[Toán Học] Các Loại Tập Hợp Số Phần 8 docx

NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung: + Hình thành khái niệm phân số; + So sánh các phân số; + Bốn phép toá

132

c) C(123123

315315) F C(

41

105) d) C(123123

315315) F C(

43

105) e) C(343434

515151) F C(

2

3) f) C(363636

515151) F C(

2

3)

2 Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu trả lời đúng

Cho hai số hữu tỉ r = C(5

6) và s = C(

5

7) Xen giữa hai số r và s:

A Không có số hữu tỉ nào

B Chỉ có một số hữu tỉ

C Chỉ có năm số hữu tỉ

D Có vô số số hữu tỉ

Hãy viết năm số hữu tỉ nằm giữa chúng

3 Điền chữ thích hợp vào chỗ chấm

a) Khi cộng

thì bất đẳng thức không đổi chiều b) Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức nghiêm ngặt với cùng

thì bất đẳng thức

c) Khi cộng (hoặc nhân) hai vế của một bất đẳng thức với cùng

thì ta được

4 Cho 0 < r < s Điền dấu >; < hoặc = vào ô trống 1

r F

1

s

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4

TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ

TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN Ở TIỂU HỌC

THÔNG TIN CƠ BẢN

I CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TIỂU HỌC (CTTTH) ĐƯỢC TẠO THÀNH TỪ NĂM MẠCH KIẾN THỨC

+ Số học;

+ Đại lượng và các phép đo đại lượng;

+ Một số yếu tố hình học;

+ Một số yếu tố thống kê;

+ Giải toán có lời văn

Trong đó, mạch số học là nội dung cốt lõi của chương trình Mạch số học bao gồm bốn nội dung lớn: số học các số tự nhiên, số học các phân số, số học các số thập phân và một số yếu tố đại số Như vậy, số học các phân số là một trong bốn nội dung cốt lõi của môn Toán Tiểu học,

nó được xem như chiếc cầu nối giữa kiến thức toán học trong nhà trường và ứng dụng của nó trong đời sống, lao động sản xuất và khoa học kĩ thuật

II NỘI DUNG DẠY PHÂN SỐ Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC

Phân số được trình bày trong hai lớp cuối của bậc Tiểu học với các nội dung:

+ Hình thành khái niệm phân số;

+ So sánh các phân số;

+ Bốn phép toán về phân số: gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính toán về phân số;

+ Giải toán về phân số

3.4.1 Hình thành khái niệm phân số

Thông qua thao tác chia một quả cam thành 4 phần bằng nhau, lấy đi ba phần, hình thành cho học sinh khái niệm phân số a

b, trong đó mẫu số b (là số tự nhiên khác 0) chỉ số phần đơn vị được chia ra và tử số a (là một số tự nhiên) chỉ số phần được lấy đi

Bằng con đường này, chỉ hình thành khái niệm của những phân số nhỏ hơn 1 Bằng cách bổ sung thêm bài toán: “Chia đều 5 quả cam cho 4 người Tìm phần cam của mỗi người” Hình thành cho học sinh khái niệm: phân số a

b còn được hiểu là thương của phép chia số tự nhiên a cho b

134

Cuối cùng ta cho học sinh rút ra nhận xét:

– Mỗi số tự nhiên a có thể viết thành một phân số (mà bản thân nó không phải là phân số) có mẫu số bằng 1

– Phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số thì nhỏ hơn 1

– Phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì lớn hơn 1

3.4.2 So sánh phân số

Khi so sánh phân số ta hướng tới hai tình huống:

– Kết luận chúng bằng nhau Ở Tiểu học gọi là rút gọn phân số

– Kết luận phân số này lớn hơn hoặc nhỏ hơn phân số kia Ở Tiểu học gọi là so sánh phân số

Để đi đến kết luận trong tình huống thứ nhất, học sinh vận dụng quy tắc:

* Nếu ta nhân cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

* Nếu ta chia cả tử và mẫu số của một phân số cho cùng một số tự nhiên khác 0 thì được một phân số bằng phân số đã cho

Khái niệm “hai phân số bằng nhau” được hình thành thông qua các mô hình trực quan Trong Tiểu chủ đề 3.1 ta xây dựng khái niệm hai phân số tương đương thay cho hai phân số bằng nhau (tại sao vậy?)

Để đi đến kết luận trong tình huống thứ hai, học sinh vận dụng quy tắc:

* Trong hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn sẽ lớn hơn (1)

* Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi vận dụng quy tắc (1)

3.4.3 Các phép toán về phân số

Khi dạy bốn phép toán về phân số, sách giáo khoa Toán 4 đều sử dụng cách lựa chọn thống nhất: từ một bài toán thực tế, hình thành cho học sinh ý nghĩa phép toán Qua phân tích trên các thao tác đối với bài toán nêu trên, rút ra cho học sinh quy tắc thực hành phép tính

Chẳng hạn, xuất phát từ bài toán: “Có một băng giấy màu, bạn Nam lấy 3

8 băng giấy, bạn Tùng lấy 2

8 băng giấy Hỏi cả hai bạn đã lấy bao nhiêu phần của băng giấy?”

Sách giáo khoa đã dẫn dắt học sinh đến ý nghĩa của phép cộng phân số Từ phân tích trong lời

giải bài toán, rút ra cho học sinh quy tắc: “Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số”

Hoặc xuất phát từ bài toán: “Hình chữ nhật ABCD có diện tích 7

15m

2, chiều rộng là 2

3m Tính chiều dài hình đó”

Sách giáo khoa dẫn học sinh đến với phép chia phân số Từ phân tích trong lời giải bài toán

rút ra cho học sinh quy tắc: “Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân

số thứ hai đảo ngược”.

Vì trong tập số tự nhiên học sinh đã được học các tính chất và quy tắc thực hành 4 phép tính (giao hoán, cộng một tổng với một số, nhân một số với một tổng, ) một cách hệ thống, cho nên trong tập phân số, sách giáo khoa dành cho học sinh tự rút ra những tính chất này thông qua những ví dụ cụ thể Chẳng hạn:

– Khi nhân một tích hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân phân số thứ nhất với tích của hai phân số còn lại

– Khi nhân một tổng hai phân số với phân số thứ ba, ta có thể nhân từng phân số của tổng với phân số thứ ba rồi cộng kết quả lại

3.4.4 Giải toán về phân số

Các bài toán về phân số có thể phân ra thành mấy dạng cơ bản:

– Các bài toán về cấu tạo phân số (tìm một phân số khi biết mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của phân số đó)

– Các bài toán về so sánh phân số (bao gồm rút gọn phân số và sắp xếp các phân số theo thứ

tự cho trước)

– Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về phân số (tính giá trị biểu thức bằng cách hợp lí nhất, tìm thành phần chưa biết của phép tính, )

– Giải toán có văn về phân số (bao gồm các bài toán có lời văn với các số liệu cho trong đề bài là phân số)

Sau đây, ta sẽ đề cập tới một số bài toán:

Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số

Khi giải các bài toán có dạng này, ta có thể đưa về dạng toán có văn điển hình (tìm hai số khi biết tổng và tỉ, hiệu và tỉ, tổng và hiệu) hoặc dùng phương pháp thử chọn Ngoài ra, có thể bổ sung thêm một số tính chất sau:

Tính chất 4.1: Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 4.2: Khi bớt đi ở tử và mẫu của một phân số với cùng một số tự nhiên thì hiệu giữa

tử và mẫu của phân số đó không thay đổi

Tính chất 4.3: Khi thêm vào (hoặc bớt đi) ở tử số, đồng thời bớt đi (hoặc thêm vào) mẫu

số của một phân số cùng một số tự nhiên thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó không thay đổi

Ví dụ 4.1:

136

Tổng của tử số và mẫu số của một phân số nhỏ hơn 1 bằng 10 Nếu chia cả tử và mẫu cho 2 ta được phân số tối giản Tìm phân số đó

Giải: Ta có bảng phân tích 10 thành tổng của các cặp số sau:

0 1 2 3 4 5

10

10 9 8 7 6 5 Các phân số nhỏ hơn 1 có tổng của tử và mẫu bằng 10 là:

0

10 ;

1

9 ;

2

8 ;

3

7 ;

4 6 Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được hai phân số cần tìm là 2

8 và

4

6

Ví dụ 4.2:

Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 315 Tử số lớn hơn mẫu số 6 đơn

vị Tìm phân số đó

Giải: Ta có bảng phân tích số 315 thành tích của các cặp số sau

Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 315 là:

315

1 ;

105

3 ;

63

5 ;

45

7 ;

35

9 ;

21 15 Bằng phương pháp thử chọn, ta nhận được phân số cần tìm là 21

15

Ví dụ 4.3:

Tổng của tử số và mẫu số của một phân số bằng 156 Sau khi rút gọn ta được phân số 5

7 Tìm phân số đó

Giải: Theo đề bài ta có sơ đồ:

Tử số Mẫu số

1 3 5 7 9 15

315

315 105 63 45 35 21

?

Tử số của phân số cần tìm là

156 : (5 + 7) × 5 = 65

Mẫu số của phân số cần tìm là

156 – 65 = 91

Phân số cần tìm là 65

91

Ví dụ 4.4:

Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 3

7 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân

số bằng 101

103 Tìm số tự nhiên đó

Giải: Hiệu giữa tử và mẫu của phân số 3

7 là: 7 – 3 = 4

Theo tính chất 4.1 ta có sơ đồ sau:

Tử số mới

Mẫu số mới

Tử số của phân số mới là

4: (103 – 101) × 101 = 202

Số tự nhiên cần tìm là

202 – 3 = 199

Ví dụ 4.5:

Khi bớt đi ở cả tử và mẫu của phân số 73

49 với cùng một số tự nhiên, ta nhận được một phân

số bằng 7

4 Tìm số tự nhiên đó

Giải: Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số 73

49 là: 73 – 49 = 24

Theo tính chất 4.2 ta có sơ đồ:

Tử số mới

Mẫu số mới

4

103 phần

?

101 phần

24

138

Mẫu số của phân số mới là

24: (7 – 4) × 4 = 32

Số tự nhiên cần tìm là

49 – 32 = 17

Ví dụ 4.6:

Khi bớt đi ở tử đồng thời thêm vào mẫu số của phân số 139

61 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân số bằng 3

5 Tìm số tự nhiên đó

Giải: Tổng của tử và mẫu của phân số 139

61 là: 139 + 61 = 200

Theo đề bài ta có sơ đồ:

Tử số mới

Mẫu số mới

Tử số mới là

200: (3 + 5) × 3 = 75

Số cần tìm là

139 – 75 = 64

Dạng 2: Các bài toán về so sánh phân số

Khi giải các bài toán dạng này, ta thường vận dụng các quy tắc rút gọn phân số và các quy tắc

so sánh phân số đã trình bày ở phần trên Ngoài ra, ta có thể bổ sung một số phương pháp khác Chẳng hạn:

Tính chất 4.4: (quy tắc so sánh hai phân số có cùng tử số) Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số lớn hơn sẽ nhỏ hơn

Tính chất 4.5: (quy tắc so sánh bắc cầu)

Nếu a

b <

c

d và

c

d <

m

n thì

a

b <

m n (đôi khi còn gọi là phương pháp so sánh qua một phân số trung gian)

Tính chất 4.6: (quy tắc so sánh bằng phần bù so với 1)

Cho phân số 7

9 Ta có 1 –

7

9 =

2

9 Ta gọi

2

9 là phần bù so với 1 của phân số

7

9

?

200

Ta có quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần bù so với 1 lớn hơn sẽ nhỏ hơn

Tính chất 4.7: (quy tắc so sánh bằng phần hơn so với 1)

Cho phân số 5

4 Ta có

5

4 – 1 =

1

4 Ta gọi

1

4 là phần hơn so với 1 của phân số

5

4

Ta có quy tắc: Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn so với 1 lớn hơn sẽ lớn hơn

Ví dụ 4.7:

Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau:

a) 17

29 và

14 31 b) 47

19 và

46

21

Giải: Ta có

a) 17

29 >

17

17

31 >

14

31 Vậy

17

29 >

14 31 b) 47

19 >

46

46

19 >

46

21 Vậy

47

19 >

46

21

Ví dụ 4.8 :

Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh các phân số sau:

a) 11

13 và

65 67 b) 19

16 và

127

124

Giải: Ta có

a) 1 – 11

13 =

2

13 và 1 –

65

67 =

2 67

Vì 2

13 >

2

67 nên áp dụng quy tắc so sánh bằng phần bù so với 1 ta có

11

13 <

65 67 b) Ta có

19

16 – 1 =

3

16 và

127

124 – 1 =

3 124

Vì 3

16 >

3

124 nên áp dụng quy tắc so sánh bằng phần hơn so với 1

140

ta có 19

16 >

127

124

Ví dụ 4.9:

Không quy đồng mẫu số, hãy sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

9

13;

71

75;

127

130;

2000

2003

Giải: Ta có

1 – 9

13 =

4

13 và 1 –

71

75 =

4 75

1 – 127

130 =

3

130 và 1 –

2000

2003 =

3 2003 4

13 >

4

75 và

3

130 >

3

2003 Mặt khác

4

75 >

4

130 >

3 130

Từ đó suy ra 4

13 >

4

75 >

3

130 >

3 2003

Áp dụng quy tắc so sánh bằng phần bù ta có

9

13 <

71

75 <

127

130 <

2000 2003 Vậy các phân số trên xếp theo thứ tự từ lớn đến bé là 2000

2003;

127

130;

71

75;

9

13

HOẠT ĐỘNG TÌM HIỂU TẬP SỐ HỮU TỈ KHÔNG ÂM VÀ PHÂN SỐ

NHIỆM VỤ

Sinh viên tự đọc SGK Toán 4 và 5, thông tin cơ bản ở nhà Trên lớp thảo luận theo nhóm 3, 4 người để thực hiện các nhiệm vụ dưới đây Sau đó đại diện nhóm trình bày và giáo viên tổng kết theo từng nhiệm vụ:

NHIỆM VỤ 1:

Phân tích nội dung dạy phân số trong trường Tiểu học

NHIỆM VỤ 2:

Phân tích các dạng toán về phân số ở Tiểu học Xây dựng hai ví dụ để minh hoạ phương pháp giải mỗi dạng toán đó

ĐÁNH GIÁ

1 Đúng ghi là Đ, sai ghi là S vào ô trống:

a) 5

0,1 là phân số F b)

6

1 là phân số F c) +

×

4 3

2 7 là phân số F d)

0,3 0,7 là phân số F e) 0

7 là phân số F f)

1

1 là phân số F g) 0 là phân số F h) 1 là phân số F

2 Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia cả tử và mẫu cho 5 ta

được phân số tối giản Tìm phân số đó

3 Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 4 ta được một phân số có tổng của tử và

mẫu bằng 12 Tìm phân số tối giản đó

4 Khi nhân cả tử và mẫu của một phân số tối giản với 5 ta được một phân số có tích của tử và

mẫu bằng 100 Tìm phân số tối giản đó

5 Tìm một phân số bằng 5

3, biết rằng phân số đó có tổng của tử và mẫu bằng 184

6 Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 210 Tổng của tử số và mẫu số bằng 29

Tìm phân số đó

7 Khi cộng thêm vào cả tử và mẫu của phân số 11

5 với cùng một số tự nhiên, ta được một phân

số bằng 21

19 Tìm số tự nhiên đó

8 Điền dấu > ; < ; = vào ô trống:

23

49 F

24 47 181818

454545 F

2 5 4

91 F

3 97

142

9 Điền các phân số 7

8 và

61

62 vào ô trống thích hợp:

99

100 > F >

11

12 > F

TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5 TẬP SỐ THẬP PHÂN KHÔNG ÂM

THÔNG TIN CƠ BẢN

3.5.1 Phân số thập phân

Các phân số 7

10;

124

100;

12

1000 đều có mẫu số là luỹ thừa của 10 với số mũ tự nhiên Các phân số dạng này ta thường gặp trong các phép đo đại lượng Chẳng hạn:

+ Chiều dài cạnh bàn là 1m25cm hay 1m 25

100m + Gói hàng nặng 560g hay 560

1000kg

Để tiện lợi trong tính toán và sử dụng, người ta đưa ra một cách biểu diễn riêng cho các phân

số loại này

Định nghĩa 5.1: Phân số a

b gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là luỹ thừa của 10 với số

mũ tự nhiên (b = 10n, n ∈ N)

Ví dụ 5.1:

Các phân số 17

10 ;

8

100 ;

6

1 là phân số thập phân

Phân số 3

4 không phải là phân số thập phân nhưng

3

4 =

75

100 là phân số thập phân

Ta gọi 3

4 là phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân

Vậy phân số a

b gọi là biểu diễn được dưới dạng thập phân nếu nó bằng một phân số thập phân nào đấy

Chẳng hạn, 1

2;

8

25;

3

20 là những phân số biểu diễn được dưới dạng thập phân Các phân số 1

3;

5

7;

2

11 không biểu diễn được dưới dạng thập phân

3.5.2 Số thập phân không âm

Số hữu tỉ r gọi là số thập phân không âm, nếu nó có một đại diện là phân số thập phân (hay

nói cách khác, phân số đại diện của nó biểu diễn được dưới dạng thập phân) Tập tất cả các số

thập phân không âm ta kí hiệu là Q+10

144

Từ các ví dụ trên ta rút ra nhận xét: Các số thập phân 3

10 ;

1

2 ;

8

25 ;

147

100 đều tối giản và mẫu số của chúng chỉ chứa ước nguyên tố là 2 hoặc 5 Các phân số 1

3 ;

5

7 ;

2

11 đều tối giản và mẫu số của chúng có những ước nguyên tố khác 2 và 5 Liệu điều này sẽ đúng cho trường hợp tổng quát?

Giả sử mẫu số phân số tối giản a

b chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5 Vậy b = 2

n5k Giả sử n ≥ k Ta có

a

b = n k

a

2 5 =

−

n k

n n

a5

2 5 =

−

n k n

a5 10

Vậy nó biểu diễn được dưới dạng thập phân

Đảo lại, giả sử phân số tối giản a

b biểu diễn được dưới dạng thập phân, tức là

a

b = n

m

10

Suy ra a10n = mb

Giả sử p là ước nguyên tố khác 2 và 5 của b Suy ra p | a10n hay p | a.2n.5n Vì p ≠ 2 và p ≠ 5 nên p | a Suy ra p là ước chung của a và b, mà (a, b) = 1 nên p = 1 Thành thử b chỉ có ước nguyên tố là 2 hoặc 5

Từ các kết quả trên ta có:

Phân số tối giản a

b biểu diễn được dưới dạng thập phân khi và chỉ khi mẫu số b của nó không

có ước nguyên tố khác 2 và 5

Vận dụng dấu hiệu trên, khi muốn kiểm tra một phân số a

b có phải là số thập phân hay không,

ta tiến hành như sau:

– Rút gọn phân số đó (để nhận được phân số tối giản a'

b')

– Kiểm tra mẫu số b’ có chứa ước nguyên tố khác 2 và 5 hay không, nếu có thì a

b ∉ Q+10, ngược lại a

b ∈ Q+10

Ví dụ 5.2:

8

125∈ Q+10 vì 125 = 53; 7

40∈ Q+10 vì 40 = 23.5