định lí cơ bản

Định lí 3.10. Cho a là một số tự nhiên có sự phân tích tiêu chuẩn là a = 1 2

1 2 k

k

p pα α pα Số tự nhiên d là ước của a khi và chỉ khi d có dạng d = 1 2

1 2 k

k

p pβ β pβ với 0≤β αi ≤ , i = 1, 2, …, k i

Chứng minh:

Giả sử d là ước của a Như vậy tồn tại số tự nhiên b sao cho a = db

Nếu d = 1 thì d = 0 0 0

1 2 k

p p p Nếu d > 1 thì mọi ước số nguyên tố của d đều là ước số nguyên tố của a Và số mũ của ước số nguyên tố ấy trong sự phân tích của d không lớn hơn số mũ của nó trong sự phân tích của a Vậy d có sự phân tích là

d = 1 2 k

1 2 k

p p pβ β β với 0≤ β ≤ α , i = 1, …, k i i (1) Đảo lại, nếu d có dạng (1) thì hiển nhiên d là ước của a

Định lí 3.11.Cho a và b là hai số tự nhiên có sự phân tích là a = 1 2

1 2 n

n

p pα α pα và b = 1 2

1 2 n

n

p pβ β pβ ,

pi là những số nguyên tố, ,α βi i ≥ , i = 1, 2, , n Khi đó: 0

1 2 n

n

p pγ γ pγ , γi = min( ,α βi i ), i = 1, …, n là ước chung lớn nhất của a và b;

1 2 n

n

p pδ δ pδ , δi = max( ,α βi i ), i = 1, , n là bội chung nhỏ nhất của a và b

Chứng minh:

Rõ ràng d = 1 2 n

1 2 n

p p pγ γ γ với γ = min(i α β ), i = 1, …, n, là một ước chung của a và b i, i

Giả sử c là một ước chung của a và b Khi đó, c có dạng c = 1 2 n

p p pθ θ θ trong đó 0≤ θ ≤ α i i

và 0≤ θ ≤ β ; suy ra i i 0≤ θ ≤ min(i α β ) hay i, i 0≤ θ ≤ γ , i = 1, 2, …, n Vậy c là ước của d i i (theo định lí 3.10)

Mặt khác, ta cũng có m = 1 2 n

1 2 n

p p pδ δ δ với δ = max(i α β ), i = 1, , n, là bội chung của i, i

a và b

Giả sử s là một bội chung bất kì của a và b Khi đó, s chia hết cho a và s chia hết cho b nên sự phân tích của s phải có dạng 1 2 n

1 2 n

p p pξ ξ ξ trong đó ξ ≥ max(i α β ), i = 1, 2, …, n Vậy s chia i, i hết cho m = 1 2 n

1 2 n

p p pδ δ δ với δ = max(i α β ), i = 1, , n i, i

Ví dụ 3.11:

UCLN(2940, 3500) = 22.7.5 = 140; BCNN(2940, 3500) = 22.3.53.72 = 73500

86

Hoạt động. Tìm hiểu về lí thuyết chia hết trong tập hợp các số tự nhiên

Nhiệm vụ

Sinh viên chia theo nhóm 4 người đọc và thảo luận thông tin cơ bản để thực hiện các nhiệm vụ sau:

Nhiệm vụ 1:

Phát biểu và chứng minh định lí về phép chia có dư trong tập các số tự nhiên; định nghĩa về phép chia có dư

Nhiệm vụ 2:

Định nghĩa quan hệ chia hết Nêu và chứng minh các tính chất của quan hệ chia hết trong tập các số tự nhiên

Nhiệm vụ 3:

Định nghĩa ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của các số tự nhiên Xây dựng hai ví dụ

về vận dụng thuật toán Ơclit để tìm UCLN

Nhiệm vụ 4:

Định nghĩa số nguyên tố và hợp số Nêu và chứng minh các tính chất của số nguyên tố Nhiệm vụ 5:

Xây dựng hai ví dụ về vận dụng sự phân tích một số tự nhiên thành tích những thừa số nguyên tố để tìm UCLN và BCNN

Đánh giá

Trả lời các câu hỏi sau đây:

1. Phát biểu và chứng minh định lí về phép chia có dư trong tập các số tự nhiên

2. Phát biểu và chứng minh các tính chất của quan hệ chia hết trong tập các số tự nhiên

3. Định nghĩa ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên Phát biểu và chứng minh các tính chất về ước chung lớn nhất

4. Hãy trình bày thuật toán Ơclit để tìm UCLN(a, b)

5. Định nghĩa các số nguyên tố cùng nhau, nguyên tố sánh đôi Phát biểu và chứng minh tính chất về các số nguyên tố cùng nhau

6. Định nghĩa bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên Phát biểu và chứng minh các tính chất về bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên

7. Định nghĩa số nguyên tố Phát biểu và chứng minh các tính chất của số nguyên tố

8. Phát biểu và chứng minh định lí cơ bản của số học về số tự nhiên

Hãy giải các bài tập sau đây:

1. Chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và chia hết cho 6

2. Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 10

3. Trong định lí về phép chia với dư: a = bq + r, 0 ≤ r < b

a) Cho biết a = 420, b = 205 Hãy tìm q và r

b) Cho biết a = 335, q = 11 Hãy tìm b và r

c) Cho biết a = 137, r = 39 Hãy tìm b và q

4. Chứng minh rằng trong hai số chẵn liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho 4

5. Chứng minh rằng tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8

6. Cho hai số tự nhiên a và b Chứng minh:

a) Tích ab là số lẻ khi và chỉ khi a và b là hai số lẻ

b) ab là số chẵn khi và chỉ khi ít nhất một trong hai số a và b là số chẵn

c) a + b chẵn khi và chỉ khi cả hai cùng chẵn hoặc cùng lẻ

d) a + b là số lẻ khi và chỉ khi một số chẵn và một số lẻ

7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:

a) n2 – n chia hết cho 2;

b) n3 – n chia hết cho 3;

c) n5 – n chia hết cho 5

8. Cho hai số tự nhiên a và b Hãy tìm bội chung nhỏ nhất của a và b với:

(1) a = 124, b = 36;

(2) a = 41, b = 75;

(3) a = 336, b = 120

9. Cho n là một số tự nhiên, chứng minh:

a) UCLN(3n + 1, 2n + 1) = 1;

b) UCLN(21n + 4, 14n + 3) = 1

10. Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1 Tìm:

a) BCNN(3n + 1, 2n + 1);

b) BCNN(21n + 4, 14n + 3)